ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОПРОНИЦАЕМОСТИ РАЗРЕЗА НА КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ В ПЛАСТИНЕ ПРИ ОДНОСТОРОННЕМ ТЕПЛООБМЕНЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№4 (73) / 2020.

УДК 539.3

©2020. Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев

ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОПРОНИЦАЕМОСТИ РАЗРЕЗА НА КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ В ПЛАСТИНЕ ПРИ ОДНОСТОРОННЕМ ТЕПЛООБМЕНЕ

Решена задача термоупругости для изотропной пластины с теплопроницаемым разрезом в случае произвольного теплообмена. Использована обобщённая теория в варианте {1,0}-аппрокси-мации, основанная на методе И. Н. Векуа разложения искомых функций в ряды Фурье по полиномам Лежандра от толщинной координаты. Исследовано влияние геометрических и теп-лофизических параметров разреза на величину коэффициентов интенсивности напряжений.

Ключевые слова: изотропная пластина, теплопроницаемый разрез, обобщённая теория, полиномы Лежандра, коэффициенты интенсивности напряжений.

Введение. Тонкостенные элементы конструкций применяются во многих областях современной техники. Из них состоят обшивки крыльев и фюзеляжей самолётов, корпусов кораблей и подводных лодок, перекрытия инженерных сооружений и т. д. Исследования напряжённо-деформированного состояния (НДС) тонких пластин, основанные на гипотезах Кирхгоффа-Лява, достаточно полно проведены в многочисленных монографиях и научных публикациях. Классическая теория корректна для тонких изотропных и слабоизотропных пластин с медленно изменяющимся НДС.

В остальных случаях использование классической теории может привести к значительным погрешностям в определении НДС. Например, классическая теория неприменима при расчётах толстых пластин, а также в случаях, когда материал пластины или оболочки характеризуется существенной анизотропией упругих свойств. Неточность результатов, получаемых на базе классической теории, вызвала необходимость разработки обобщённых теорий пластин и оболочек. Об актуальности построения таких теорий свидетельствуют публикации последних лет [1—3].

Дополнительные сложности в проведение прочностных расчётов тонкостенных элементов конструкций вносит наличие концентраторов напряжений, например, дефектов типа трещин. Элементы конструкций могут подвергаться не только силовому, но и тепловому воздействию. Наличие трещиноподобных дефектов, на берегах которых заданы тепловые потоки, вызывает локальное возрастание в их окрестности температурных градиентов и напряжений, что может привести к разрушению всей конструкции.

Целью статьи является определение коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) в изотропной пластине, обусловленных наличием теплопроница-емого разреза, а также выявление влияния геометрических и теплофизических параметров разреза на величину КИН. При этом используется обобщённая тео-

рия в варианте {1,0}-аппроксимации, основанная на методе И.Н. Векуа разложения искомых функций в ряды Фурье по полиномам Лежандра от поперечной координаты [4].

Настоящая статья продолжает исследования, приведённые в публикациях [5, 6]. В работе [5] решена задача теплопроводности для изотропной пластины, содержащей теплопроницаемый разрез при произвольном теплообмене с внешней средой. В статье [6] построено решение задачи термоупругости для изотропной пластины с теплоизолированным разрезом; проведены исследования влияния параметров разреза на КИН для поперечного и продольного сдвига.

1. Постановка задачи термоупругости. Рассмотрим изотропную пластину толщины 2К в прямоугольной декартовой системе координат х, у, г. Пластина содержит теплопроницаемый разрез Ь. На лицевых поверхностях пластины осуществляется конвективный теплообмен по закону Ньютона с внешней средой нулевой температуры.

Используется обобщённая теория в варианте {1,0}-аппроксимации, в рамках которой компоненты термоупругого состояния представляются в виде рядов Фурье по полиномам Лежандра от толщинной координаты Рк = Рк (г/К) [4].

Система уравнений термоупругости {1,0}-аппроксимации, записанная в безразмерной системе координат XI, Х2, с нормирующим параметром в виде полутолщины пластины К, включает в себя:

• первое приближение трёхмерного уравнения теплопроводности [5]

АТк + АкоТо + АкТ = 0 (к = 0, 1), (1)

где

&2 &2

А = Щ + дЩ] Акт = Акт(Вг±) (к,т = 0,1);

Ы+ и Бг- - критерий Био на верхней и нижней лицевых поверхностях пластины; То и Т1 - коэффициенты разложения температуры в ряд по полиномам Лежандра (средняя температура и температурный момент);

• уравнения Дюамеля-Неймана в перемещениях

N1 = Во {+ ир- - а(1 + и)Т0\; М2 = В0 {р- + у^- - а{\ + и)Т0 [ дх1 дх2 ) [ дх2 дх1

^^¡¡■(тг + тг); м^дЛ^ + ^-аа + .т};

2 \дх2 дх-^) |кдх1 дх2 )

Удх2 дх1 ) 2 \дх2 дх1)

Яго = Ао + (¿ = 1,2), (2)

где ^

Во = ЗД) = --о' = —\ >

1 — V2 6(1 + V)

и, V, Юо, 71, 72 - обобщённые перемещения пластины, из которых и, V, Юо являются аналогами перемещений точек срединной поверхности, а 71, 72 - аналогами углов поворота нормали; N1, N2, Б, Q10, Q20, М1, М2, Н - обобщённые усилия и моменты, из которых N1, N2, Б являются аналогами мембранных усилий; М1, М2, Н - аналогами изгибающих и крутящего моментов; Qlо, Q20 - аналогами перерезывающих сил; V - коэффициент Пуассона; а - температурный коэффициент линейного расширения;

• уравнения равновесия

д^ дБ дБ дN дМ1 дН ^

-тг— + д— = 0; —--1- —— = 0; —^ + — - ^ю = 0;

дх1 дх2 дх1 дх2 дх1 дх2

дН дМ2 дЯюмдЯ20

я--г --У20 = и; —--Ь - = и. {¿)

дх1 дх2 дх1 дх2

Мембранные усилия и перерезывающие силы в соотношениях (2), (3) записаны с точностью до множителя ЕН (Е - модуль Юнга), а моменты - с точностью до множителя ЕН2.

Компоненты термоупругого состояния в пластине с разрезом (О*) представим в виде суммы:

О* = Оо + О,

где Оо - компоненты термоупругого состояния в сплошной пластине (основного термоупругого состояния), которое будем считать известным; О - компоненты возмущённого термоупругого состояния.

Для определения возмущённого термоупругого состояния используем систему уравнений термоупругости (1)-(3) с граничными условиями, сформулированными для случая свободных берегов разреза и отсутствия контакта между ними.

Для модели теплопроницаемого разреза предполагается, что тепло распространяется только поперёк линии разреза. Граничные условия на линии разреза Ь с нормалью п = (п1,п2) имеют вид [7]:

А(^)±-Ага(Т+-Т-) = 0 (Л = 0,1), (4)

где знаками «+» и «-» обозначены граничные значения компонент температуры в соответствии с выбранным направлением нормали п; \п = Хс/5 - коэффициент теплопроницаемости разреза, характеризующий его теплопроводность в поперечном направлении; \с - теплопроводность материала промежуточного слоя, расположенного между берегами разреза; 5 - раскрытие разреза.

Граничные условия для задачи термоупругости (2), (3) имеют вид [7]:

ЛТ \ _ _ АТО \ . с I _ _ С"0 I .

1п\ь = 1 п\ь; °пЧь = °пь\ь;

Мп\ь = —М°\ь; Нш\ь = -Н(°1-\Ь; Яп\ь = -ЯП\Ь> (5)

где 1п, Бп^, Мп, Нп4, Qn - усилия и моменты на элементе длины разреза с нормалью п и касательной Ь.

Предполагаем, что разрез удалён от линии внешней границы пластины на расстояние, значительно превышающее длину разреза. Поэтому возмущённое термоупругое состояние носит локальный характер и его компоненты равны нулю на внешнем граничном контуре. Достоверность такого предположения проверяется после решения задачи.

2. Методика решения задачи. Решение задачи теплопроводности (1), (4) для изотропной пластины с теплопроницаемым разрезом в случае произвольного теплообмена с внешней средой получено в работе [5].

Методика решения задачи основана на применении двумерного интегрального преобразования Фурье, учитывающего разрывный характер искомых функций на линии разреза Ь [8]:

дх3}

= / ц = 1, 2), (6)

ь

где £ = (£ь£г) - координаты текущей точки в пространстве трансформант; [С] = С+ — С- - скачок функции С при переходе через линию разреза Ь, причём С+ и С- - это граничные значения функции С в соответствии с выбранным направлением нормали п; х1 = (х'^х'г) - координаты точки на линии Ь. Направление интегрирования образует прямой угол с нормалью п при вращении против часовой стрелки.

Рассмотрим прямолинейный теплопроницаемый разрез длиной 21, расположенный вдоль оси абсцисс симметрично начала координат. В результате применения к разрешающей системе уравнений термоупругости (2), (3) двумерного интегрального преобразования Фурье (6) и решения полученной системы линейных алгебраических уравнений найдены интегральные представления трансформант внутренних силовых факторов. После применения формулы обращения для двумерного интегрального преобразования Фурье к трансформантам искомых функций получены интегральные представления компонент возмущённого термоупругого состояния в пространстве оригиналов. Они имеют такой вид:

к 1

1 к г _

Р](хъх2) = -—J К]к(Х1 - Ы,х2)ф1{з)й8 (д = 0, 1; з = 1, 5), (7)

к=\_1

где Р} = М3, Р} = М3, Р+ = Qjo (з = 1, 2); Р0 = Б; Р,1 = Н; к = 4 для Р0-Р0; к = 7 для Р^-Рз1; к = 5 для Р40, Р50.

В интегральных представлениях (7) неизвестные функции фк = фк(в), где в - координата точки на линии разреза Ь, определяются через скачки обобщённых перемещений и компонент разложения температуры То и Т\ таким образом:

1 ds ' 2 ds ' 1 ds ' 1 ds ' 3 ds

Ф41 = [71]; Ф1 = [72 ]; Ф0 = Ф1 = [То ]; Ф0 = Ф1 = [Т1].

При этом функции ф30, ф4, ф1, ф1 находятся при решении задачи теплопроводности (1), (4).

Ядра интегральных представлений (7) представляют собой линейные комбинации специальной С-функции, например,

где

ll{xl-ls,x2) = \Со,о{л/2£г) +со8 2^См(У2»} ,

Х\ — Is . Х2

г = у (х\ — Is)2 + cos <р =-; sin (р =

Gn,v(z) - специальная G-функция, которая выражается через функцию Макдо-нальда Kv (z) таким образом [9]:

(n > 0, Rev > -1),

где r(v) - гамма-функция.

После подстановки интегральных представлений искомых функций (7) в граничные условия (5) получены две независимых системы сингулярных интегральных уравнений (СИУ) типа Коши, описывающие

• безмоментное термоупругое состояние:

1 п

1 f ^i(s) 0

_ / = F°(C) (j = 1, 2; |(| < 1); (8)

■к J s - ( J -1

• состояние термоупругого изгиба:

1 1 ^ 3 1

1 г Ф1 (s) 1 3 r

ds + -J2 E}k((-s)^i(s)ds = F}( () (9)

2n J s - Z 2n

-1 k=1-1

(j = 1,3; |(|a).

Разностные ядра системы (9) представляют собой линейные комбинации специальной G-функции и её первообразной, например,

^22(С -s) = -1,5Л0/2(С - s)G2,о (У^К - s|) + 0,зУ^5Ло sign(C - s)x

s

х [ш2,2 - s|) " IGo,o (\/2Ж - S|) } ; IGn,v{s) = J Gn,v{t)dt.

0

Правые части систем СИУ (8), (9) содержат суммы значений обобщённых усилий и моментов основного термоупругого состояния на линии разреза и интегралов от скачков компонент температуры с разностными ядрами, представляющими собой линейные комбинации G-функции.

После численного решения систем СИУ (8), (9) находятся скачки обобщённых перемещений и углов поворота нормали на линии разреза L. С использованием интегральных представлений искомых функций (7) определяются компоненты возмущённого термоупругого состояния в любой точке пластины. Аналитические формулы КИН для поперечного (Кц) и продольного (Кш) сдвига получены путём сравнения коэффициентов при особенности r-1/2 в ненулевых компонентах тензора напряжений с известными асимптотическими представлениями напряжений. Максимальные по модулю значения КИН определены с учётом свойств полиномов Лежандра:

К= 0,25л/ЖЕ lim j Vi ~ s2

U=° J (10)

Ki?rax = 0,375VKlhEAo lim \ \ipl(s) I Vi ~ s2

S^1 l' 1 J

3. Анализ результатов численных исследований. Расчёты проведены для прямолинейного разреза длиной 21, расположенного вдоль оси Ox 1, с центром в начале координат. Целью численных исследований являлось определение зависимости максимальных по модулю значений КИН (10) в изотропной пластине (v = 0,3) от геометрических параметров разреза (полудлины l) и параметра теплопроницаемости разреза ß = l\n/X. Рассмотрен случай верхнего одностороннего теплообмена (Bi+ = 0,1; Bi- =0) с окружающей средой.

Основное температурное поле предполагалось таким, что на линии разреза (|xi| < l) действует поток средней температуры:

дТ?

дХ2

Х2 =0

дТ?

дХ2

= 0.

Х2=0

Графики зависимостей максимальных значений КИН для поперечного (К** = К™х/К*) и продольного сдвига = К^х/К*) от полудлины разреза I представлены на рисунке 1. КИН даны с точностью до множителя К * = а

который соответствует значению КИН в пластине без теплообмена при действии однородного потока тепла интенсивности q перпендикулярно линии разреза [10]. Цифрами 1, 2, 3, 4, 5 обозначены графики, отвечающие таким значениям параметра теплопроницаемости разреза ß: 0 (теплоизолированный разрез); 0,01; 0,1; 1; 10 соответственно.

о

Рис. 1. КИН: а - для поперечного сдвига; б - для продольного сдвига.

Выводы. Анализ графиков, представленных на рисунке 1, показывает, что с увеличением параметра теплопроницаемости разреза ß значения коэффициентов интенсивности для поперечного и продольного сдвига уменьшаются. Такое влияние теплопроницаемости разреза полностью согласуется с общими закономерностями механики разрушения. Значение параметра теплопроницаемости прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности материала промежуточного слоя и обратно пропорционально раскрытию разреза. Увеличение первого фактора и стремление к нулю второго фактора приводит к уменьшению возмущения температурного поля и, следовательно, к уменьшению температурных КИН. В пределе, когда раскрытие разреза будет равно нулю, то есть трещина исчезнет, не будет и температурных КИН.

Увеличение длины теплопроницаемого разреза также, как и в случае теплоизолированного разреза, приводит к увеличению температурных КИН.

Необходимо отметить, что абсолютные значения КИН для продольного сдвига (Кщ) на три порядка меньше, чем для поперечного сдвига (Кц).

Исходя из проведённого анализа можно сделать вывод, что учёт теплофи-зических свойств трещин в поперечном направлении не приводит к увеличению температурных КИН.

1. Тучапський P.I. Р1вняння тонких ашзотропних пружних оболонок обертання методу {m, п}-апроксимацп / P.I. Тучапський // Мат. методи та ф1з.-мех. поля. - 2015. - 58, № 3. -С. 43-56.

2. Zelensky A. Analytical and practical development of variant of mathematical theory of shells of small curvature of arbitrary thickness / A. Zelensky // Publishing House «Baltija Publishing». - 2019. - P. 308-328.

а) 6)

3. Zelensky A. G. Mathematical theory of transversally isotropic shells of arbitrary thickness at static load / A.G. Zelensky // Materials Science Forum. - 2019. - P. 496-510.

4. Пелех Б.Л. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений / Б.Л. Пелех, В.А. Лазько. - Киев: Наукова думка, 1982. - 296 с.

5. Бондаренко Н.С. Исследование температурного поля в изотропной пластине с теплопро-ницаемым разрезом на базе обобщённой теории / Н.С. Бондаренко // Вкн. Донец. ун-ту. Сер. А. - 2014. - № 2. - С. 41-48.

6. Бондаренко Н. С. Исследование влияния длины разреза на коэффициенты интенсивности напряжений в изотропной пластине на базе обобщённой теории / Н.С. Бондаренко,

A.С. Гольцев // Труды института прикладной математики и механики. - 2015. - Т. 29. -С. 20-28.

7. Кит Г. С. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами / Г.С. Кит, М.Г. Кривцун. - Киев: Наукова думка, 1984. - 280 с.

8. Шевченко В.П. Задачи термоупругости тонких оболочек с разрезами: учебное пособие /

B.П. Шевченко, А.С. Гольцев. - Киев: УМК ВО, 1988. - 84 с.

9. Хижняк В.К. Смешанные задачи теории пластин и оболочек : учебное пособие / В.К. Хиж-няк, В.П. Шевченко. - Донецк: ДонГУ, 1980. - 128 с.

10. Панасюк В.В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках / В.В. Панасюк, М.П. Саврук, А.П. Дацышин. - Киев: Наукова думка, 1976. - 444 с.

N.S. Bondarenko, A.S. Goltsev

Influence of the heat permeability of the cut on the stress intensity factors in the plate with one-sided heat exchange.

The thermoelastic problem for an isotropic plate with a heat-permeable cut in the case of onesided heat exchange is solved. The generalized theory in the version of the {1,0}-approximation, based on the method of I. N. Vekua of expansion the required functions in Fourier series by Legendre polynomials in the thickness coordinate, is used. The influence of the geometrical and thermophysical parameters of the cut on the value of the stress intensity factors is investigated. Keywords: isotropic plate, heat-permeable cut, generalized theory, Legendre polynomials, stress intensity factors.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 16.12.2020

Bondarenko.Natalya.Sergeevna@gmail.com

a.goltsev@donnu.ru