Задача термоупругости о взаимодействии частично теплопроницаемых трещин под действием теплового потока Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. № 6(72)

УДК 539.375

105

ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЧАСТИЧНО ТЕПЛОПРОНИЦАЕМЫХ ТРЕЩИН ПОД ДЕЙСТВИЕМ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА

© 2009 М.Г. Ордян, В.Е. Петрова1

Задача термоупругости о взаимодействии макротрещины с микротрещинами в материале под действием теплового потока рассмотрена для случая частично теплопроницаемых трещин, причем предполагалось, что теплопроницаемость макротрещины и микротрещин разная. Рассматривалась несвязанная задача термоупругости, решение которой состоит из решения задачи теплопроводности для частично теплопроницаемых трещин и решения упругой задачи. Проведено исследование влияния расположения трещин и их ориентации на критические тепловые потоки в вершинах макротрещины при разных коэффициентах теплопроницаемости поверхностей трещин.

Ключевые слова: трещина, коэффициент интенсивности напряжения, критический тепловой поток, сингулярное интегральное уравнение, малый параметр.

Введение

Проблемы термоупругости в телах, ослабленных системой трещин и находящихся под действием тепловых нагрузок, часто возникают в различных технических задачах. Неоднородность тепловых полей порождает неоднородность деформаций и напряжений в материалах, что в свою очередь может быть причиной появления новых дефектов и распространения уже имеющихся. Поэтому важно исследовать влияние взаимодействия неоднородностей в форме трещин под действием тепловых и механических нагрузок на распределение тепловых полей и деформаций, чтобы понять качественную картину происходящего процесса. В настоящее время существует большое количество исследований в этой области. Обзор работ можно найти в [1]. Решение задачи термоупругости для системы термоизолированных

хОрдян Микаел Гарегинович (omg84@mail.ru), Петрова Вера Евгеньевна (veraep@gmail.com), кафедра уравнений в частных производных и теории вероятности Воронежского государственного университета, 394006, Россия, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

трещин в биматериале дано в работе [2]. Решение задачи для однородного материала с системой термоизолированных трещин можно найти в работе [3]. В работе [4] рассматривалась задача о частично теплопроницаемой межфазной трещине. Был введен коэффициент теплопроницаемости трещины п £ [0,1]: п = 0 соответствует термоизолированной трещине, п = 1 — полностью теплопроницаемой трещине. В настоящей работе используется аналогичная модель трещин с частично теплопроницаемыми поверхностями в однородном материале под действием теплового потока и исследуется влияние коэффициентов теплопроницаемости трещин на критические тепловые потоки в вершинах трещин. При этом предположим, что длина одной трещины намного превышает длины остальных трещин.

1. Формулировка задачи

Рассмотрим изотропный теплопроводящий бесконечный материал, содержащий систему непересекающихся частично теплопроницаемых трещин: макротрещину длиной 2ао и микротрещины длиной 2ак (к = 1, 2, ■■■ N). Декартова система координат х, у выбрана так, чтобы начало координат совпадало с центром макротрещины и ось х лежала вдоль линии макротрещины. С каждой внутренней трещиной связана локальная система координат (хк,Ук) таким образом, что ее начало совпадает с центром трещины 2^0, а ось Хк расположена вдоль линии трещины. Положение микротрещин определяется координатами их центров и углами наклона ак (к = 1, 2, ■ ■ ■, N) к оси х (рис. 1.1). На материал действует тепловой поток интенсивности ц , приложенный на бесконечности перпендикулярно оси х.

1114 11

Рис. 1.1. Схема расположения трещин в материале

В работе рассматривается несвязанная задача термоупругости, решение которой состоит из решения задачи теплопроводности для частично теплопроницаемых трещин и решения упругой задачи.

2. Задача теплопроводности

Полная температура материала Т*(х,у) представляется в виде двух слагаемых

Т *(х,у) = Т0(х, у) + Т (х,у), (2.1)

где Т0(х,у) — температура в бездефектном материале, Т(х,у) — возмущенное температурное поле, вызванное наличием дефектов.

Стационарное температурное поле в рассматриваемой области удовлетворяет уравнению Лапласа

АТ *(х, у) = 0, (2.2)

т. е. Т*(х,у) является гармонической функцией, причем это справедливо и для функций Т0(х,у) и Т(х,у).

Предположим, что трещины частично теплопроницаемые. Тогда граничные условия для основной задачи будут следующими: на поверхностях трещин имеем

дТ*(х, 0+) дТ*(х, 0-)

дy дy

дT*(xn, 0+) _ дT*(xn, 0-)

= -noqo(x), \x\ ^ ao,

= -nqn(xn), \xn\ ^ an, (2.3)

дyn дyn

в вершинах трещины имеем условия согласования

T*(±ao, 0+) = T*(±ao, 0-), T*(±an, 0+) = T*(±an, 0-) (2.4)

и условие на бесконечности

дT *(x,y) 2 2 , ч

--- -----= q, x2 + y2 ^ to. (2.5)

дy

Соотношениями (2.3) моделируется частичная теплопроницаемость поверхностей трещин. Мы предполагаем, что через линию трещин проходят тепловые потоки qy и qyn, составляющие некоторую часть от тепловых потоков qo и qn, которые были бы при полной теплопроницаемости поверхностей трещин. В этих соотношениях no = const и п = const — коэффициенты частичной теплопроницаемости поверхностей макротрещины и микротрещин соответственно. Они изменяются от G до І, где G соответствует случаю теплоизолированных трещин, а І соответствует случаю полной теплопро-ницаемости поверхностей трещин.

Решение задачи для бездефектного материала известно, и под воздействием теплового потока q имеет следующий вид:

To(x,y) = qy, (2.6)

где к = const — коэффициент теплопроводности материала.

Решение задачи для нахождения возмущенного температурного поля, вызванного наличием дефектов в двухкомпонентном материале, получено в работе [5], где для определения неизвестных функций Yk(x), к = 0,1, ■ ■ ■ ,N,

производных от функции скачка температур на линиях трещин, построена система уравнений для частично теплопроницаемых трещин, которая в частном случае, когда коэффициенты теплопроводности материалов одинаковы, имеет следующий вид: а0 N ак

' ,1Г' ” .-Г \%\

к=1_

а0 N ак

! ^ - П°) ^ J Р°к(^> х)7к(^ = п<?о(1 - По), |х| < й°, (2.7

— ак

ао

I ^—~х^ + (1 - п) / Рп°(^,х)7°(^)^^ +

—ап —ао

N ак

+ ^ / Рпк&х)7к(£)^ = П^п(1 - п), 1x1 < йп, (2.8)

к=1,к=п_"

ак

п = 1, 2, • • •, К,

где

и регулярные ядра есть Рпк (Ь,х) = Яе[

О Еч со дт °‘

9° = - ду , Яп = — У=° дуп_ Уп =0

:-----------°---------:-гг], к,П = 0, 1, • • • N.

ЬеЮк + х° — хегап — гП

Функции 7к (£) должны удовлетворять условиям

ак

У Ук(£)& = 0, к = 0,1, • • • К,

(2.9)

(2.10)

(2.11)

— ак

которые следуют из соотношений (2.4) и обеспечивают однозначность этих функций при обходе контура.

Полученная система уравнений решена методом малого параметра для случая, когда длина макротрещины намного больше характерной длины микротрещины, т. е. 2й° >> 2йк (за малый параметр принято отношение длины микротрещины к длине макротрещины, т. е. Л = й/й° << 1, йк = = й, к = 1, 2, ••• N). Решение системы уравнений (2.7), (2.8) с условиями (2.11) получено с точностью до второго приближения малого параметра Л, которое в безразмерных координатах % = х/йп имеет следующий вид:

/ ( ) X (1 ) Л2 (1 - п)(1 - п°)

7°(Х) = . „ 9°(1 - П°) - ------------------------------- -— х

а/т —

X2

2

а/т—

X2

N

х ^ Ее[егак к=1

1 - Х^к

(Х - Мк)2^М1 - 1

]{як - я°(т - п°)Ке[егак(1 -

(2.12)

=)]},

1п(х) = Л%(^ п) {дп — д°(1 — п°)Ке[е-гап (1 —

л/Т—

Х2

МП- 1

)]} +

п

гап

х2 + 1/2 е2гап

+ л2—, 2 9°(1 - п°)(1 - п)^е[т^—т)372Ь (2.13)

а/1 - X2 (мП -1)3/2

п = 1, 2, • • • ,Ы, где мк = г°/й°.

Аналитические формулы (2.12), (2.13) учитывают взаимодействие каждой микротрещины с макротрещиной.

3. Термоупругая задача

Пусть упругое изотропное тело, находящееся в состоянии плоской деформации, отнесено к декартовой системе координат (рис. 1.1). На основании обобщенного закона Гука имеют место соотношения [6]

ди ' дх ’ ' дх ’

— V (&х + &у) + ЕагТ = 0 ;

,ди ду „

'ду + дх'

&х — V (&у + &х) + ЕагТ — Едх 5 ау — V (°Х + ах) + ЕаТ — Ет^; (З-1)

тху — + -б::))

где ах, ау, ах, тху — компоненты напряжений, и, V — составляющие вектора перемещений, Е — модуль Юнга, ц = Е/2(1 — V) — модуль сдвига, V — коэффициент Пуассона, аг — температурный коэффициент линейного расширения.

Предполагается, что тело находится под действием установившейся температуры, т. е. функции Т(х,у), которую можно представить в виде действительной части некоторой аналитической функции /(г), уже известной из задачи теплопроводности. Компоненты перемещений на основе формул (3.1) определяются через аналитические функции ф(г), ф(г) и J /(г)йг в виде [7]

&у - гтху = Ф(г) + Ф(г) + гФ'(г) + Ф(г),

2^(и + т) = кф(г) — гФ(г) — ф(г) + в ^ /(г)йг, (3.2)

ф'(г) = Ф(г), 'ф'(г) = Ф(г),

где к = 3 — ^, в = агЕ — для плоской деформации и к = (3 — V)/(1 + V), в = а*Е/(1+ V) — для плоского напряженного состояния.

На линиях трещин при условии отсутствия механической нагрузки граничные условия, записанные в напряжениях, представлены как

а±(х, 0) — гт±у(х, 0) = 0. (3.3)

Знаки ” +” и ” —” обозначают предельные значения функций на верхней и нижней поверхностях трещин соответственно.

Сингулярные интегральные уравнения для системы произвольно расположенных трещин с граничными условиями (3.3) имеют вид [3]

ап N ак

I ^ ^ ( [Си(Ь)Кпк((,х) + Ск(()£пк(^, ж)]^^ = 0, \х\ <ао, (3.4)

-ап Х к=0,к=п-ак

п = 0,1, • • • N.

Здесь Кпк, Ьпк — регулярные ядра, содержащие геометрические параметры задачи:

е^ак

' " + ==-

Кпкх) — 2

е — ^ак

^пк ((, х) ~

Тк - Хп Тк - Хп\

1 + Т - Хп е-^ап

(3.5)

Тк - Хп (Тк - Хп)2

Функции Сп(х) состоят из двух слагаемых: неизвестных производных разрывов перемещений д'п(х) и функций 7п(х), известных из решения задачи теплопроводности (2.12), (2.13). Имеем

Сп(х) — д'п (х) + 2г5^п(х), (3.6)

дп (х) — фГ+Г) 1([ик] + фк])>

здесь 5 — в/(к + 1), [и к ] и [^к ] — скачки перемещения на линиях трещин. Решение уравнений (3.4) должно удовлетворять условиям

ап ап

У Сп(()й( — гАп — -2г5 J (7'п (()сМ, (п — 0,1, ••• ), (3.7)

- ап - ап

которые обеспечивают однозначность смещений в области, занимаемой телом. Здесь было учтено, что 7п(±а) — 0, которое следует из (2.4).

В случае, когда длина одной трещины намного больше длины остальных, в работе [1] получено асимптотическое аналитическое решение системы (3.4) методом малого параметра. За малый параметр принято отношение длины микротрещины к длине макротрещины, т. е. Л — а/ао << 1. В системе введена замена переменных х — \ак, ( — так, к — 0,1, ••• N и совершен переход к безразмерным величинам Шк — <г°/ао.

Асимптотическое аналитическое решение этой задачи для макротрещины получено с точностью до Л2 в следующем виде:

С0(х) — С00(х) + ЛС01(х) + л2с02(х) — (3.8)

г Л2 М

—------1 2 {А00 + л2А02 + -у ^(А001кот0к1(х) - Аоо!к0п'ок1(х) +

1 - х к=1

+ 2Ак1[токо(х) - поко(х)])}-

Функция Ско(х), которая является первым членом решения для микротрещин при разложении по Л, имеет вид

Ско(х) —------А= 1ко, (3.9)

Ку/1 - X2

где

Т Т

Tk0

п\/wk - і

+

w2 -1

e 2iak (1 - wk wk)

(w2 -1)3/2

(3.10)

m0kl(x) =eiak Re n0kl(x) =

oiak .

1 - wk x

(x - wk)2\j wk-1

— 2iak

(wk - wk)

2(x - wk')2^w2k - 1 _ ) x2 - 2wkx + 3wk- 2

+ (e2iak - 1)(1 - wkX)

(x - wk )(wk-1)

(3.11)

moko(x) =

eiak

wk-1 ywk-1

2 + -ї----------------

X - wk

X - wk

noko(X) =

e iak (wk - wk)(1 - wkx) 2 (x - wk)2\jwk-1

Постоянные Аоо, А02, Ак1 в уравнениях (3.8), (3.9) выражаются через решения задачи теплопроводности следующим образом:

ao

ao(Aoo + Л2Ao2) = -2$ J tj'o(t)dt.

-ao

(3.12)

an

anЛAnl = -26 j tin(t)dt.

Подставив (2.12), (2.13) в (3.12), (3.13), получим

Aoo = n6ao(1 - no)q,

N

A02 = n6ao(1 - no)q^2 JTRe[eiak( Anl = -n6aoqJ

wk

k=l

w2 - 1

- 1)],

JT,

(3.13)

(3.14)

где Jj = (1 - n){cosak - (1 - no)Re[etak(1 - wkj\jw2k - 1)]}.

Здесь учтено, что qo = -q, qo = -q cos ak, что имеет место в случае однородного теплового потока интенсивностью q, приложенного на бесконечности.

1

х

2

a

n

4. Коэффициенты интенсивности напряжений

Коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) вычисляются по формуле [3]

к±п - ікПи = Т Ііт -/аПл/1 - Х2Сп(х), п = 0,1, • • • N.

X ±1

(4.1)

Подставляя (3.8) в формулу КИН (4.1) и отделяя действительную и мнимую часть, получим

Л2 *

к±о = ±-25аол/а0д(1 - По)^{Ке{Тко) 1т[т'ок1(±1) - п0к1(±1)} +

к=1

+ V(1 - П0) Іт(Іко)Яе [т0кі(±1) + п0кі(±і) + +2,1ІІт [шоко(±1) - по ко(±1)]} ,

(4.2)

А2

N

к±іо = ±$аол/а00д( (1 - По) + ^ V[23к (1 - по)Яе[егак(

Щк

2 к =1

+ (1 - по) Ие [іко]Щт'окі(±1) - по кі(±1)] +

- 1)] +

(4.3)

+ V (1 - по) 1т (/Т) 1т [т0к1(± 1) - п0к1(±1)] -

-23^Ее[токо(±1) - Поко(±1)}}) •

Здесь введен параметр V, отвечающий за закрытие микротрещин, который определяется из условия

0, к11е < 0, (4 4)

1, кк > 0, 1 ' >

где кхк — коэффициент интенсивности напряжений в вершинах микротрещин, который получаем, подставив (3.9) в формулу КИН (4.1)

V =

; ± = А5аол/аод(1 - По) Т_ кік = 2

0—2іак _ 1

+

1

е 2іак (1 - Щ к^к)

(Щ - 1)3/2

(4.5)

5. Определение критического теплового потока

Рассмотрим вопрос о предельном равновесии тела с системой микротрещин, взаимодействующих с макротрещиной под действием теплового потока. Определим критический тепловой поток до и угол начального распространения макротрещины во.

Как видно из выражения КИН (4.2), наличие микротрещин приводит к появлению КИН к±, то есть в окрестности вершин макротрещины будет смешанное напряженно-деформированное состояние. В зависимости от

расположения микротрещин выражение к±0 (4.2) может принимать отрицательные значения, что означает появление областей перекрытия берегов трещины. В этих случаях будем полагать к± = 0. Такое допущение не сильно отразится на численных результатах, так как |к±0/к±0| << 1.

Будем считать, что разрушение происходит хрупко и направление начального распространения трещины совпадает с плоскостями, нормальные растягивающие к которым достигают наибольшей интенсивности. Тогда угол начального распространения макротрещины во определяется формулой _______________

к±о (к±о)2 + 8(к±го)2

во = 2 аг^

4к± 4кі о

(5.1)

а условие предельного равновесия имеет вид

=СОй3 Т (к±- 3к±) *6 у) (5.2)

при предположении, что постоянная Кіс, характеризующая сопротивление материала разрушению, не зависит от температуры [3].

Критический тепловой поток д°, отнесенный к тепловому потоку для одиночной трещины дс, имеет вид

^ ^^, (5.3)

дс V 3 СОч3 во ( кю _ 3 + ~ во _^но_\

СиЬ 2 \ддао^Щ) 01Ь 2 я&аОл/а0 )

где дс — критический тепловой поток для одиночной трещины, находящейся под действием однородного теплового потока, направленного перпендикулярно линии трещины

= Тз Кіс (5 4)

дс =2 ^ПаОёао' ( ^

Формулу (5.3) с к±о и к±іо, определяемую выражениями (4.2), (4.3), используем для определения критических тепловых потоков в вершинах макротрещины. Исследуем влияние микротрещин, а также коэффициентов теп-лопроницаемости поверхностей трещин на д±/дс.

На рис. 5.1 изображены графики зависимости критического теплового потока д+о/дс (5.3) в правой вершине макротрещины от координаты центра микротрещины х]. Графики на рис. 5.1 построены для одной трещины, параллельной оси х (а\ =0) и на расстоянии у] = 0, 25 от нее. Максимум д+о/дс наблюдается при хо ~ 1,15 (п = 0,9) и уменьшается со спадом теплопроницаемости микротрещины п. Минимум д+о/дс наблюдается при хо - 0, 87 (п = 0, 9).

На рис. 5.2 и 5.3 изображены графики зависимости критического теплового потока д+о/дс (5.3) в правой вершине макротрещины от угла наклона микротрещин. Рассматривается случай, когда в материале существует поле микротрещин, расположенное над макротрещиной. Координаты центров

трещин определяются по формуле = {(—0, 8+і• 0, 2) + г(0, 25+р■ 0, 25); і = = 0,1, ■■■, 8; р = 0,1, ■■■, 4}.

Чп1 Чс

Рис. 5.1. Графики зависимости критического теплового потока в правой вершине макротрещины д+о/Яс от координаты центра микротрещины х1 при разных значениях п. Сплошная линия соответствует п = 0, частый пунктир — П = 0, 5, редкий пунктир — п = 0, 9 (по = 0)

На рис. 5.2 показано, что влияние поля термоизолированных микротрещин на частично теплопроницаемую макротрещину при большинстве случаев расположения трещины приводит к повышению критического теплового потока (д+о/дс > 1), а значит, и к повышению прочности тела. На рис. 5.3 показано влияние поля частично теплопроницаемых микротрещин на термоизолированую макротрещину. В большинстве случаев расположения системы трещин наблюдается понижение критического теплового потока (д+о/дс < 1).

N ч V у /

/ /■

’•'•ч »- "

- - 3— —

Рис. 5.2. Графики зависимости критического теплового потока в правой вершине макротрещины д+о/дс от угла наклона микротрещин а^ при п = 0.

Сплошная линия соответствует по = 0, редкий пунктир —

частый пунктир

по = 0, 6

по

0, 3,

2

4

2

4

?0 1 Чс

\ \ \ \ 4 к 2 3к т //* к р \

\ \ \ \ \ \ \ ' /// / / /У/

\ \ * / ///

\

Рис. 5.3. Графики зависимости критического теплового потока в правой вершине макротрещины д+о/дс от угла наклона микротрещин а^ при по = 0. Сплошная линия соответствует п = 0, частый пунктир — п = 0, 5, редкий пунктир — п = 0, 9

Заключение

Задача термоупругости о взаимодействии макротрещины с микротрещинами в материале под действием теплового потока рассмотрена для случая частично теплопроницаемых трещин, причем предполагалось, что теплопро-ницаемость макротрещины и микротрещин разная. Система сингулярных интегральных уравнений задачи решена методом малого параметра. За малый параметр принято отношение длины микротрещины к длине макротрещины (считаем, что размер макротрещины намного превышает размер микротрещины). Получены асимптотические аналитические выражения для производных разрывов перемещений на линиях трещин и для коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещин с точностью до второго приближения малого параметра. Полученные функции позволяют проанализировать влияние геометрических и теплофизических параметров задачи на распределение напряжений, вызванных возмущенным температурным полем в материале с трещинами. В частности, проведено исследование влияния расположения трещин и их ориентации на критические тепловые потоки в вершинах макротрещины при разных коэффициентах теплопроница-емости поверхностей трещин. Получено, что величина критического теплового потока существенно зависит от геометрии расположения микротрещин и их ориентации. Показано, что наличие микротрещин может как увеличивать критические тепловые потоки макротрещины, так и уменьшать их относительно критических тепловых потоков одной макротрещины. Увеличение критических тепловых потоков означает повышение прочности тела. Изменение теплопроницаемости поверхностей макротрещины приводит к существенному изменению критических тепловых потоков.

Литература

[1] Tamuzs V., Romalis N., Petrova V. Fracture of solids with microdefects. New York: NOVA Science Publishers Inc., 2000. 247 p.

[2] Petrova V., Herrmann K. Thermal crack problems for a bimaterial with an interface crack and internal defects // International Journal of Fracture. 2004. V. 128. P. 49-63.

[3] Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наук. думка, 1976. 445 с.

[4] Lee K.Y., Park S.J. Thermal stress intensity factors for partially insulated interface crack under uniform heat flow // Eng. Fract. Mech. 1995. V. 50. № 4. P. 475-482.

[5] Ордян М.Г. Задача теплопроводности о взаимодействии частично теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале // XXXV Гагаринские чтения: тез. докл. междунар. молодежной науч. конф., Москва, 7-11 апр. 2009 г. М., 2009. С. 64-66.

[6] Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

[7] Прусов И.А. Некоторые задачи термоупругости. Минск: Изд-во БГУ, 1972. 200 с.

Поступила в редакцию 19/У/2009; в окончательном варианте — 19/У/2009.

THERMOELASTICITY PROBLEM ABOUT THE INTERACTION OF PARTIALLY INSULATED CRACKS UNDER THE INFLUENCE OF A HEAT FLUX

© 2009 M.G. Ordyan, V.E. Petrova2

Thermoelastic problem about the interaction of a macrocrack with microcracks in a material under the influence of a heat flux was considered for partially insulated cracks with thermal conductivity coefficients to be different for the macrocrack and for microcracks. The uncoupled thermoelastic theory is applied so that the solution consists of the solution of the thermal problem for a system of partially insulated cracks and of the solution of elastic problem. The influence of the location and orientation of cracks on the critical heat fluxes at the macrocrack tips were investigated for different heat conductivity index of crack surfaces.

Key words: crack, stress intensity coefficient, critical thermal flux, singular integral equation, small parameter.

Paper received 19/V/2009. Paper accepted 19/V/2009.

2Ordyan Mikayel Gareginovich (omg84@mail.ru), Petrova Vera Evgenievna. (veraep@gmail.com), Dept. of Partial Derivative Equations and Theory of Probability, Voronezh State University, Voronezh, 394006, Russia.