CC BY
38
УДК 629.76
А. В. Лопатин, Л. В. Шумкова
НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ОРТОТРОПНОЙ МЕМБРАНЫ, НАТЯНУТОЙ НА ЖЕСТКИЙ КАРКАС
Рассматривается задача о деформировании натянутой на каркас солнечной батареи ортотропной мембраны с расположенными на ней фотоэлементами
Конструкция солнечной батареи космического аппарата (рис. 1) состоит из углепластикового каркаса (рис. 1, а) и натянутой на него ортотропной мембраны, на которой крепятся фотоэлементы (рис. 1, б).
мембраны регламентируется. Величина прогиба при заданной нагрузке зависит от усилия натяжения и упругих параметров мембраны.
В работе получено уравнение, связывающее между собой усилие натяжения, действующую нагрузку, геометрические и упругие параметры мембраны и прогиб в центре мембраны. Это уравнение позволяет определять требуемое усилие натяжения при заданном прогибе.
Отнесем плоскость мембраны к системе координат х, у и обозначим через а и Ь размеры мембраны по осям х и у соответственно (рис. 3).
У *
Рис. 3. Система координат и размеры мембраны
Рис. 1. Солнечная батарея: а - каркас; б - мембрана с фотоэлементами
В процессе сборки на каркас солнечной батареи накладывается мембрана и натягивается по периметру (рис. 2).
Деформирование ортотропной мембраны описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, которая включает уравнения равновесия:
дЫх дЫх
■ — 0.
N. Ж.
= 0,
Эх ду дх ду
- МхХ х - хуХ ху - уХ у + Р — 0
физические соотношения
(1)
Nx = В11Єх + В12Єу + Тх ,
Nу = В12Єх + В22Єу + Ту , Nху — В33Єху ,
(2)
геометрические соотношения:
л , \2
Є х — -------1---
х дх 2
дм
ду 1
Є у — ^------+
’ ду 2
ду
у ;
После натяжения мембрана закрепляется на каркасе, и к ней крепятся пластины фотоэлементов. При выведении космического аппарата на орбиту, во время раскрытия солнечной батареи на мембрану действует распределенная нагрузка, равная произведению погонного веса фотоэлементов и полотна мембраны на перегрузку. Под действием этой нагрузки мембрана прогибается. При проектировании конструкции солнечной батареи прогиб
дх
V у
= ди ду дм дм
х ду дх дх ду
д2м д2м , д 2м
Хх — Г""^ ’ Ху — ’ Xху — ~2~
дх2 ду2
(3)
дхду
В уравнениях (1), (2), (3) ^, Ny, ^у - мембранные усилия; ех, еу, £ху - мембранные деформации; Хх, Ху, Хху -изменение кривизны и кручение плоскости мембраны; и, V - перемещение мембраны по осям х и у соответ-
ственно; - прогиб мембраны; Бп, В12, В22, В33 - мембранные жесткости; р - давление, действующее на мембрану; Г, Т - усилия натяжения мембраны вдоль осей х и у соответственно.
Получим разрешающую систему уравнений, содержащую в качестве неизвестных перемещения и, V, ж. Последовательно подставляя (2) и (3) в (1), получим:
д 2u
д2и
В і д 2 + B„ д
dx dy
іі 2 + B33 2 + (B!2 + B33)
d2v
+ B
dw д2
dxdy dy dxdy
+ (Bn + B33)
dw д w
+B
дw д w
33 дy dxdy 33 дx дy2
= о.
(Bn + B33)
д 2u
д v
д2v „ дw d2w
--------+ B33-----Г" + B))--------— + B33---------
дxдy дx дy дy дx
+(A2+bsj) ^ i!w+вп ^ siw=о.
v і2 33' дx дxдy 22 дy дy2 '
(4)
ди d2w ди д2w і Caw Y д2w і Caw Y д2w
іі foix2 + і2 dx~y+2 ііІ "ax I axr + 2 і2 lax І эУ2"
+д
w
dv d2w 1 Cdwл2 a2
і2 dy ax2 +B22 dy dy^ Bl2
д w +і B
dx2 +" B22
2
С dw f dw dy 2
+-----By)
2 і2 dy
\ J
ди д2w dv d2w dw dw д2w
+ 2B33-----------------+ 2B33------------------------+ 2B33 ——— —— +
dy
v • / 2
dy dxdy
dx dxdy
dx dy dxdy
+ Tx —— + Ty —— + P — 0.
X dx2 y dy2
Удовлетворяя граничным условиям, предполагающим отсутствие перемещений на краях мембраны, представим решение уравнений (4) в следующем виде:
. . т. . 2nx . пу
u(X,у) — U sin----------sin J
a b
(5)
п b b
_4 „2 „2 „4
C22 = 3[3Bn — + 2(3A2 - 2B33)-2-2 + 3B22 -4]. a abb
По уравнениям (6) найдем
U = -bla22 - b2al 2 W 2 у = -b2aH - Ьід2і
2
ana22 a^ Подставляя (9) в (7), получим
ana22 an
2
c33W3 + c11W - p
і53б
=о,
где
Сзз = c22 +
Ьі (a22c12 - a21c21 ) + b2(anc2! - a12c12)
2
ana22 a^
(9)
(10)
. (11)
. . T. . nx . 2ny
v(x. y) = У sin-sin---J
ab
nx ny
w( x. y) = W sin—sin—,
ab
где U, V, W - неизвестные числа, подлежащие определению.
Подставляя (5) в (4) и используя процедуру Бубнова-Галеркина, получим систему нелинейных алгебраических уравнений
- auU - «і2у = b!W2 , -а2і U - a22y = b2W2, (6)
1
- cnW + cuUW + c^VW - c22W3 + p — = о . (7) Здесь
„2 „2 і
п п і
aH = 9(4Bn — + B33 "72) , aU = a21 = 64(B!2 + B33)^~,
a2 b2 ab
22 пп
a22 = 9(4B22 TY + B33 _2 ) , ba б п2 п2
Ьі = _[2Bn “j- ^2 -B33)72],
a a b
б п2 п2
b2 = 6[2B22^-(Bu -B33)^], (8)
b b2 a2
п2 п2 і28 п п2 п2
c„ = 96(Tx -2 + Ty -2), c„ =-[2B„ -2 + (2Bn + B33)-2],
a2 b2 п a a2 b2
[2B22-2 + (B + B33)—],
Кубическое уравнение (10) является основным для рассматриваемой задачи. Оно связывает между собой усилия натяжения Тх, Т, действующую нагрузкур, размеры мембраны а, Ь, упругие параметры Вп, В12, В22, В33 и прогиб в центре мембраны W. Рассмотрим некоторые варианты использования этого уравнения:
- заданы упругие и геометрические параметры мембраны, усилия натяжения и давление. По уравнению (10) определяется прогиб W. Затем, используя уравнения (9), находятся величины и и V. Равенства (5) задают распределения перемещений по поверхности мембраны. При необходимости, используя уравнения (2) и (3), можно определить мембранные усилия;
- заданы упругие и геометрические параметры мембраны, давление и требуемый прогиб. По уравнению (10) можно найти усилие натяжения, обеспечивающее регламентируемый прогиб.
Сделаем здесь одно замечание. Уравнение (10) получено в предположении, что перемещения мембраны могут быть с достаточной точностью представлены одним членом двойного тригонометрического ряда (5). Это допущение может считаться справедливым для несильно вытянутых мембран. Для солнечных батарей каркас проектируется таким образом, что отношение а / Ь не превышает 2. Поэтому уравнение (10) вполне может быть использовано для определения параметров напряженно-деформируемого состояния мембраны, особенно на этапе проектных расчетов.
В качестве примера получим разрешающее уравнение (10) для изотропной квадратной мембраны, растянутой по контуру одинаковым усилием. Для такой мембраны
а = Ь , Т= Ту = Т, Би = Б22 = В , В12 = Бд, (12)
2
h
і-м2
где Т - усилие натяжения; h - толщина мембраны; Е -модуль упругости; д - коэффициент Пуассона материала мембраны. Подставляя (12) в (8) и (11), после некоторых преобразований получим разрешающее уравнение (10) в следующем виде:
4
+|т4^ - р4 = 0 , (13)
а 2 а п
г 1 ,4(2 + 2д + т)(2 — д + т). 3 2 1 — д
где / =-- ^—а—^—Ь) + — (1 + д—т)); т = .
1 — д2 9п2(4 + т) + 64(д + т) 64 3 2
Преобразуем уравнение (13) к безразмерному виду. Для этого введем в рассмотрение новую функцию - безразмерный прогиб
w
2
п
+
2
+
+
2
2
c=
2і
a
h
(14)
Подставляя (14) в (13), получим кубическое уравнение
z3 +-
1 о a
4 pa
2п2f E h2 %bf E hA
(15)
где о = Т / Н - напряжение натяжения мембраны. По уравнению (15) следует, что безразмерный прогиб г зависит от трех величин: о / В, р / В и а /Н .
Представим изменение безразмерного прогиба г в зависимости от аргументовр /Е и о /Е (рис. 4). Расчет выполнен для а / h = 1 000.
Зависимость г(р /Е, о /Е) носит нелинейный характер. По мере роста усилия натяжения влияние давления уменьшается. Отметим, что эта особенность поведения прогиба сохраняется и для ортотропной мембраны.
Таким образом, решена задача о деформировании ортотропной мембраны, натянутой на жесткий каркас. Полученные результаты могут найти применение при проектировании солнечных батарей космических аппаратов.
i"’
Рис. 4. Изменение безразмерного прогиба
A. V. Lopatin, L. V. Shumkova
NONLINERIAN DEFORMATION OF AN ORTHOTROPIC MEMBRANE STRETCHED ON THE FRAME
The problem of the deformation of an orthotropic membrane stretched on a frame of the solar battery is presented.
z -
