CC BY
25
05.02.07
ТЕХНОЛОГИЯ И ОБОРУДОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ И ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
КОЛЕБАНИЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ
Рахимов Рустам Хакимович, д-р техн. наук, зав. лабораторией № 1 Института материаловедения научно-производственного объединения «Физика-Солнце» Академии наук Республики Узбекистан. E-mail: rustam-shsul@ yandex.com
Умаралиев Нурмамат, канд. техн. наук, доцент кафедры «Телекоммуникационный инжиниринг» Ферганского филиала Ташкентского университета информационных технологий им. Мухаммад Ал-Хоразмий. E-mail: nurmuhammad@bk.ru
Джалилов Ммаматиса Латибджанович, канд. техн. наук, зав.кафедрой «Компьютерные системы» Ферганского филиала Ташкентского университета информационных технологий им. Мухаммад Ал-Хоразмий. E-mail:mamatiso2015@yandex.ru
Аннотация. В данной статье в общей трехмерной постановке формулируется задача о колебании двухслойных вязкоупру-гих пластин постоянной толщины. Выводятся общие уравнения колебания, даются выражения для перемещений и напряжений во внутренних точках пластинки через функции, описывающие перемещения и деформации точек плоскости контакта.
Ключевые слова: колебания, двухслойная пластинка, краевая задача, напряжения, деформация, уравнения колебания.
1. Точная трехмерная краевая задача для кусочно-однородных пластин
Для кусочно-однородных пластин не существует ни чисто поперечного, ни чисто продольного колебания, как показано, является уравнением шестого порядка по производным, переходящее для однородной пластинки постоянной толщины в произведение двух интегро-дифференциальных операторов, описывающих продольное и поперечное колебания.
Рассмотрим двухслойную вязкоупругую пластинку постоянной толщины, как кусочно-однородной слой той же геометрии, при этом толщина верхней составляющий равна Ь0, а нижней - Ьг Пластинка занимает область < (х, у) < -Ьг < I < Ь0, при этом граница раздела однородности совпадает с плоскостью I = 0.
Движение материала составляющих слоев пластинки в декартовых координатах (х, у, I) описываются уравнениями движения в напряжениях
da« , da« = Pk d2u(k)
dx dy + dz dt2 '
da(y d< da( = Pk d2 u(k)
dx dy dz dt2 '
dak day dak = Pk d2w(k)
dx dy dz dt2
(1.1)
где а(к) - компоненты тензора напряжения; и(к), V(к), w(к компоненты вектора перемещения.
При этом как напряжения, перемещения, так и плотность в каждом из слоев обозначим соответствующим индексом «0» или «1», т.е. к принимает значения 0 и 1.
Зависимости напряжения а(к) от деформаций е^1 в точках пластинки описываются линейными операторными уравнениями, то есть будем предполагать их заданными в виде больцмановских соотношений:
Jk) .
Jk))
M (sf);
(1.2)
Jk)
= Mk j ( j i, j = x, y, z).
Здесь вязкоупругие операторы 1к и Мк- линейные интегральные операторы вида
Д0 = Ч Ф)-f№(t-m;
(1.3)
M (Z) = мк
Z(t)-f fik)(t -
- ядра вязких операторов; Кк, цк - упругие постоянные или коэффициенты Ламе.
Введем потенциалы Ф(к) и Ф(к) продольных и поперечных волн по формуле:
U(k) = grad Ф(к) + rot Ф(к);
U k = U (k)[u(k), v(k), w(k)]. где U(k) - вектор перемещения точек пластинки.
и
и
При исследовании волновых процессов в линейных деформируемых средах или при решении задач используют те или иные математические методы, в частности, интегральные преобразования Фурье и Лапласа, которые используются в настоящей главе.
Сформулированную задачу в точной трехмерной постановке будем решать, применяя интегральные преобразования Фурье по координатам х, у и интегральное преобразование Лапласа по времени t.
Вначале найдем общие решения уравнений (1.5) при нулевых начальных условиях (1.11), полагая потенциалы Ф(к) и Ф'к) равными:
= f -nc0s* }dkf -ХУ }dqf Ф0к) exp(pt)dp; о о (l)
TO TO
^к) = f -nckS*}dkf CS" }dqf < exp(pt)dp;
о о (l)
TO TO
4? = f Sinkx }dkf -Zqy }dqf Y« exp(pt)dp;
о о (l)
TO TO
^ = f COnt }dkf conqy }dqf Y« exp(pt)dp.
Аналогично для преобразованных величин напряжений будем иметь
(2.1)
T(i) = L xx(0) Ol
d2 ф01)
dz2
l^rh(l)
(+q2 )ф:
dYl
+2M0l -к2Ф0 + k-20 + kqY
а
(l)
2 (l)
d^,
yy( 0)
+2M0l
0l dz2
2 (l)
q2 Ф
а
(l)
zz(0) -
2^ (l)
d2Ф
+2M0l
0l dz2 d2 Y«
dz2
dz
d * 10 dz
dY(l ■ dLlS
dz
-q2 )ф:
kq Y
q2 )
dY
dz
а
xy(0) :
(l)
M0
2kq ф01)
dY(l) k dYl0
dz
dY(l ■ d 20
dz
yz(0) 'v'0l
Mol 2q-
dФ0'
dz
q2 Y10-
2 (l) 10
d2Y
(2.7)
-q2 K0
dz2
kq Y2l0+ k
dY3
dz
При этом функции Ф0к) и Ф;0к) будем считать пренебрежи-
мо малыми по модулю вне области
1к| < к ■ < q„; ^ I <
(2.2)
то есть внешние усилия не содержат высокочастотных составляющих.
Условия (2.2) позволяют выражения (2.1) строго дифференцировать по координатам (х, у, I) и времени t, подставлять их в граничные и начальные условия.
Подставляя (2.1) в уравнения движения (1.5), для функций Ф^' и Ф;0к) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения:
Jl)
axz(0) -
M0
, dФ0') 2k- 0
dz
kq Y10
, N d2Y(l) dY(l) k2 d Y20 d
--I
dz2
dz
(l = 0,1).
Общие решения обыкновенных дифференциальных уравнений (2.3) второго порядка с постоянными коэффициентами находятся известными математическими методами через характеристические уравнения, и эти решения имеют вид:
(k)
d-^Ф
-.2^k -
dz2
0;
d2 Y(k)
Jo
dz2
ß2 Y<k) = 0 (j = 1; 2; 3), (2.3)
x2, = k2 + q2 + pp; ßk = k2 +
N0k M0k
PkP
Mn.
(2.4)
Ф01)= A il)ch(al z) ' sh(ßl z) sh(ßl z)
= B31 ch(ßl z)
sh(«lz) ch(ßl z) ch(ßl z) sh(ßl z)
(2.8)
где Nok и Mok - преобразованные по Лапласу операторы Nk где А"), В'« - произвольные постоянные интегрирования,
при этом постоянные интегрирования В.1 в силу (1.7) связа-
и M,, т.е.
h |1-Лок)(р}| + 2M0, (p);
ны зависимостью
Mok (p) = [1- (p)];
TO
/у0) (p) = f f(k)(t) e-pt dt ( = 1, 2; k = 0, 1).
(2.5)
kBj
-qB<; + ßl B^ 0, (j = 1, 2; / = 0, 1). (2.9)
Преобразованные величины перемещений в точках двуслойной пластинки выражаются по формулам [2]:
u0 )= кФ1
(l)
dYl
(l)
= чф01)
dz dY(l dz
qY
(l).
Преобразованные величины перемещений через постоянные интегрирования А(\ В(1] или через общие решения (2.8) представляются в виде
и0 }= к [ А1 ^(а, 7) + А ^(а, 7)]-
+[р; ¿й+ яВй\сКР, *)-[Р, В2 + ВЧ ^(Р, 7);
- + kY3l0;
(2.6)
v„l) = q [л 1l)ch(al z) + A 2l)sh(al z)] + [ßl B* + kB{li\ch(ßl z) + [ßl B® + kB{£\sh(ßl
dФ0'} dz
-qYl«-
-kY® (l = 0,1).
a, [A 1l)sh(a,z) + A 2,)ch(a,z)
(l) l.n(l) \
(l),
qB) - kB(l \ sh (ßl z) + [qBi'2) - kB1!' ] sh (ß
TO
TO
0
0
w
!0
Рахимов Р.Х., Умаралиев Н., Джалилов М.Л.
Разлагая гиперболические функции sh (а,г) и сЬ| (а,г) в правой части уравнения (2.10) в степенные ряды по координате г, для преобразованных перемещений получим выражения [2]:
2"
и0) = Е[кА 1 а," - (в, ВЦ + цВй )в2п ^ + Е1™ 2 а - в, в22
п = П V2"/ •
^кА<{>а?п -(в,ВЦ + цВ»))
О л-П^Л Г»2 п +11 2
^ = ^[ЯА У а)" + ( В® + кВ£)) ^ +^1ЧА 2 а, п = П V2"/!
" = П 2" то
Е[яА ) а]п+1 + ( В&+ кВ&))
-¡(1) I 1,п(.1)\ о2" +11 2
(2п +1)!'
2" +1
м,
(1).
Е[А11 )а(1) а2"+2 +()- кВ<2>)в2"+11
"=П ,2 " +1
42" + 1)!'
(2" +1)! П
Я + Е И
-1- • п — П
21)а2"+1
(()- кв2)))12
(2")!'
(2.11)
Как известно, при классическом подходе к исследованию колебаний пластин за основные неизвестные принимаются смещения точек срединной плоскости.
В отличие от однородной пластинки, для которой главные части перемещений и, V ,, М ^ вводились в точках «срединной» плоскости г = 0 [2], в данной задаче для обеих составляющих кусочно-однородной двухслойной пластинки главные части перемещений Ц(1), V.'11, будем вводить по плоскости контакта г = 0. В соответствии с этим введем вспомогательные величины [2]:
и10 = кА 1]-(в, в(1 - - ); и(,) = 20 _
= цА 1 ]+ (в, вЦ- + кв£);
= а] А1 (щВЦ - кв]1 )в, ; w2
х, кА 2-
В2 )Р,;
(2.12)
« = а, А ?+ квЧ )в,;
которые являются коэффициентами при г в нулевой и первой степенях в разложениях (2.11), при этом и(Ц, У^, - преобразованные перемещения точек плоскости г = 0, а Ц'^, У^, - составляющие деформаций этих же точек в направлении оси г.
Через вспомогательные величины Ц.^, V М.^, определяемые соотношениями (2.12), которые также будем называть главными частями преобразованных величин перемещений Ц^, У^, М^, эти преобразованные величины перемещений с учетом зависимостей (2.9) выразятся по формулам:
то г ; п 2п то г
^ = Е[(Р2п - кСОС,))- кС>са^ + коШСМ!)}^+ Е\(к2с(О ^ + Р2п)+к К -р2^
2ы ,т 1 20
(2п + 1)!'
то
^} = Е[( - ^са1))- С С,
+ Ш( + «С'Dol))+ Dol (ки<£-в2^)) ^ +1
п = О 2п +1
Ч2п +1)!'
= Е\(р2" + а2спо)со,) - а2спо,со, ( + +Е\(рГ - Р2сп0} Dol) + спо Dal ( + яуО)
п = О \1" + 1)! п = О \2п) !
(2.13)
где обозначено
Со, = 1 - N0, М-1; Dol = 1 - М01 N-1; С%0) = Е а2(п - 5 - V; а '0> = 0; а 1 (, = 0,1).
(2.14)
Обращая выражения (2.13) по к, д и р или переходя к истинным перемещениям и,, V, ш, точек двухслойной пластинки через перемещения и(W:¡1) и деформации и2(К2т, W2(1) точек плоскости контакта г = 0 в направлении координаты г [2], получим
и, = Е
Л п) _
2, "Т" п, „ 2
дх
и()+ с ,аг
дхду дх
(2п)! + Е
■к(п) с П °
к21 - С1Пп1
дх
дхду дх
,{1)
(2п + :)!'
Е с,а,
д2и':
дхду
у(.п) + сп д
к21 + С1Пп1 —2 ду2
м.
Е с,пы \
диЦ' дv(1
дх
ду
^ + с ,пп,
дw!11)' г2"
ду (2п)! +
^2 п +:
(2п+:
Е -пп
п = О _
то
1)!+Е
д2и. (:)дW±1) -к-.
дхду ду >2/
, (п) _ _
2, „ 2 ду2
(2п + :)!'
-П,Пп
д2и™ дv2(1>
—2—I—— дх ду
(21-п,пык2:;х г'
(2п)!' (2.15)
" = П
п = О
п = О
п = О
5 = 0
2
2
г
п = О
2
г
п = О
п = О
а для напряжений аналогично находим
д2 д2
а«= M, E|c, Qn
n = 0 I
1 (l) Ti (l) k2l -2k11 '
+Ml E| 2D, Q
TO
Ml E
id)
dx2 dy: d2 ^
(i -c, x
n) dUll)
dx
C, Qn
7(1) 2^(i) 1 d d 72l -271l
,2_ -dL. 22
dx2 dy2
-(1+С )
dV1(l) (,) 1 + W.(l)
dy
(2n}!
1 + 2D, ^
C, Qn
1 (1) -n (1) k2l - 271l -
Г+M E
dy2
dL
dx2 dy2 d2
dx
d2
-2d, Qn, — + (1 + D,
dV(l
dy
-44(l)
(1+c, )
1 +W1(l)
dx
-2d, Qnl~~2 + (1 + 2d, ) dy2
(2n}!
aZZ = M, E|[c, Qn, (it - Д} - (1 + С )
(n) 2l
dx ,
' dü'f dV1(l)
c, Qn,
2D, Qn,
7(1) 27(1) d ■ d 72l -271l -
2 d2 2 + ^2
(2n +1)!'
(1 -с )x2f 9V1
(1)
2l dx2
,(1) , ,(n)\ d2
+ M, E]-[2d,Qnlx21/+ x21\-j
n = 0 I dx
dx dy
du(l) dV,(l) ^
dx dy
[C, Qn, (п/-Д} + (1-C,
+7.29 [2d, Qn, Д+x1n)] w,(l)
dx2 dy2 J 4 " 2 dy
dV (l) 1 ,2n +1
(1 + 2d,^\7Z---; V " 1l dy l(2n +1)!
1(n)L/(l) l z
(2n}!
m E
d2
2C, Q„, -dy + ^ dx
dU „ „,
—^ + C, Qnl—- + X2l -
dy l nl dy2 2 dx
d2 .Jdvf____dW 1 z
(2n +1)!'
2>l/(l)1 ,2n
(2.16)
- + 2C, Qn
+m El
,(1) d2 . d' k21 -
2 d2 2 + ^2
dx2 dy2
D, Qn, + ^
dU
dy
!(1)
_d_-.d_ dx2 dy2
dxdy I (2n)!
(l) . . f2u/(l) 1 ,2n+1
„ (n) dV2 „ (1) d2W2(l) I z'
D, Qnl + -2D, Qnl ^ 1
dx
dxdy I (2n +1)!'
^ = M, EC [Qn, (1У+ 7
t d2V(l) (1) , ^ (1)) (n)\d V1
] dxdy
,(1)
(2n +1)!
+ M, E|-2DQ,
2 (l)
d2V
dxdy
m, e|c, Qn, (1+,
(1) 1 ,1,
dxdy
(2n +1)!
+ M, E| -2DQ
n)\d2Uf fdy
d2V2(l) dxdy
2C, Qn, ,11 —2--dx
^ dx2 dy2
d2
2C, Qn, + dy2
,(1) d2 72l -
d2
(1 -C,) ,21/ - C, dy2
,2n;u1l)+[2Cl Qn, 711'+ (1 + C, ),21l)\dW-\x
dx
D, Qn, +
(,) Ki (1)
-ДD, )Qn,-7
(n)
2/i/М I
d2W
^nl 1,1 dx2 J(2n + 1)!
d2 1 \ dW(l) I
(1-C, )х111) -C, ^ V1(l)+[2C, Qnl ^+(1 + C, ^f]^ 1X dx J dy I
>(n) i/(l) [((1Un) n)\dW2(l)| z2n
dx2 dy2
(l = 0,1}.
D,Q„, + V(l)-|(721l -ДDl)Qnl-,1,
dy J (2n)!
где операторы С,, й,, Оп,, ЛЦ>, Л211 равны
С, = 1-N [/И,]-1; D, = 1 -[/V,]-1 М,;
= ^ - 5 -(п = 0, 1, 2);
5 = 0
|(1).
= l Pl [M, Y
|P, [N,
dt2 'd2
d2 _d2__I
dx2 dy2 J
dx2 dy2
3. Общие уравнения колебаний
кусочно-однородной двухслойной пластинки постоянной толщины
Исходя из граничных условий (1.9) и выражений перемещений и(,), V(,), w(,) (2.15), для главных частей этих перемещений при I = 0 (плоскость контакта) получим зависимости
U<0)= ; Ц(0)= V(l); W2( 0)= W2(l).
(3.1)
dt
Аналогично, из граничных условий (1.9) для напряжений их представлений (2.16) через главные части получим:
Д=4+4 (, = 0,1).
дх2 ду2
Операторы ЛЦ' и ЛЦ1 являются двумерными операторами в плоскости (х, у), описывающие распространение плоских продольных и поперечных волн в плоскости контакта
I = 0.
Как видно, выражения для перемещений (2.15) и напряжений (2.16) получены лишь из решения уравнений движения (2.5) при начальных условиях (1.2) и являются общими решениями задачи для кусочно-однородной двухслойной среды постоянной толщины.
Mn
(1 + С, M, (1 + С1
du10) dV1(0)
dx dy
dU0) dV(0)
dx dy
Mo
Mo
,(0)
dW,
(0)
dx
= M1
(1 - С0 }w10)
-(1 - С1 }W'1)
dW,
,(1)
/(1)
dx
(0) dWf V2(0) + 2 = M1 V2 1) + dW2(1) 2 \\
dy dy
z
к
z
n = 0
n = 0
z
n = 0
n = 0
z
n = 0
которые с использованием зависимостей (3.1) дадут зависимости между остальными главными частями
,0),д<] дW2(
(0) ow,
у(0) +—2
Мп М ]-1 Ц(1) = Мп [Мг ]-1
W1(1) = N ]|^^1(п) - Мп (1 + С, + М1 (1 + С
дх дх
дw(a) дW2(п)
ду ду
ди(п) + ду( п)
(3.3)
дх ду
+
ди(п) дV1(п)
+ -
дх ду
В качестве искомых величин вместо 12 главных частей смещения для обеих составляющих пластин можно взять любые шесть из этих величин, а остальные будут находиться из соотношений (3.2) и (3.3).
В качестве основных величин возьмем, например, главные части смещения, характеризующие поведение верхней составляющей двухслойной пластинки, то есть,
Н.
1(п)
дЦ + дV1 дх ду
+Н
3(п)
ди2 дV2
С1( п)
дх ду
ди1 + дV1 дх ду
Н2(п)(^1 ) +
Н4(п)(^2 ) = М-1 (/<»);
ди дМ
Е2(п)К ) + Е3(п
+ Е4(п)№ )= МГ
дх ду
(1) д/(1)
д.С + /
дх ду
n
1(п)
ди1 дV1 1 + ди2 дV2 2
ду дх ду дх _
М-1
/о дС
ду дх
N
3(п)
ди1 дV1 + ^(п) ди2 дV2
ду дх ду дх _
М-
/0) д/у^0)
ду д
Ц(0); V®; и'0); и(0); М(0); М(0), (3.4) где операторы мл„у кц„у НЦпу - имеют вид
(3.7)
для нахождениях которых и вывода уравнений колебания кусочно-однородной двухслойной пластинки имеем шесть граничных условий (1.8) и (1.10)
Граничные условия (1.8) и (1.10) удобнее преобразовать к виду
„(0) _ г(0)
/0,(х, У, t);
дх ду дх ду
д^ д< д/(0
XI___="1хг___'У1
ду дх ду дх
( = ho
0? = /(1)(х, у, *);
д^ + ^д/^/ц
дх ду дх ду
д^ да у1 а/(0) д/^
ду дх ду дх
(3.5)
(3.6)
М1(п) = дХ Е М по ^о - А) - (1 + Со )
(1 2п
(п) I ,_.
](2п)[.
м2(п) = еМпо ( - а)+(1-Со ^п]"-.
п = о \2п/ [
М,
3(п) -
Е(Опох21 + х11))"0
дх
(2п +1)['
" 2п+1
1 (1) /Чп Г> Л I 1 (1Л_"о_
М4(п) = Е ^21о)(2^0по А + ХЦ
(2п +1)['
2п +1
КК п) = Е х11о)(2^0^ А + (1- Со)Х
(пЛ "о ' 2
К2(п) = Е А [2СоСпо х£+(1 + Со )Х:(п)] "о
(2п + 1)['
2 п +1
(2п +1)['
Кз(.п)=£ ЕМпо (^21)- А) + Х(п)]^-
(2п)[' (3.8)
Подставляя выражения (2.16) для напряжений в граничные
,(Л Яи(Л
условия (3.5) и (3.6), для комбинаций №(
(1)
диу дV¡J
ди(1) дV¡'
дх ду
вспомогательных функций получим систе
ду дх
му шести интегро-дифференциальных уравнений:
М.
1(п)
ди1 + дV1 дх ду
+М
3(п)
ди2 + дV2 дх ду
М2( п)№ ) +
м4(„)(^2 ) = м-1 (0));
М(п)
ди. дV1 1 , -
аг]+
(3.7)
3( п)
ди2 + дУ,
дх ду
К4(п) (^^2 ) = М-1
дх ду
К4(п)=-ЕАкОпо (21)-А)-х"]^;
п = о \2п [
н1(п) = Е{С1^п1 А)(1 - ро
[(1+С1 ) + (1 - С1 )Ро ] Х(
2п
(п)1 "1 .
Ч 2п)[.
Н2(п) = ЕМп1 (Х211) - А) + (1 - С1) Х« ] Р1
ТО £-2
Нз(п) = ^ Р (ОтХ^Ч Х(п)) 1,1
(п)]о "1 .
(2п)['
Н,
(2п +1)['
(п)=-Е{(1 - яо )А [2DlQпl Х21Ч Х(п)]
п = о
+Х2'1_) \_2DlQп1А + Х1п1)]^-"2
(2п +1)['
1
п = о
и
п = о
п = о
п = о
п = о
п = о
TO , , h2
Kn)=-E{2(1-p0 Л+[(1-Cl }711)-(1+с }P д\х«}}
(2n +1}!'
TO Г M h2" +1
f2(„) =-E Р1Л [2C1Q„1^111) +((1+C1 }x2n))
(2n +1}!'
TO Г 1 h2n
n) = E P2 [D1Qn1 (21} - д}+^fe
n = 0 V2n/ !
(3.8)
TO 2n
n) =dx E Л (p-2}[01Qn1 (21)- л}- tf]^
N*,) = E ^
"1
vs(„) :
-EE 41+1
an
(2n +1}!'
h2 n+1 ; (2n +1}!'
^2(n) = E(1o)+ A)Qno +
Л
10 2n}!'
4(n)
EP2 (21} + A}D1Qm + X(
(n) I h1
2n
](2n}!'
(3.9)
где
Pi = P2 = MM-1; P0 = N-1 [mo (l + C0}-Mx (l + Cx}]; Uj = U(o); = ^ = W(o).
(3.10)
Система общих уравнений (3.7) распалась на систему четырех уравнений относительно W(
dUl) dV((l)
du(l) dv!J)
dx dy
и двух относи-
-—, что значительно упрощает исследование этой системы.
ду дх
Система уравнений (3.7) и является системой общих уравнений, описывающих продольно-поперечное колебание кусочно-однородной пластинки постоянной толщины.
Приняв за основную искомую функцию М(0) = М - смещение точек линии контакта пластинки в поперечном направлении
ди(,) дV¡ (,) (3 7)
и —'---'—, из системы (3.7) получим уравнения для этих неизвестных величин
ду дх
11(М2) = Р1(х, у, А
dU1 dV1 dy dx
-F2 (x, y, t}
где операторы L. и F.(x, y, t) равны:
L1 =(M1(n)K2(n) - M2(n)Kl(n)}(H3(n)E4(n) -H4(n)E3(n)} + (Ml(n)K3(n) - M3(n)Kl(n) }(H4(n)E2(n) - H2(n)E4(n)} + (M1( n)K4(n) - M4(n) Kl(n)}(H2(n) E3(n) H3( n) E2(n)}-(M2(n) K3( n) - M3(n) K2(n) }(H4(n)El( n) - H1( n) E4( n)}--(M2( n) K4( n) - M4(n)K2( n) }(Hl(n)E3( n) - H3(n) El(n)} + (M3( n) K4( n) - M4(n)K3( n)}(Hl(n)E2( n) - H2(n) El(n)};
(3.11)
(3.12)
(3.13)
L2 = ((n) N4(n) N2(n) N3( n)
F1 = -lKl(n) (2(n) E3(n) -H3(n)E2(n)} + K2(n) (3(n) El(n) -Hl(n) E3(n)} + K3(n) (Hl(n) E2(n) - H2(n) El(n)}l{M0 (
-ЧЭ)
+
Ml(n) ( n) E3( n) - H3( n) E2( n)} + n) (H3(n) El( n) - Hl( n) E3( n)} + ^(n) (Hl(n)E2(n) - H2(n) El(n)}]K-1
d/<0) , d/yZ0)
dx dy
-(() (K2( n) E3(n) - K3(n) E2(n)} + ^(n) (K3(n) El(n) - Kl(n)E3(n)} + ^(n) (Kl(n) E2(n) - K2(n) ^(п))-1 ((f)
Ml(n) (K2(n)H3(n) - K3(n)H2(n)}+ M2{n) (K2(n)Hl(n) - Kl(n) H2(n)} + M3(n) (Kl(n) H2(n) - K2(n) Hl(n)}| | M0
did , dfyZl'
dx dy
(3.14)
F = w4(n)|w0-J
f0) f'
dy dx
- ^2(n) l W--1
did dtf
dy dx
Уравнение (3.11) является общим уравнением для поперечного смещения точек контакта кусочно-однородной или двухслойной вязкоупругой пластинки постоянной толщины.
ди1, дv(,)
Для ——|--— уравнение такого же вида, как и (3.11), но с другой правой частью.
дх ду
n = 0
n = 0
и
n = 0
n = 0
n = 0
и
L
2
и
Литература
1. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ, 1935. 630 с.
2. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М.: Машиностроение, 1983. 272 с.
3. Achenbach J.D. An asymptotic method to analyze the vibrations of elastic layer // Trans. ASME,1969. Vol. E 34, Nо 1. P. 37-46.
4. Brunelle E.J. The elastics and dynamics of a transversely isotropic Timoshenko beam // J. Compos. Mater., 1970. Vol. 4. Р. 404-416.
5. Brunelle E.J. Buckling of transversely isotropic Mindlen plates // AIAA, 1971. Vol. 9, Nо 6. Р. 1018-1022.
6. Gallahan W.R. On the flexural vibrations of circular and elliptical plates // Quart. Appl. Math., 1956. Vol. 13, №> 4. Р. 371-380.
7. Dong S. Analysis of laminated shells of revolution // J. Esg. Mech. Div. Proc. Amer. Sac. Civil Engrs., 1966. Vol. 92, No 6.
8. Dong S., Pister R.S., Taylor R.L. On the theory of laminated anisotropic shells and plates // J. of the Aerosp. Sci., 1962Vol. 29, No 8.
10. Monforton C.R., Schmot L.A. Finite element analysis of sandwich plates and cylindrical shells with laminated fases // Proc. Of the Conference an Matrix Methods in Struct. Mech TR-68-150 Air Force Fligth Dynamics Lab. Wright-Patterson Air Force Base Ohio, 1968.
11. Schmid L.A., Monforton G.R. Finite deflection discrete element analysis of sandwich plates and cylindrical shells with laminated faces // AIAA Journal, 1970. Vol. 8, No 8.
VIBRATIONS OF TWO-LAYER PLATES OF CONSTANT THICKNESS
Rakhimov Rustam Kh., doctor of technical Sciences, head of laboratory № 1 of Institute of materials science, «Physics-sun» of Uzbekistan Academy of sciences
Umaraliev Nurmamat, associate professor of the Chair «Telecommunication engineering» of Ferghana Branch Tashkent University Information Technology (FBTUIT)
Dzhalilov Mamatisa Latibdjanovich, the Manager of the Chair «Computer systems» FB TUIT
Abstract. Within last decades laminose plates are object of numerous and various researches. Such plates represent the basic supporters of responsible engineering designs and constructions.
In many cases, the plates are not homogeneous in thickness, in particular, they are piecewise homogeneous (double layers, etc.).
At present, there is practically no theory of oscillation of piecewise homogeneous plates, and therefore the development of the theory and methods for calculating such plates is an actual problem of structural mechanics.
In given article, in a general three-dimensional formulation, we formulate the problem of the vibration of two-layered two-layer plates of constant thickness. The general rules of oscillation are derived, expressions are given for displacements and pressure at internal points of plastics through functions describing the displacements and deformations of points.
Index terms: oscillations, two-layer plate, boundary value problem, pressure, deformation, oscillation equations.
1. An exact three-dimensional boundary value problem for two-layer plates
For piecewise homogeneous plates, there is no purely transverse or purely longitudinal vibration, as shown, is a sixth-order equation in derivatives that transforms for a homogeneous plate of constant thickness into a product of two integra-differential operators describing longitudinal and transverse oscillations.
We consider a two-layer plates of constant thickness, as a piecewise homogeneous layer of the same geometry, with the upper component thickness equal to h0, and the lower one is hr The plate occupies the region < (x, y) < -h < z < h0 and the homogeneity boundary coincides with the plane z = 0.
The motion of the material of the constituent layers of the plate in Cartesian coordinates (x, y, z) is described by the equations of motion in pressure
da« dak = Pk d2u(k)
dx dy + dz dt2 '
da(y dak = Pk d2 u(k)
dx dy dz dt2 '
dak day dak = Pk d2w(k)
dx dy dz dt2
(1.1)
equations, that is, we shall assume them to be given in the form of Boltzmann relations:
Jk) .
a? = Lk W
ar = Mk j (i * j i, j = x, y, z).
2Mk (e j
(k)\.
(1.2)
Where the viscoelastic operators Lk and Mk are linear integral operators of the form
:(Z) = ^k Z(t )-f fik) (t - ©dû;
(1.3)
Mk (Z) = Mk
Z(t)-f fik)(t -
f.(k)(t) - kernels of viscous operators; Xk, |k - elastic constants or Lame coefficients.
We introduce the potentials 0(k) and W(k) the longitudinal and transverse waves by the formula:
U(k) = grad 0(k) + rot W(k);
U k = U <k'[u <k', v <k', w(k)].
(1.4)
Where ajk) - components of the stress tensor u(k), v(k), w(k) -components of the displacement vector.
In this case, both the pressure, displacements, and density in each of the layers are denoted by the corresponding index «0» or «1», ie, k takes the values 0 and 1.
Dependences of pressure a.jk) on deformations s(jk) at the points of the plate are described by linear operator
where U(k) is the displacement vector of the points of the plate
Then, instead of equations (1.1), we obtain Integra-differential equations:
Nk [a®
(k)]
-Pk-
d2®(k)
dt2
; Mk [AY
(k)l
= Pk"
d2 xpk
dt2
(1.5)
where the operator Nk is
Nk = Lk + 2Mk ;
u
u
• for deformations
A - three-dimensional Laplace operator
A
-PL
dx2
PL
By2
PL
3z2'
By the theorem of Helmholtz [1] in the absence of internal sources of vector potential ^(k) transverse waves must satisfy the condition
div Y
(k).
q. = IY
(k)í
Ak) Y(k) YW]
(1.6)
The condition (1.6) for the components of the vector takes the form
dyf By?
(k)
,(k)
dx
dy
dz
0,
(1.7)
A 0) .
= ff'(x, y, t);
= , y, t);
(1.8)
( o) .
at z = 0 (contact plane)
Jo) -
= f(0)(x, y, t);
CTxz = CTXz-
u I0' = u(1); V(0) =
(0) .
CT
y-
V (1);
-CT
y-
w(0)
(1).
(1.9)
at z = -h0 (on the lower surface of the plate)
CT(1)= f(1} (x, y, t);
T(l):
xz
AD .
Al) i
ct::> = f(1)(x, y, t);
(1.10)
-ffi*, V, i). The initial conditions of the problem are zero, that is
(k)
dt
(k),
dV
(k)
Movements u(k), v (k), T(k)
dt
I /«
T
k) _
0.
(1.11)
deformations s(k) and
j
pressure a.jk) in Cartesian coordinates through the potentials of both longitudinal and transverse waves are determined by the following formulas [2]. • for movements
(k)
dV
(k)
dV
(k)
dx
d®
(k)
dy
d®
(k)
dy
8v[k)
dz
,(k)
dz
dV
(k)
dx
(1.12)
dv\k) dv:
(k)
dz
dx
dy
ie we obtain the specifying equation for determining the vector potential
Equations (1.5) and conditions (1.6) are sufficient to find general solutions for the scalar and vector potentials 0(k) and ^(k).
Vibrations of a two-layer plates are caused by external forces applied to the surfaces of the plate. Therefore, the boundary conditions take the form: • at z = h0 (on the upper surface of the plate)
6(xr °xx d20(k) dx2 d2vik) d2 Yk).
dxdy dydz
e(k) ■ d2$>(k) dy2 d2Y[k) dydz d2 Yk) ; dydx
azz d2®(k) = dz2 + d2Yf dxdz d2 Yk ; dydz
e2o(k) d2 y« dxdz d2 Y2k) d2Yk d2 Y(k)
dxdy dydz dy2 dx2
d2$>(k) dydz dxdy d2 Yk) dxdz d2Yk) h dz2 d2 Yk) dy2
d2®(k) dxdz d2 Yk) A--3— dydz d2 Yk) dz2 d2y(k) h 7 dx2 d2 Yk dxdy
(1.13)
Jk) .
6^ = 2
6«= 2
for pressure
ak = Lk [A®(k)] a«= Lt [A®(k)]
T(k):
xy
Ak) .
Ak) ,
Ak) ,
Mk
Mk
-Mk
-- Lk [A®
(k)]
-2Mk
-2Mk
-2Mk
d2®(k)
d2Y(f d2 Y
■2\v(k) '
dx2 d2®(k)
dxdy dxdz
d2Y(f d2 Y
% (k)
dy2 d2®(k)
dydz dxdy
d Y
(k)
d2 Y(k)'
dz2
dxdz dydz (1 14)
2 (k)
.d2®
d2 Y
(k)
d2 Y'
(k)
d2 Y
(k)
d2 Y
(k)
dxdy dx2 dy2 dxdz dydz
d2®(k) d2 Yk d2 Y(k) d2 Y(k d2 Y(k)
dydz dy2 dz2 dxdy dxdz
d2®(k) d2 Y(k) d2 Y<2k d2Y() d2 Y(k) +
dxdy
dx2
dz2
dxdy dydz
Thus, the exact three-dimensional problem of the vibration of a viscoelastic piece-homogeneous plate of constant thickness reduces to solving the oscillation equations (1.5) in the potentials 0(k) and W(k) under the boundary conditions (1.8), (1.9), (1.10) and zero the initial conditions (1.11).
2. The general solution of the problem.
Expressions for displacements and pressure
The classical approximate theory of plate oscillations is based on the Kirchhoff hypothesis, the well-known hypothesis of Timoshenko and other hypotheses, where the general three-dimensional problem is reduced to a simpler two-dimensional displacement of the points of the middle plane of the plate.
In the study of wave processes in linear or deformable media are used in solving certain mathematical techniques, in particular, integral Fourier and Laplace transforms are used in this chapter.
The formulated problem in an exact three-dimensional formulation will be solved by applying the Fourier integral transforms with respect to the coordinates x, y and the integral Laplace transform with respect to time t.
2
2
2
2
3
2
u
k
3
v
k
k
First, we find general solutions of equations (1.5) for zero initial conditions (1.11), assuming the potentials Ow and ^^ are equal to:
(2.1)
= / * }dk/ }dq/exp(pt)dp;
0 0 (/)
TO TO
<= / k, }dk/ ^ }dq/Yk exp(pt)dp;
0 0 (/)
TOTO
^ = /Sin}dk/ }dq/< exp(pt)dp;
0 0 (I)
TO TO
^=/cofkk, }dk / conqqr h / y« exp(pt )dp.
Moreover, the functions O^ and are assumed to be negligibly small in modulus outside the domain
|k| < k0; |q| < q0; |JJ < (2.2)
i.e., external forces do not contain high-frequency components.
The conditions (2.2) allow the expressions (2.1) to be strictly differentiated with respect to the (x, y, z) and time t coordinates, substituting them into the boundary and initial conditions.
Substituting (2.1) into the equations of motion (1.5), for the functions O^ and ^.jk we obtain the ordinary differential equations:
Similarly, for the transformed stress values, we have:
a
(I)
«(0) = L0I
d2 ®0j)
dz2
+2M0I -k2®0I)+ k
(k2 + q2 )®
^ (I) • dY
dz
(I)
20 + kq
a
(I)
2 (I)
d2®
yy(0) 0I +2M0I
dz2
q2 - q
2ff\(I) dY
dz
q2
(I)
10 kq
a
(I) =, M
zz(0) 0I dz2
q2 )®
2™ (I)
+2M0
d2 Y
dz2
dYdY
,dT10 k
(2.7)
dz
dz
a
.(I)
«y(0) = M0I
2kq ®0I)
dY(I) k dYl0
V0) :
--M0, 2q-
d®0
dz
ira (I)
d 20 dz
|2w (I)
q2 )y3i0
dz
q2Y
d2Y
kq y20+ k
dz2
dY3
Jj) A/J a«z(0) = M0I
d®0
2k—+ kq YlI dz 1
d2Y( )
a™(I) d y20
dz2
dz
dY^c dz
(I = 0,1).
General solutions of second-order ordinary differential equations (2.3) with constant coefficients are found by known mathematical methods through characteristic equations and these solutions have the form:
d®° -a2®0k)= 0; ' T
dz2
dz2
(j = 1; 2; 3),
ß2 < = 0
2_a „2 , PkP\ a2_ ,,2 , „2 , PkP2
ak = k~ + q
ß2k = + q
(2.3)
(2.4)
O0 )= 4 1 )ch(aI z) ' Bi sh(ßi z) Bi sh(ßi z)
Y
Y
ch(ßi
sh(aiz); ch(ßi z); ch(ßi z); sh(ßi z),
(2.8)
where Nok and Mok are the Laplace-transformed operators Nk and Mk, that is,
where A(l), Bjl) - arbitrary constants of integration, and the integration constants B.!l) by (1.7) are connected by relation
h i1-Ao) (p)| + 2M0k (p);
m ok (p)=^ [1- /0 (p)J ;
TO
/;%) = / f(O)(t ) e-pt dt (j = 1, 2; k = 0, l).
(2.5)
kB(') -
+ ßI B^ 0, (y = 1, 2; l = 0, 1). (2.9)
The transformed values of displacements through constants of integration A(l), B() or via general solutions (2.8) are represented in the form
The transformed values of the displacements at the points of the two-layer plate are expressed by the formulas [2]:
u0 )= k®0
dYl
)
dz dz
20 qY« ;
- + kY
(i).
(2.6)
d®0 ' dz
-qY®- kY® (l = 0,1).
u0 )= k [ A j )ch(aI z) + A 2 )sh(aI z)]-
Ißi b£+qBÛ\ch(ßi z)-[ßi B2 + qß32)] sh (ß j
v'l = q [a JI)ch(aI z) + A 2)sh(aI z)\ +
ßi Bj + kß3j)j ch(ßi z) + [ß; fl^ + kßi«] sh(ß
w0) = a, [a j )sh(a,z) + A 2 )ch(a,z)\ + [qjBjJ -kB2J\ sh(ßi z) + [qBi 2 -kB22 ] sh(ßi
(2.10)
TO
TO
o
w
0
Expanding the hyperbolic functions sh (a;z) and ch (a;z) on the right-hand side of (2.10) to power series in the z coordinate, for the transformed displacements, we obtain the expressions:
œ zu œ r n
uf = ][> «a?" -(ß,B? + qBÛ)P2" l^ + E^f«2" -(B2 + <0%)$"+1 1-f—;
n = 0 \2"J • " = o (2n + 1) •
-E[<A 1l) a? "
(p, BH+ kB(l ) p?n ^
œ
( 2n)!
(,) a2n+1 -
2 "7
( B2+kB32))p2n+1 ^
w:
:E[ a
1 «2 "+2-
n=0 ,2 n +1
(2n + 1)!'
J(2n +1)! "
1)!+E[a
2l)a2 "+1
(qß12) -kß2l))P2"1 z
( 2n)f
(2.11)
As is known, in the classical approach to the study of plate oscillations, the displacements of the points of the median plane are taken as the main unknowns.
Unlike a homogeneous plate for which the main parts of the displacements U., V, W . were introduced at the points of the «median» plane z = 0 [2], in this problem for the two components of a piecewise homogeneous two-layer plate, we introduce the principal parts of the displacements U.(l), Vjl\ W jl] along the contact plane.
In accordance with this, we introduce the auxiliary quantities [2]:
u10 = kA 1}-(ß, e2i} - - qä» ); uw-20 -
= qA 1}+ (ß, filÎ- + ks3») ); v20" =
< = a2 A1 >+(qä» - kB» )ß, ; ^2
22 "
)i
„(Dl
(2.12)
which are the coefficients of z in the zero and first powers in the expansions (2.11), in this case U(0, V^, W(0 are the transformed displacements of the points of the plane z = 0, and, U2(0), V2(0), W1(0) are the components of the deformations of these points in the z direction.
Through the auxiliary quantities Uj.0l), Vj.0l), Wj.0l) determined by the relations (2.12) which will also be called the main parts of the transformed values of displacements U0l), V0l), W0l), these transformed values of displacements, taking into account the dependences (2.9), are expressed by the formulas
to r/ X i 72n TO r n 2n +1
u0l) = Ei(P2n -k2Q0}ColK -kqd?)COlV(0) + Q^oM«]* + ]T[(k2Qn?> Dol + P2n) + d«>Dolk-P2W2(0'))]K—;
n = 0 v2n/. n = 0 (2n + 1K '
V0) = El(ß?n-qQl o,)-Qcol(kU
Ul0 Wl0 )J(2n)!
œ
Ej(p2n + qQO' Dol ) + qQno) Do, (ku20 -ß2"w(0,)l(2^ ;
n = 0 ,2n +1
w
^ = E[(ß2n + a2Qn0)Co,)) -a2Qn0}Co,(kul'0 + qV«)j)—- +E[(ß2n -P2Qn0}Do,)) + Q(n0}Do,« + qv20")
n = 0 (2n + 1)! n = 0
( 2n)!'
(2.13)
where is denoted
Col = 1 - Nol M-1; D0! = 1 -Mol N-1; ü'^> = E -*- V; Q 0°,' - 0; Q = 1 (, = 0,1).
(2.14)
Considering the expressions (2.13) with respect to k, q and p, or moving to the true displacements u, vl, wl of the points of the two-layer plate through displacements Uf', Vf', Wf' and deformations U2(l ', V2(l), W2(l) the points of the contact plane z = 0 in the coordinate direction z [2], we obtain
u = E
dx
u't J+ C ,Q",
82v'j) dw(
dxdy dx
( 2")!
E
dx2
u2 ]- D,Q,
d2V(,) 9W,
dxdy dx
(2" +1)!'
= Ec,q,
d2Ul dxdy
!(")+ CQ d ^2, + C,Q", ~
dy2
Vi(,)+ C ,Qnl-
w.
-E CQ,, \
du\,] ôV»
dx dy
dW1(,) " z2"
dy (2")! +
z2 " +1
(2" + 1
E -DQ,
d2u2l) .(1)ÖW2(,)
-k2l -
dxdy dy
lH- D,Q,
dy2
(2" +1)!'
E
-D,Q„
d2u(1) dv2
—2—I—2-dx dy
( 2")!' (2.15)
n = 0
n=0
n=o
s = 0
2
2
z
n = 0
n = 0
2
z
2
" = 0
"=0
"=0
0
and similarly for pressure we find
0% = M, E\c,q„
7(1) ,7(1) , d d X2, -2X1,
+ M, E\ 2D,Q
TO
m,E
1(1)
2_ -PL
dx2 By2 d2
(1 -C,
dx
CiQn
7(1) 27(1) i d d X2, -2X11
,2_ 22
dx2 dy2
-(1 + C )
dV(1) (j) 1 +W[J>
dy
( 2n)!
1 + 2D, № ^
CjQn
1 (1) T1 (1) X2, - 2X1, -
r+M E
dy2
Ox2 dy2 d2
dx
d2
-2D, Qj — + (1 + D, )XH
dV(j
dy
(1 + C ,
U a) 1 +W1j)
dx
-2D, Qj — + (1 + 2d, ) dy
( 2n) !
M, EWc.Q,, (x^-A)-(1 + C, )X\
( n) 2,
dx ,
'du'f dv'f
C ,Qn,
2D, Qn,
7(1) 27(1) d d X2, -2k11 -
2 d2 2 + 2
(2n +1)!'
(1-CdV
2 dx2
,(1) , ^M! d2
+ M, El-PD,Qn,72V +
n=0 \ dx
dx dy
du2) dVf"'
dx dy
\C,Q„, ((}-A) + (1 - C, )72n/J W
+ X^hD, Qn, A + W^-i-
dx2 dy2 J v " 2 dy
dV M 1 ,2n +1
(1 + 2d, ^ ;
V " 1 dy \(2n +1)!
An)}../,) \ z
( 2n)!
+M, E\
= M, E'
n = 0
2 dx2 dy2
d2
2C,Qn, + X« dx
dUl „ „,
—+C,Qn, — + X2, -
dy , n dy2 2 dx
d2 „ (n) dV^____d2Wr \ z
(2n +1)!'
i2W/«1 ,2n
(2.16)
- + 2C,Q„
D,Qn, + ku
dU
dy
id)
dx2 dy2
D,Qn, + ^
dx
dxdy \ (2n)!
^MdW^] z2n+1
dxdy \(2n +1)!'
<J= M , E\C, [Qm [Xf/+ X
i d2VW
(1) , 7 (1)) (n)\d V1
J dxdy
>(1)
(2n +1)!
+ M, E\-2DQ,
2. M
d2V
dxdy
<%= M, E\c, [Qn, (11 + X
(1) ' *2>})+X1,
dxdy
(2n +1)!
+ M , E\-2DQ
n)]d2ul (dy
d2V2(,) dxdy
2C,Qn, X11 —2--dx
X (1)-PL
2 dx2 dy2
d2
2C,Qn, X^-y + dy
X(1) d2 X2 -
d2
(1 -C, )X*>-C, —
X2, u'i +\lC Qn,X11'+ (1 + C,
dx
D,Qn, + X1Í
(,) (1)
X2"-AD, )Qn,-X
( n)
2\a,(.D \
d2W
1,1 dx2 J(2n + 1)!
d2 ' ^ r dW\
(1-C, )X¡H-C, -dy X2f V^+[2C,Qn, X?;+(1 + C, \X
dx J dy \
>(n) u,) \((1) An) n)}dW2]\ z2n
dx2 dy2
( = 0,1).
D,Q„, + C V2,')-\a-AD,)Qn,-X„
dy \ (2n)!
where the operators C, D, Qnl, X^1, X211 are equal:
C = 1-N [M,]-1; D = 1 -[N,M,;
Qn, = E-s-^ (n = 0, 1, 2);
s = 0
Ai).
jp, [N, Y
d2
dt
d2 d2
3. General equations of oscillations
of a piecewise homogeneous two-layer plate of constant thickness
Proceeding from the boundary conditions (1.9) and the displacement expressions u(l), v(l), w(l) (2.15), for the main parts of these displacements when z = 0 (the contact plane) we obtain the dependences
^Hp, [m, ]-1
dx2 dy2 \
d2 __
dt2 J dx2 dy2
U<°}= U® ; <= Vf ; W2(0)= W(l}.
(3.1)
A^^ ^^ (, = 0,1).
dx2 dy2
Then, the operators X^ and are two-dimensional operators in the (x, y) plane describing the propagation of plane longitudinal and transverse waves in the contact plane z = 0.
As can be seen, the expressions for the displacements (2.15) and the pressure (2.16) are obtained only from the solution of the equations of motion (2.5) under the initial conditions (1.2) and are general solutions of the problem for a piecewise homogeneous two-layer medium of constant thickness .
Similarly, from the boundary conditions (1.9) for the pressure of their representations (2.16) through the principal parts, we obtain:
Mn
(1+C
M1 (1 + C1
dU[°] dV<ai
dx dy
du\0) aV0)
dx dy
(1 - C0 )<>
-(1 - C1 )<>
M
,(. 0)
dW2
( 0)
dx
M
(1)
dW2
(1)
dx
(3.2)
M0 |0) dWl0) V¡0) + 2 = M1 V2(1) + dw21] 2 \\
dy dy
z
X
z
n = 0
z
n = 0
n = 0
z
n = 0
which, using dependencies (3.1), will give dependencies between the remaining main parts
( 0)
V(0)+-
U21)= Mo M ]-1 V(1)= Mo Ml ]-1 wf = [N1 ]-1 ^N0W1(0) - M0 (1 + C + M1 (1 + C
dW,(0) dw(0)
dx dx
dW-,(0) dW-,(0)
dy dy
aU,0) + dv(0)
(3.3)
dx dy
+
du(0) dv,(0)
+-
dx dy
As the required quantities, instead of the twelve main parts of the displacement, for any component plate, we can take any six of these quantities, and the remaining ones will be found from the relations (3.2) and (3.3).
As the main quantities we take, for example, the main parts of the displacement, characterizing the behavior of the upper component of the two-layer plate, that is,
[ dU dV
H.
+H
3(n)
i(n)
dU2 dV2
Cl( n)
dx dy
dU, dV —- +--1
dx dy
dx dy + ^ ) +
+H4(n)(W2 ) = M-1 (f(1) );
E2(n)(W1 ) + E3( n + E4(n)(W2 )= M
dU2 dV2
dx dy
+
dx dy
n,
l(n)
dU, dV, 1 + N2(n) dU2 fdVL ■
dy dx dy dx _
Mo-1
fO <
n
3(n)
dU, dV, dy dx
= M-
dy dx
+ N4(n)
dU2 dV2
dy dx
f ff
< ; < ; U10) ; u(0) ; w'f ; W2(0),
(3.4)
dy dx
where the operators M.(n), H.(n), ... have the form
for finding and deriving the oscillation equations for a piecewise homogeneous two-layer plate, we have six boundary conditions (1.8) and (1.10)
It is more convenient to transform the boundary conditions (1.8) and (1.10) to the form
n)=dxEMno A)-(! + Co)n)1 h
(3.7)
( 2n)!'
TO r -, L. •
M2(„) = E[CoQ„o (2l)-a) + (1-C0)7(n)l h
( 2n)!'
< = f(0)(x, y, i );
(0)
+
dx dy dx dy
d< SfftO f
(3.5)
and
dy dx dy dx
f(l)(x, y, i );
doï , ^ f> , dfy
(z = ho
+
f(l) Jyz,
dx dy dx dy
do(l) d^yZ' df(0) df(l)
xz yz ^Jxz ^Jxz
(3.6)
dy dx dy dx
(z=-h
Substituting expressions (2.16) for the pressure into the boundary conditions (3.5) and (3.6), for combinations
Wj
(i)
[duf ÔV® and [du(l) dv'S
dx dy dy dx
auxiliary functions,
we obtain a system of six integro-differential equations:
+ M2(n)(W1 ) +
+ M,JW2 ) = M-1 (0>);
M.
l(n)
dU1 + d^ dx dy
+M
3(n)
dU2 dV2 dx dy
xl(n)
dU, dV ) , s
"d7 +d7 J + ^^
(3.7)
+ K
3( n)
dU2 + dV2 dx dy
+ K4(n)(W2 ) = M
d/Xf + d^
dx dy
o TO h 2n +1
M,
4(n) -
E ^20)(2dOq„O A + 7
(1)) ho
2n+l
(2n +1)!'
2n +1
TO
Ki(n) = E7ll)(2DQ^A + (l-Co)7(n)) h
(2n + l)!'
K2(n) = E A [2CoQno 710 +(l + Co )72o ](¿+1)7;
K3(n)=d- EDoQno (721O) - A
OX n = 0
2n
(n)l h0 .
10 ](2n)!; (3.8)
K
TO r 1 t)2n
4(n) =-E A [C0Qn0 (720 - A)-7lÔ J(2n)î;
H
TO
i(n) = E{CiQni ()- a)(1 - po )-
(1+Cl )+(i - Cl )Po 72i
2n
(n)l hl .
( 2n)!'
TO r 1 h2n
H2(n) = E[CiQni (721)-A) + (l-Ci )x2"i)] Pi hrn = 0 \2n/!
TO , v h2n + l
H3(n) = E P2 (2DiQni721) + 7ln)))-
(2n +1)!'
TO
H4(n) =- E {(l - Ro ) A [2DiQ ni721 + 7il) J -
n = 0
h2n +1
+72l)[2DiQniA + 7lni)l} hl
(2n +1)!'
n = 0
n = 0
n = 0
TO , , h2
*n)=-E{2(l-Po CQm Я-ï A + [(1-C2 + C ) A] Х«}}
(2n +1)!'
TO г M h2n +1
E2(n> =-E PiA Î2CiQniXl1i) +((1 + Cl )x2n))^-^
(2n +1)!'
TO г 1 h2n
Ез( n) = E P [D1Qn1 (^2i-a) + X^-J-;
n = 0 V2n/ !
(3.8)
TO 2n
n,=fx E A (P2-2){ü1Qn1 A)-Я.«]^
and
to h2n +1 to r
NiW> = E ' N2W> = E( + A^no + X!
n=o '2n+У- n=o
h2n
(n)| h0 .
]( 2n)!;
TOTO
EЖ+1; = Ep+ a)diq"I +
3(n) :
(n) I h1
(2n +1)!
'(2п)!'
(3.9)
where the
Pi = NoN-1; P2 = MM-1; Po = N- [M0 (l + C0 )-Mi (l + Cx )] ; Uj = uf; V, = v'f; Wj = wj0).
(3.10)
du(l) dV,(l)
The system of general equations (3.7) is divided into a system of four equations relative to W(l
dUl) dV:'J>
dx dy
1— and two relatively
-—, which greatly simplifies the investigation of this system.
dy dx
The system of equations (3.7) is a system of general equations describing the longitudinally transverse vibration of a piecewise homogeneous plate of constant thickness.
Taking for the main sought function W2(0) = W2 - the displacement of the points of the contact line of the plate in the transverse
direction and
and
dUl) dv(l>
-—, from the system (3.7), we obtain the equations for these unknown quantities dy dx
L1(W2) = F1(x, y, t)
where operators L. and F (x, y, t) are equal:
dU1 dV1 dy dx
= F2 (x, y, t )
(3.11)
(3.12)
L1 =(MH n) K2(n)- M2( n)KK n))(H3(n)E4(.n)-H4(.n) E3(n)) + (MHn) K3(.n)- M3( n)KK n))(H4(n) E2(n)- H2( n)E4(n))-+ (Ml(n n)K4(n)- M4(n) Kl(n))(H2(n) E3i.n)- H3( n) E2{n))-(M2{n) K3( n) - M3(n) K2(n))(H4(n)El( n) - Hl( n) E4( n))--(M2( n) K4( n) - M4(n)K2( n))(Hl(n)E3( n) - H3(n) El(n) ) + (M3( n) K4( n) - M4(n)K3( n))(Hl(n)E2( n) - H2(n) El(n})'
(3.13)
and
L2 =(N4(n)- N2WN3(nb
\K1( „) (H2( „) E3(„)-H3( n)E2( „)) + K2( „) (H3(„) E1W-H1(„) E3(„)) + K3( „) ( „) E2( „) - H2<„ „) E1(„ „))\{M- \fz
-1 f(°)\
+
M1(„) ( „) E3( „) - H3( „) E2<n „)) + M2(„) iH3(„) EK n)- HK „) E3( „)) + M3(„) \Hl(„)E2(„) H2(..„) Elw)1\M1-1
f0) , f
dx dy
-((„) Kn) E3„- K3(„) E2W) + M2(n„) ((„) E1„- K1( n)E3(„)) + M3(„) ((„) E2(„) K2(„) EK„))
M1(„) {K2(„)H3(„) - K3(„)H2(„))+ M2(„) (K2( n)H1(„) K1(n) H2(„)) + M3(„) (K1(„) H2(n)- K2(n) H1(„))\\M-
dx dy
(3.14)
F2 = ^(Jn-1
dy dx
-N2(„)\N-1
dy dx
Equation (3.11) is a general equation for the transverse displacement of the contact points of a piecewise homogeneous or two-layer viscoelastic plate of constant thickness.
For an equation
duff> dvf>
—-—|--— of the same form as (3.11), but with the other right-hand side.
dx dy
n=0
n=0
n=o
L
2
References
1. Lyav A. Matematicheskaya teoriya uprugosti. M.-L.: ONTI, 1935. 630 s.
2. Filippov I.G., Yegorbichev O.A. Volnovie protsessi v lineynix vyazk-ouprugix sredax. M.: Mashinostroenie, 1983. 272 s.
3. Achenbach J.D. An asymptotic method to analyze the vibrations of elastic layer // Trans. ASME, 1969. Vol. E 34. No 1. P. 37-46.
4. Brunelle E.J. The elastics and dynamics of a transversely isotropic Timoshenko beam // J. Compos. Mater., 1970. Vol. 4. P. 404-416.
5. Brunelle E.J. Buckling of transversely isotropic Mindlen plates // AIAA, 1971. Vol. 9, No 6. P. 1018-1022.
6. Gallahan W.R. On the flexural vibrations of circular and elliptical plates // Quart. Appl. Math., 1956. Vol. 13, No 4. P. 371-380.
7. Dong S., Analysis of laminated shells of revolution // J. Esg. Mech. Div. Proc. Amer. Sac. Civil Engrs., 1966. Vol. 92, No 6.
8. Dong S., Pister R.S., Taylor R.L. On the theory of laminated anisotropic shells and plates // J. of the Aerosp. Sci., 1962. Vol. 29, No 8.
9. Kane T.R. Mindlin R.D. High-frequency extensional vibrations of plates // J. Appl. Mech., 1956. Vol. 23, No 2. P. 277-283.
10. Monforton C.R., Schmot L.A. Finite element analysis of sandwich plates and cylindrical shells with laminated fases // Proc. Of the Conference an Matrix Methods in Struct. Mech TR-68-150 Air Force Fligth Dynamics Lab. Wright-Patterson Air Force Base Ohio, 1968.
11. Schmid L.A., Monforton G.R. Finite deflection discrete element analysis of sandwich plates and cylindrical shells with laminated faces // AIAA Journal, 1970. Vol. 8, No 8.
