Математические модели, алгоритм исследования и анализ устойчивости упругих ребристых оболочек при конечных прог Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

= 2D

2 In

f R Л Л

1 —

1-

v v

R

2(ю] -ю2) R-h, " R

-

; (42)

величина D, входящая в формулы (40) и (42), имеет вид

Зц

все силы и моменты, действующие в упорных подшипниках скольжения. Это обеспечивает возможность записать уравнения движения ротора (вала) в зазоре:

Г'ь = тх; Р^ = ту', М} = I <р,

%

х[(ш, +ю2 -2уь 0-2ёьсо8 0]|- (43)

Итак, в результате работы получены аналитические выражения, позволяющие вычислить

где т, I — масса и момент инерции ротора (вала).

Дальнейший анализ сводится к решению уравнений движения ротора (вала) и плавающего вращающегося цилиндра (кольца) в общем случае для упорных подшипников скольжения и исследованию устойчивости движения ротора (вала)в зазоре.

Автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору А.К. Беляеву за оказанную помощь при проведении работы и полезные дискуссии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа |Текст| / Л.Г. Лойцянский,— М.: Наука, 1987.— 840 с.

2. Dubois, G.B. Analytical derivation and experimental evaluation of short-bearing approximation for full journal bearing |Text| / G.B. Dubois, F.W. Ocvirk // Cornell Univ. Report.—1953,— No. 1157,- P. 119— 127.

3. Belyaev, A.K. Forces and moments acting on the rapidly rotating floating bearing [Text] / A.K. Belyaev, Nguyen Van Thang // 36ltl International Summer School, Conference АРМ' 2008. Repino, Saint Petersburg, Russia.— P. 104-111.

4. I latakenaka, K. A theoretical analysis of floating bush journal bearing with axial oil film ruptures being considered [Text] / K. Hatakenaka, M. Tanaka, K. Suzuki // Journal of tribology.— 2002,— Vol. 124.— No 3,- P. 494-505.

5. Максимов, С.П. Автоколебания роторов, вызванные масляным слоем подшипников скольжения [Текст] / С.П. Максимов // Труды ЦКТИ. Котлотурбостроение,— 1964,— N° 44,— С. 87—96.

6. Пешти, Ю.В. Проектирование подшипников скольжения с газовой смазкой [Текст] / Ю.В. Пешти // Высшее техническое училище им. Н.Э. Баумана, МВТУ,- 1973,- 171 с"

УДК 539.3

В.М. Жгутов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ И АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ РЕБРИСТЫХ ОБОЛОЧЕК

ПРИ КОНЕЧНЫХ ПРОГИБАХ

Оболочки как элементы разного рода конструкций находят широкое применение в космической, ракетной и авиационной технике, машиностроении, судостроении, промышленном и гражданском строительстве благодаря практически

неисчерпаемому разнообразию геометрических форм, высокой несущей способности при относительно низкой материалоемкости.

Для придания большей жесткости тонкостенная часть оболочки зачастую подкрепляет-

ся ребрами, что существенно повышает ее несущую способность при незначительном увеличении массы конструкции.

Указанные конструкции могут подвергаться как статическим, так и динамическим нагрузкам, допуская прогибы, соизмеримые с толщиной оболочки.

Расчеты на прочность, устойчивость и колебания таких конструкций играют важную роль при проектировании современных аппаратов, машин и сооружений. Тем не менее, поведение тонкостенных конструкций, содержащих ребра, при котором проявляются геометрическая нелинейность, дискретность расположения ребер, их сдвиговая и крутильная жесткости, а также поперечные сдвиги, исследовано недостаточно. Причины тому — сложность совместного учета упомянутых факторов и необходимость решения громоздких нелинейных краевых задач.

Очевидно, что всесторонний анализ прочности и устойчивости оболочечных конструкций возможен только с помощью их компьютерного моделирования с проведением множества вычислительных экспериментов, открывающего исследователю в этой области поистине «царский путь». Для объяснения последнего словосочетания сделаем короткий экскурс в древнюю историю.

«В науке нет царских путей!» — так ответил Евклид (живший в IV—III веках до н. э.) египетскому царю Птоломею I (царствовавшему с 306 по 283 г. до н. э) на его вопрос первому о том, нет ли более быстрого и удобного пути для изучения геометрии, чем изложенный в «Началах» Евклида.

В процессе деформирования оболочек (в зависимости от уровня и длительности внешних воздействий) могут проявиться различные свойства материалов конструкций: упругие, пластические, свойства ползучести и т. п. Проявление свойства пластичности или ползучести приводит к необратимым последствиям. Для того чтобы конструкция являлась заведомо прочной и устойчивой, необходимо не допустить проявления этих свойств. Для этого можно, варьируя жесткостью подкреплений и кривизной оболочки, подбирать рациональные параметры конструкции при заданном уровне нагрузки и ограничениях на ее напряженно-деформированное состояние (НДС).

В свете изложенного актуальными и важными представляются задачи разработки более совершенных моделей деформирования оболочек

ступенчато-переменной толщины и методик рационального выбора параметров и материала оболочечных конструкций, а также исследования прочности, устойчивости и колебаний указанных оболочек при учете различных свойств материала.

В настоящей работе, методологически связанной с предыдущими публикациями автора [ 1, 2], представлены результаты математического и компьютерного моделирования оболочек при статических нагрузках и упругом (точнее линейно-упругом) поведении материала.

Большинство работ, посвященных исследованию устойчивости оболочек, выполнено в линейной постановке и без учета поперечных сдвигов (модель Кирхгофа — Лява). Ребра задавались по линиям — без учета влияния сдвиговой и крутильной жесткостей ребер на НДС всей конструкции. Кчислу таких работ можно отнести публикации В.А. Заруцкого, а также И.Я. Ами-ро, в частности [3].

Геометрически нелинейные решения приведены в работах С.А. Тимашева и В.И. Климанова [4], но авторы не учитывали поперечных сдвигов и задавали ребра по линиям. В экспериментах, проведенных С.А. Тимашевым, выявлено весьма существенное влияние сдвиговой и крутильной жесткостей ребер на НДС всей конструкции.

В работе [5] разработана геометрически нелинейная теория упругих оболочек (на основе модели Тимошенко — Рейсснера, предполагающей эффект поперечных сдвигов), при которой ребра задаются дискретно с учетом их ширины, сдвиговой и крутильной жесткостей. Численные результаты были приведены для задач динамики ребристых оболочек, но с использованием гипотезы Кирхгофа — Лява.

Постановка задачи

Рассматриваем оболочки общего вида с краем (пологие на прямоугольном плане и вращения, в частности цилиндрические, конические, сферические, торообразные, а также некоторые другие оболочки).

Срединную поверхность оболочки (точнее, ее обшивки) толщиной А принимаем за отсчетную поверхность г = 0. Оси х и у криволинейной ортогональной системы координат (-а<х<а и -Ь<у<Ь) направляем по линиям кривизны от-счетной поверхности, а ось г — по внутренней нормали поверхности г = 0 так, чтобы система

координат х, V, г была правой (полагаем, что определенная таким образом сеть координатных линий на отсчетной поверхности не имеет особенностей).

С внутренней стороны оболочка подкреплена ребрами жесткости, расставленными вдоль координатных линий.

Ребра задаем дискретно с помощью функции Н = Н{х, у), характеризующей распределение ребер по оболочке, их ширину и высоту [5— 7]. Таким образом, толщина всей конструкции равна И+ Н и -А/2<г<А/2 + Н .

Считаем, что оболочка находится под действием механической нагрузки при определенном закреплении ее края (контура).

Предполагая упругое поведение материала, будем совместно учитывать геометрическую нелинейность, дискретное расположение ребер, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткости, поперечные сдвиги.

Математическая модель упругих ребристых оболочек при конечных прогибах

Геометрические соотношения в срединной поверхности г = 0 получаются с помощью операции ковариантного дифференцирования векторного поля перемещений и с учетом геометрической нелинейности имеют вид

х А дх

АВ ду

1 dV 1 двп 1

е„ =--+--U-КЖ +—(

В ду АВ дх у 2

-у

_]_<W_ __1_

Jxy _ А дх + В ду АВ

Ми+дВу

ду дх

JXV2 ■

где ev

ъу и у

но; 9, = -

1 dW ——+КМ

А дх

1 dW

-—+KvV

д

Деформации поперечных сдвигов определяем по формулам [1, 2, 5—12]:

ухг Уу2 =сЯг)(Ъ -02),

где , ' — углы поворота отрезка нормали в плоскостях (¿/х,£/г) и (¿уЛг) соответственно; /(г) — функция, характеризующая распределение напряжений тХ2 и туг вдоль оси г; с — константа.

Деформации в слое г ф 0 вычисляем по формулам [1, 2, 5 — 12]:

=ех+2Х1, е* 2 ъу = уху + 2гр12,

где

1 д'х 1 дА Ъ =--+--'

1 А дх АВду

1

у'

-у 1 дВ p =--^---

2 В ду АВ дх х

2Xl2 =

1 д'

д

у + .1 д'

1

АВ

дА дВ

д

д

в ду

— суть функции изменения кривизны и кручения.

Физические соотношения для ортотропных материалов (таких, как железобетон при различной жесткости армирования во взаимно ортогональных направлениях х и у, некоторые полимеры , дерево и др.) могут быть представлены в виде [9, 10, 12, 13]:

=с1(ех+ау =с2(4+

(1)

V =С2зУуг-

Здесь G, =

— деформации удлинения вдоль осей х,у и сдвига в касательной плоскости (¿/х, dy); С/, V и W — компоненты вектора перемещений точек вдоль осей х, v, и z соответственно; Л, В — метрические коэффициенты Ламе, зависящие от вида оболочки (например, А = В= 1 для пологой оболочки и А = const, В = В(х) в случае оболочки вращения); Кх = 1 /Щ и Ку=\/R2 — главные кривизны (Л, и Я2 — главные радиусы кривизны) оболочки вдоль осей х и у соответствен-

1-hMV

=

Cj2Cn,

rLV "23

модули сдвига, где Ех, Е2п продольные

модули Юнга и коэффициенты Пуассона.

Для изотропных материалов (железобетон при одинаковой жесткости армирования по направлениям х и у, многие полимеры, металлы и др.) физические соотношения являются частным случаем соотношений (1), в которых Ех= Е2 = Е и = = ^ > следовательно, С, = С2 = Е/(1 - ), С|2 = С13 = С2з = й= Е/2(1 + ^).

Функционал полной энергии деформации оболочки (в общем случае выполненной из ор-тотропного материала) запишем в виде [1,2,12]:

(h3

^ j v у

Э=У Í \{(Ь + Р)[г2х+(^+С2^)гхгу +

-а-Ь

G24 +Gnyly +Gl3k('-Ql)2 + (( - 02) + S \2e*Р + (^2 + КP +

+ + )£yp + 2G2Eyp2 + 2Gnyxy 2p 2 ] + [X? +(^2 +£^I)XIX2 +G2l\ +Gn2pn2pn ■1{PXU + PyV + qW^ABdxdy, (2)

где Г, 5 и ,/ — жесткостные характеристики ребер (погонные площадь поперечного (продольного) сечения ребра, статический момент и момент инерции этого сечения); Д.,/*, и а — про-

Л У

дольные и поперечная компоненты внешней механической нагрузки (в дальнейшем полагаем, что РХ = Р =0 и С12=—,

ÍV

^x = ^PS(J)X4(J)Y4(J)i

i=i

Gi

С,

/=1

где £/(/), F(/), IV(J),PS(J), PN(I)- неизвестные параметры (подлежащие определению); Х1(/)У1(/), ...,Х5(/)У5(/) - известные аппроксимирующие функции переменных х и v, удовлетворяющие заданным краевым условиям (зависящим от способа закрепления контура оболочки); N— число членов в рядах Ритца.

В результате получаем нелинейную (в геометрическом смысле) систему алгебраических уравнений, которую кратко можно записать в виде [1,2,8-11, 13-15]:

FJX)-fq = -FJX),

(3)

где Х = [и(1),У(1), Щ1),Р5(1), РЩ1)]Т-

матрица неизвестных параметров; fq — нагрузочный член с коэффициентом /; ЕЛ(Х), Еи(Х) — соответственно линейная и нелинейная (геометрически) части системы (3).

Для решения системы (3) применяем метод итераций [1, 2, 8-11, 13-15].

Последовательно увеличивая нагрузку ^ от 0 до некоторого критического значения якр с малым шагом (например Ад = 10"3 МПа), находим решения системы (3), отвечающие значениям нагрузки , q1.....дк:

где Х0 — решение геометрически линейной задачи, отвечающее условию Ен (X) = 0 .

При фиксированном значении нагрузки q можно определить значения функций перемещений £/(х, V), У(х, у), Щх, у) и углов поворота отрезка нормали 'Х(х, у), .у) в любой точке оболочки, а с их помощью — НДС оболочки в данной точке.

После этого строим кривую нагрузка q — прогиб IV в какой-либо характерной точке оболочки (например в центре оболочки). Нагрузку соответствующую максимальному значению на кривой q — (^(критерий Вольмира), либо нагрузку, отвечающую резкому возрастанию прогибов (более общий критерий), принимаем за критическое значение нагрузки qкp .

г - Г - 23

Gx Gx

В случае изотропного материала функционал полной энергии деформации оболочки окажется частным случаем функционала (2), в котором Ех=Е2=Е и = = ^ , а значит, С, = С2 = = Е/( 1-Сх2 = Сп = Сп = С = Е/2{\ + ^) и,

кроме того, С2 =1, С,2 = Схз = Сп =

Алгоритм исследования модели

Для отыскания минимума энергии (2) применяем метод Ритца при разложении искомых функций и(х,у), У(х,у), Щх, у), 'Х(х, у), Чу(х,у) в ряды [1,2, 8-11, 13-15]:

N N

и = Х^(/Щ(/)Г1(/); V = ^У(1)Х2(1)У2(1); 1=\ 1= 1

IV = ^и(1)Х1(1)УШ /=1

При этом мы подразумеваем нахождение первого критического значения нагрузки (значения qкp, отвечающего началу смены равновесных состояний, с увеличением которого происходит характерное «прощелкивание» или «выпучивание» оболочки).

Для ответа на вопрос о соответствии найденного значения qкp общей или местной потере устойчивости необходимы дополнительные исследования.

Указанным способом исследуем устойчивость оболочки в упругой постановке (при учете геометрической нелинейности).

С помощью вычислительных экспериментов были проанализированы различные варианты ребристых оболочек, выполненных из железобетона, металла и оргстекла.

Анализ устойчивости оболочек

Приведем некоторые численные результаты для железобетонных, металлических и полимерных пологих оболочек положительной гауссовой кривизны К = Кх- Ку-

Цля удобства представления и анализа результатов функционал (2) был записан в безразмерных параметрах, описанных в [1, 2, 8, 9, 11, 13, 14], в частности: безразмерных координатах ' = х /а, ц = у/ Ь; безразмерных кривизнах

к' = а1 Кх / И , к^ = Ь1 Ку / И; безразмерных перемещениях П = аи/Ь2, У = ЬУ/к2, \Г = 1¥/к и углах ^ = щх / И , = Ьуу / /г; безразмерной

нагрузке Р = aAq / ЕИА .

Варианты и соответствующие параметры проанализированных пологих оболочек на прямоугольном плане представлены в табл. 1.

Для каждого варианта рассматривались как гладкие оболочки (не имеющие ребер), так и реб-

ристые, подкрепленные регулярным набором из шести либо восемнадцати ребер. Считалось, что ребра расставлены вдоль координатных линий х и у соответственно по 3 ребра либо по 9 ребер в каждом из указанных направлений. Высота ребер принималась 3h ; их ширина полагалась равной 2h\ 3,3h \ 6,6h и 20h соответственно для вариантов оболочек 1, 11,111 и IV.

Кроме того, в расчетах принимались следующие условия: поперечная нагрузка q равномерно распределена (q = const > 0); контур оболочки закреплен шарнирно-неподвижным способом; число членов разложений в рядах Ритца N = 91 коэффициент Пуассона ^ =0,200 (доябетона), ^ =0,300 (для металла) и ^ =0,354 (для оргстекла).

В табл. 2 приведены для рассматриваемых вариантов гладких и ребристых оболочек расчетные значения безразмерных критических нагрузок Ркр, найденные в предположении линейно-упругого поведения материала (с учетом геометрической нелинейности).

Как видно из результатов, приведенных в табл. 2, ребристые оболочки варианта I (наименее тонкие) устойчивости не теряют.

Результаты расчетов хорошо согласуются с данными натурных экспериментов В. И. Кли-манова и С.А. Тимашева доя серии ребристых оболочек, выполненных из оргстекла и по своим параметрам весьма близких к анализируемым нами оболочкам варианта IV с восемнадцатью ребрами [4,15].

Отдельная серия расчетов гладких и ребристых оболочек базового варианта III, отличающихся по кривизне, показала, что с уменьшением

Кср =(КХ + Ky)j 2 (соответственно, безразмерной средней кривизны

Кср = (к'+кц)/2 уменьшаются (при h = const).

Таблица 1

Параметры проанализированных оболочек

Вариант оболочки Параметры оболочки Возможные реальные размеры, м

а = Ь af II II а = Ь af II /2

1 60/2 225/г 16 18 67,5 0,3

11 100/2 251/г 40 18 45,3 0,18

111 200/г 503/2 79,5 18 45,3 0,09

IV 600/2 1510/г 238 18 45,3 0,03

Таблица 2

Расчетные значения безразмерной критической нагрузки Ркр для упругих гладких и ребристых оболочек, выполненных из железобетона,

металла и оргстекла

Вариант Материал Значение безразмерной критической нагрузки Р

при числе ребер

оболочки оболочки

0 6(3 + 3) 18(9 + 9)

Железобетон 171 _ _

I Металл 190 — —

Оргстекло 202 - -

Железобетон 990 2260 3480

II Металл 1140 2800 3610

Оргстекло 1200 29600 3710

Железобетон 5050 13260 18900

III Металл 5390 13770 20220

Оргстекло 5610 14900 20900

Железобетон 66990 134700 211400

IV Металл 71300 141480 212420

Оргстекло 74000 144800 212800

Дополнительные варианты оболочек базового варианта III представлены в табл. 3, воспроизведенной из прежней работы автора [1].

В табл. 4 приведены расчетные значения Ркр

критических нагрузок для гладких оболочек дополнительных вариантов, выполненных из железобетона, металла и оргстекла. В скобках приведены процентные изменения (снижения) значений критических нагрузок вследствие уменьшения средней кривизны (для каждого дополнительного варианта оболочки в сравнении с базовым вариантом).

Видно, что с уменьшением средней кривизны значения соответствующих критических на-грузоктакже снижаются. В процентном отношении указанное снижение происходит примерно одинаково для оболочек одного и того же вари-

анта, выполненных из разных материалов. Следует отметить, однако, что чуть большие снижения наблюдаются для оболочек из менее сжимаемого материала (оргстекла с величиной

1 = 0,354 по сравнению с металлом, где | =

0,300, и металла по сравнению с железобетоном, |

Расчеты показали также, что вблизи критических нагрузок напряжения в материале оболочки достигают достаточно высокого уровня. Поэтому при исследовании устойчивости оболочек необходим контроль их прочности на основании того или иного критерия (исходя из принятого коэффициента запаса прочности к) [9— 11, 14, 16].

Оказалось, что в случае оболочек положительной или нулевой гауссовой кривизны вбли-

Таблица 3

Параметры дополнительно проанализированных оболочек базового варианта III

Вариант оболочки Параметры оболочки Возможные реальные размеры, м

а = Ь > II II u а = b > II /2

111 (базовый) 200h 503/г 79,5 18 5,3 0,09

111—А 200h 600 /2 66,7 18 54,0 0,09

111—Б 200/г 700/2 57,1 18 63,0 0,09

111—В 200/г 800/г 50 18 72,0 0,09

Таблица 4

Расчетные значения безразмерных критических нагрузок Р^ для гладких оболочек базового и дополнительных вариантов, выполненных из оргстекла, металла и железобетона

Вариант гладкой оболочки Л»

Оргстекло (ц = 0,354) Металл (ц = 0,300) Железобетон (ц = 0,200)

III (базовый) 5610 5390 5050

Ш-А 3590 (-36,0%) 3470 (-35,6%) 3270 (-35,2%)

Ш-Б 2380 (-57,6%) 2330 (-56,8%) 2240 (-55,6%)

Ш-В 1680 (-70,1%) 1660 (-69,2%) 1620 (-67,9%)

зи критических нагрузок для большинства из рассмотренных материалов происходит нарушение прочности оболочек (при значении коэффициента запаса к = 2) до потери их устойчивости. При увеличении толщины оболочек или числа ребер (при неизменных их жесткостных характеристиках) критические нагрузки возрастают. При этом характер распределения прогибов и напряжений по полю оболочки становится равномернее. С увеличением средней кривизны оболочки (при постоянных толщине оболочки, числе и жесткостных характеристиках ребер) критические нагрузки также увеличиваются.

При отрицательной гауссовой кривизне оболочки устойчивости не теряют.

При этом с уменьшением кривизны оболочки значения поперечных перемещений (прогибов) и максимальных напряжений (при одних и тех же значениях предварительных нагрузок) также уменьшаются.

Высокие уровни напряжений, возникающих в материалах оболочек вблизи критических нагрузок, могут повлечь за собой пластические деформации (особенно в металлических и железобетонных оболочках), что приведет, вообще

говоря, к значительному снижению их несущей способности.

При длительных нагрузках в материалах оболочек (таких как железобетон, оргстекло и др.) возможно развитие процесса ползучести (в металлах ползучесть наблюдается только при высоких температурах). Проявление ползучести материала оболочектакже приводит к опасному снижению их несущей способности.

Вот почему при проектировании обол очечных конструкций необходимо проводить расчеты на прочность и устойчивость не только в упругой постановке, но и с учетом нелинейно-упругих и пластических деформаций, а также деформаций ползучести.

Полученные в результате вычислительного эксперимента данные позволяют посредством рационального выбора материала, толщины и кривизны оболочек при той или иной жесткости их подкреплений проектировать заведомо прочные и устойчиво работающие оболочечные конструкции, исключающие в заданных условиях эксплуатации появление пластических деформаций и деформаций ползучести в их материалах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жгутов, В.М. Математическая модель, алгоритм исследования и анализ устойчивости нелинейно-упругих ребристых оболочек при больших перемещениях [Текст] / В.М. Жгутов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2009. — N° 4. — С. 24-30.

2. Жгутов, В.М. Математические модели, алгоритм исследования и анализ устойчивости ребристых оболочек с учетом ползучести материала при конечных прогибах [Текст] / В.М. Жгутов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2010. — N° 2. — С. 53—59.

3. Амиро, И.Я. Методы расчета оболочек [Текст]. В 2-х т. Т. 2: Теория ребристых оболочек/ И.Я Амиро, В.А. Заруцкий. — Киев: Наук, думка, 1980. - 368 с.

4. Климанов, В.И. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек [Текст] / В.И. Климанов, С.А. Тимашев,— Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985,- 291 с.

5. Жгутов, В.М. Нелинейные свободные колебания пологих оболочек ступенчато-переменной толщины |Текст|: дисс. ... канд. техн. наук: 05.23.17: защищена 29.04.04: утв. 09.07.04 / Жгутов Владимир Михайлович. — СПб, 2004. — 177 с. - Библиогр.: С. 125 - 145.

6. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования [Текст]: учеб. пос. / В.В. Карпов, О.В. Игнатьев, А.Ю. Сальников. — М.: АСВ; СПб: СПбГАСУ, 2002,- 420 с.

7. Жгутов, В.М. Метод конструктивной анизотропии для ортотропных и изотропных ребристых оболочек [Текст] / В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал. — 2009,— N° 8,— С. 40—46.

8. Жгутов, В.М. Прочность и устойчивость ребристых пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности [Текст] / В.М. Жгутов, Д.Е. Мухин, А.Н. Панин // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. - 2008. - № 2. - С. 41-44.

9. Жгутов, В.М. Исследование прочности и устойчивости ребристых оболочек с помощью вычислительного эксперимента [Текст] / В.М. Жгутов // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: Сб. докл. VII Междунар. конф. по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте 23—24 апреля 2008 года. — СПб.: Петербургский государственный университет путей сообщения, 2008.-С. 110-131.

10. Жгутов, В.М. Математическая модель и алгоритм исследования прочности и устойчивос-

ти ребристых оболочек с учетом различных свойств материала [Текст] / В.М. Жгутов // «Инженерные системы — 2008»: Всеросс. научн.-практ. конф. Москва, 7-11 апреля 2008 года, РУДН. — М.: Изд-во РУДН, 2008. - С. 341-346.

11. Жгутов, В.М. Компьютерное моделирование прочности и устойчивости упругих ребристых оболочек [Текст] / В.М. Жгутов // «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения»: Междунар. конф. (11Е1,МА5'2008). С.-Петербург, 17-20 июля 2008 года, СПбГПУ. -СПб: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. -С. 122-128.

12. Жгутов, В.М. Прочность и устойчивость упругих ортотропных и изотропных ребристых оболочек. 1 [Текст] / В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал. — 2009,— N° 7,— С. 55—64.

13. Жгутов, В.М. Математические модели и алгоритмы исследования устойчивости пологих ребристых оболочек при учете различных свойств материала [Текст] / В.М. Жгутов // Изв. Орловского государственного технического университета. Сер. «Строительство, транспорт». — 2007.— М? 4,- С. 20-23.

14. Жгутов, В.М. Прочность и устойчивость упругих ортотропных и изотропных ребристых оболочек. 11 [Текст] / В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал. — 2009,— N° 8,— С. 31—39.

15. Жгутов, В.М. Прочность и устойчивость упругих ортотропных и изотропных ребристых оболочек. 111 [Текст] / В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал. — 2010,— N° 6,— С. 23-37.

16. Жгутов, В.М. Исследование прочности и устойчивости упругих, нелинейно-упругих и вяз-коупругих ребристых оболочек с помощью вычислительного эксперимента [Текст] / В.М. Жгутов // Тр. Междунар. научн.-практ. конф. «Инженерные системы— 2010». Москва, 6—9 апреля 2010 г. - М.: РУДН, 2010. -С. 362-366.