Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих ортотропных пластин и оболочек переменной толщины Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих ортотропных пластин и оболочек переменной толщины

К.т.н., профессор Р.А. Абдикаримов*,

Ташкентский финансовый институт;

К.т.н. В.М. Жгутов, ООО «Архитектурно-строительная компания «Китеж»

В последние годы в инженерной практике все большее применение находят новые композиционные материалы. Проектирование и последующее создание легких, но вместе с тем прочных и надежных конструкций требует дальнейшего совершенствования механических моделей деформируемых тел, а также разработки новых интегральных методов их расчета с учетом проявления реальных свойств конструкционных материалов, из которых одним из основных является свойство ползучести (вязкоупругости).

Тонкостенные элементы современных конструкции в виде пластин и оболочек предназначены для работы под воздействием силовых нагрузок (которые могут быть как статическими, так и динамическими). Для придания в нужных местах большей жесткости профиль тонких пластин или оболочек может иметь плавные утолщения. Следовательно, всю конструкцию следует рассматривать как конструкцию переменной (точнее, гладко-переменной) толщины. Зачастую в тонкостенных элементах возникают достаточно большие прогибы (даже при не очень значительных воздействиях). При длительных нагрузках в материале пластин и оболочек может проявиться свойство ползучести (вязкоупругости), что приведет к существенному снижению их несущей способности.

Расчеты на прочность, колебания и устойчивость описанных конструкций играют важную роль при проектировании современных зданий и сооружений.

Таким образом, для получения более адекватной картины напряженно-деформированного состояния (НДС) указанных элементов необходимо проводить исследования в геометрически нелинейной постановке и с учетом вязкоупругих свойств материала одновременно (что связано с большими математическими и вычислительными трудностями).

Исследованию устойчивости оболочек постоянной и ступенчато-переменной толщины (ребристых оболочек) в геометрически нелинейной постановке при учете ползучести материала посвящены работы В.М. Жгутова [1-13]. В работах Р.А. Абдикаримова [14-16, 23-25] рассмотрены аналогичные задачи о колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругих изотропных пластин и оболочек переменной толщины.

Однако при оптимальном проектировании неизбежно возникает вопрос учета также и ортотропных свойств материала конструкции.

Тем не менее, поведение ортотропных пластин и оболочек гладко-переменной толщины при совместном учете отмеченных важных факторов в настоящее время исследовано недостаточно и требует дальнейшего изучения.

В свете изложенного разработка новых математических моделей и эффективных вычислительных алгоритмов решения нелинейных динамических задач о колебаниях и устойчивости ортотропных вязкоупругих систем с переменной жесткостью представляется актуальной и важной.

Рассмотрим сначала пологую оболочку на прямоугольном плане. Срединную поверхность оболочки толщины h принимаем за отсчетную поверхность z = 0. Координатные линии x и y криволинейной ортогональной системы координат направляем по линиям кривизны, а ось z -по внутренней нормали срединной поверхности так, чтобы система координат x,y,z была право-ориентированной. (Полагаем, что определенная таким образом сеть координатных линий на срединной поверхности не имеет особенностей).

Толщину оболочки задаем с помощью функции h = h(x,y) e Ck . [Принадлежность функции классу гладкости Ck означает, что функция имеет непрерывные частные производные до порядка k включительно (запись h(x, y) e C0 требует только непрерывности по совокупности аргументов)].

Считаем, что оболочка находится под действием механической нагрузки при определенном закреплении ее контура.

Основываясь на кинематической гипотезе Кирхгофа-Лява, будем совместно учитывать геометрическую нелинейность и возможность развития деформации ползучести (вязкоупругости) в материале.

Для описания процесса ползучести используем линейный вариант наследственной ползучести (широко применяемый в механике полимеров и для нестареющего бетона), представляющий собой частный случай теории упругоползучего тела.

Известно, что математическая модель деформирования оболочки (или пластины) включает в себя геометрические соотношения (выражения деформаций через перемещения), физические соотношения (связь напряжений и деформаций), а также функционал полной энергии деформации (или действия), условие стационарности которого эквивалентно уравнениям равновесия или движения.

Геометрические соотношения в срединной поверхности г = 0 получаются с помощью операции ковариантного дифференцирования векторного поля перемещений и с учетом геометрической нелинейности имеют вид:

du , 1 f dw ^2 dv , 1 f dw ^

S * = "--kxw +-| — I > ^ = "--kyw +-

du dv dw dw , Y *y = — + — + ——, (1)

dx 2^dxJ dy 2J dy dx dx dy

где sx, sy и yxy - деформации удлинения вдоль осей x, y и сдвига в касательной плоскости (dx, dy); u,v и w - компоненты вектора перемещений (перемещения) точек вдоль осей x,y и z соответственно; кх = 1/R1 и ку = 1/R2 - главные кривизны (R1 и R2- главные радиусы кривизны) оболочки вдоль осей x и

y соответственно.

Деформации в слое z ^ 0, эквидистантном срединной поверхности, вычисляем по формулам [2, 4, 5]:

S x = S x + zX1 , s y = s y + zx 2 , y xy = y xy + 2 zx12 ,

d2u d2v 0 _ d2w где x =--j', X2 =--7; 2x12 = -2--суть функции изменении кривизны и кручения.

dx dy dxdy

Физические соотношения для ортотропных материалов в соответствии с линейным вариантом наследственной ползучести примем в виде [17-19]:

аx = Bu (1 - г;! )s x + д2 (1 - г;2 )sy, Vy = B22 (1 - г; S + b21 (1 - г; S, а; = b(1 - г • Y. (2)

Здесь:

1) r*j, Г12, Г2*, Г2*2, Г" - интегральные операторы интегральных уравнений вида:

t

"12^V/_ J А 12\

0 0

r>(t) = |Г11(t - т)p(т)dт, Г1>() = |Г12 (t - т)p(т)dт,

00 tt

Г2>() = |Г21 (( - т}p(т)dт, Г2*2^(() = |Г22 (( - т}p(т)dт, (3)

г>(()= |г (-ф(г)?г

где Г11((-т), Г12((-т), Г21((-т), Г22((- т), Г(?-т) - ядра релаксации (соответствующие одноосному напряженному состоянию); I - время, т- переменная интегрирования (имеющая смысл времени);

2) Вп, В12 , В22, В - упругие постоянные, выраженные через технические постоянные [19]:

В = Е1 В = ц 2 Е1 = Ц1Е2 = В В = Е2 2в = г

В11 ---, В12 = "-= "- = В2^ В22 --- , 2в = Г ,

1 ц1ц 2 1 ц1ц 2 1 ц1ц 2 1 ц1ц 2

где Е1,Е2 и Ц, Ц2 - модули упругости и коэффициенты Пуассона (при этом Е1Ц2 - Е2ц ); Г - модуль

сдвига.

Интегрируя напряжения (2) по переменной 2 в пределах от - к/2 до к/2, получаем выражения для внутренних силовых факторов, приведенных к срединной поверхности оболочки и приходящихся на единицу длины сечения:

усилия растяжения (сжатия) и сдвига

Nx = B„h(l -Г* К + B12h(l-Г* J, Ny = B21h(l-Г* + B22h(l-Г*, (3)

Ny = 2Bh(l-Г*Sy ;

изгибающие и крутящий моменты [17] к3

Mx = 12 [ (l - Г* ) + B12 (l - Г; ) ] My = 12 [[21 (1 - Г; ) + B22 (1 - Г; )2 ] (4)

Mxy =

Bh 6

(l-Г* )

Известно, что в случае геометрически нелинейных вязкоупругих задач для оболочек уравнения равновесия или движения, записанные в усилиях и моментах, имеют тот же вид, что и в случае геометрически линейных упругих задач [9, 10, 20, 21].

Поставим выражения (3) и (4) в известные уравнения движения оболочки [9, 10, 22]:

дЫ^ , д2п Л дЫу дЫ^ , д2у

■ + ■

dx dy

+ Px-ph—т = 0 ;

хУ

dt2

+ ■

+ Py-ph—2 = 0;

dx дУ "У ""dt2

d2 M d2 M d2M

f

dx2

- + -

dy2

+ 2-

dxdy

" + kxNx + kyNy + —

x

dw

dw

Л

+ ■

А

dy

f

dw

dw

Л

N»&+ N-iy

Nx — + Nxy —

x xy

dx dy

d2w

+ (5)

+ q - ph—— = 0, 4 dt2

где рх, ру и q - компоненты внешней механической нагрузки (являющиеся не только функциями внутренних координат х и у , но и времени t); р - плотность материала оболочки (считающаяся неизменной в процессе деформирования).

В результате получим следующую систему уравнений

h

B11 (1 -r"l)f + Bl22(l-Г12 )+2B(1 -Г-)S

+

h

^ (1-г*)-p d2u

dy rxy dsy _ i _,M\ds dsx

+f [B11 (1 - HlI +Bl22(1 -Г;)]+ 2b|(l-Г) -phg = 0;

B22 (1 - Г* ) +B,l (1 - Г21 I + 2B(l - Г*} d

dy dy dx

+ :

D

2Bdh (l-Г* )xy + dh M-r*l)sx +B22 (1-Г-2) ]-ph dv = 0;

h

+

d2v

x

dy

B11 (-Г* ft- + (8B (-Г*)+ B12(-Г*)+B21 (-Г*))

+

B22 (l Г22 )

x

d4 w

t2

d4 w

22

x 2 y

dy4

+

d2D ( ( _*\d2w /

B11 (l-Г11 IT + B12 (l Г12 }

+ 2

dD

+ 2

dx dD

dy

dx2 vd3w

d2 w Л

x 2

dy2

+

Bll(l-Hl )w+ ( (1-Г*)+ 4b(I-Г*))

d3w

x

dxdy

B, (1-Г* ))- + (1 (1 -Г*)+ 4B(l -Г* )

(6)

+ -

d2 D

fD il г-* 2w Î *\д2w] д2D Î л д2w

.2 [fi22 (l-г22 + B2l (l-I^ j + 8 — B(i-Г ~

2 2 2 ду V дУ дх j дхду дхду

hkx (Bu (l - Г* К + Bi2 (l - Г*2 )Sy }- hky {B21 (l - Г* К + B22 (l - Г2*2 )Sy }

+

Jh

дх I

l2\ 42 г у J ",vy 2l V 2lT x ' 22 1

Bu (l+ Bl2 (l -Г,*2 ) + 2 B(l -Г* )

Ох ox ду

дh j дх

+ —[Bii (l -Г- ) + Bl2 (l-Г* ) ]+ 2 B ^ (l-Г* )

ху

dw ду

h

- h Ow [[ (l -Г* ) + Bl2 (l -Г* ) ]-

дх

B22 (l - г* )К + B2l (l - Г;1 )+2B(l -Г* pL

22 22 ду 2l 2l ду дх

+

+2 B (l - Г * ) [B2l (l - r*l ) +B22 (l - Г22 ) f

Oh

дх

ду

h ^ [[2l (l -Г') + B222 (l-Г22 ) ]- 4h ||-B(l -Г ^ =

л h3 где D = -.

Уравнению (6) целесообразно придать следующий вид:

hbll (l-Ць

д u dw д w + -

+

I v дх2 дх дх2

[Bl2(l-Г* )+ 2B(l-Г

[kxBll (l-Г* )+ kyBl2 (l-Г* ) +

д2v dw д2w ] /д2u dw д2w]

+

дхду ду дхду

+ 2 B(l -Г*

+

ду 2 дх ду 2

+

Oh

дх

+—К(l-Ц, )—+

du l i dw

дх 21 дх

+Bl2 (l -Г*

dv l

i dw ]2

d 2j

Mn (l-r*l)+kyBl2 (l-Г*2 )}+ 2 »4-г* ï^°w)-ph £u = 0;

[х llV у l2V l2/J J д^ \ду дх ах ду j dt2

hW (l -<

+

I ^ду2 ду ду2

[B2l (l -r*l )+ 2B(l -Г

d2v dw д2w ] Г, D /; ^ * \ , D L ^^ldw +—— I - [kxB21 (l - r2l )+ (l - Г22 П-ау +

d2u dw д2w ] /д2v dw d2w]

+ -

дхду дх дхду

+ 2B(l -Г*

- + -

+ 2 dhB(l Г* ) du + dv + dw dw

du dv dw dw

Л

дх

dh

+—J

ду дх дх ду j ду

B22 (l -Г2*2 ) "Z" + T-

^дх ду дх dv l i dw ]

■ +

ду 2 ^ j

+

+B2l (l-г-;

du + l Г dw дх 21 дх

M22 (l - Г22 )+kxB2l (l - г21 ) [ - ph av = 0;

2

2

hl 12

Bll(l-Г* ft + (8B (l-Г*)+ B12(l-Г* )+B21 (l-Г-1))

dx

d4 w dx2dy2

+ B22 (l -Г2*2 )

d4w

dy4

+

1,2 dh + - h— 2 dx

22 „, ( dh j , 2 d h 2hl — I + h2 —7

^ dx ) dx vd3w

\d2w /, _*\d2w j

B11 (1 -r*l ft+B12 (1 -r;)

x

dy2

+

Bll(l-Г*1 ft + ((12 (l-Г*2)+ 4B(l -Г*))

d3w

x

x y2

l h dh x

2 dy

B22 (l-Г: +( (l-r*l)+4b(I -Г* )

d3w

1 ( dh 1

+ — 2h

4 ldy)

+ h2

d2w „ / \d2wj

B22 (l-Г2*2 + B21 (l-Г2*0 & 2

+

dh dh ,2 d2 h

2h—— + h1

dx dy dxdy

2B(l -Г*)

d2h dy2

2w

dxdy

h-|((xBn (l - Г*)+ kyB 21 (l - Г*))) + ((l - Г*)+ kyB22 (l - Г22))) -

(k2 B11 (1 - rll)+kxkyBl2 (1 - r*)+kxkyB 21 (1 - r*)+k2y B22 (l - Г* ))w

+

+ 2 (1 (1 - rll)+ kyB 21 (1 - Г21 )) + 2 (( (1 - ГГ2)+kyB22 (l - Г22 ))

л2 )

dx

B11 (1 -гг

2

du + dw d w dx2 dx dx2

(1 (l-Г* )+ kyBl2 (l-Г* ))) +

+

( (l -Г* )+ 2B(l -Г*

d2v dw d2w j /d2u dw d2w j

dh

+—<

dx

dxdy dy dxdy

V 2

+ 2B(l -Г*

- + -

)

dy dx dy у

+

D L ^ du 1 ( dw '

B11(l "rll)ix+г

dv 1 ( dw j

+в.(1 -г;)+Г d

dy 2 ^dy )

( (l -Г*)+ kyB12 (l-Г* V^^l-Г* ) + dv + dw dw 1 V x 1lV 11' y 1Л l2" ' dy \dy dx dx dy)

d2 w

Idx2

h

D l r*.\du 1 (dw

B(l "r")äU+2 law,

dv 1 ( dw j

D / ^ dv 1 + B12 (1 Г12 ) + -

dy 2 ^ )

-(kxBii(l-Г* )+ kyB 12(l-ГГ

dw

dy

h

B22 (1-Г

2

22 2

d v dw d w

. +--

dy2 dy dy

2

2 Л

((xB 1 (1 - Г2*1)+ kyB22 (1 - г; ))) + (1 (1 - Hi)+ 2B(l - Г*

dy I dxdy dx dxdy

du dw d w +

+b(i -Г*

d2v + dw d2w^

dx2 dy dx2 y

„ dh i /du dv dw dw j + 2—B(1 -Г ) — + — +--

dx

dh

+—<

dy

B22 (l-Г2*2 ) "d_ + Г

dv 1 ( dw j

dy 2 ^ )

- + -

dy dx dx dy у

2

+

D L 4 du 1 ( dw +B21(l-Г21 ^+2 )

- (7)

1

4

X

X

2

2

-г;,)+kM-nM-fw *|B,(l-Г»)+2 [f

du 1 ( dw

(((-г;,)+kM-r;)) h^B2i (-г,1 )_|x+; g ,

„ д2w , / ^»/du dv dw dw1 , д2w -4-hB (1-Г )— + — +--+ ph—- = q.

dy dx dx dy) dt

+

+

dxdy

Уравнение (7) описывает движение ортотропной оболочки с переменной жесткостью. Оно учитывает геометрическую нелинейность и возможность развития процесса ползучести (вязкоупругости) в материале оболочки.

Ниже показано, что из уравнения (7), как частные случаи, можно получить уравнения движения ортотропных вязкоупругих пластин, пологих и цилиндрических оболочек как постоянной (h(x,y) = const) , так и переменной толщины.

10. Для ортотропной вязкоупругой пластины следует положить kx = ky = 0. Тогда при h = h(x,y) получаем:

hjBii(l-Г*)

д u dw д w —Г+--Г

+

[Bi;(l-Г* )+ 2B(l-Г»i

( d2v dw d2w 1

dxdy dy dxdy

+

+

2 B(l -Г»

d2u dw d2w"л dh | „ / {du 1 (dw42

dy dx dy

|B.1(1 -П)+1 If,

+

B,2 (1-Г*)+1 1 n\dy 2 [dy)

dh „ _»4 du dv dw dw 1 ,d2u К— 2B(1 -Г )— + — +---ph—- = 0 ;

dy

dy dx dx dy)

h\B22 (1-Г

d2 v dw d2 w

+

+

2b( -Г

dy2 dy dy2 ) d2v dw d2w 1

[B21 (1 -Г2»1)+ 2b( -Г»))

dt2 21

d u dw d w - +

dxdy dx dxdy

+

)

+ -

dh dy

B2 2 ( - Г2»

dx dy dx dv 1 ( dw 1

dh„/ / du dv dw dw 1 +—2B(1 -Г ) — + — +--

)J

dx

hi 12

dy 2 [dy ) ,d4 w

+B21 (1-Г2»

dy dx dx dy

2

+

)

du + 1 ( dw dx 2 [ dx

cfv

dt2

-ph— = 0;

B„(1-Г1 + (8B (1-Г»)+B„(1-Г»)+B21 (1 -Г*)

+

B22 (1 -Г22 )

a4 w

dy4

dx 1

+ — 4

д 4 w ax2dy2

1 ,2 dh + —h — 2 dx

2h\ — I + h

dx

B11 (1-Г1 )w + ((12 (1 -Г1»2)+ 4 B(1 -Г*))

д2 h

~dx2

B11 (1-Г1" ))w+B, (1 -г; ))w1

+

d3w

dx'

dxdy

1 dh

h2

B22 (1 - Г2»2 )w + (1 (1 - Г»)+ 4B(1 - Г*)) 2

22 v 22' dy3 v v 21/ v "dx2dy

d3 w

1 \ dh 1

+ — 2h

4 [dy )

+h

dy

2

dy2

2

2

2

2

x

x

( ' 4d2 w „ L d2 w j

в„ (i-Г22 +B21 (1-Г2, ))x2

+

„, dh dh , 2 d2h 2h--+ h2

dx dy dxdy

2 B(l -Г*)

d2 w

dxdy

-dw ^h

dx

в,, (1 -г,Г

+ 2B(l -Г*

2

)

2j

D / ^ dv 1 + B12 (1 Г12 )Т- + -

d u + dw d w dx2 dx dx2

(d2u dw d2w Hy2 +~dx "dy2

dv 1 ( dw j

+

( (l -Г,* )+ 2B(l -Г*

d v dw d w

2„Л

dxdy dy dxdy

+

dh I / * ^ du 1 ( dw & |Bi1 (1 -Г,г )

dh /du dv dw dw j ¡> + — 2B(1 -Г ) — + — +--

dy ^dy dx dx dy

du 1 ( dw

dy 2ldy)

+

d2 w Idx2

h

D L du 1 ( dw

dv 1 ( dw j

D / * ^ dv 1 + B12 (1 Г12 ) + T

dy 2 ^ )

dy

B22 (l Г22 ,

2

d v + dw dw

dy2 dy dy2

+

(1 (1 -г; )+b(i -г*

du dw dw

2„Л

dxdy dx dxdy

+

(1 (1 -Г*)+b(i -Г*

du dw dw

2„Л

dxdy dx dxdy

+b(i -Г*

2 Л"

h

dy

d v + dw d w

dx2 dy dx2 )

dv 1 ( dw j

dh i /du dv dw dw j

^B(1 -Г ) тт^+^г^:

dx

D / ^ dv 1

B22 v-Г2^

dy 2 ^ ) (ky в 22 (i-Г22)+kyB2, (1-Г

+B21 (1-Г2 ))du+Г

d2 w

dy dx dx dy у du 1

+

^H К (8)

2 hb21 (1 -r21)+Г (dw'

dy2 I V 2M dx 2Idx

+

+ B22 (l -Г2*2

dv 1 ( dw j — +--

dy 2 ^ )

- 4

d2 w dxdy

hB(l -Г*

Л

du dv dw dw — + — +--

dy dx dx dy у

+ ph

d2 w

dt2

= q ■

20. Для ортотропной вязкоупругой круговой цилиндрической оболочки (не обязательно пологой!) следует положить кх = 0, ку = 1 /К , где К - радиус цилиндра. В этом случае при к = к(х, у) будем иметь

+

h|B,i (1 -Г*; [в,2(l-Г* )+ 2в(г-Г'J

2

du dw d w

-Г +--2

dx dx dx

- 1 В, (l-Г* )

R 12 v 12' dx

2 Л

d v dw d w - + -

dxdy dy dxdy

+ 2B(l -Г*

+

dh я (i -Г* )+Г f^

Я,- 11 V ГМ Я,- О Я,-

du 1 (dw

dx

dx 2{ dx dh

dv 1 ( dw j

D /. r. dv 1

+B12 (1 Г12 + T

dy 2 ^ )

du dw d w

—2" +--2

dy dx dy

^ B12 (l -Г1*2,

+

R

/du dv dw dw^ +—2B(1 -Г ) — + — +--

dy ^dy dx dx dy у

и d 2u 0 -Ф—т =0;

dt2

X

2

2

2

> —

2

2

2

2

+

hjB22 (l Г22 ] kl (l-Г* )+ 2B(l-Г* )]

2

1 B22 (l Г22 )

dw

d v + dw dw О2 ду ду2 j

d2u dw d2w ] ^*/d2v dw d2w]

- + -

дхду дх dxdy

R Zi/dy

+ 2B(l -Г

+ -

дх ду dx

• +

+ -

ah

дх

/du dv dw dw] dh 2B(l -Г ) — +— +

dy dx dx dy j dy

+ -

B22 (l-Г22 )+1 ]

22v 22lay 2Vayj

+

D l _* {du l i dw

+ B2l (l-r2l + 2 Ux j

1B22 (l-Г22 Ц-ph P = 0 ;

R

dt2

l2

Bll(l-rll+ (8B (l-Г*)+Bl2(l-Г* )+B2l(l-Г*))

+ B22 (l Г22 )

d4 w

ay4

dx l

+ — 4

d 4 w dx2dy2

1 ,2 ah + —h —

2 dx

Ydh]2 ,2 d2h

2h\ — I + h2—r

ydx j dx \d3w

d2w „ / « \d2w^

bii(-H*l ^+Bl2(-Г;) ay 2

+

Bll (( - г*1 ))w+(( 2 (-г; )+4 в(-г* ))

d3w

dx'

dxdy

1 ,2 dh —h — x

2 ay

B22 (l-Г22 +( (l-Г* )+ 4B(l-Г* ) 2ay

a3 w

2h

(m ]2 vay j

+h

2 a2 h

ay2

a2w r a2w ]

B22 (l-Г2*2 )-dyw + B21 (l-ГО' ax 2

+

dh dh , 2 d2h

2h—— + h1

dx dy dxdy dv 1

2 B(l -Г*)

d2 w

dxdy

hi 1B21 (1 - г; )+1 в, (l - r; )) - -L в, (1 - г; )w

R

dx R

dy R

+—B21 (1 -г* ) ]2 +-L B22 (1-Г22 ) ]

2R 21V 21 л dx j 2R 2П 221 dy

dy

dw dx

h

B11 (1-Г1

2

d u dw d w - + -

dx dx dx

1B12 (1 - Г* )

R

dw dx

+

( (l -Г* )+ 2B(l -Г*

d2v dw d2w ] /d2u dw d2w]

dxdy dy dxdy

+ 2B(l -Г *

- + -

dy dx dy

+

+-

dh

dx

D L _* A du 1 i dw

Bll(l -Г")ах+2 law,

+B12 (1-Г* )+1

i dw ]

dy 2 vay j

1 Bl2 (l-Г* U+- 2в( - Г * )+°r]

R v ' J dy lay Ox Ox dy j

d2 w ~дхТ

h

Bu (-Гц,

du + 1 i dw dx 21 dx

D L dv 1 i dw ]

+ B12 (l Г12 ) + 2

dy 2 vay j

2

2

x

x

x

2

2

2

2

1B12 (l -Г* )

R

dw dy

h

B22 (l -Г2*

2

d v + dw d w

dy2 dy dy2

-1B222 (1-Г* )+ (( (1 -r*)+ B(l -Г*))

2

R

+ B(l -Г*

dy

d2v + dw d2w ^ dx2 dy dx2 у

du dw d w ■ +

dxdy dx dxdy

dh / /du dv dw dw^

+^7B(1 -г ) тт^+^г^:

dx

•+—+

dy dx dx dy у

+

h

dy

B22(l-Г2) ~ + ~

dv l ( dw ^

dy 2 ^ у

D / \ du l (dw

- (9)

l B2, (i-n.UUdw hk «

R

dy2

du + l (dw dx 21 dx

+

+ B22 (-r2*2))v + t

( dw ^

dy 2 ^ У

,B22 (-Г2*2 V

R

„ d2w , / /du dv dw dw^ , d2w

- 4-hBÜ-Г )— + — +--+ ph—— = q .

dy dx dx dy у dt

dxdy

Таким образом, математические модели динамики ортотропных пластин и оболочек гладко-переменной жесткости при совместном учете геометрической нелинейности и возможном развитии деформаций ползучести (вязкоупругости) построены. Они описываются интегро-дифференциальными уравнениями в частных производных вида (7) - (9). Соответствующие начальные и граничные условия предполагаются заданными.

2

2

2

Литература

1. Жгутов В. М., Карпов В. В. Анализ развития деформаций ползучести в материале пологих оболочек при длительном нагружении // XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды: Международная конференция: Материалы международной конференции. Саратов, 27 августа -1 сентября 2007 года, Сарат. гос. ун-т / Под ред. акад. Н.Ф. Морозова. - Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 2007. - 316 с. - С.121-124.

2. Жгутов В. М. Математические модели и алгоритмы исследования устойчивости пологих ребристых оболочек при учете различных свойств материала // Изв. Орловского гос. техн. ун-та. Сер. «Строительство, транспорт». - 2007.- № 4.- С.20-23.

3. Жгутов В. М. Уравнения в смешанной форме для ребристых пологих оболочек при учете ползучести материала // Строительная механика и расчет сооружений. - 2008. - № 2. - С. 63-67.

4. Жгутов В. М. Исследование прочности и устойчивости ребристых оболочек с помощью вычислительного эксперимента // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: Сборник докладов VII Международной конференции по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте 2324 апреля 2008 года. - СПб.: Петербургский государственный университет путей сообщения, 2008. -267 с. - С.110-131.

5. Жгутов В. М. Математическая модель и алгоритм исследования прочности и устойчивости ребристых оболочек с учетом различных свойств материала // «Инженерные системы - 2008»: Всероссийская научно-практическая конференция: Труды конференции. Москва, 7-11 апреля 2008 года, РУДН. - М.: Изд-во РУДН, 2008. - 380 с. - С.341-346.

6. Жгутов В. М. Анализ различных подходов к формированию расчетных уравнений в компьютерном моделировании упруговязких ребристых оболочек // «Особенности проектирования и расчета пространственных конструкций на прочность, устойчивость и прогрессирующее разрушение»: Научная сессия МОО «Пространственные конструкции» и научного совета рАасН «Пространственные конструкции зданий и сооружений»: Сборник статей. Москва, 14 апреля 2009 года, НИИЖБ. - М.: МОО «Пространственные конструкции», 2009.- С. 34-45.

7. Жгутов В. М. Математическая модель деформирования ортотропных и изотропных ребристых оболочек при учете ползучести материала // Инженерно-строительный журнал. - 2009. - №7. - С. 46-54.

8. Жгутов В.М. Анализ различных подходов к исследованию ползучести в материале пологих ребристых оболочек // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2010. - №1. - С. 4 -l2.

9. Жгутов В. М. Нелинейные уравнения движения ребристых оболочек с учетом различных свойств материала. I // Инженерно-строительный журнал. - 2010. - № 1. - С. 47-54.

10. Жгутов В. М. Нелинейные уравнения движения ребристых оболочек с учетом различных свойств материала. II // Инженерно-строительный журнал.- 2010. - № 2. - С. 45-48.

11. Жгутов В. М. Математические модели, алгоритм исследования и анализ устойчивости ребристых оболочек с учетом ползучести материала при конечных прогибах // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Серия «Физико-математические науки». - 2010.- № 2. - С. 53-59.

12. Жгутов В. М. Устойчивость железобетонных ребристых оболочек при длительных нагрузках // Популярное бетоноведение. - 2010. - № 2. - С 38-46.

13. Жгутов В. М. Устойчивость ребристых оболочек при длительных нагрузках // Инженерно-строительный журнал. - 2010.- № 5. - С. 46 - 54.

14. Верлань А. Ф., Абдикаримов Р. А., Эшматов Х. Численное моделирование нелинейных задач динамики вязкоупругих систем с переменной жесткостью // Электронное моделирование. Т. 32. - Киев, 2010 -С. 3-14.

15. Абдикаримов Р. А. Численное исследование нелинейного колебания вязкоупругой пластины с переменной жесткостью // Проблемы архитектуры и строительства. - Самарканд, 2010. - №1. - С. 37-42.

16. Абдикаримов Р. А. Математическая модель нелинейного колебания вязкоупругой пластины с переменной жесткостью при различных граничных условиях // Проблемы архитектуры и строительства. - Самарканд, 2010. - № 1. - С.44-47.

17. Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязкоупругости. - М. : Наука, 1970. -280 с.

18. Колтунов М. А. К вопросу выбора ядер при решении задач с учетом ползучести и релаксации // Механика полимеров. - 1966. - №4. - С. 483-488.

19. Огибалов П. М., Колтунов М. А. Оболочки и пластины. - М. : Изд-во МГУ, 1967. - 352 с.

20. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. - М. : Высшая школа, 1968. - 512 с.

21. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. - М. : Машиностроение, 1968. - 400 с.

22. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М. : Наука. - 1972. - 432 с.

23. Abdikarimov R. A. Deterministic Simulations of Nonlinear Vibration of Viscoelastic Elements in Thin-Walled Constructions with Variable Rigidity // 2010 SSA Annual Meeting, USA, March/April 2010, Seismological Research Letters.Vol.81, N.2, pp.343.

24. Abdikarimov R. A., Khodzhaev D. A. Deterministic Calculation of Dynamic Stability of Viscoelastic Elements in Thin-Walled Constructions with Variable Rigidity // 2010 SSA Annual Meeting, USA, March/April 2010, Seismological Research Letters. Vol. 81, N.2, pp.343.

25. Bykovtsev A. S., Abdikarimov R. A., Bobanazarov Sh.P., Khodzhaev D.A. Nonlinear Vibration and Dynamic Stability of High-Rise Special Structure // 2010 SCEC Annual Meeting, USA, September 11-15, 2010, Proceedings and Abstracts. Volume XX, pp.199-200.

* Рустамхан Алимханович Абдикаримов, г. Ташкет, Узбекистан Тел. раб.: (+99371)234-66-41; эл. почта: rabdikarimov@mail.ru