CC BY
41
фрактальный анализ динамики цен на нефть
А.Н. Кудинов, д.ф.-ж.н.; О.И. Сажина; В.П. Цветков, д.ф.-ж.н.; И.В. Цветков, к.ф.-ж.н.
(Тверской государственный университет, tsvet@tversu.ru)
В работе проведен фрактальный анализ динамики цен на нефть в 2008 г., в течение которого имели место их сильные взлеты и падения, на основе ранее разработанной авторами математической модели. Предложен и реализован новый алгоритм вычисления фрактальной размерности мультифрактальных временных рядов. Показана применимость линейного приближения. Приводятся аргументы в рамках фрактального подхода в пользу возникновения нефтяного пузыря.
Ключевые слова: фрактальный анализ, динамика цен на нефть, кризисные явления, вычисление.
В последние годы на мировом рынке сырой нефти, являющемся ключевым рынком энергоносителей, наблюдается ценовой бум. Кратко опишем ситуацию, сложившуюся в данной области.
В 2008 г. на международном рынке были зафиксированы резкие колебания цены на нефть. В первом полугодии продолжалась тенденция ее роста, и к середине года цена приблизилась к рекордной отметке в $150 за баррель. Между тем во второй половине года она стремительно упала и достигла рекордного за последние четыре года минимума - около $40 за баррель.
Перечислим основные факторы, влияющие на цену. Одним из простых объяснений резкого подорожания нефти является рост спроса (особенно со стороны Индии и Китая) и уменьшение предложения [1].
Несомненно, значительную роль в формировании цен на нефть играют политические факторы. Однако скептики утверждают, что их влияние преувеличено.
Важным фактором, обусловливающим рост цен на черное золото, называют снижение курса доллара. Еще одним фактором - состояние экономики США и иных индустриально развитых стран (инвесторы и биржевые спекулянты перебрасывают свободные средства в сырьевые активы).
Таким образом, главными причинами стремительного роста цены на нефть в первом полугодии являются напряженность в соотношении спроса и предложения, а также спекуляции.
История показывает, что бурный рост цен на нефть рано или поздно сменяется падением. Так, в 1970-е годы нефть была супердорогой. В итоге в 1973-1983 гг. потребление ее в США сократилось на 13 %. В 1986 г. цена на нефть упала почти до $10 за баррель.
Аналогичную ситуацию мы наблюдали во втором полугодии 2008 г. Резкое падение цены на нефть главным образом вызвал начавшийся в США финансовый кризис, который привел к экономическому спаду и снижению спроса на сырую нефть. Между тем экономический спад также наблюдается в Японии и еврозоне.
Несомненно, в несколько последующих лет вектор движения цены на нефть будет важной проблемой, привлекающей серьезное внимание
всех стран мира. В связи с тем, что факторы, оказывающие влияние на конъюнктуру нефтяного рынка, весьма сложны, финансовые аналитики дают различные прогнозы относительно будущих цен на нефть.
Значимость такого прогноза возрастает, поэтому возникает необходимость в построении алгоритмов и программ, обеспечивающих его достоверность и долговременность.
Множество факторов, влияющих на нефтяные цены, ставит вопрос о построении модели, описывающей динамику этих цен и не зависящей от возможных допущений и предположений.
В данной работе авторы предлагают модель, основанную на фрактальном подходе [2]. Она представляется более надежной по сравнению с другими, поскольку мало зависит от деталей функционирования системы ценообразования на нефть, устройство которой и численные параметры недостаточно известны.
Рассмотрим динамику роста цены на нефть на примере нефти сорта Brent [3]. Проведем анализ динамики в период, предшествующий максимально высоким ценам, и в последний период их падения в 2008 г. в рамках построенной математической модели [4].
В этой модели имеет место аналитическая зависимость тангенса угла наклона линейного тренда X и фрактальной размерности D соответствующего участка фрактальной кривой, описывающей динамику процесса. Зависимость безраз-
X
мерного отношения Ь =— от D (X0 - характерное X0
значение X) вычислена с использованием компьютерной программы в системе символьных вычислений Mapple и приведена на рисунке 1 для значений D0=1,4, Dk=1,75, Db=1,75. Здесь D0, Db и Dk - параметры модели, которые находятся из условия наилучшего согласия с опытными данными. Точки Db и Dk получили название точек бифуркации и критической соответственно.
Из рисунка 1 видно, что вблизи D0 применимо линейное приближение, а вблизи Db и Dk имеют место кризисные явления. Они связаны как со значительным увеличением X вблизи Dk, так и c различными по величине и знаку значениями X вблизи точки бифуркации Db.
В данном нефтяных цен использование применимо в размерности D<Dq+0.1.
случае для описания динамики вблизи максимума целесообразно линейного приближения, которое области значений фрактальной Б, удовлетворяющей условию
долл./барр
155,00
135,00 115,00 95,00 75,00 55,00 35,00
D =1.30 D=1.34
У
361 сутки
Рис. 2
График динамики нефтяных цен за интересующий период приведен на рисунке 2, где отсчет времени начинается с 09.01.2008 г.
Из рисунка 2 следует, что всю рассматриваемую область значений в 1 год можно разбить на два интервала с примерно одинаковой продолжительностью в 181 сутки - первый и 180 суток -второй. В первом интервале цена на нефть растет, а во втором практически равномерно убывает.
В области роста 1 значение тангенса угла наклона линейного тренда равняется Хх=$0,317 в сутки, в области падения 2 Хз=$0,61 в сутки.
При расчете фрактальных размерностей Б использовалась методика, отличная от изложенной в [4, 5]. Из кривой динамики среднесуточных цен на нефть, представленной на рисунке 2, используя составленную авторами программу, строим гра-
фики линейного тренда. В результате получаем кривую уклонений цен на нефть от линии тренда. Рассчитаем ее фрактальную размерность. Очевидно, что она совпадает с фрактальной размерностью исходной кривой. Далее была составлена и реализована программа в среде программирования Delphi по анализу зависимости длин фрактальных кривых от величины масштаба 6. Соответствующие значения фрактальной размерности в этих областях будут равны Di=l,30, D2=l,34.
В рамках линейного приближения имеет место соотношение [6]
Xi = K (Do - Di);!=1,2 .
Используя значения Xi, Di и данное соотношение, находим коэффициент K=$23,175 в сутки, Do=l,313. Полученное большое значение коэффициента K в 2008 г. указывает на чрезвычайную переполненность нефтяного рынка спекулятивными деньгами банков и нефтяных компаний в этот период.
Фактически подтверждается тезис о возникновении так называемого нефтяного пузыря. Возникла очень неустойчивая ситуация. Оказалось достаточным изменение фрактальной размерности на 0,04 и D=Di, вместо подъема нефтяных цен получился их спад при D=D2.
Согласно модели [6], процессы роста и спада цен происходили плавно вблизи значения Do и существенно далеко от значения D=Db, Dk, что характерно для кризисных процессов. В середине 2008 г. достаточно малое колебание фрактальной размерности привело к сдуванию нефтяного пузыря.
Проведенный анализ динамики цен на нефть в 2008 г. служит непосредственным доказательством того, что фрактальная размерность участков кривой динамики цен на нефть является эффективным управляющим параметром данного процесса. От ее значений существенно зависит характер рассматриваемой динамики.
Литература
1. URL: http://www.washprofile.org/ru/ (дата обращения:
09.04.2009).
2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.:
Наука, 1992.
3. URL: http://www.ngfr.ru/discussion.html7006 (дата обращения: 09.04.2009).
4. Цветков В.П., Цветков И.В., Гуляева О.С. Фрактальный анализ валютных временных рядов // Финансы и кредит. 2007. № 9 (249). С. 30-35.
5. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальный анализ динамики курса американского доллара по отношению к российскому рублю за 2007 - начало 2008 г. // Там же. 2008. № 33 (321). С. 41-45.
6. Нелинейная фрактальная модель валютного кризиса. А.Н. Кудинов [и др.] // Программные продукты и системы. 2008. № 4 (84). С. 117-118.
1
