CC BY
5Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих изотропных пластин и оболочек гладко-переменной толщины (асимметричные случаи)
К.т.н., профессор Р.А. Абдикаримов,
Ташкентский финансовый институт;
К.т.н В.М. Жгутов*,
ООО «Архитектурно-строительная компания «Китеж»
Тонкостенные пластины и оболочки широко применяются в современном строительстве в качестве элементов как ограждающих, так и несущих конструкций, предназначенных для работы под воздействием значительных силовых нагрузок. Указанные нагрузки могут быть и статическими, и динамическими.
С целью обеспечения в нужных местах требуемой жесткости тонкие пластины или оболочки могут быть подкреплены ребрами, а могут иметь и плавные утолщения. Следовательно, всю конструкцию следует рассматривать как конструкцию переменной (гладко-переменной или же ступенчато-переменной) толщины. Подкрепление пластин или оболочек ребрами делает, как правило, их профили асимметричными. Зачастую асимметрия профилей может иметь место и в случаях их плавных утолщений.
Известно, что тонкостенные элементы допускают достаточно большие прогибы (даже при нагрузках, далеких от своих критических значений). При долго длящихся нагрузках в материале пластин и оболочек может проявиться свойство ползучести (вязкоупругости), что приведет к существенному снижению их несущей способности.
Вне сомнения, что расчеты на прочность, колебания и устойчивость описанных конструкций играют важную роль при проектировании современных зданий и сооружений.
Таким образом, для получения более реальной картины напряженно-деформированного состояния (НДС) указанных элементов в виде пластин и оболочек необходимо проводить исследования в геометрически нелинейной постановке при совместном учете влияния асимметрии их профилей, а также возможного проявления вязкоупругих свойств материала.
Исследованию устойчивости оболочек постоянной и ступенчато-переменной толщины (асимметричные случаи) в геометрически нелинейной постановке при учете ползучести материала посвящены работы В.М. Жгутова [1-13]. В работах Р.А. Абдикаримова [14-16, 28-29], а также совместной работе Р.А. Абдикаримова и В.М. Жгутова [17] рассмотрены аналогичные задачи о колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругих пластин и оболочек гладко-переменной толщины (симметричные случаи).
Тем не менее, поведение асимметричных пластин и оболочек гладко-переменной толщины при совместном учете геометрической нелинейности и вязкоупругих свойств материала в настоящее время исследовано недостаточно и требует дальнейшего изучения.
В свете изложенного разработка новых математических моделей и эффективных вычислительных алгоритмов решения нелинейных динамических задач о колебаниях и устойчивости вязкоупругих систем с гладко-переменной жесткостью (асимметричные случаи) представляется актуальной и важной.
Рассматриваем пологие оболочки на прямоугольном плане (в частности, пластины), а также круговые цилиндрические оболочки.
Некоторую внутреннюю поверхность оболочки принимаем за отсчетную поверхность г = 0. Координатные линии х и у криволинейной ортогональной системы координат направляем по линиям кривизны, а ось г - по внутренней нормали отсчетной поверхности.
Толщину оболочки задаем ограничивающими ее (в нормальном направлении) гладкими поверхностями
2 в = г в (х, у) и гн = гн (х, у) (рис. 1).
Считаем, что оболочка находится под действием механической нагрузки при определенном закреплении ее контура.
Основываясь на кинематической гипотезе Кирхгофа-Лява, учитываем совместно геометрическую нелинейность и возможность развития деформации ползучести (вязкоупругости) в материале. Для описания процесса ползучести используем линейный вариант наследственной теории ползучести.
Математическую модель деформирования оболочки (пластины) понимаем как совокупность:
• геометрических соотношений (выражений деформаций через перемещения);
• физических соотношений (связи напряжений и деформаций);
• функционала полной энергии деформации (или действия), условие стационарности которого эквивалентно уравнениям равновесия или движения.
в) г)
Рисунок 1. Примеры пластин и оболочек гладко-переменной толщины (асимметричные случаи):
а) и б) - пологие оболочки (в частности, пластины); в) и г) - круговые цилиндрические оболочки.
Геометрические соотношения в отсчетной поверхности г = 0 с учетом геометрической нелинейности имеют вид
ди , 1 (dw
sx =^г- kxw + —I —
дх 21 дх
dv 1
sy =------------------kw + —
y dy y 2
( dw ^ dy.
= du dv dw dw
^ dy dx dx dy ’
где вх, ву и - деформации удлинения вдоль осей х, у и сдвига в касательной плоскости (^х, dy); и, V и w- компоненты вектора перемещений (перемещения) точек вдоль осей х, у и г соответственно; кх = 1/ Ях и ку = 1/Я2 - главные кривизны (Я: и Я2 - главные радиусы кривизны) оболочки вдоль осей х и у соответственно.
В случае пластины в соотношениях (1) следует положить кх = ку = 0; для круговой цилиндрической оболочки (не обязательно пологой) кх = 0, ку = 1 /Я , где Я - радиус цилиндра.
Деформации в слое г ^ 0 вычисляем по формулам [2, 4, 5]:
в х =в х + гХ1 , в У =в у + гХ2 , В = Вху + 2гХ12 ,
где
Х1 =
d w ".dx2
X2 =
d2 w '~dyr
2Zl2 = -2
d2 w dxdy
суть функции изменения кривизны
[X = X(x>y),X2 = X2(x>y)] и кручения [Xi2 = Xi2(x>y)] ■
Физические соотношения в соответствии с линейным вариантом наследственной теории ползучести для изотропных материалов примем в виде [18 -20]:
2
2
(l - Г )б:Х2 + ). ^ y -- (l - Г \Sl + MSl ) , Gxy = F^xy , (2)
1 -^ к^Н*у)^у- 1 -М2^ ^^^Р^ху 2(1 + му
где E и /и- модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболочки;
t
Г* - интегральный оператор с ядром релаксации Г(?), такой, что Г*£ = |г( - т>(т)/т;
0
t- время наблюдения; т - переменная интегрирования (время, предшествующее моменту наблюдения).
Интегрируя напряжения (2) по переменной г в пределах от zВ = zВ(х, у) до zН = zН (х, у) , получаем выражения для внутренних силовых факторов, приведенных к срединной поверхности оболочки и приходящихся на единицу длины сечения:
• усилия растяжения (сжатия) и сдвига
Е (1 -Г*
2
Nx - j°xdz - Е- Г ) [ (x + [y )+ A1(1 + ГХ2 )]
z В 1 Г
Ny - faydz - Е([-Г2 )[( +/usx)+ A1 (х2 + Г)](3) А 1Л
В г2
Nxy - f °xydz - ^ -Г) l[ + 2AlXl2 ];
изгибающие и крутящий моменты [18]
E (1 - Г
Mx - f °xzdz - Ei(l- Г ) [A1 (x + rsy ) + A2 (Xl + ГХ2 )] ,
Zb 1 Г
My - f Gyzdz - E1(1-- I2 ) [a1 (y + rSx ) + A2 (X2 + ГХ1)], (4)
1 LI
Г
ZH E(1 — Г* ) Г
M- - f °xyzdz - 2(1 -r ) Wxy + 2A2 X12 ]
xy xy 1 xy
zb
2В
В формулах (3) и (4) А0 = |ёг, А1 = |гёг и А2 = |г2ёг - погонные площадь поперечного
2Ь 2Ь 2Ь
(продольного) сечения оболочки, статический момент и момент инерции данного сечения соответственно.
Как известно, в случае геометрически нелинейных вязкоупругих задач для оболочек уравнения равновесия или движения, записанные в усилиях и моментах, имеют тот же вид, что и в случае геометрически линейных упругих задач [9, 10, 21, 22].
Поставим выражения (3) и (4) в известные уравнения движения оболочки [9, 10, 18, 23, 24]:
дЫх 'дЫу + , д2п 0 дЫху +дЫу + 1 д2у 0
—- +----------------- + рх - рп—- = 0 ; -— +-- + ру - рп—- = 0 ;
дх ду дt дх ду дt
dM dM+2^+^,+kN +д
( dw dw ^ Nx — + Ny —
x ^ xy
dx dy dxdy dx ^ dx dy j
д ( „ dw dw , д2 w
+ (5)
+ — Ny — + Nv — dy ^ dx dy j
+ q - ph—- - 0,
dt2
где px - px(x,y, t) , py - py (x,y, t) и q - q(x, y, t) - компоненты внешней механической нагрузки; p- плотность материала оболочки (считаем, что в процессе деформирования p « const).
z
z
В результате (полагая рх = рх = 0 , q ф 0) получим следующую систему уравнений
г
E (і -г* 1 -—2
Л
3
- А
д w д w
дх
3Л
ЗЄі 1 -—Сєг Л
1 ——-1
дх
ху
2 Су
і
д-А(є. і—Єу.)і І—О
дх
2 Су
Sxy -
і
v дх3 дхду2 j
дх
ЗА f д2 w д2 w Л
---------L--------------u //----------
дх2
1 —
ду2
-(і - —
дА д2 w
ду дхду
■-рА
д 2и 0 dt2
= 0;
e (і -г )\Jds;
- А
1 - —
f д3 w
2 І А0
1 —
дєх 1 - — дєху Л 1 - — дА,
-і-
і —
V д3 w
Зі Су 2 дх
2
1-
ЗАо
-є і-----S і —є
2 дх ^ дуУу х
Зі дх ду ^
л \ЗА1 З2 w ЗА1 f З2 w З2 w 'л
-(і-— )^±^г--:г — 1—
дх дхду ду їду
дх
З2 v
-м ЗТ = 0; <6>
E (і -г •) { А fdS
11— I 11 дх2
З2S; З2Є;
дЧ Зі2
2
З є
дхду
+
+2
ЗАj
Зх
Зх
1 —
Зєі 1 -— Зєху Л С 2
Зх
2 Зу
+
з 2 А
Зх2
(єх + —Sy ) +
+2
ЗА1
Зу
Зє; Зє 1 -—Зєху
----1 —-------- 1 ----—------“
ду Зу 2 Зх
\
+
З2 Аі ( ) (і )2 А
-7-І" (єх 1—Sx )і(і-—)^:
Зу
ЗхЗу
Sxy -
f З4 w ~дх4
12-
д w З w
4-Л З2А2 f З2
1-
Зх2Зі2 ду4
Зх2
dw З w
2
дх2
■і —
Зі2
12
ЗА.
3
Зх
З w З w
3
-1-
дх Зхді
і
12
ЗА-
3
д w З w
2-Л З2А2 ^2
•1-
ду їдх ду ду j ду їду
1-
д w З w
2„Л
■1 —
Зх2
12 (і - —
З2А, З3w
дхду дхду
E (і -г~)
2 Л
1 -- —
w e(
Зх 1 - —
А0 (єх 1—Єу )- А1
дх2
ду г
і к.
А0 (єу 1—Єх )- А1
ґ З2 w З2 w Л
---Т 1 —-----2
їді Зх j
dwE(і-г*)( Зє.
ЗЄі 1 - — Зєт Л
Зх
і ——-і
3
- А
З w З w
Зх
Л
—_____
2 Зу
+ дА0 (єх 1—Sy )і -Ч -
Зх
1 - — ЗА0
~2 ду°х
ї Зх Зхдг j
ЗА f З2 w З2 w 'л
дх
дх2
■і —
Зі2
-(і -—))?
ЗА, З2 w
Зі дхду
dwE(і-г•)JА(є і—Зє^11 -—єЛі і-—за,
ду 1 - —
ду ду 2 Зх
дА
0 є і—0 . _ 2 дх ху^'
ду
( Я3
- А,
д w
і —
д w
ду дх ду
|-(і-——
ЗА1 З2 w ЗА1 ( З2 w З2 w ^
Зх дхду ду їді
-2
З2w E(і -г*)
дх2 1 - —2
З2w E(і -г*)
ду2 1 - —2
З2w E(і-г*)
А0 (sx 1—Sy)- Аі А0 (S; 1—Sx )- Аі
■1 —
fd2w d2w Л
---Т 1 —---2
їдх2 ду2 j
fd2w d2w 'л
ду2
-і —
dx2
ЗхЗу 1 - —
А0Єху - 2А1
З w ЗхЗу
+ pАl
дх2 З2 w
- IF=q.
xy
2
2
2
С учетом (1) система уравнений (6) примет вид
д 2и
(1 -Г* —А
дА
дх2
( к к \ — 1 - и д и 1 + и д V ды д w 1 - и ды д w 1 + и ды д w
х у дх 2 ду2 2 дхду дх дх2 2 дх ду2 2 ду дхду
+
+ -
дх
ди
дх
С я2
дv
ду
(х +Лу + Л— ++-1 — I +
1 С ды 21 дх
— А
-(1 -Л
■уду J 2„. ЯЛ С д2^
1 - л дА{
ду дхду дх
дх
+л
ди дv ды ды +—:---0 — +— +----
2 ду Уду дх дх дуJ
д2ы( л2' д2
ду2
^и!) РА, ^ = 0;
Е 0 ді2
(і-Г* —
д 2у
.Су2
(ку + Л х)—
Vу ^ х> ду
2 дх 2 дхду ду ду
1 -иды д ы 1 + ^5^ 5 ы 2 ду дх2 2 дх дхду
+
1 -и дА,
2 дх
\
ди + дv + ды ды ду дх дх ду J
+
+ -
дА,
ду
дv
+
ды
дх
-А
Сд2w д3w ^
ду дх ду
/ чдА1 д w дА1 Сд w д w(1 -и ) . д V
-(1 -и)—1-1 —т +и—г Г-^——рА0—г
дх дхду ду У ду дх Л Е ді
= 0; (7)
(1 - Г *
+ 2
+
о 5А2
+ 2 2
дх2ду2 ду4
д2 А
22
+
ду у дх2 ду ду3 J ду2 уду
3
+
дх2 д2 w
д w
дх ‘
+и
ду2
+2
дА
3
J
дх
д w
+
дх дхду
+
- + и
дх2
/ чд2 А2 д2 w
+ 2(1 -и)---------------------------------1-А
дхду дхду
д и дх3
д 2w д3v
+ -
у> дх2 ду3
ды д3 w ды д3 ы
(у + Лх)
д w д и д V ды д ы ды д w
- + -
- + — + -
- + -
ду дхду дх ду дх дх ду ду
■ +
+ ■
дх дхду дх дх ду
ч2_ і .. ^2
+ (1 -и)
д 2w д3 w
2 2 2
■ + ■
дх 2 ду 2
■ +
ду
Кдх J
+
ду ду2
д3 ы дхду2
+
+ 2
дА,
дх
ди 1-иди
+
дх2
2 ду 2
ды 1 + и д2 V ды д2 w 1 -иды д2 w
■ +
+ -
+
1 + и ды д2 ы 2 ду дхду
+
д2 А1
дх2
ди дv (. , \ 1I ды } и
ТТ + и—-((х +№у — + -| —| +т
дх ду
дх 2 дхду дх дх 2 2 дх ду2
2
- +
2
с ды I 1 2
Уду
+
+ 2
дАх
ду
д2 V 1 -ид 2v +
ду2
2 дх
2у
ды 1 +и д 2и ды д2 w 1 -иды д2 w
+ ——------+------^ + ——----^ +
+
1 + и ды д2 'ы 2 ду дхду
+
д2 А,
ду2
ду 2 дхду ду ду2 2 ду дх 2
дv ди/, , \ 1С ды \ и
^ + иТх +и—+ 21^.1 +_
Сд^л2 -ґп 42
2
ды
дх
+
д2А
дхду
ди + дv + ды ды ду дх дх ду
(1 - Г * —Ао ( +Мку — + (у +^х —
-А
у2
дх2
2
2
2
2
2
(v IVkx)
d2 w
aVr
д2 w
dx2
(і - г *—
Ґ dw 1 1 2
Uv J
-A
+u-
Ox dy
2
2
(1 - г *
dx
д 2u dx2
л , \0w 1 -иди 1 + u д v
(x + U)— + —— —г + ——-------+
Ox 2 dy 2 dxdy
Ow dw 1 - и dw dw 1 + и dw dw +------------^ + ——--------------------------^ + -
dx dx2 2 dx dv2
2
2 dv dxdv
+ -
dAo
dx
ди dv /, , \
^ + U^T-(x + U — + dx dy
11 aw
2 і dx
+и Ґ dw 1 2 + 1 - U dA0 Г
2 1°У J 2 дУ 1
dA (д2 w
dx
+ -
2
dx2 (dw 1 VdV J
+и
ду2
-(і -и—-41 д 2 w
ди dv dw dw
--------1----------1---------------
ду dx dx ду
d2 w
Л
у
-A
, 2 (і - г* — A0 — + ^-dv -( + ukx — +
dx dxdy I ду І ду dx
I
dx dxdy у
dv
+
dw і dx
- A1
d2 w
ду
+u
dx
2
dw,
dv
(і - г' U 5 -(y+и)
ду
і -7 — J J
2„ 1 . .. ^2_ Л,., n2_, 1 .. Л,., n2,„ 1 , .. n2.
—. dy
1 -udv 1 + udu dw dw 1 - и dw dw 1 + и dw dw
+ ———^ + ——---+---^ + ——--^ + -
2 dx2 2 dxdv dv dy2 2 dy dx2 2 dx dxdv
.2
2
+
+
1 - и dA0 ( du dv dw dw 1 dAn
+
2 dx
dw 12
dy dx dx dy
+ ■
dy
du L , \ du 1
-----(y +Ukx — U- + -
dy dx 2
и
dx
d2 w
- A1
■+u
dv dx dy
-(і-u)
з2„, я л f d2w
dA1 d w dA1
dx dxdy dy
ду2
-+u
vdV; d2 w 1
dx2
+
(1 -»—* (1 - г' —A.
ґ du + dv + dw dw Л dy dx dx dy
- 2 A1
d2 w dxdy
■ +
1 - и
E
■pA
0 dt2
E
-q
Следуя [25, 26], можно упростить системы уравнений (6) и (7), введя новую отсчетную поверхность г0 = z0(x,у) так удачно, чтобы А1 = 0. В частности, положение поверхности г0 можно определить из условия:
Z Н
A =| z *dz* = 0,
Z
где г = г го, гн = гн го, гв = гв го. Отсюда получим:
z0 =
zH + zB
В этом случае при
Z Н Z Н
A = J dz*, A1 = 0, A2 = J (z * )2 dz* (В)
система (6) обретает вид:
і-и2
A0
d£x
dx
ЄЄу 1 -иде„,1 dA0 ( +иЄу)+ g du
+ и—7- + dx
xy
2 dV
+ -
dx
2 dy
2
1
2
Z
Z
Е (1 -Г' )\л( дє,.
2 1 А0
1 -V
Е (і -Г*) 1 + V
+ М
дєх 1 - V дєху Л
+
ду ду 2 дх
1 -vд4o є ( + Цє,А-рдуу
2 дх є ду
= 0; (9)
дА2 + 2 2
( д 4 "дх4
С
,2
Л д2А2 (*2
дх ду2 дУ )
,
дх2
ду
2
дх ду ду ) ду
+ -
д2 А2
д w дх ‘ 2„, Л
- + ^
д2 w Л
ду2
+ 2
дА
Ґ я3
дх
д w д w
3,,, Л
■ + -
дх дхду
+
ду2
- + V
дх2
+ 2(1 -V
д2А2 д3w
дхду дхду
Е,(| Г2 ) А0 [ [у к + (ку + ^х )єу ]-
дм е(1 -Г* дх 1 - V
1-V
Л
двх
дх
■ + р-
дєу 1 -vдєy Л
дх
■ + ■
ху
2 ду
+
д-А (єх+Є)+
дх
2 ду
єху -
дтЕ(1 -Г*)\ ( дє
ду 1 -V2
у+^%+Ь^Л+Ь£ ^ є,. + ^ ( + vєx
ду ду 2 дх ) 2 дх ху ду у
д^ Е (1 -Г*-,, к +Vє)-гw е(1^
Я. 2 1 2 0 V х ^ г1ьу) я. 2 1 2
дх 1 -V ду 1 -V
єу + VЄx
)-- 2 ^ Ає„ + М
д2
дхду 1 - V Система (7) с учетом (8) запишется в виде
д2и /, , 'к 1 -vд2u 1 + V д2\ д^ д2w
0 дґ2
= Ч ■
к -Г* -А
дх2
(х +^у )— +-!----" +-!------+----“ +
дх
2 ду2 2 дхду дх дх2
+ 1 - V дw д w + 1 + V дw д w
2 дх ду 2 ду дхду
+ -
дА0
дх
ди (. , \ ду 1
-+*ук+^ду+2
(д^ л 2
дх
+
+
V
( дw Л чду )
1 - V дА(
\\
ди ду ди’ дw +------!------- -----+------+------------
2 ду Уду дх дх ду)
д2у ' 'д~ і V я2
рА0 Щ- = 0 ;
Е 0 дґ2
к-г* -а ^-(к+1^х —
ду
2
д^ 1 -vдv 1 + V д и дw
----1--------2 +-----------+-------Т +
ду 2 дх 2 дхду ду ду
1 - V дw Яw 1 + vЯw д w
2 ду дх2 2 дх дхду
+
1 - V дА0 ( ди ду дн1 дн1 ^
—+— +----------+
ду дх дх ду)
+ -
дА0
ду
ду
ду
ди 1
+ V—+— дх 2
( дw Л
уяу )
+
Iу=0; о0)
к - Г * -А
( д 4
- + 2
д 4 w Я4w
- +
4„, Л д2 А (д2
У дх4 дх2 ду2 ду4 )
+ -
дх2
дх2
■ + V
д2 w Л
ду2
дА2 + 2 2
дх
( д3 w "дх3
- +
д3 w Л дхду2
+
+ 2-
дА2
3
3
д w д w
+
22
ду [дх ду ду3 )
+ -
д2 А.
д2 w
ду У ду у
ду
■ + V
д2 w Л
дх2
+
дхду дхду
ку +№х
к - Г* К (х +№у — + (ку + — - ( + к1 + 2Цкхку + 2
^дт Л 1 2
Уду)
д2 ^ дх2"
(1 - Г *-А
ди ду Л . \ 1 (дw Л V
дх-(к*+vkyА+^ [аг) + 2
(' ~л 1 2
Уду )
2
2
2
dw
L r,A I , д и L , \dw 1 -цди 1 + ц d v
(1 - Г — A —--( + ЦкУ)— +---------——7 +----------—-+
дх ч dx у dx 2 ду 2 dxdy
дх дх 2 дх ду 2 ду дхду
+
дА
дх
ди дv (, , \
- + ц- -(Ах —
1f dw ) ц + 2 I дх ) + 2
2 ( я,,Л2
дw чдУ у
+
1 - ц дА0
2 ду
ди + dv + дw dw ду дх дх ду
д w
2 (1 - Г * — — + ц—-(ку + цкх — + -
ду2 v ’ ду дх v у х’ 2
2
f Я,,Л ц( дw
+ —
дw
кду у
2
дх
д v
ду2
ду
1 -цд v 1 + цд и дw д w 1 -цдw д w 1 + ц дw д w
+----—----- +----—------+-------:- +---—-------:- + ■
дх дхду ду ду ду дх дх дхду
+
+
1 - ц дА f ди + Dv + dw Dw)
+ ц Dw
2 I дх
2 дх
2'
+ *
дАп
ду дх дх ду у ду
д2w L „л , f ди Dv Dw Dw )
ди ди 1
-+цх— — ц~х+2
+
(1 -ц)—(1 - Г *— v ’дхдуХ ’ '
■ + ■
■ + ■
ду дх дх ду у
1 - ц2 д2w 1 - ц2
+—-рАо^-г=-£- q
E
E
Таким образом, математические модели задач динамики изотропных пластин и оболочек гладкопеременной толщины (асимметричные случаи) при совместном учете геометрической нелинейности и возможном развитии деформаций ползучести (вязкоупругости) построены. Они описываются интегро-дифференциальными уравнениями в частных производных вида (6), (7) и (9), (10).
Соответствующие начальные и граничные условия предполагаются заданными.
>• —
2
Литература
1. Жгутов В.М., Карпов В.В. Анализ развития деформаций ползучести в материале пологих оболочек при длительном нагружении // XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды: Международная конференция: Материалы международной конференции. Саратов, 27 августа - 1 сентября 2007 года, Сарат. гос. ун-т / Под ред. акад. Н.Ф. Морозова. - Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 2007. - С.121-124.
2. Жгутов В.М. Математические модели и алгоритмы исследования устойчивости пологих ребристых оболочек при учете различных свойств материала // Изв. Орловского гос. техн. ун-та. Сер. «Строительство, транспорт». -2007.- № 4. - С. 20-23.
3. Жгутов В.М. Уравнения в смешанной форме для ребристых пологих оболочек при учете ползучести материала // Строительная механика и расчет сооружений. - 2008. - № 2.- С. 63-67.
4. Жгутов В.М. Исследование прочности и устойчивости ребристых оболочек с помощью вычислительного эксперимента // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: Сборник докладов VII Международной конференции по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте 23-24 апреля 2008 года / Петербургский государственный университет путей сообщения. - СПб., 2008. - 267 с. - С.110-131.
5. Жгутов В.М. Математическая модель и алгоритм исследования прочности и устойчивости ребристых оболочек с учетом различных свойств материала // Инженерные системы - 2008: Всероссийская научно-практическая конференция: Труды конференции. Москва, 7-11 апреля 2008 года, РУДН. - М.: Изд-во РУДН, 2008. - С.341-346.
6. Жгутов В.М. Анализ различных подходов к формированию расчетных уравнений в компьютерном
моделировании упруговязких ребристых оболочек // Особенности проектирования и расчета пространственных конструкций на прочность, устойчивость и прогрессирующее разрушение: Научная сессия
МОО «Пространственные конструкции» и научного совета РААСН «Пространственные конструкции зданий и сооружений» : Сборник статей. Москва, 14 апреля 2009 года, НИИЖБ. - М. : МОО «Пространственные конструкции», 2009.- С. 34-45.
7. Жгутов В.М. Математическая модель деформирования ортотропных и изотропных ребристых оболочек при
учете ползучести материала // Инженерно-строительный журнал. - 2009. - №7. - С. 46 - 54. - Инженерностроительный журнал. - 2009. - №7. - С. 46-54. - Доступ в сети Интернет:
http://www.engstroy.spb.ru/index_2009_07/zhgoutov1.html.
8. Жгутов В.М. Анализ различных подходов к исследованию ползучести в материале пологих ребристых оболочек // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2010. - №1. - С. 4-12.
9. Жгутов В.М. Нелинейные уравнения движения ребристых оболочек с учетом различных свойств материала. I //
Инженерно-строительный журнал. - 2010. - № 1. - С. 47-54. - Доступ в сети Интернет:
http://www. engstroy.spb.ru/index_2010_01/zhgo utov.html.
10. Жгутов В. М. Нелинейные уравнения движения ребристых оболочек с учетом различных свойств материала. II //
Инженерно-строительный журнал. - 2010. - № 2. - С. 45-48. - Доступ в сети Интернет:
http://www. engstroy.spb.ru/index_2010_01/zhgo utov2.html.
11. Жгутов В.М. Математические модели, алгоритм исследования и анализ устойчивости ребристых оболочек с учетом ползучести материала при конечных прогибах // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Серия «Физико-математические науки». - 2010.- № 2. - С. 53-59.
12. Жгутов В.М. Устойчивость железобетонных ребристых оболочек при длительных нагрузках // Популярное бетоноведение. - 2010. - № 2. - С 38-46.
13. Жгутов В. М. Устойчивость ребристых оболочек при длительных нагрузках // Инженерно-строительный журнал. -2010.- № 5. - С. 46 - 54. - Доступ в сети Интернет: http://www.engstroy.spb.ru/index_2010_05/zhgoutov.html.
14. Верлань А.Ф., Абдикаримов Р.А., Эшматов Х. Численное моделирование нелинейных задач динамики вязкоупругих систем с переменной жесткостью // Электронное моделирование.- 2010. - Т. 32. - С.3-14.
15. Абдикаримов Р.А. Численное исследование нелинейного колебания вязкоупругой пластины с переменной жесткостью // Проблемы архитектуры и строительства. - 2010. - №1. - С.37-42.
16. Абдикаримов Р.А. Математическая модель нелинейного колебания вязкоупругой пластины с переменной жесткостью при различных граничных условиях // Проблемы архитектуры и строительства. - 2010. - №1. - С.44-47.
17. Абдикаримов Р. А., Жгутов В.М. Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих ортотропных пластин и оболочек переменной толщины // Инженерно-строительный журнал. - 2010. - № 6. - С. 38-47. Доступ из сети Интернет: http://www.engstroy.spb.ru/index_2010_06/abdikarimov.html.
18. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. - М. : Наука, 1970. - 280 с.
19. Колтунов М.А. К вопросу выбора ядер при решении задач с учетом ползучести и релаксации // Механика полимеров. - 1966. - №4. - С. 483-488.
20. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. - М. : Изд-во МГУ, 1967. - 352 с.
21. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. - М. : Высшая школа, 1968. - 512 с.
22. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. - М. : Машиностроение, 1968. - 400 с.
23. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М. : Наука. - 1972. - 432 с.
24. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. - М. : Высшая школа, 1976. - 276 с.
25. Абросимов А.А., Филиппов В.Н. Исследование НДС пластин переменной толщины в геометрически нелинейной постановке с разными системами аппроксимирующих функций // Прикладная математика и механика: Сборник научных трудов Ульяновского гос.-техн. университета. - Ульяновск : УлГТУ, 2007. - С. 3-8.
26. Добрюха Н.А., Абросимов А.А., Айрапетьянц Г.А. Исследования напряженно-деформируемого состояния гибких пологих оболочек с разными системами аппроксимирующих функций // Молодые ученые - науке и производству: Материалы конференции молодых ученых. Саратов, Саратовский гос.-техн. университет, июнь 2007 года. -Саратов, 2007. - С. 51-53.
27. Abdikarimov R.A. Deterministic Simulations of Nonlinear Vibration of Viscoelastic Elements in Thin-Walled Constructions with Variable Rigidity // 2010 SSA Annual Meeting, USA, March-April 2010. Seismological Research Letters. - Vol.81. -№2. -343 p.
28. Abdikarimov R.A., Khodzhaev D.A. Deterministic Calculation of Dynamic Stability of Viscoelastic Elements in Thin-Walled Constructions with Variable Rigidity // 2010 SSA Annual Meeting, USA, March/April 2010, Seismological Research Letters. - Vol.81. - №2. -343 p.
29. Bykovtsev A.S., Abdikarimov R.A., Bobanazarov Sh.P., Khodzhaev D.A. Nonlinear Vibration and Dynamic Stability of High-Rise Special Structure // 2010 SCEC Annual Meeting, USA, September 11-15, 2010, Proceedings and Abstracts. -Volume XX. - Pp.199-200.
*Владимир Михайлович Жгутов, Санкт-Петербург Тел. раб.: +7(812)378-20-83; эл. почта: abc_kitezh@mail.ru
