Задача теплопроводности для биматериала с системой частично теплопроницаемых трещин и тепловым источником Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.375

ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ БИМАТЕРИАЛА С СИСТЕМОЙ ЧАСТИЧНО ТЕПЛОПРОНИЦАЕМЫХ ТРЕЩИН И ТЕПЛОВЫМ ИСТОЧНИКОМ

© 2009 М.Г. Ордян, В.Е. Петрова1

Работа посвящена стационарной задаче теплопроводности о взаимодействии трещин в двухкомпонентном материале (биматериале), находящемся под действием источника тепла. Предполагалось, что трещины теплопроницаемы, причём теплопроницаемости внутренних и межфазной трещин разные. Для построения основных уравнений задачи использованы методы комплексных потенциалов и суперпозиции. Сингулярные интегральные уравнения задачи решены методом малого параметра для случая, когда длина межфазной трещины намного больше характерной длины внутренней трещины. Получены асимптотические аналитические выражения для коэффициентов интенсивности тепловых потоков в вершинах трещин. Проведено исследование влияния расположения трещин и их ориентации на коэффициенты интенсивности тепловых потоков в вершинах межфазной трещины при различных коэффициентах теплопроницаемости поверхностей трещин и при разных расположениях теплового источника.

Ключевые слова: тепловой источник, граница раздела, трещина, коэффициент интенсивности теплового потока, коэффициент теплопроводности, комплексный потенциал, сингулярное интегральное уравнение, малый параметр.

Введение

В работе рассматривается двумерная задача теплопроводности о взаимодействии частично теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале (биматериале) с тепловым источником. Эта задача имеет как самостоятельное значение, так и вспомогательное, как первый этап решения несвязанной задачи термоупругости. Решение задачи теплопроводности с тепловым источником для системы термоизолированных трещин в биматериале

хОрдян Микаел Гарегинович (omg84@mail.ru), Петрова Вера Евгеньевна (veraep@gmail.com), кафедра уравнений в частных производных и теории вероятности Воронежского государственного университета, 394006, Россия, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

дано в работе [1]. Решение задачи для однородного материала с источником и стоком тепла одинаковой мощности для одной теплоизолированной трещины можно найти в работе [2]. Эти результаты используются в данной статье.

Двухкомпонентные материалы встречаются во многих конструкциях, и они подвергаются не только механическим, но и тепловым нагрузкам. Вдоль границы соединения материалов из-за разности их тепловых и упругих свойств возникают напряжения, приводящие к расслоению материалов и появлению межфазных дефектов. Также наличие трещин и других неод-нородностей и дефектов ведёт к дополнительному перераспределению тепловых потоков и, как следствие, к дополнительным напряжениям. Поэтому задача взаимодействия внутренних и межфазной трещин позволяет лучше понять механизм влияния неоднородностей на тепловые потоки и распределение температуры в биматериале.

В настоящее время существует большое количество исследований в этой области. Обзор работ можно найти в [3, 4]. В данной работе исследуется взаимодействие трещин при предположении, что трещины теплопроницае-мы, причём теплопроницаемости внутренних и межфазной трещин разные. В работе [5] рассматривалась задача о частично теплопроницаемой межфазной трещине. Был введён коэффициент теплопроницаемости трещины П € [0,1], п = 0 соответствует термоизолированной трещине, п = 1 — полностью теплопроницаемой трещине. Аналогичные коэффициенты введены и в данной работе. Более общие постановки задачи для теплопроницаемых трещин были даны в работе Г.С. Кита и Я.С. Подстригача (см. монографию [6]).

Для построения основных уравнений задачи использованы методы комплексных потенциалов и суперпозиции. Полученные сингулярные интегральные уравнения решены методом малого параметра [4] для случая, когда длина межфазной трещины намного больше длины внутренней трещины. Посчитаны коэффициенты интенсивности теплового потока в вершинах межфазной трещины и проанализировано влияние на них геометрии задачи, коэффициентов теплопроводности материалов и коэффициентов тепло-проницаемости трещин.

1. Формулировка задачи

Рассмотрим двухкомпонентный материал (биматериал), состоящий из двух изотропных теплопроводящих полубесконечных сред y > 0 (D1) и y < 0 (D2), с коэффициентами теплопроводности kj = const (j = 1,2). Предполагается, что на границе раздела материалов есть трещина длиной 2ао, а один из материалов содержит N внутренних трещин длиной 2ak (k = 0,1, •••, N). Декартова система координат x, y выбрана так, чтобы начало координат совпадало с центром межфазной трещины и ось x лежа-

ла на линии раздела материалов. С каждой внутренней трещиной связана локальная система координат (х^,Ук) таким образом, что её начало совпадает с центром трещины г0, а ось расположена вдоль линии трещины. Положение внутренних трещин определяется координатами их центров г0 и углами наклона (к = 0,1, ■ ■ ■, N) к оси х (рис.1.1). Предполагаем, что в некоторой точке г3 области у > 0 (В\) помещен источник тепла мощностью Q.

(Р,) у \ «

/

/ а У оУ Уа/ / X

X

(А)

Рис. 1.1. Схема расположения трещин в биматериале

Полная температура биматериала Т*(х,у) представляется в виде двух слагаемых

Т*(х, у) = Т0(х, у) + Т(х, У) (3 = 1,2), (1.1)

где Т0(х,у) — температура в бездефектном биматериале, Т(х,у) — возмущенное температурное поле, вызванное наличием дефектов.

Стационарное температурное поле в рассматриваемой области удовлетворяет уравнению Лапласа

АТ*(х,у) =0,

(1.2)

т. е. Т*(х,у) является гармонической функцией, причем это справедливо и для функций Т0(х,у) и Т(х,у). В этом случае применена теория краевых задач аналитических функций (см. монографии [7, 8]), т. к. гармоническая функция может быть представлена в виде действительной части некоторой аналитической функции комплексной переменной. Эта функция называется комплексным потенциалом задачи теплопроводности. Для построения решения воспользуемся этим методом.

Сформулируем сначала граничные условия для физических величин задачи. Предположим, что трещины частично теплопроводящие. Тогда граничные условия для основной задачи будут следующими: на поверхностях трещин имеем

к

дТ**(х, 0+) ду

дТ*п(хп, 0+)

. дТ*(х, 0-)

к2—^-= -ЦоЯо(х), \х\ ^ а0,

дуп

=к

ду

дТ*п(хп, 0-) дуп

= -Щп(хп), \хп\ ^ ап, 3 = 1, 2, (1.3)

к

У

на границе соединения материалов выполняются условия идеального контакта

ki дТ1*ду 0+) = k2 dT2dXy 0-), T*(x, 0+)= T2(x, 0-), |x| > ao,y = 0, (1.4) в вершинах трещины имеем условия согласования

Ti (±ao, 0+) = T2(±ao, 0-), T*n(±a,n, 0+) = T*n(±an, 0-) (1.5) и условие на бесконечности при отсутствии теплового потока

, dT?(x, y) , 0To(x, y) 2 2 . .

ki ^ ' yJ = k2 2у УJ =0, x2 + y2 (1.6)

dy dy

Соотношениями (1.3) моделируется частичная теплопроницаемость поверхностей межфазной и внутренних трещин. Предполагаем, что через линию трещин проходят тепловые потоки qy (x) и qyn (x), составляющие некоторую часть от тепловых потоков qo(x) и qn(x), которые были бы при полной теплопроницаемости поверхностей трещин. В этих соотношениях по = = const и п = const — коэффициенты частичной теплопроводности поверхностей межфазной и внутренних трещин соответственно. Они изменяются от 0 до 1, где 0 соответствует случаю теплоизолированных трещин, а 1 соответствует случаю полной теплопроницаемости поверхностей трещин.

2. Температура в бездефектном биматериале

Когда тепловой источник расположен в материале Di (y > 0) в точке zs, тогда комплексный температурный потенциал F°(z) для однородного материала Di (y > 0) известен и для теплового источника мощностью Q, расположенного в бесконечной плоскости, имеет следующий вид [9]:

F°(z) = - Z-ZS ■ ГДе * = 4. М

Комплексный потенциал для такого теплового источника в двусвязан-ных полуплоскостях без дефектов может быть построен следующим образом: _

F (z) = i F°(z) - KF0(z), z € Db где к = ki^i (2 2)

Fs(Z) 1(1 + K)FS0(z), z € D2, где K = ki + k2 • (2.2)

Комплексный потенциал, аналогичный (2.2) для биматериала с сингулярностью (в частности, с трещиной), построен в [1], при этом был использован метод, предложенный в [10], который основан на применении свойств аналитических функций.

Как было сказано выше, решение этой задачи является гармонической функцией и может быть представлено как действительная часть от аналитической функции, т.е. температура Tj0(x,y) имеет следующий вид:

Tj0(x,y) = kjRe[fjs(z)], где js(z) = j Fs(z)dz, z € Dj, j = 1, 2. (2.3)

3. Возмущенное температурное поле, вызванное наличием дефектов

Функция Т] (х,у), определяющая возмущенное температурное поле, также удовлетворяет уравнению Лапласа. Подставив (1.1) в (1.3)—(1.6), получим граничные условия для Т] (х,у)

, дТг(х, 0+) , 0Т2(х, 0-) -ду- = -ду-= (1 - П°)У°(х)> |х| ^ ао,

kj9Tjn^0±) = i1 - n)Qn(xn), |xn| < an, j = 1,2; (3.1)

ki miXy °+) = k2 miXy ' Ti(x, 0+)= T*(x> |x| > ao,y = 0; (3.2)

Ti(±ao, 0+) = T2(±ao, 0-), j(±an, ) = Tn(±an, °-); (3.3)

ki m^ = k2 = °, x2 + y2 ^ ^ (3.4)

dy dy

Задача состоит в определении гармонической функции Tj(x,y), удовлетворяющей граничным условиям (3.1)—(3.3) и условию на бесконечности (3.4). Функция Tj(x,y) может быть представлена как действительная часть от аналитической функции fj (z) комплексной переменной z

kjTj(x,y) = Re[fj(z)],j = 1, 2. (3.5)

Введем функцию

Fj (z) = fj (z) (3.6)

и функции 7k (x) , определяющие скачок температуры на линиях трещин

2Yo(x) = Ti(x, °+) - T2(x, °-), |x| < ao, 27 k (x) = Tjk (x, °+) - Tjk (x, °-), |x| <ak ,k = 1,2, ■■■ ,N,j = 1,2. (3.7)

Комплексный потенциал Fj (z) для случая, когда внутренние трещины расположены в материале Di (y > °), определяется следующим образом:

Fj (z) = Fo(z)+ Fn (z), (3.8)

где

ao

Fo(z) = T^1 f W1 dt,

ki + k2 m J t - z

- ao

Fn(z) H FN(zi-JTN,(z), z G d1, здесь K = k2 - ki

(1 + K)Fn(z), z € D2, ki + k2'

N an

Fn (z) = i t7^ dt,zn = e-ian (z - z°n), n = 1,2, ■■■ ,N.

ni —J J t — z, n=i a

- an

Для определения неизвестных функций 7к (х), к = 0,1, 2, •••, N в работе [1] построена система уравнений для случая термоизолированных трещин. Для частично теплопроницаемых трещин аналогичная система получена в следующем виде:

ао N ак

/ Т-Х^ + (1 - П°)Е / (¿,х)7к=

-ао к=1-ак

= 1 пдо(ж)(1 - По) кк+кк2, |х| < а0, (3.9)

а„ ао

к! / ^^ + (1 - П)^^ / Рпо(^,х)70+ ] ( - х к! + к2 7

—а„ —ао

N ак

+ к! ^ / Рпк(¿, х)7кда = П9„(ж)(1 - П), |х| < а„, (3.10)

к=!,к=п—ак

п = 1, 2,... где

в"

Pnfc (t, x) = Reí—-0-:-^ ], k,n = 0,1,... (3.11)

v y ' Чвгак + Z0 - Жв!а" - z°J' ' ' ' ' V ;

Функции (t) должны удовлетворять условиям

ak

j 7k (t)dt = 0, k = 0,1,... ,N, (3.12)

-ak

которые следуют из соотношений (3.3) и обеспечивают однозначность этих функций при обходе контура.

Тепловые потоки qo(x) и qn(x) в правых частях уравнений (3.9), (3.10) будут определены в следующем разделе.

4. Определение тепловых потоков на линиях межфазной и внутренних трещин

Используя уравнения (2.1)—(2.3), тепловой поток на межфазной линии, возникающий из-за действия теплового источника, получаем в следующем виде:

qo(x) = -ki= lim /m[Fs+(z)] = 1^F(x) - =

= -Pq(1 + K)1m[], |x| <ao, (4.1)

x zs

где F+(z) равна значению FS(z) в формуле (2.2) при z G Di.

Тепловой поток на линии п-й внутренней трещины, возникающий из-за действия теплового источника, получаем в следующем виде [2]:

ди(хи) = -к 1

= кг

дТ0(хп,Уп) дуп

Уп=к

дТ0(хп,Уп) . дТ0(Хп,Уп)

81п ап----сов ап

дх

ду

(4.2)

Уп =о

Используя замену переменных г = х®п + гпегап, = х®п + гвпегап в формулах (2.1), (2.2), частные производные функции Т(хп,уп) по переменным х и у вычисляем следующим образом:

к 1дт0(1п,Уп) = Иш Ее[Г+(гп)] = (1 - К)Ке[Е^(хп)] =

дх

= -ръ(1 - К)Ее[-

1

рю.п гр ук _ у

е хп + гп

(4.3)

к 1дТ?(хп,Уп) = - Иш 1т[Р+(гп)] = -(1 + К)1ш[Г0(хп)] =

ду ¿п^Хп

= ро(1 + К )1ш[--^-]. (4.4)

' 1 егап х + г0 _ г 1 у '

е хп + гп

Подставляя формулы (4.3), (4.4) в (4.2), получаем

0_п (хп) -

2^ ¡к* щ

кг + к2 I к2

хп е

-] 81п (1п +

+ 1ш[-

хп е

1 (гв гп)

ап (Ъ - г°пУ ] сов ап \ \хп\ < ап.

(4.5)

Формулы (4.1) и (4.5) определяют тепловые потоки, входящие в уравнения (3.9), (3.10).

5. Решение системы интегральных уравнений методом малого параметра

Предположим, что длина внутренних трещин намного меньше длины межфазной трещены, т. е. 2ак ^ 2ао, к = 1, 2, ■ ■ ■, N, и все микротрещины имеют одинаковую длину ак = а, к = 1, 2, ■■■ ^. В этом случае решение систем уравнений (3.9), (3.10) получаем с помощью метода малого параметра [4], принимая за малый параметр отношение длины внутренней трещины к длине межфазной, т. е. Л = а/ао ^ 1.

Подставляем (4.1), (4.5) в систему уравнений (3.9), (3.10). В полученной системе введем замену переменных х = \ак, t = так, к = 0,1, ■■■ ^ и перейдем к безразмерным величинам Wk = , и'в = а0, "Мвк = е а к -

а0 -

- ¿к), к = 0,1, ■■■ ^. Учитывая, что (X) в безразмерных координатах

пп

—га

п

е

га

п

е

имеет вид

dYn(x) = dMx)

dx n dx из формул (3.9), (3.10) получим

// Ч "7n(X) "7n(X) "If \ П 1 ЛГ /г n

Yn(x) = j., = an—,-= an7n(xan), n = 0,1 ■ ■ ■, N, (5.1)

1 N 1

-i — dT + (1 - no)V I Pok(ar,a0x)7k(т)dr ao 7 т - X J

-1 k=^i

(1 - П0)ПРд—1—], |x| < 1, (5.2)

aoki X - Ws

1 1

^ f dr + (1 - n)J+r f Pno(aoT,ax)Y0(т)dr + a 7 T - X -1 + -2 7

-1 -1 N 1

+ -1 £ Pnk (ar, ax)Yk (t )dr = (5.3)

k=1,k=n_ 1

=--77—n-w i i-Re[-]sin an + Im[-] cos a

ao (-1 + -2) A [-2 X - Wsn X - Wsn

|X| < 1, n = 1, 2, ••• ,N.

Неизвестные функции yo (x) и j'n (x) ищем в виде рядов по малому параметру A

го

70(X) = Е 70Р(Х)АР, 7П(X) = Е 7ПР(Х)ЛР- (5.4)

р=0 р=0

В регулярных ядрах (3.11) перейдем к безразмерным величинам и, разложив в ряды по малому параметру Л, получим

го

Рпк(апт, акх) = Е Рпки(а-пГ, акх)Ли, к, п = 0,1, 2, ■ ■ ■, N. (5.5)

и=0

Для сходимости разложения (5.5) необходимо выполнение неравенства

Л < 1, |т| < 1 к а0

при условии, если трещины не пересекаются.

Уравнения (5.2), (5.3) регуляризуем с использованием формул обращения для интегралов типа Коши [2] и, учитывая условия (3.12), подставив в уравнения ряды (5.4), (5.5), получим

£ *><Х)Л" = ^ { ^ / ^I"'*+

N 1 оо оо

г - zo/ao

]TP'oku(ar,aox)A^ т^(т)Apdr I , |xl < 1 (5.6)

---n --n I

■ v

"kpV

k=^1 u=o p=o

° 11 1>ПР(хМР = г-2у X

p=0 W1 - х2 ki

+

J 2k2Pq (1 - n) i V1 - T2 ki e sin an e cos a„ < —;——j- -(7- Re[-] + Im[-])d,+

1 ki + k2 J T - X k2 T - Wsn T - Wsn

i

2kik2(1 - n)

/о OO

E pPn0«(aoT, ax)A^ 70p(t )Apd, +

_1 ^_n

ki + k2 У ^ /0pV

_i «=i p=0

N \ o O

Y

* VfcpV

k=i,k=n^_i «=i p=0

£Pnku(aT,ax)Au£ Ykp(,)Apd, L |xl < 1, (5.7)

---1 --r\ I

где

i .- .

_ 1 Г д/1 - £2 Tueiu«k

pPok„(aT,aox) = — —-Re[—-—-y ]d£,

W £ - X (£ - wk)u-i -i

i ,_

1 Г л/1 _ £2 £M-ie«uan

Pn0«(aoT,ax) = - -^ Re[)-- ]d£, (5.8)

W £ - x (t - wra)u -i

i ,_

1 Г л/1 _ £2 e»an (£eia„ _ Te%ak )«-i

P"k"<aT'ax> = -J ^f Re[ ^ -w,„)u ' ]d£--i

k,n = 0,1, 2,...

Приравняв выражения при одинаковых степенях A, получим рекуррентную систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов Y0k, Ynk в рядах (5.4). Решение ищем с точностью до A2. Вычисляя интегралы в выражениях (5.6), (5.7), получим решение системы (5.2), (5.3) для межфазной и внутренних трещин

Y0 (x) = Yo o (x) + Ay0 i(x) + A2y0 2(x) = - m^TT^ ] +

kiv 1 - x2 [ x - ws

+ A2JT^ ¿ Re[e-k-1 - xW^_]/2(wsk) +

ki +k2 k= (x - wk

+ . 2 2k2(1 - П) ^ [Re[e2i«k x2 - 2xwfc + 3w2 - 2]r (w ) + ¿i[Re[e (x - wk)(w2 - 1)3/2 ]l4(wsk) -

(1 Re[e--1 - xw^_]/i(wk,ws)] ) , (5.9)

(x - wk)2^/w2 - 1

и

x

Y'nix) = YUX) + Hix(x) + ^Ux) = -X

x j (Re[(l Wn - - )e-ia" sin an] + Im[(1 - ^ - - )e-ia" cos an]) +

12 W sn - X W sn - X

+ X(1 - m)xh(Wn,W s)+ \2[-X 212(1V0)Y1 l2(Ws k )l3(Wn,Wk) +

N

- По) у

ki + k2

1 ^ ei(an+ak)

1........ £

k=1,k=n

+(X2 - 2)(1 - no)Ii(Wn,Ws)+ x £ Re[(wn - wk )2 ]l2(Wsk , (5.10) n = 1, 2, ■■■ ,N,

где

T. . 1 teia"( JwI - 1 -JW2-1)

I1(wn,ws) = — Im[-^^- v s —- +

2 (Wn - Ws)\ZW2n - 1

+ e-ian(JWn - 1 -TWJ-T)]

(Wn - Ws)\JW2n - 1

h(Wns) = k1 Re[( VW2Sn - 1 - Wsn)e-ian sin an] + k2

+ Im[(\JW2n - 1 - Wsn)e-ian cos an],

Jf , D uA(Wk, Wn) B(Wk, Wn) C (Wk, Wn) ,ei(ak +a") h(Wn,Wk) = Re[(-—2—-у--2—--------)---+

(W -1)2 w2 -1 yWk-IyWn-i 2

+ A(Wk,Wn) B(Wk,Wn) C(Wk,Wn) ) ei(ak-an) ] W -1)2 " w - 1 " 2

3 2

, , , -Wk - Wn + Wk - W^Wn A(Wk ,Wn) = -k 2 -2 k л ,

Wk (-wn + w2 + 2Wk Wn)

л wl + Wn - 2wk

B(Wk, Wn) = -7-^--Г ,

Wk (-wn + w2 + 2Wk Wn)

ru 4 1 + Wk Wn

C(Wk, Wn) =

-wn + w2 + 2Wk Wn

h(wsn) = Re[(-2 + wL - WsnVw2n - 1 )e-ia" sin an] +

1

+ Im[(-^ + w;n - WsnVwSn - 1)e ian cos can].

Полученное решение (5.9), (5.10) учитывает взаимодействие каждой микротрещины с межфазной трещиной. Взаимодействия между микротрещинами являются приближениями более высокого порядка.

6. Коэффициенты интенсивности теплового потока

По аналогии с коэффициентами интенсивности напряжений, являющимися характеристиками распределения напряжений в окрестностях вершин трещин, можно ввести коэффициенты интенсивности теплового потока.

Коэффициенты интенсивности тепловых потоков в вершинах межфазной трещины вычислим по формуле

к±о = + Ит У^о V1 - Х27о(Х)- (6.1)

Верхний знак соответствует правой вершине трещины, нижний знак — левой вершине трещины.

Подставим (5.9) в (6.1), тогда коэффициенты интенсивности тепловых потоков в вершинах межфазной трещины принимают вид

к±о = ±2(1 - По) ( т + 1 /ш[- 1 ]-

PgvWki m + 1 I 2 ±1 - Ws

A(1 - n)E Де[-]J2(Wsfc)+ (6.2)

k—i (1 T Wfc Ww2 - 1

+ A2(1 - n) E[Re[e2iak 2W + 32w2 2 ]/4(wsk) -k— (±1 - Wfc)(W2 - 1)3/2

- Íi-M Re[-еЮк-]/i(wfc ,Ws)]

2 (1 т wfc)^w2 - 1

Здесь введено обозначение m = ki/k2.

Коэффициенты интенсивности тепловых потоков в вершинах внутренних трещин вычислим по формуле

k±ra = т lim 1 - X2ia(х), n = 1, 2, ■ ■ ■, N. (6.3)

х

Здесь обозначения те же, что и в формуле (6.1).

Подставим (5.10) в (6.3), тогда коэффициенты интенсивности тепловых потоков в вершинах n-й внутренней трещины принимают вид

= ±Ц-Т{(m«e[(1 - ^^)е-'- sin «„] +

PQV ara/M m + 1 k wsn + 1

a/w2 _ 1

+ Im[(1 - V , )e-ian cos a„]) ± A(1 - no)/i(w„, ws) +

wsn + 1

+ A2[T2(1 - n+11- /2(Wsk)/3(wn, Wk) + )/i(wn, Ws) ±

m + 1 2

k=i

e¿(«n+afc) ^

± £ Re[(Wn-Wk)2 ]Í2(W"k >]} = '■2 (fU)

k— i, k -—n

Формулы (6.2) и (6.4) — это асимптотические аналитические формулы, позволяющие исследовать влияние взаимодействия трещин (их ориентации ак и расположения Wk) на коэффициенты интенсивности тепловых потоков в окрестности вершин трещин, а также влияние на них теплофизических свойств материалов и трещин (коэффициентов теплопроводности материалов, ш = кг/к2, коэффициентов теплопроницаемости поверхностей трещин, По, п). В следующем разделе представлено такое исследование для межфазной трещины.

7. Параметрический анализ результатов в случае биматериала "керамика/ керамика ТЮ/ ЯЮ"

На рис. 7.1—7.4 изображены графики функции (6.2) в случае биматериала "керамика/керамика ТЮ/ ЯЮ". Коэффициенты теплопроводности ТЮ и ЯЮ равны 20 и 60 Вт/(м-К) соответственно. Когда материал Ог имеет свойства материала ЯЮ, а материал ^2 — свойства ТЮ, ш = кг/к2 = 3. Вычисления проводились для Л = 0, 1.

На рис. 7.1 и 7.2 изображены графики зависимости коэффициента ин-

к+

тенсивности теплового потока рд^Оо/к! (6.2) в правой вершине межфазной трещины от координаты центра микротрещины х°. Безразмерная координата центра микротрещины определяется по формуле Wl = г0\/ао = х* + iyк. Рассматривается случай одной микротрещины, расположенной в материале ^г, а коэффициенты теплопроницаемости поверхностей трещин являются константами и принимают значения п = По = 0, 5. Графики построены для случая, когда тепловой источник расположен в точке = 3 i.

Графики на рис. 7.1 построены для одной трещины, параллельной границе соединения материалов (аг =0) и на разных расстояниях от неё уо = = 0, 5; 0, 6 и 1. Величина коэффициента интенсивности теплового потока в правой вершине межфазной трещины при отсутствии микротрещин равна 0,1581 (при = 3 i и по = 0, 5). Как видно из графика, наличие микротрещины уменьшает коэффициент интенсивности при большинстве случаев расположения трещины. Наименьшая интенсивность теплового потока в правой вершине межфазной трещины наблюдается, когда микротрещина находится между источником тепла и правой вершиной межфазной трещины и расположена ближе к ее вершине (сплошная линия).

Графики на рис. 7.2 соответствуют случаю, когда трещина расположена на расстоянии у° = 1 от границы соединения материалов, а угол наклона микротрещины относительно оси х принимает значения аг = {0; 45; 90о}. При ориентации микротрещины под углом аг = 0; 45о коэффициент интенсивности теплового потока меньше величины 0,1581 для большинства х* и больше этой величины при аг = 90о.

Рис. 7.1. Графики зависимости коэффициента интенсивности теплового потока

к+

в правой вершине межфазной трещины от координаты центра

микротрещины х0 при разных у0. Сплошная линия соответствует у0 = 0, 5, частый пунктир при у0 = 0, 6, редкий пунктир при у0 = 1 (а 1 =0 г8 = 3 г)

Рис. 7.2. Графики зависимости коэффициента интенсивности теплового потока

к+

в правой вершине межфазной трещины от координаты центра

микротрещины х0 при у 0 = 1. Сплошная линия соответствует а = 0, частый пунктир при а 1 = 450, редкий пунктир при а 1 = 9О0 (г8 = 3 г)

На рис. 7.3 и 7.4 изображены графики зависимости коэффициента ин-

к+

тенсивности теплового потока (6.2) в правой вершине межфазной

трещины от угла наклона микротрещин. Рассматривается случай, когда в материале 0\ существует поле микротрещин, расположенное над межфазной трещиной. Координаты центров определяются по формуле

4 = {(-0, 8 + Ь 0, 2) + г (0, 25 + р 0, 25); Ь = 0,1, ■■■, 8; р = 0,1, ■■■, 4}.

Графики на рис. 7.3 построены для случая, когда тепловой источник расположен в точке г8 = 3 г, и коэффициент теплопроницаемости межфазной трещины равен 0,5, т. е. По = 0,5. Графики соответствуют случаям разных коэффициентов теплопроницаемости для микротрещин: ц = = {0; 0, 4;0, 8}. Как видно из графика, чем выше теплопроницаемость трещин, тем ближе величина коэффициента интенсивности теплового потока к величине 0,1581 для одной межфазной трещины, то есть теплопроница-

емые трещины оказывают меньшее влияние на неоднородность тепловых потоков, чем теплоизолированные трещины.

рв,

0.1625

0.155 0.1525

0.1475 0.14:

Рис. 7.3. Графики зависимости коэффициента интенсивности теплового потока

к+

в правой вершине межфазной трещины л/а0/к1 от угла наклона микротрещин ак при по = 0, 5. Сплошная линия соответствует п = 0, частый пунктир при п = 0, 4, редкий пунктир при п = 0, 8 = 3 г)

Графики на рис. 7.4 построены для случая теплоизолированных трещин и при разных расположениях теплового источника: = {-1 + 2 г; 2 г; 1 + + 2 г}. Все кривые построены для коэффициентов интенсивности тепловых потоков в правой вершине межфазной трещины за исключением тонкой сплошной линии, которая соответствует коэффициенту интенсивности в левой вершине межфазной трещины при = —1 +2г. (по = п = 0). Как следует из анализа графиков, при расположении теплового источника в точке

0.5

0.45

0.4

0.35

/ /

0 \ Л \ 4 Л ' 2 3л 4

0.25

Рис. 7.4. Графики зависимости коэффициента интенсивности теплового потока

в правой вершине межфазной трещины уат/^ от угла наклона микротрещин ак при разных расположениях теплового источника. Сплошная линия соответствует ха = 1 + 2 г, частый пунктир при ха = 2 г, редкий пунктир при ха = —1 + 2 г. Тонкая сплошная линия соответствует коэффициенту интенсивности теплового потока в левой вершине межфазной трещины при

ха = —1 + 2 г (по = п = 0)

к

к

х3 = 1+2 г (или в точке х3 = -1 + 2г для коэффициента интенсивности в левой вершине трещины) коэффициент интенсивности теплового потока принимает наибольшее значение (сплошные линии) и наименьшее значение при х3 = -1 + 2 г (редкий пунктир), т. е. чем ближе источник тепла к вершине трещины, тем большее влияние он имеет на тепловые потоки в окрестности вершин трещины. При этом ориентация трещин также имеет существенное влияние.

Заключение

Задача теплопроводности о взаимодействии межфазной трещины с внутренними дефектами в двухкомпонентном материале (биматериале) под действием теплового источника рассмотрена для случая частично теплопро-ницаемых трещин, причем предполагалось, что теплопроницаемость межфазной и внутренних трещин разная. Система сингулярных интегральных уравнений задачи решена методом малого параметра. За малый параметр принято отношение длины внутренней трещины к длине межфазной (считаем, что размер межфазной трещины намного превышает размер внутренних трещин). Получены асимптотические аналитические выражения для производных функции скачка температур на линиях трещин и для коэффициентов интенсивности тепловых потоков в вершинах трещин с точностью до второго приближения малого параметра. Полученные функции позволяют проанализировать влияние геометрических и теплофизических параметров задачи на распределение тепловых потоков и полей температуры в биматериале с трещинами. В частности, проведено исследование влияния расположения трещин и их ориентации на коэффициенты интенсивности тепловых потоков в вершинах межфазной трещины при разных коэффициентах теплопроницаемости поверхностей трещин и при разных расположениях теплового источника. Вычисления проведены для случая биматериа-ла "керамика/керамика ТЮ/ ЯЮ". Получено, что величина коэффициента интенсивности теплового потока существенно зависит от геометрии расположения внутренних трещин и их ориентации. Показано, что наличие внутренних трещин может как увеличивать коэффициент интенсивности тепловых потоков межфазной трещины, так и уменьшать его относительно коэффициента интенсивности тепловых потоков одной межфазной трещины. Увеличение коэффициента интенсивности тепловых потоков означает, что неоднородность тепловых полей становится более существенной, что приводит к увеличению деформаций и соответствующих напряжений в материале. При увеличении теплопроницаемости поверхностей внутренних трещин уменьшается их влияние на межфазную трещину.

Предложенная модель позволяет изучать влияние таких дефектов материала, как трещины, их теплофизических свойств, а также материалов на распределение температурного поля и тепловых потоков в биматериале.

Исследование термического напряженно-деформированного состояния в таком биматериале будет предметом дальнейшего исследования.

Литература

[1] Petrova V., Herrmann K. Thermal crack problems for a bimaterial with an interface crack and internal defects // International Journal of Fracture. 2004. V. 128. P. 49-63.

[2] Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наук. думка, 1976. 445 с.

[3] Тамуж В.П., Петрова В.Е. О взаимодействии макротрещины с микродефектами // Прикладная механика. 2002. № 10. С. 3—34.

[4] Tamuzs V., Romalis N., Petrova V. Fracture of Solids with Microdefects. New York: NOVA Science Publishers Inc., 2000. 247 p.

[5] Lee K.Y., Park S.J. Thermal stress intensity factors for partially insulated interface crack under uniform heat flow // Eng. Fract. Mech. 1995. V. 50. № 4. P. 475—482.

[6] Кит Г.С., Побережный О.В. Нестационарные процессы в телах с дефектами типа трещин. Киев: Наук. думка, 1992. 216 с.

[7] Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

[8] Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1970. 640 с.

[9] Прусов И.А. Некоторые задачи термоупругости. Минск: Изд-во БГУ, 1972. 200 с.

[10] Suo Z. Singularities interacting with interfaces and cracks // International Journal Solids Structures. 1989. V. 25. P. 1133—1142.

Поступила в редакцию 17//V/2009; в окончательном варианте — 17//V/2009.

THE TASK OF THERMAL CONDUCTIVITY FOR A BIMATERIAL WITH A SYSTEM OF PARTIALLY HEAT PERMEABLE CRACKS AND A HEAT SOURCE

© 2009 M.G. Ordyan, V.E. Petrova2

The work is devoted to the stationary task of thermal conductivity about crack interaction in a bimaterial subjected to a heat source. It was assumed that the cracks are heat permeable though the heat permeability is different for internal cracks and for an interface crack. The methods of complex potentials and the method of superposition are used for the construction of equations to the problem. In case when the length of the interface crack is much lager than the characteristic length of the internal crack the singular integral equations are solved by small parameter method. The asymptotic analytical formulas for coefficient intensity of thermal flow at the crack tips are derived. The influence of the crack locations and their orientations on the coefficients of thermal intensity at the interface crack tips are investigated for different thermal conductivity coefficients of the crack surfaces and for different location of the heat source.

Key words: heat source, interfacial area, crack, the coefficient of the termal flow intensity, thermal conductivity coefficient, complex potential, singular integral equation, small parameter.

Paper received 17/1V/2009. Paper accepted 17/1V/2009.

2Mikayel Gareginovich Ordyan (omg84@mail.ru), Vera Evgenievna Petrova (veraep@gmail.com), Dept. of Partial Derivative Equations and Theory of Probability, Voronezh State University, University Sq.,1, Voronezh, 394006, Russia.