ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ДЛИНЫ ТЕПЛОПРОНИЦАЕМОГО РАЗРЕЗА ПРИ ТЕРМОУПРУГОМ ИЗГИБЕ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№1 (78) / 2022.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 539.3

doi:10.24412/0136-4545-2022-1-16-24 EDN:GZHUCL

©2022. Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ДЛИНЫ ТЕПЛОПРОНИЦАЕМОГО РАЗРЕЗА ПРИ ТЕРМОУПРУГОМ ИЗГИБЕ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

Решена задача термоупругости для изотропной пластины с теплопроницаемым разрезом на базе {1,0}-аппроксимации в случае симметричного теплообмена с внешней средой. На линии разреза предполагается действие градиента температурного момента основного температурного поля. Исследовано влияние длины и параметра теплопроницаемости разреза на величину коэффициентов интенсивности напряжений для поперечного и продольного сдвига. Ключевые слова: критерий Био, симметричный теплообмен, градиент температурного момента, изотропная пластина, теплопроницаемый 'разрез, коэффициенты интенсивности напряжений.

Введение. В инженерной практике широко применяются элементы конструкций в виде пластин различной конфигурации. Значительное внимание при проектировании таких элементов уделяется оценке их конструкционной прочности. Работоспособность тонкостенных элементов конструкций во многих случаях зависит от наличия в них концентраторов напряжений типа трещин. Подобные дефекты при критическом нагружении могут привести к нарушению работоспособности конструкции и её последующему разрушению. Помимо этого, оценка прочности конструкций усложняется в случае необходимости учёта тепловых воздействий.

В настоящее время имеется значительный теоретический и практический интерес к изучению напряжённо-деформированного состояния (НДС) в окрестности дефектов в виде трещин. Анализ распределения напряжений и деформаций около трещин представляет собой одну из важнейших проблем механики разрушения твёрдых тел. В качестве важнейших характеристик, определяющих возможность эксплуатации повреждённой конструкции, выступают коэффициенты интенсивности напряжений (КИН). Проблемы оценки прочности тел с трещинами особенно актуальны в строительстве, машиностроении, авиастроении и других отраслях промышленности. Об актуальности определения КИН свидетельствует ряд современных публикаций, перечисленных ниже.

Работа М.Ж. Бакирова, В.Ф. Михайлова, О. Хабидолды [1] посвящена определению КИН в прямоугольных пластинах с трещинами. Для центральной и краевой трещины КИН определён прямым методом, а для наклонной трещины - через J-интеграл. В статье [2] предлагается методика улучшения сходимости решения при вычислении КИН в вершинах трещин. Приводятся примеры моделирования и решения практических задач об определении КИН в пластинах с разнообразными трещинами, результаты которых сравниваются с аналитическими данными. Публикация Н.А. Сургутанова [3] посвящена изучению изменения КИН в изотропных пластинах при различных размерах поперечного сечения с концентраторами и без них, и изменения максимального значения КИН от размера наименьшего сечения пластины с концентратором напряжений.

В статье В.М. Тихомирова [4] разработаны алгоритмы определения КИН на основе результатов анализа асимптотических решений задач о деформировании однородного тела с разрезом и пластины с трещиной, расположенной на границе раздела двух сред. Предложенные алгоритмы применены для расчёта КИН с использованием результатов численного решения задач о нагружении различных плоских и пространственных однородных тел с трещинами, а также пластины с трещиной, расположенной на границе раздела двух упругих сред. В публикации Д.Е. Тулина [5] выполнено исследование упругого и упругопластического НДС пластины с полуэллиптической трещиной при варьировании её геометрических параметров. Рассмотрен процесс перехода полуэллиптической трещины в сквозную.

Целью настоящей статьи является определение КИН в изотропной пластине с теплопроницаемой трещиной и выявление влияния длины трещины на величину КИН при действии градиента температурного момента. Задача решена на базе обобщённой теории в варианте {1,0}-аппроксимации. В рамках данной теории компоненты НДС представляются в виде рядов Фурье по полиномам Лежандра Pk = Pk(хз) от поперечной координаты x3 [6]. Подобный подход по сравнению с классической теорией пластин обладает тем преимуществом, что даёт возможность учитывать явления, обусловленные поперечными сдвигами и обжатием.

1. Постановка задачи. Рассмотрим изотропную пластину толщины 2h с теплопроницаемым разрезом L. На лицевых поверхностях пластины осуществляется конвективный теплообмен по закону Ньютона с окружающей средой нулевой температуры. Предполагается, что теплообмен имеет симметричный характер, т. е. параметры теплообмена (критерии Био Bi+ и Bi-) на верхней и нижней лицевых поверхностях пластины равны: Bi+ = Bi- = Bi.

Отнесём пластину к прямоугольной декартовой системе безразмерных координат xi, Х2, определённых с точностью до полутолщины пластины h. В качестве разрешающей системы дифференциальных уравнений используем уравнения обобщённый теории в варианте {1,0}-аппроксимации [6]:

• приближение порядка N = 1 трёхмерного уравнения теплопроводности [7], записанное для случая симметричного теплообмена с внешней средой:

где То - средняя температура; Т - температурный момент; А - двумерный оператор Лапласа;

• уравнения Дюамеля-Неймана в перемещениях

ди ду

>2)

[дх2 дх1 ) 2 \дх2 дх1

+ (¿ = 1,2),

где а, V - температурный коэффициент линейного расширения и коэффициент Пуассона соответственно;

Во = ЗД) = --Ло

1 - V2' 0 6(1 + V)'

и, V, Wо - обобщённые перемещения точек срединной поверхности; 71, 72 - обобщённые углы поворота нормали; N1, N2, Б - обобщённые мембранные усилия; М1, М2, Н - обобщённые изгибающие и крутящий моменты; Qlо, Q20 - обобщённые перерезывающие силы;

• уравнения равновесия

дЩ дБ п дБ дЩ п

&Г + а5 = 0; вай + аг7 = ;

дМ1 дН дН дМ2

-7^ + ^-^10 = 0; — + —^ - д20 = 0; 3

дх1 дх2 дх1 дх2

дЯю дС}2о _ 0

дх1 дх2

Мембранные усилия и перерезывающие силы в соотношениях (2), (3) определены с точностью до значения ЕН (Е - модуль Юнга), а моменты - с точностью до ЕН2.

Компоненты термоупругого состояния в пластине с разрезом представим в виде суммы компонент термоупругого состояния в сплошной пластине (основного термоупругого состояния), которое будем считать известным, и компонент возмущённого термоупругого состояния, обусловленных наличием теплопрони-цаемого разреза. Для определения последних используем систему уравнений термоупругости (1)—(3) совместно с такими граничными условиями на линии разреза Ьс нормалью п = (п1,п2):

• граничные условия для задачи теплопроводности (1), соответствующие теплопроницаемому разрезу [8]:

дТк

дп

дТ °

-№] = - к

ь дп

(к = 0, 1), (4)

ь

где квадратные скобки обозначают скачок функции при переходе через линию разреза Ь; Т° - компонента температуры в сплошной пластине; /Зп = Х*/5*; X* = Хс/Х - относительная теплопроводность промежуточного слоя; Хс - теплопроводность материала промежуточного слоя, расположенного между берегами трещины; X - теплопроводность материала пластины; 5* = 5/1 - относительное раскрытие разреза; I - половина длины разреза; 5 - раскрытие трещины;

• граничные условия для задачи термоупругости (2), (3), соответствующие случаю свободных берегов разреза и отсутствия контакта между ними [9], и записанные в предположении, что компоненты основного термоупругого состояния на линии разреза равны нулю:

N\ь = 0; Бпг\ь = 0; Мп|ь = 0; Ипг\ь = 0; ^ |ь = 0, (5)

где Мп, Бпг, Мп, И^, Qn - обобщённые усилия и моменты на элементе длины разреза с нормалью п и касательной ¿.

Предполагаем, что линия внешней границы пластины находится на значительном удалении от линии разреза Ь, а компоненты возмущённого термоупругого состояния на внешнем граничном контуре равны нулю.

2. Методика решения задачи. Решение задачи (1), (4) представляет собой частный случай решения задачи теплопроводности для изотропной пластины с теплопроницаемым разрезом в случае произвольного теплообмена с внешней средой N = 1; Бг+ = Бг- = Бг), приведённого в статье [7].

Решение задачи термоупругости (2), (3), (5) осуществляется с использованием двумерного интегрального преобразования Фурье, учитывающего разрывный характер искомых функций на линии разреза Ь, и методики обращения, основанной на применении специальной G-функции [9].

В качестве примера рассмотрим теплопроницаемый разрез вида

Ь = {(Ж1 ,Х2) е М2 : \Х1\<1,Х2 = 0} . (6)

Для разреза вида (6) интегральные представления компонент возмущённого термоупругого состояния имеют вид:

к 1 I к г

Р]{х 1,Х2) = -^¡^ / К]ЛХ1 ~ 1*,Х2)1р1(8)<18, (7)

-1

где Р0 = N1; Р20 = N; Р30 = 5; к = 4 для Р0-Р0; р1 = Шх; р1 = Р3 = = Н; к = 7 для Р^-Рз1; Р4 = ^ю; Р51 = ^20; к = 5 для Р4\ Р^; фI = ф\(в) - искомые функции, зависящие от координаты точки на линии разреза в:

Ф0 = d[u] ds ' ds

.¡л _ dM. ^ - ds ' = фг]. ds _ d[w0] _ ds

= [71]; = [72 ]; = = [T° ]; ^0 = = [Г1]

Ядра в формулах (7) содержат линейные комбинации специальных G-функций. Примером ядра является

Kl3(ж1 -ls,x2) = ~ sin ср (2sin2^ - 3) + sin <pg%(r) - ^ sin 3^1 (0>

где г = д/(«i — ¿s)2 + eos = — ¿s)/r; sinср = ж2/г;

коэффициенты С0, С1 зависят от критерия Био; (г) - специальная G-функция, определяемая с помощью интегрального представления через функцию Бесселя первого рода 3 (г) порядка V [10]:

оо

GnArz) = иг ©7 (г>0; к^>о;-1<Кег/<та+0

0

Подставляя интегральные представлений компонент возмущённого термоупругого состояния (7) в граничные условия (5), получим две системы сингулярных интегральных уравнений (СИУ), описывающие при | ^ 1

• безмоментное термоупругое состояние:

1 1 Ф0(в) 0

- = С) 0' = 1,2); (8)

^ в - с ^ 1

состояние термоупругого изгиба:

1 1 ^ 3 1

1 [ Ф1(в) 1 3 "

<18 + — ^ ЕШ-*)Ф1Ш8 = Р}(0 а = 1,з). (9

2^ в - С -1 4 к=—

Разностные ядра системы СИУ (9) зависят от специальной G-функции, например,

Дзз(С - в) = -1,25/2(С - 8)С!,О - •

Правые части систем СИУ (8), (9) содержат интегралы от скачков компонент температуры с разностными ядрами, представляющими собой линейные комбинации специальных G-функций.

Компоненты возмущённого термоупругого состояния в любой точке пластины находятся с использованием интегральных представлений (7), в которых функции ф0, ф0, ф], ф] определяются при решении задачи теплопроводности (1), (4), а остальные функции фк представляют собой результат решения систем СИУ (8), (9). Сравнивая коэффициенты при особенности т-1/2 в ненулевых компонентах тензора напряжений с известными асимптотическими представлениями напряжений [11] и учитывая свойства полиномов Лежандра, найдём максимальные по модулю значения КИН для поперечного (Ктах) и продольного (Кпах) сдвига:

К{?ах = 0,25\/тг^Я Ит < ^ у/\ - 82

^1 д=0 > (10)

чп

= 0,375 \/ЖеЛ0 Ит (|^з(в)| VI

у 11' J

3. Анализ результатов численных исследований. Численные исследования посвящены оценке влияния длины (I) и теплофизических свойств теп-лопроницаемого разреза (вп = 1Хп/X , Хп = ¡Хс/6 ) на КИН температурных напряжений для поперечного и продольного сдвига (10). Рассматривался случай симметричного теплообмена с окружающей средой (Бг+ = = Бг- = Бг) при его средней интенсивности (Бг = 0,1).

Для анализа поведения температурных КИН предполагалась линейная зависимость основного температурного поля в пластине и, как следствие, отсутствие внутренних силовых факторов основного термоупругого состояния [12]. Таким образом, оценивалась составляющая КИН, обусловленная возмущённым температурным полем, вызванным наличием разреза. На линии разреза (|Х1| < I) предполагалось действие градиента температурного момента:

дТ0о

дХ2

Х2=0

0; ^

дХ2

= q1 = со^ = 0.

Х2 =о

Результаты численных исследований представлены на рисунке 1 и рисунке 2 в виде графиков зависимостей максимальных относительных значений КИН от полудлины разреза (I) при различных значениях параметра теплопроница-емости разреза /Зп. Расчёты проведены при значении коэффициента Пуассона V = 0,3. На рисунке 1 представлены графики максимальных относительных

о ! 2 3 4 /

1 2 3 4 /

Рис. 1. Рис. 2.

значений КИН для поперечного сдвига К™ах, а на рисунке 2 - для продольного сдвига Л"щах. Значения КИН даны с точностью до величины К* = сщ\Е\/Ш/4, которая соответствует значению КИН в пластине без теплообмена при действии однородного потока тепла интенсивности перпендикулярно линии разреза [11]. Кривые 1-5 на рисунке 1 и рисунке 2 отвечают таким значениям параметра теплопроницаемости разреза вп: 0 (теплоизолированный разрез); 0,01; 0,1; 1; 10 соответственно.

Из графиков на рисунках 1, 2 следует, что с увеличением длины разреза максимальные относительные значения КИН одновременно возрастают только в диапазоне малых длин разреза (I ~ 1). С увеличением параметра I максимальные относительные значения КИН поперечного сдвига достигают своего максимума в диапазоне длин 1,5 < I < 2,5 и при дальнейшем увеличении длины разреза уменьшаются. В то же время максимальные относительные значения КИН продольного сдвига уменьшаются, достигая своего минимума при I = 2, и при дальнейшем увеличении длины разреза только увеличиваются. Такой характер зависимости этих КИН подобен их поведению и при наличии только градиента средней температуры (д0) на линии разреза [13], хотя значения этих КИН в данном случае на порядок больше.

Следует заметить, что максимальные относительные значения КИН поперечного сдвига в рассматриваемом случае постоянно уменьшаются, начиная со средних длин разреза (I > 2,5). В случае температурной нагрузки в виде гра-

диента средней температуры (q0) на линии разреза эти КИН только возрастают [13].

Из анализа графиков на рисунках 1, 2 следует, что увеличение параметра теплопроницаемости разреза ßn приводит только к уменьшению температурных КИН. Характер такого поведения объясняется общими представлениями механики разрушения. Параметр теплопроницаемости разреза, исходя из своего определения, прямо пропорционален коэффициенту теплопроводности материала промежуточного слоя и обратно пропорционален раскрытию разреза (ßn = l^c/(№)). Поэтому увеличение первой составляющей и стремление к нулю второй составляющей приводят к уменьшению возмущения температурного поля и, следовательно, к уменьшению температурных КИН. Если раскрытие трещины, моделью которой является разрез, в пределе будет равно нулю, т. е. трещина исчезнет, то и температурных КИН не будет.

Выводы. Поскольку значения КИН для продольного сдвига на порядок меньше, чем значения КИН для поперечного сдвига, то последние являются определяющими при обосновании надёжности работы тонкостенных элементов конструкций при температурных нагрузках, приводящих к изгибу, в случае симметричного теплообмена. Учёт теплофизических свойств трещин в поперечном направлении не приводит к увеличению температурных КИН для поперечного и продольного сдвига.

1. Бакиров М.Ж. Коэффициент интенсивности напряжений в прямоугольных пластинах с трещинами / М.Ж. Бакиров, В.Ф. Михайлов, О.Хабидолда // Труды университета. -2019. - № 3 (76). - С. 94-99.

2. Воронков Р.В. Исследование погрешности вычисления коэффициентов интенсивности напряжений с применением J-интеграла / Р.В. Воронков, М.А. Глебова, В.И. Гришин, С.В. Цой, А.Г. Яшутин // Ученые записки ЦАГИ. - 2019. - Т. 50, № 4. - С. 67-79.

3. Сургутанов Н.А. Исследование влияния глубины трещин на коэффициент интенсивности напряжений в надрезанных и гладких пластинах / Н.А. Сургутанов // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение. - 2017. -Т. 16, № 1. - С. 176-185.

4. Тихомиров В.М. Численный метод определения коэффициента интенсивности напряжений для тел из однородного и неоднородного материалов с трещиной /

B.М. Тихомиров // Прикладная механика и техническая физика. - 2020. - Т. 61, № 1 (359). -

C. 152-160.

5. Тулин Д.Е. Исследование напряженно-деформированного состояния пластины с полуэллиптической и сквозной трещинами / Д.Е. Тулин // Деформация и разрушение материалов. - 2021. - № 4. - С. 15-18.

6. Пелех Б.Л. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений / Б.Л. Пелех, В.А. Лазько. - Киев: Наукова думка, 1982. - 296 с.

7. Бондаренко Н. С. Исследование температурного поля в изотропной пластине с теплопро-ницаемым разрезом на базе обобщённой теории / Н.С. Бондаренко // В1сн. Донец. ун-ту. Сер. А. - 2014. - № 2. - С. 41-48.

8. Кит Г. С. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами / Г.С. Кит, М.Г. Кривцун. - Киев: Наукова думка, 1984. - 280 с.

9. Шевченко В.П. Задачи термоупругости тонких оболочек с разрезами: учебное пособие / В.П. Шевченко, А.С. Гольцев. - Киев: УМК ВО, 1988. - 84 с.

10. Хижняк В.К. Смешанные задачи теории пластин и оболочек: учебное пособие / В.К. Хиж-

няк, В.П. Шевченко. - Донецк: ДонГУ, 1980. - 128 с.

11. Панасюк В.В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках / В.В. Па-насюк, М.П. Саврук, А.П. Дацышин. - Киев: Наукова думка, 1976. - 444 с.

12. Коваленко А.Д. Основы термоупругости / А.Д. Коваленко. - Киев: Наукова думка, 1970. - 308 с.

13. Бондаренко Н. С. Влияние теплопроницаемости разреза на коэффициенты интенсивности напряжений в пластине при одностороннем теплообмене / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2020. - № 4 (73). - С. 16-23.

N.S. Bondarenko, A.S. Goltsev

Investigation of the influence of the length of a heat-permeable cut during thermoelastic bending of isotropic plates.

The problem of thermoelasticity for an isotropic plate with a heat-permeable cut is solved on the basis of the {1,0}-approximation in the case of symmetric heat exchange with the environment. The action of the gradient of the temperature moment of the main temperature field on the cut line is assumed. The influence of the length and heat-permeability parameter of the cut on the value of stress intensity factors for transverse and longitudinal shear is investigated.

Keywords: Biot criterion, symmetric heat exchange, temperature moment gradient, isotropic plate, heat-permeable cut, stress intensity factors.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 20.04.22

Donetsk National University, Donetsk

n.bondarenko@donnu.ru