Классификация экономических процессов в рамках модели мультифрактальной динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

48 (138) - 2012

Математические методы анализа

в экономике

УДК 338.53

классификация экономических

процессов в рамках модели мультифрактальной динамики

В. П. ЦВЕТКОВ,

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой общей математики и математической физики Е-mail: tsvet@tversu. ги И. В. ЦВЕТКОВ, доктор технических наук, профессор кафедры экономики и управления производством Е-mail: mancu@mail. ш Тверской государственный университет

В работе изложены основы мультифрактальной динамики, дана классификация динамик экономических процессов. Получена формула для прогноза динамики кусочно-линейного тренда социально-экономических процессов. В рамках мультифрактальной модели с линейным и нелинейным трендами проведен анализ изменения цены на нефть марки Brent с начала 2011 г. по июнь 2012 г. Сделан прогноз возможных сценариев изменения цены на нефть с кусочно-линейным и нелинейным трендами.

Ключевые слова: фрактальный анализ, муль-тифрактальная динамика, цена, нефть, прогноз, классификация, социально-экономический процесс.

В настоящее время вектор движения цены на нефть является важной проблемой, привлекающей серьезное внимание специалистов во всех странах мира. В связи с тем, что факторы, оказывающие влияние на конъюнктуру нефтяного рынка, весьма сложны, финансовые аналитики дают различные прогнозы относительно будущей цены на нефть [8].

В условиях резких изменений цен на нефть ценность и значение такого прогноза возрастает. В связи с этим особое значение приобретает вопрос построения адекватных математических моделей, описывающих динамику экономических процессов, и, в частности, с достаточной точностью описывающих цены на нефть. Одним из таких способов является использование методов мультифрактальной динамики [7].

Целью данной работы является построение новой схемы анализа и прогноза динамики социально-экономических процессов в рамках модели мультифрактальной динамики. На ее основе для случая монотонных и осцилляционных процессов получена прогнозная формула для интересующих динамических величин, в частности цен на нефть.

Модель мультифрактальной динамики. В основе использования мультифракталов для описания динамических систем лежит принцип самоподобия. Первым, кто обратил внимание на самоподобный характер поведения цен, был осно-

воположник фракталов — Бенуа Мандельброт [4]. Применительно к ценам на нефть подробно вопрос самоподобия рассмотрен в работах [3, 5]. В работе [1] на конкретном примере динамики цен на нефть в 2009—2010 гг. показан самоподобный характер их поведения и дано обоснование использования метода мультифрактальной динамики для описания данного экономического явления.

В основе математической модели мультифрак-тальной динамики [1, 3] лежит уравнение для скорости кусочно-линейного тренда динамического процесса X:

А (Ф) X. + ВХ3 = П. (1)

Удобно выбрать такой масштаб, чтобы выполнялось условие Х1< 1. Параметр п описывает эффективное влияние внешних факторов на изучаемую систему.

Для функции А (ф) выберем следующее аналитическое представление:

А(Ф) = (Ф0 - П) \ при 1 < ф < Ф0,

А(Ф) = (Фо -ФкУ (Фо -Ф)1 (ф -ФкГ,

при Ф0 < Ф < 2. (2)

В работе [8] предложено несколько иное аналитическое представление А (Ф), достаточно близкое к выражению (3).

Параметры модели Ф0, Фк, Вк и п выбираются из наилучшего согласия с опытными данными.

В случае Ф < Ф0 членом Вк можно пренебречь и справедливо линейное приближение

X =n(^о - D).

(3)

В этой области значений Ф уравнение (1) имеет один вещественный корень, определяемый формулой, приведенной в работе [3].

При стремлении Ф к Фк ситуация существенно изменяется, и членом Вк в формуле (2) пренебречь уже нельзя.

Пусть у (0 — мультифрактальная кривая, описывающая динамику интересующей нас величины и имеющей на интервалах времени Т (. = 1, 2, 3 ...п) определенное значение фрактальной размерности Ф

Тогда, если скорость X. линейного тренда уг ^), аппроксимирующего эту функцию на интервале Т с нужной нам степенью точности, зависит только от Ф ,, то данный вид динамики будем называть мультифрактальной.

В этом случае в работе [3] предлагается следующий подход: динамику мультифрактального процесса на интервале Т. (^ < t < t0)i+1), Т. = ^^ —

можно разделить на две составляющие, используя понятие линейного тренда

y. (t) = y , (t) + у . (t),

где y, (t) — линейный тренд процесса, который во

времени меняется гладко;

у, (t) — быстрые осцилляции относительно

тренда.

Предполагается, что | y t (t) | >> \у (t) \ и кривая y (t) является мультифрактальной. Линия тренда y, (t) имеет фрактальную размерность, равную единице, а у (t) — фрактальную размерность D.

Мерой погрешности модели будет величина А, = max| y , (t) | на рассматриваемом интервале изменений D На всем интервале наблюдения общее значение погрешности А = maxA. , при i = \ ...n.

В предлагаемой авторами модели фрактальной динамики предполагается, что тангенс угла наклона линейного тренда y,(t) является функцией фрактальной размерности D. В нашем случае в качестве y (t) выступает цена на нефть.

Важным моментом авторского подхода является то, что часть параметров модели являются управляющими. Изменяя их значения, можно на основании изученных свойств модели делать предсказания поведения системы в дальнейшем, а также вырабатывать рекомендации по предотвращению критических явлений и достижению системой оптимальных характеристик. Так, при изменении управляющих параметров модель показывает переход из некризисной области в область катастроф, и наоборот.

Классификация социально-экономических процессов в модели мультифрактальной динамики. Ранее были приведены аргументы в пользу возможности использования фрактальной модели с аналитической зависимостью коэффициента A (D), определяемой формулой для описания кризисных социально-экономических процессов [1]. Детально данный вопрос был исследован в статье [2], посвященной изучению валютного кризиса 1998 г., бифуркационных явлений в рамках фрактальной модели.

Использование теории катастроф при исследовании фрактальных моделей кризисных явлений в социально-экономических системах позволяет более глубоко понять структуру этих моделей.

Исключительная важность точки бифуркации Db прежде всего связана с возможностью перехода системы вблизи этой точки из одного состояния X1,

Х2, Х3 в другое из данного набора состояний резким скачком без изменения D. В данном случае выполняются все признаки катастрофы вблизи точки бифуркации Dь, и данный вид катастрофы естественно назвать бифуркационной катастрофой. Точкой катастрофы А3 являются критические значения Dk (А (Пк) = 0) и п = 0. Данная катастрофа происходит при сдвиге параметров D и п из этой точки. Бифуркационная катастрофа же возникает при фиксированных значениях D и п и связана с одновременным наличием нескольких состояний системы. Поскольку бифуркационная катастрофа находится вблизи обычной катастрофы А3, то естественно ее называть бифуркационной катастрофой типа А3ь. Детально бифуркационная

Х(П) 3-1

й

Рис 1. График зависимости X (П) при Бк = 0,4: I — IV — области значений П

катастрофа А3ь была исследована в работе [2], посвященной изучению валютного кризиса 1998 г. как бифуркационного явления в рамках фрактальной модели. Проиллюстрируем сказанное графически. График зависимости функции Х П) представлен на рис. 1, 2.

Выделяются четыре области значений П (см. рис. 1), в которых характер течения процесса имеет большие различия. В областях I (1 < П < П0_) и IV (Пь < П < 2) процессы имеют монотонный характер. В них происходит быстрый монотонный рост или убывание параметров системы. Значение величин П0+ и П0 — можно указать лишь приблизительно. Эти точки отстоят от П0 примерно на 0,1 — 0,15 в зависимости от конкретной природы процессов Х Эту область можно назвать осцилляционной, так как рост величин сменяется убыванием, и наоборот. В области III (П0+ < П < Пь) при фиксированном значении П имеют место решенияХ1, Х2, Х3. Возникает возможность скачкообразных переходов между этими состояниями, связанная с наличием у системы при фиксированном значении П и п нескольких

состояний. И что очень важно, это возможно при п Ф 0, тогда как в точке катастрофы А3 параметр п = 0. Область III является областью бифуркационной катастрофы А3ь, в которой без видимых причин внезапно может наступить скачкообразное изменение состояния. Эта область чрезвычайно важна для описания кризисных социально-экономических процессов, которые постоянно возникают в настоящее время. Катастрофы динамики курса рубля в 1998 г. и курса евро в конце 2009 г и начале 2010 г. имеют, несомненно, бифуркационный характер. В области IV (Пь < П < 2) лежит точка Пк вблизи которой имеет место обычная катастрофа А3, поэтому эту область естественно назвать областью катастроф. При Бк < 0 (см. рис. 2) следует, что области I и II остаются теми же, что для Бк > 0. В области III в этом случае

П, < П < 2, и в области IV П < П < П, .

ь ' 0+ — — ь

В результате классификацию процессов, описываемых мультифрактальными кривыми в зависимости от значения фрактальной размерности П и знака коэффициента Бк, можно наглядно представить в виде табл. 1.

Таблица 1

Классификация процессов, описываемых мультифрактальными кривыми

Вк Тип процесса

I II III IV

1 1 < П < оп_ П0 - < П < Оп+ < П < Оь Пь < П < 2

—1 1 < П < П0- П — < П < П0+ Бь < Б < 2 °п+ < П < °ь

2

X(D)

2-

1-

-2-

D

Рис 2. График зависимости X (D) при Bk = — 0,4: I — IV — области значений D

Динамические характеристики

социально-экономических и природных систем yi(t), y2(t), y3(t),...yn(t)

Управление за счет Ca(t) = D, D0, Dk, Di

Переменные состояния Xi, i=1, ...N

Управляющие параметры

Ca(t), a = 1,... k

Са(0 = Са(1\0 - быстрый параметр, характерный его период Т удовлетворяет условию (Т << Тг)

Уравнение динамики

i

Решение уравнений динамики

Х^Х.Са^

са(^)= са{2)(0 - медленный параметр, характерный его период Тг удовлетворяет условию (Тг << Т\)

Исследование решений уравнений динамики

XL=XLCa(t)

Процессы I и II типов

о

- непрерывна! в облаем G0

Процессы III типа Процессы IV типа

Ca^G 1 1 ^ IÔCJc^c<* > CaeG 2 ——i— не существует в области G^

Катастрофы I типа (классические) Катастрофы II типа (бифуркационные)

Рис. 3. Описание социально-экономических систем

Как было отмечено авторами, значения D0+, D0_, D0, Bk, Db определяются конкретной динамикой каждого из рассматриваемых процессов.

Авторский подход к описанию социально-экономических систем представлен на рис. 3.

На i-м участке мультифрактальной кривой с фрактальной размерностью D динамика функ-цииy. (t) представлена на рис. 4.

Схема прогноза динамики мультифрактальных систем. Динамика мультифрактальных систем кратко и наглядно представлена на рис. 4.

Рассмотрим более подробно вопрос о прогнозах в этой динамике.

Все интересующие моменты времени можно разделить на две области:

- время, в течение которого ведется наблюдение за системой tn;

- промежуток времени, для которого делается прогноз t .

На основании данных наблюдения за системой в течение времени t и, разбивая этот промежуток на отдельные периоды T , на основании приведенной методики вычисляем значение фрактальной размерности D изучаемого процесса, а также значения коэффициентов кусочно-линейного трендаX .. Далее находим значение остальных параметров модели — D0, Dk, n из условия наилучшего приближения опытных данных. На основании полученных результатов и согласно рис. 4 определяем, к какому типу из четырех относится процесс на интересующем промежутке T Устанавливаем закономерности поведения фрактальной размерности D в течение времени наблюдения за системой t и исходя из этих закономерностей даем прогноз поведения значений

3

0

1

3

И. (п) на время прогноза t Прогнозные

значения D (п) позволяют на основании

1

уравнения (1) вычислить прогнозные значения X. (п)- Подставляя эти значения в уравнение, определяющее поведение линейного тренда, находим значение у (гп). Тогда прогнозное значение у (¿") оценивается по формуле

у = у (Гп) ± А ан).

При выводе формулы (3) авторы предположили, что уклонение от линейного тренда А на промежутке времени прогноза ^ будет совпадать со значением А на промежутке времени наблюдения ^ .

Далее приведем конкретную схему прогноза в рамках модели мультифрак-тальной динамики для процессов I и II типа, для которых применимо линейное приближение. Временная ось от начала времени наблюдения t0 до момента времени прогноза ^ представлена на рис. 5. Время конца последнего линейного промежутка наблюдения за системой обозначим tN

Приведем конкретную схему прогноза в рамках модели мультифрак-тальной динамики для процессов I и II типа, для которых применимо линейное приближение.

Значения D, Тна наблюдаемом интервале г < ^ связаны между собой функционально, поскольку их значения определяются свойствами социально-экономических процессов, протекающих в изучаемой системе. Математически это может быть выражено следующим образом:

Dl =ф.(Л^), 1 < 5 < к,, 1 < г < N, к1 <N, Т =у(Т,->), 1 < 5 < к2, 1 < г < N, к2 < N. (4)

Конкретный вид функций ф у. определяется структурой социально-экономической системы. В случае, когда существуют D и Т такие, что выполнены условия |Д - << И, \Т - Т| << Т , то соотношения (4) могут быть представлены в линейном приближении следующим образом:

_к_ к

Осцилляции относительно тренда

Линейный тренд

у, ^) = Уо, + х,(( - ¿0,)

Фрактальная размерность

I тип 1 < D1 < Dо- II тип Оо- < D1 < Dо+ III тип Dо+ < Dl < Db

1 г л г 1 г

Прогноз Прогноз Прогноз

1 Г 1 г 1 г

Управление за счет изменения параметров Я Оо Управление за счет изменения параметров Я Оо Управление за счет изменения параметров Я О о, Оь

IV тип

Db < D, < 2

Прогноз

Управление за счет изменения параметров Я Dо, Вк

Рис. 4. Схема прогноза динамики мультифрактальных систем

к

Наблюдение

tN

-

Прогноз"

Б, =У d1Dl , + d, ; Т = V г И

г / у гз г-з г г ^^ гэ г-

+ г

Рис. 5. Временная ось от начала времени наблюдения t0 до момента времени прогноза tp

Параметры djs, г, d , г. выбираются из наилучшего согласия с наблюдениями на интервале г < г. Если соотношение (4) продолжить в область прогноза г > N г > N, то получим значение И. и Т в области прогноза. Используя их, можно найти прогнозные значения у

Пусть в промежутке времени ^ — ^ последовательно укладывается т промежутков ^ и N промежутков Тъ—_1 Тогда из формул (1), (2) и рис. 5, при условии, что коэффициенты п и И0 на прогнозном и наблюдаемом промежутке одни и те же, считая, что соотношения (5) сохраняют свой (5) вид в прогнозной области г > tN, получаем формулу прогноза для у ^ ):

1 < < 2

г

р

5

5=1

5=1

y (tp) = yt (tN) + mn (Do

+ nn (Do — Dn_i) T

N— 1

— dn) tn

n (Do

+

D ) x

r'

x(tp — mTN — nTN—1) ± A ,

(6)

где D

DN или DN—

1 — в зависимости от того, на продолжение какого промежутка — N — 1 или N — попадает время прогноза tp; А — определяется по промежутку наблюдения. Динамика цен на нефть. Конкретное применение описанного авторами метода прогноза продемонстрировано при анализе динамики цен нефть с января 2010 г. по июнь 2012 г. и прогноза их динамики на ближайшее время. Динамика цен на нефть марки Brent за этот период приведена на рис. 6.

Из рис. 6 очевидно, что процесс динамики цен на нефть, по авторской классификации, относится к осцилляционным процессам II типа. Причем период осцилляции оценивается в интервале от 8 до 2,5 мес.

Эти процессы, в первую очередь, обусловлены сложной геополитический обстановкой. Так, один из основных игроков на рынке нефтяных цен, Саудовская Аравия, принимает энергичные усилия по снижению стоимости нефти, возобновляя разработку старых месторождений и увеличивая объем экспорта нефти в США. По мнению Эр-Рияда, цена в 120 долл. /барр. была завышена, а справедливая цена за стандартную бочку нефти (159 л) должна составлять около 100 долл. /барр.

Рассмотрим качественную ситуацию с нефтяными ценами. С конца марта 2012 г. и по настоящее время средний темп падения нефтяных цен составил 0,36 долл. /барр. за сутки. Однако согласно мульти-фрактальной динамике с кусочно-линейным трендом (6) осцилляционный характер процесса должен привести к тому, что в ближайшее время падение цен на нефть в течение ближайшего месяца должно остановиться и начаться их рост с темпом 0,25 долл. /барр. за сутки. Далее в течение 2—3 мес. цена вернется к величине в 110—120 долл. /барр. Более детально этот вопрос рассмотрим в моделях как с кусочно-линейным, так и нелинейным трендами [2].

Весь промежуток времени с января 2010 г. по июнь 2012 г. разбивается на шесть периодов: Т1 = 212 дн.; Т2 = 72 дн.; Т3 = 55 дн.; Т4 = 255 дн.; Т5 = 70 дн.; Т6 = 80 дн. (см. рис. 6). Причем продолжительность периодов с падением цен составила 200—250 дн., а роста — 55—70 дн.

Из представленных данных (см. рис. 6) получаем скорости роста цен на нефть по шести выделенным периодам, а также значения их фрактальных размерностей. Результаты вычислений представлены в табл. 2.

В рассматриваемом случае реализуется II тип мультифрактальной динамики (осцилляционный) и, следовательно, применимо линейное приближение, в котором характер динамики определяется

122-

112

102-

92-

82-

72-

1 n

А г W1 и J

j к M w \

/

А . /

Y'W

»II H' * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

62' .......

14.10.2009 22.01.2010 02.05.2010 10.08.2010 18.11.2010 26.02.2011 06.06.2011 14.09.2011 23.12.2011 01.04.2012 10.07.2012 18.10.2012 --— Линия тренда для соответствующего периода

Рис 6. Динамика цен на нефть марки Brent, долл. /барр.

Скорости роста цен на нефть

Период, дни Средняя скорость роста (падения) цены на нефть, долл. /барр. в сут. фрактальная размерность

Т1 = 212 Х1 = — 0,0075 D1 = 1,58

Т2 = 72 Х2 = 0,15 D2 = 1,31

Т3 = 55 Х3 = 0,27 D3 = 1,42

Т4 = 255 Х4 = — 0,033 D4 = 1,57

Т5 = 70 Х, = 0,25 D5 = 1,18

Т6 = 80 6 Х, = 0,37 6 ' D, = 1,46 6

Таблица 3

Коэффициенты скорости роста цен на нефть

Временной интервал П, долл. /барр. в сут. Da

01.01.2010 — 14.02.2010 0,586 1,56

15.02.2010 — 15.01.2012 1,984 1,55

16.01.2010 — 18.06.2012 2,21 1,29

коэффициентами п и D0. Полученные в результате расчетов значения приведены в табл. 2.

Из полученных значений п наблюдается скачкообразное повышение этого коэффициента при переходе от первого временного интервала (01.01.2010— 14.02.2010) ко второму (16.01.2010—18.06.2012). Коэффициент D0 остался практически постоянным — изменился на 0,01. Это говорит об увеличении финансовых потоков в нефтяную отрасль почти в три раза (коэффициент п). При этом фрактальная размерность процессов нефтяного ценообразования близка к значению фрактальной размерности для гауссовского процесса — 1,5.

При переходе от второго (15.02.2010— 15.01.2012) к третьему (16.01.2010—18.06.2012) временному интервалу величина коэффициента п возрастает на 10 %, а значение D0 уменьшается на 0,26. Это говорит о незначительных колебаниях финансовых потоков в эти промежутки времени и о существенном уменьшении степени хаотичности процессов нефтяного ценообразования.

Прогноз нефтяных цен с линейным и нелинейным трендами. Прогноз будем проводить согласно формуле (6). Для этого необходимо понять закономерности длительности периодов падения и роста нефтяных цен, начиная с шестого периода. В настоящее время период падения цен еще не закончился. Его длительность, как показывают предыдущий опыт анализа нефтяных цен, не должна существенно превышать длительности предыдущего периода роста цен, который составил 70 дн. Отсюда следует, что мы находимся в конце шестого периода, что подтверждается умеренным

Таблица 2 ростом цен на нефть. Предполагая, что X7 = X5, и T7 = T5, получим, что в течение ближайших 70 дн. линейный тренд нефтяных цен марки Brent будет расти по закону

y7 = 89,5долл. /барр. + 0,25 долл. /барр. в сут., ■ t . ± Д (7)

где t — число дней после точки локального минимума (21.06.2012).

Исходя из формулы (7), в конце седьмого периода (прогнозного) значение нефтяной цены может достигать 107 ± 5 долл. /барр., поскольку величина максимального уклонения от линейного тренда Д в шестом и седьмом периодах составила 5 долл. /барр. Далее возможно плавное снижение тренда со скоростью 0,37 долл. /барр. в сут. Если рост цен после 21.06.2012 не будет продолжительным, то требуется корректировка прогноза.

Далее сделаем прогноз в рамках модели муль-тифрактальной динамики с нелинейным трендом [2, 7]. В этом случае

y(nl ) = Ус, + X, D )(t - t0i)+ X("1)(D1,DM) ( )7

+ ' 7T6 '■(t - ta), .

(8)

В формуле (8) коэффициентХ(пГ> будет определять тенденцию динамики в конце периода Т Он находится из условия минимума уклонения точек интересующего нас периода (в данном случае шестого) от линии тренда (8) по методу наименьших квадратов:

" дЛ

Л = X \y6k y6k ) ; (nl)

k=i oXy '

Из формулы (9) находим

=0.

(9)

Xk 7 (Убк- У06 - X6k)

(nl) _ k=1_

Xy ' =

X k7

(10)

Используя таблицу данных у6к, с помощью (10) находим: Х(п!^ = -2,63 долл. /барр. в сут. Этот результат указывает на возможность ежедневных скачков цены на нефть в конце шестого периода.

В статье на основе модели мультифрактальной динамики предложена классификация социально-экономических процессов. В зависимости от значения параметров фрактальной модели все процессы

k=1

делятся на четыре типа: I — монотонные, II — ос-цилляционные, III — катастрофы классические, IV — катастрофы бифуркационные.

Получена формула для прогноза динамики кусочно-линейного тренда социально-экономических процессов, когда их характер относится к I и II типам. Проведен мультифрактальный анализ динамики цены на нефть марки Brent с начала 2011 г. по июнь 2012 г. Найдены параметры мультифракталь-ной модели. Сделан прогноз возможных сценариев динамики цены на нефть с кусочно-линейным и нелинейным трендами, согласно которым цена за баррель нефти марки Brent на начало осени 2012 г. составит 107 ± 5 долл. /барр.

Список литературы

1. Кудинов А.Н., Сажана О. И., Цветков В. П., Цветков И. В. Анализ цен на нефть в 2009 г. и первой половине 2010 г. и их прогноз на конец 2010 г. в рамках фрактальной модели // Финансы и кредит. 2010. №38.

2. Кудинов А. Н.. Цветков В. П., Цветков И. В. Валютный кризис и бифуркационные явления в

рамках фрактальной модели // Финансы и кредит.

2009. № 46.

3. Кудинов А. Н., Цветков В. П., Цветков И. В., Сажина О. И. Фрактальный анализ динамики цен на нефть // Программные продукты и системы.

2010. № 1.

4 . Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

5. Цветков И. В. Теория катастроф и фрактальная модель кризисных социально-экономических процессов // Вестник Тверского гос. ун-та. Серия: прикладная математика. Вып. № 19. 2010.

6. Kudinov A. N., Krylova O. I., Tsvetkov V. P., Tsvetkov I. V. Global warming in mathematical model of multifractal dynamics // Russian journal of earth sciences. Vol. 12. 2011. №3.

7. Kudinov A.N., Tsvetkov V.P., Tsvetkov I. V. Catastrophes in the Multi-Fractal Dynamics of Social-Economic Systems // Russian Journal of Mathematical Physics. Vol 18. 2011. №2.

8. URL: http://www. oilexp. ru/neft.

\ \

\ \

\

v №

4\

11

w

Хочешь изменить мир? Отправь свою идею на конкурс! ЯХР-'/М

4У| Компания Cisco и Фонд «Сколково» представляют «Премию инноваций Сколково»

3 номинации: 3 награды:

Sk

СколKOBO

- применение технологий в энергосбережении

- применение технологий в здравоохранении

- применение технологий в образовании

- 3 миллиона рублей

- 1,5 миллиона рублей

- 750 тысяч рублей

Настало время действовать!

С 25 сентября по 31 декабря подавай свои заявки на cisco.ru/iprize

Ш'/'Ш

ш

||||||||| CISCO.