КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ТЕРМОУПРУГОМ ИЗГИБЕ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННЫМ РАЗРЕЗОМ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТЕПЛООБМЕНА Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№1-2 (62-63) / 2018.

УДК 539.3

©2018. Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев

КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ТЕРМОУПРУГОМ ИЗГИБЕ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННЫМ РАЗРЕЗОМ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТЕПЛООБМЕНА

Решена задача термоупругого изгиба для изотропной пластины с теплоизолированным разрезом в случае произвольного теплообмена с внешней средой. Использована обобщённая теория в варианте {1, 0}-аппроксимации. Исходная задача сведена к системам сингулярных интегральных уравнений. Исследовано влияние длины разреза, величины и характера теплообмена с окружающей средой на коэффициенты интенсивности напряжений.

Ключевые слова: : изотропная пластина, теплоизолированный разрез, термоупругий изгиб, сингулярные интегральные уравнения, коэффициенты интенсивности напряжений.

Введение. Одним из подходов к теоретическому численно-аналитическому исследованию задач механики разрушения тонкостенных элементов конструкций является метод граничных интегральных уравнений, в котором для построения ядер интегральных уравнений используется двумерное интегральное преобразование Фурье [1].

В подавляющем количестве работ по данной тематике использована классическая теория пластин и оболочек, основанная на гипотезе недеформируемых нормалей. Однако, для композитных материалов, обладающих низкой сдвиговой жёсткостью, использование этой теории становится неприемлемым. Особенно это касается случаев нагрузки, приводящей к поперечному изгибу. Поэтому использование уточнённых теорий пластин и оболочек, учитывающих явления, связанные с поперечными сдвигами и обжатием, является актуальным.

В монографиях [2, 3] предложены методики сведения трёхмерных уравнений теории упругости к двумерным, основанные на идее И.Н. Векуа [4] использования с этой целью полиномов Лежандра. Все их можно рассматривать как различные реализации обобщённой теории оболочек. Один из этих методов построения теории пластин и оболочек различных степеней приближения известен под названием {m, п}-аппроксимации, где m - порядок приближения тангенциальных перемещений, п - порядок приближения нормального перемещения. Он основан на аппроксимации перемещений и напряжений рядами Фурье по полиномам Лежандра с удовлетворением граничных условий для напряжений на лицевых поверхностях. Этот метод используется и активно развивается [5, 6].

В термомеханике разрушения тонкостенных элементов конструкций метод {m, п}-аппроксимации использован в работах [7, 8, 9]. Проведены комплексные исследования для изотропных пластин при наличии однородного теплового потока. При действии потока температурного момента исследован лишь случай

симметричного теплообмена и влияние внешней среды на термоупругий изгиб в случае одностороннего теплообмена. Используемый метод реализован в варианте {1, 0}-аппроксимации, которая является аналогом теории типа Тимошенко. Это обусловлено тем, что при задании больших т и п приходится иметь дело со значительно более сложной структурой исходных уравнений.

В данной статье исследована зависимость коэффициентов интенсивности температурных напряжений в изотропной пластине с теплоизолированным разрезом от его длины, величины и характера теплообмена с окружающей средой при температурной нагрузке, приводящей к изгибу, в случае произвольного теплообмена.

1. Постановка задачи. Рассмотрим изотропную пластину толщиной 2Л, содержащую теплоизолированный разрез Ь, удалённый от краёв пластины на расстояние, значительно превышающее его длину. Пластина находится в тепловом контакте с внешней средой нулевой температуры по закону Ньютона.

Используем обобщённую теорию в варианте {1, 0}-аппроксимации, для которой имеют место следующие представления [10, 3]:

— компоненты вектора перемещений

пх = иРо + Yxh.Pi, Пу = уРо + 7у НР\, их = шоРо, (1)

— компоненты тензора напряжений

3Мх „ , 5 л 3Н

—гРо Н--гк-Р\ (х —> у), тТУ = —Ро Н—-гг.

2/г 2/г2 ^ У' у 2/г 2/г2

тХ2 = ^ (Ро - Р2) (х^у), а2 = 0, (2)

— температура

Т = ТоРо + Т1Р1, (3)

где и, у, шо, 7х, 7у - обобщённые перемещения; Ых, N, 5, Мх, Му, Н, Qx0, Qy0 - обобщённые усилия и моменты; Рд. (/г = 0, 2) - полиномы Лежандра. В рамках данной аппроксимации обобщённые перемещения, усилия и моменты являются следующими аналогами компонентов термоупругого состояния теории типа Тимошенко: и, у - аналоги перемещений точек срединной плоскости пластины, шо - аналог прогиба пластины; 7х, 7у - аналоги углов поворота нормали; Жх, N, 5 - аналоги мембранных усилий; Мх, Му - аналоги изгибающих моментов; Н - аналог крутящего момента; Qx0, Qy0 - аналоги перерезывающих сил; То -аналог средней температуры; Т1 - аналог температурного момента.

Систему уравнений термоупругости {1, 0}-аппроксимации запишем в безразмерной системе координат Х1, Х2, определённой с точностью до полутолщины пластины Л .

Уравнения теплопроводности [10]

АТк + АкоТо + АиТ = 0 (к = 0,1). (4)

Уравнения Дюамеля-Неймана в перемещениях [3] Ni = Во [дщ + vd2v - а (1 + v) То} , N2 = B0 [d2v + vdxu - а (1 + v) То} ,

5 = (d2u + chv), Mi = D0 {дщ + vd2y2 - а (1 + v) TJ ,

M2 = Do {д2у2 + i/öi7i - а (1 + г/) TJ , Я = Ц-^А) (927i + dij2),

Q10 = Ло (yi + di^o), Q20 = Ло (72 + d2wo). (5)

Уравнения равновесия [3]

diNi + д2 S = 0, diS + d2N2 = 0,

diMi + d2H - Qw = 0, diH + d2M2 - Q20 = 0, д^ю + д2Q20 = 0. (6) Здесь

д2 д2 6

А = Щ + А°° = - Д7 + 3 <в<+ + вг» •

Ли = = (Bi+ - ВГ) , An = {В,:+ВГ + 2 (И+ + ВГ) + 3} ,

3 Ai Ai

Ai = 2Bi+Bi- + 9 (Bi+ + Bi-) + 36,

д 2 5

дз=п~ 0' = 1>2)> -Во = 3-Do = -2' Л0= '

CjXj 1 - v2 6(1+ v)

^, а - коэффициент Пуассона и температурный коэффициент линейного расширения соответственно; Бг+ и Бг- - критерий Био на верхней и нижней лицевых поверхностях пластины.

Мембранные усилия и перерезывающие силы в соотношениях (5), (6) определены с точностью до значения ЕН (Е - модуль Юнга), а моменты - с точностью до ЕН2 .

Термоупругое состояние в пластине с разрезом представим в виде суперпозиции термоупругого состояния в сплошной пластине, называемого основным термоупругим состоянием, и возмущения, вносимого разрезом, которое называется возмущённым термоупругим состоянием. Силовые компоненты возмущённого состояния, в силу их сингулярного характера в окрестности концов разреза, определяют коэффициенты интенсивности температурных напряжений. При этом они определяются как силовыми компонентами основного термоупругого состояния, так и скачками температуры на линии разреза. Соответственно и коэффициенты интенсивности температурных напряжений представимы в виде суммы двух слагаемых. Первое находится из решения силовой задачи для силовых компонентов основного термоупругого состояния, а второе - из решения термоупругой задачи для скачков температуры на линии разреза. Поскольку

методика решения силовых задач хорошо известна [1], то интерес представляет решение термоупругой задачи, обусловленное скачками температуры.

Основное термоупругое состояние будем считать известным. Для определения возмущённого термоупругого состояния используем систему уравнений термоупругости (4) - (6). Граничные условия для компонент возмущённого термоупругого состояния на линии разреза Ь с нормалью п и касательной Ь имеют вид [11]:

— для задачи теплопроводности (4)

(7)

ад дТ£ дТг дТ?

дп ь дп ь дп ь дп

для задачи термоупругости (5), (6 Ки\ь = — к\ь, Ми\ь = - мП\ь, Нп1\ь =

Бт\ь = Бп,г\ь,

— Нпь\1

= — Яп\ь,

(8

1пЬ\Ь, Яп\Ь

где N п, Б'п¿, Мп, Нп1, Яп - усилия и моменты на элементе длины разреза с нормалью п и касательной Ь; компоненты с верхним индексом "о" соответствуют основному термоупругому состоянию. Эти граничные условия сформулированы для случая свободных берегов разреза и отсутствия контакта между ними.

Поскольку рассматриваются только разрезы на значительном удалении от края пластины, предполагаем, что возмущённое термоупругое состояние не распространяется до линии внешней границы. То есть оно носит локальный характер и его компоненты равны нулю на внешнем граничном контуре. Тогда граничные условия на внешней границе для компонент возмущённого термоупругого состояния не принимаются в расчёт. Достоверность такого предположения проверяется после решения задачи.

2. Методика решения. Рассматриваемая задача термоупругости решена методом двумерного интегрального преобразования Фурье. Применяя это преобразование к системе исходных уравнений (4) - (6) получим её представление в пространстве трансформант. При этом, учитывая разрывный характер искомых функций на линии разреза Ь , преобразование Фурье их частных производных определяем по следующей формуле [12]:

р = с + ± Г п. [С] ехр {г (£х') } йЬ = 1,2).

Здесь £ = (£1, - координаты текущей точки в пространстве трансформант; [С] = С+ — С- - скачок функции С при переходе через линию разреза Ь, где С+ и С- - это граничные значения функции С в соответствии с выбранным направлением нормали П; X' = (х' 1, х'2) - координаты точки на линии Ь . Направление интегрирования образует прямой угол с нормалью при вращении против часовой стрелки.

ь

ь

Полученная в пространстве трансформант система исходных уравнений решается относительно искомых функций. В результате находятся интегральные представления трансформант компонент температуры, обобщённых усилий и моментов. Применяя формулу обращения для двумерного интегрального преобразования Фурье к полученным выражениям находим интегральные представления компонент возмущённого термоупругого состояния в исходном пространстве. В результате подстановки найденных интегральных представлений в граничные условия (7) - (8) получаем системы сингулярных интегральных уравнений (СИУ) типа Коши. После численного решения этих систем находятся скачки температуры, перемещений и углов поворота на линии разреза Ь . Теперь используя интегральные представления искомых величин находим температуру, обобщённые усилия и моменты возмущённого термоупругого состояния в любой точке платины. Найденные силовые компоненты определяют также коэффициенты интенсивности температурных напряжений на концах разреза Ь. Для них получены аналитические формулы на базе интегральных представлений внутренних силовых факторов. Влияние исходных параметров задачи на величину коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) в случае термоупругого изгиба составляет суть исследования данной статьи.

Необходимо заметить, что решение уравнений (4) с граничными условиями (7) составляет решение отдельной задачи теплопроводности, которое приведено в работе [13]. В данной статье решена задача термоупругого изгиба изотропной пластины с теплоизолированным разрезом в случае произвольного теплообмена.

Рассмотрим прямолинейный теплоизолированный разрез длиной 21 в безразмерной системе координат. Разрез расположен вдоль оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Интегральные представления внутренних силовых факторов в этом случае примут вид

1

к

р] {XI, х2) = Е / К% - ж2) Н (1,3 {д = 0,1; ] = 1, 5) , (9) 2 к=1-1

где Р} = N, Р} = Ы3, (з = 1,2); Р° = 5; Рд1 = Н; Р} = ^о; Р/ = ^о; к = 4 для Р° - Р°; к = 7 для Р/ - Рд1; к = 5 для Р}, Р^; К^к - ядра интегральных представлений, представляющие собой линейные комбинации специальных С-функций, например,

К12 = сов ^сов 2(р + ^г |со8 о ^ — сое З^Сгд (\/2, 5г

Здесь

г = у {х\ — 1в)2 + х'1, эт <£? = —, С1,0 (г) и С2,1 (г) - специальная С-функция, определяемая выражением [14]

, гу-п 1

где Кп (г) - функция Макдональда, Г (и) - гамма-функция.

В интегральных представлениях (9) неизвестные функции фк , зависящие от координаты точки разреза Ь , определяются следующим образом:

о _ Л [г/,] о _ й М ! _ й[ 71] ! _ , 1 _ й К]

-~йГ> 02

Ф1 = [71 ] , Ф1 = [72] , Ф0 = Ф1 = [То] , фО = ф1 = [Г!] .

С использованием интегральных представлений (9) и граничных условий (8), получим системы сингулярных интегральных уравнений для определения неизвестных функций ф^. При этом функции ф^О, ф40, Ф1, ф} находятся при решении задачи теплопроводности (4), (7).

В общем случае приходим к двум системам сингулярных интегральных уравнений, одна из которых определяет безмоментное термоупругое состояние, а вторая - термоупругий изгиб.

Система СИУ для безмоментного термоупругого состояния

1 1 ФО (в) 0

- = С) 0' = 1, 2; |С|<1). (Ю)

^ в — с -1

Система СИУ для термоупругого изгиба 1^4 3 1

Ь í + ^ Е / (С - *) (*) <ь = р,1 (С) (11) -1 ц к=!-1

0'=ТЛ; 1С1 < 1) •

Разностные ядра системы (11) Е^к (С — в) являются линейными комбинациями G-функций и их первообразных, например,

Е122 (С - 5) = -1, 5А012 (С - 5) С2,о (>/275« 1С - 5|) + 0, Зу^бЛов!^ (С - з) х

х {ю2,2 11С - в|) - Юо,о (\/27б^ 1С -«[)}, (5) = IС„,„ (*)

о

Правые части этих систем СИУ представляют собой суммы значений обобщённых усилий и моментов основного термоупругого состояния на линии разреза и интегралов от скачков компонент температуры с разностными ядрами, представляющими собой линейные комбинации G-функций, зависящих от параметров теплообмена.

Из требования непрерывности обобщённых перемещений в вершинах разреза следуют дополнительные условия на искомые функции

1

I (з) <18 = 0 (9 = 0,1; (12)

-1

Решения СИУ (10) при ограничениях (12) могут быть получены аналитически [15] в классе функций, неограниченных на концах отрезка [—1,1] :

Ф°Л С) = -

тгуТ^

-1

л/1 -5

(в) йз

и = 1, 2) •

Система (11) является системой СИУ типа Коши первого рода, которая при дополнительных условиях (12) может быть решена численно, методом механических квадратур. После решения этой системы остальные искомые функции находим по формулам

Ф]+з («) = / Ф (V (И (и = 1, 2)

1

а внутренние силовые факторы возмущённого термоупругого состояния находим с помощью интегральных представлений (9).

При решении задач механики разрушения необходимым этапом является определение КИН. Если источником напряжений является температура, то кроме термоупругих силовых компонентов фактором влияния на величину коэффициентов интенсивности являются также скачки температуры на линии разреза. В задачах термомеханики разрушения именно эти составляющие КИН и являются предметом исследования. С этой целю все силовые составляющие основного термоупругого состояния не принимаются в расчёт, то есть предполагаются равными нулю. Тогда проведённые исследования позволяют оценить вклад скачков температуры на линии разреза в возможную причину разрушения тонкостенных элементов конструкций.

Выражения для КИН получим с использованием интегральных представлений для обобщённых усилий и моментов (9), сравнивая коэффициенты при особенности г-1/2 в ненулевых компонентах тензора напряжений с известными асимптотическими представлениями напряжений. В случае температурной нагрузки это КИН для поперечного (Кц) и продольного (Кщ) сдвига:

К% = +0, 25\/ЖЕ Р0 Ит {в) у/1 - ,в2

^ ±1

+ Р1 Ит

^ ±1

ф\ (в) у/\ - 52

К

±

III

= +0, 25л/ЖеЛо {Ро - Р-2) Ит {в) \Zl-s

к

(13)

Поскольку температурные напряжения по своему характеру неравномерны по толщине пластины (2), то и КИН (13) на основании свойств полиномов Ле-жандра имеют максимальные по абсолютной величине значения в различных точках по толщине. Так, Кц достигает максимального по модулю значения на

1

1

2

одной из лицевых поверхностей пластины, а Кш - в срединной плоскости пластины.

К= 0, 25\/тгШЯ Ит < -52 > ,

^ 1^=0,1 )

= 0,375л/ЖеЛо Ит {ы (в)| 1 •

¡^шах

(14)

Именно эти величины и являются предметом исследования в задачах термомеханики разрушения тонкостенных элементов конструкций.

3. Анализ численных результатов. Исследовалась зависимость максимальных по модулю значений КИН (14) от геометрических параметров разреза и величины теплообмена с внешней средой для случая верхнего одностороннего теплообмена (Бг+ = Бг, Бг- = 0). Температурная нагрузка на линии разреза, приводящая к изгибу, предполагалась следующей:

дТ§

дХ2

0.

дТ°

Х2=0

дХ2

= д1 = ео^1 = 0.

Х2=0

Значение коэффициента Пуассона принималось равным 0,3. Силовые компоненты основного термоупругого состояния не учитывались, то есть принимались равными нулю.

2,5

1,5

0,5

1

\ Г/ 3

-10

0.8

0.6

0.4

0.2

3 2 1 /

/

/

2 3

Рис. 1

1,5

2 2,5 Рис. 2

Результаты численных исследований представлены на рисунках 1 и 2 в виде графиков зависимостей относительных максимальных значений КИН от длины разреза при различных уровнях теплообмена. Рис. 1 соответствует КИН для поперечного сдвига КЩШах, а рис. 2 - КИН для продольного сдвига КЩЩЦх. Значения

КИН приведены в отношении к величине К* = O^baqiEy/lh, которая соответствует значению КИН в пластине без теплообмена при действии однородного потока тепла перпендикулярно линии разреза. Сплошными кривыми показаны зависимости в случае одностороннего теплообмена, пунктирными - в случае симметричного теплообмена (Bi+ = Bi- = Bi). Цифрами 1, 2, 3 обозначены графики, отвечающие значениям критерия Био (Bi) 1; 0,1; 0,001 соответственно.

Из графиков можно сделать вывод, что относительные максимальные значения КИН поперечного сдвига возрастают с увеличением длины разреза. Для малых длин этот рост существенный, но с увеличением длины разреза он замедляется. Относительные максимальные значения КИН продольного сдвига вначале растут, а затем убывают. Такое поведение имеет следующее объяснение.

Величина КИН, по отношению к которой приведены значения на графиках (К*), не является постоянной, а изменяется как \Д с увеличением длины разреза. Этот КИН обусловлен касательными напряжениями вдоль линии разреза на его противоположных берегах. В этом направлении смещения малы из-за большой жёсткости среды.

КИН продольного сдвига (Kjjj) обусловлен касательными напряжениями вдоль линии трещины (по толщине пластины) на противоположных плоскостях разреза. В этом направлении смещения обусловлены изгибом пластины со свободными поверхностями плоскостей разреза, а не растяжением-сжатием. То есть жёсткость перпендикулярно плоскости пластины будет существенно меньше, чем в плоскости пластины. Поэтому со значительным ростом длины разреза касательные напряжения продольного сдвига будут расти медленней, чем касательные напряжения поперечного сдвига. Тогда отношение Kflf /К* будет уменьшаться. При этом абсолютные значения K^j^ и КуЦ всегда увеличиваются с ростом длины разреза.

Из графиков также следует, что максимальные по модулю значения КИН (Куах, К]уах) в случае одностороннего теплообмена больше, чем в случае симметричного теплообмена. С увеличением параметра теплообмена (Bi) максимальные по модулю значения КИН для поперечного сдвига (К]уах) увеличиваются в случае одностороннего теплообмена и уменьшаются в случае симметричного теплообмена. Максимальные по модулю значения КИН для продольного сдвига (Куц*) уменьшаются с увеличением параметра теплообмена (Bi) в не зависимости от характера теплообмена.

Заключение. Таким образом, можно сделать вывод, что при оценке трещи-ностойкости тонкостенных элементов конструкций при температурных нагрузках, приводящих к изгибу, необходимо учитывать длину возможных дефектов, величину и характер теплообмена с окружающей средой.

1. Шевченко В.П. Методы фундаментальных решений в теории ортотропных оболочек //

Концентрация напряжений / Под ред. А.Н. Гузя, А.С. Космодамианского, В.П. Шевченко

— Киев: А.С.К., 1998. — 387 с. — (Механика композитов: в 12т.; Т.7). — С. 159—196.

2. Хома И.Ю. Обобщённая теория анизотропных оболочек / И.Ю. Хома. — К.: Наук. думка, 1986. — 172 с.

3. Пелех Б.Л. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений / Б.Л. Пелех, В.А. Лазько. — К.: Наук. думка, 1982. — 296 с.

4. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек / И.Н. Векуа. — М.: Наука, 1982. — 285 с.

5. Тучапський P.I. Р1вняння тонких ашзотропних пружних оболонок обертання методу {m, те}-апроксимацп / P.I. Тучапський // Мат. методи та ф1з.-мех. поля. — 2015. — Т. 58, № 3. — С. 43—56.

6. Zozulya V. V. A higher order theory for shells, plates and rods / V.V. Zozulya // International Journal of Mechanical Sciences. — 2015. — Vol. 103, November. — P. 40—54.

7. Бондаренко Н. С. Исследование влияния длины разреза на коэффициенты интенсивности напряжений в изотропной пластине на базе обобщённой теории / Н.С. Бондаренко,

A.С. Гольцев // Труды ИПММ НАН Украины. — 2015. — Том 29. — С. 20—28.

8. Бондаренко Н. С. Исследование влияния внешней среды на термоупругое состояние изотропной пластины с теплоизолированным разрезом при одностороннем теплообмене / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Теоретическая и прикладная механика. — 2014. — № 9 (55). — С. 42—52.

9. Бондаренко Н.С. Исследование влияния внешней среды на состояние термоупругого изгиба изотропных пластин с теплоизолированным разрезом / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Труды ИПММ НАН Украины. — 2016. — Т. 30. — С. 20—28.

10. Пелех Б.Л. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек / Б.Л. Пелех, М.А. Сухорольский. — К.: Наук. думка, 1980. - 216 с.

11. Кит Г. С. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами / Г.С. Кит, М.Г. Кривцун. — К.: Наук. думка, 1984. — 280 с.

12. Шевченко В.П. Задачи термоупругости тонких оболочек с разрезами: учеб. пособие /

B.П. Шевченко, А.С. Гольцев. — К.: УМК ВО, 1988. — 84 с.

13. Бондаренко Н.С. Использование обобщенной теории в задачах теплопроводности для изотропных пластин с теплоизолированным разрезом / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Вкн. Донец. ун-ту. Сер. А. — 2012. — № 1. — С. 26—32.

14. Хижняк В.К. Смешанные задачи теории пластин и оболочек: учеб. пособие // В.К. Хиж-няк, В.П. Шевченко. — Донецк: ДонГУ, 1980. — 128 с.

15. Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям / А.Д. Полянин, А.В. Манжи-ров. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 608 с.

N.S. Bondarenko, A.S. Goltsev

Stress intensity factors at the thermoelastic bending of isotropic plates with heat-insulated cut in the case of arbitrary heat exchange.

The thermoelastic bending problem for an isotropic plate with a heat-insulated cut in the case of arbitrary heat exchange with the external environment is solved. The generalized theory in the version of the {1, 0}-approximation is used. The initial problem is reduced to systems of singular integral equations. The influence of the cut length, the value and character of heat exchange with the external environment on stress intensity factors is investigated.

Keywords: isotropic plate, heat-insulated cut, thermoelastic bending, singular integral equations, stress intensity factors.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 20.06.18

a.s.goltsev@mail.ru