Самоподобие цен на нефть и фрактальные методы их прогноза Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

21 (453) - 2011

Ценообразование

Удк 338.53

самоподобие цен на нефть и фрактальные методы их прогноза*

И. В. ЦВЕТКОВ, кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры экономики и управления производством E-mail: mancu@mail.ru Тверской государственный университет

В данной статье представлен самоподобный характер поведения цен на нефть в 2009 и 2010 гг. Приведена аргументация заявления, утверждающего, что из самоподобия кривых динамики цен следует их фрактальный характер. Дается определение мультифрактальной динамики, приведены основные методы описания динамики нефтяных цен и их прогнозирования. Проведено сравнение прогнозного коридора нефтяных цен на конец 2009-2010 гг. с фактическими данными, продемонстрировавшее их хорошее согласие. В рамках мультифрактальной динамики рассмотрен крайне актуальный для мировой экономики вопрос о таком явлении, как «пузырь» на нефтяном рынке.

Ключевые слова: самоподобие, фрактал, динамика, цена на нефть, прогноз.

Введение

Несомненно, в последующие несколько лет вектор движения цены на нефть будет иметь важное значение и привлекать серьезное внимание всех стран мира. В связи с тем, что факторы, оказывающие влияние на конъюнктуру нефтяного рынка весьма сложны, финансовые аналитики дают различные прогнозы относительно будущих цен на нефть.

В условиях резких изменений цен на нефть ценность и значение такого прогноза возрастает.

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 10-01-97508-р\центр\а).

Одним из способов изучения и прогнозирования цены на нефть является использование методов фрактального анализа [2].

Для использования фракталов и мультифрак-талов уже существует обширное математическое обоснование. Фрактальные модели появляются не только в изменении котировок ценных бумаг, но и в моделировании распределения галактик в космосе и формы береговых линий и в декоративных проектах, сгенерированных бесчисленными компьютерными программами.

Фрактал — геометрическая форма, которая может быть разделена на части, каждая из которых — уменьшенная копия целого. В финансах данная концепция — это не беспочвенная абстракция, а теоретическая переформулировка практичной рыночной поговорки, а именно: движения акции или валюты внешне схожи, независимо от масштаба времени и цены. Наблюдатель не может сказать по внешнему виду графика, относятся ли данные к недельным, дневным или часовым изменениям. Это качество определяет диаграммы как фрактальные кривые и делает доступными многие мощные инструменты из математического и компьютерного анализа.

самоподобный характер нефтяных цен

Первым, кто обратил внимание на самоподобный характер поведения цен, являлся основоположник фракталов Бенуа Мандельброт [6].

Он обнаружил, что произвольные внешние колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми.

Далее Бенуа Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок за длительный период времени — по этим ценам имелись надежные данные более чем за 100 лет. Колебания их в течение дня казались непредсказуемыми, но компьютерный анализ смог проследить тенденцию ценового изменения. Он вывел график, на котором колебания цен за один конкретный день были наложены на более длительный отрезок времени. Мандельброт проследил симметрию в длительных и кратковременных колебаниях цены. Данное открытие оказалось полной неожиданностью для экономистов, пользовавшихся математикой только для вычислений. Да и сам Ман-дельброт был поражен собственным открытием. Он не вполне понимал его тайный смысл, но чувствовал, что нащупал нечто важное. Позже выяснилось, что ученый интуитивно начал разрабатывать рекурсивный (фрактальный) метод в экономике. Более специфическим техническим термином для определения подобия между частями и целым является термин «самоблизость». Данный термин связан со знаменитой концепцией фракталов, называемой самоподобием, характеризующим явление, при котором каждая деталь картины уменьшена или увеличена с одинаковым отношением, — процесс, знакомый любому, кто когда-либо заказывал увеличение фотографии. Финансовые рыночные графики, однако, далеки от самоподобия.

Практической иллюстрацией мультифракталь-ных свойств реальных временных рядов может пос-

лужить сравнение графиков колебаний биржевых цен на нефть в течение нескольких месяцев, года и десятилетия.

Проиллюстрируем самоподобный характер нефтяных цен с помощью графиков (рис. 1—3).

Необходимо отметить, что даже с учетом сильного взлета и падения цен на нефть в 2008—2009 гг. ситуация на нефтяном рынке принципиально не меняется. Периоды взлетов сменяются периодами падений, а те, в свою очередь, периодами плавного роста или падения.

На графиках (см. рис. 1—3) отображается качественная «картина» самоподобного поведения нефтяных цен. Так, на рис. 1 отражена динамика нефтяной цены за 2 мес., на рис. 2 — за 2 года, а на рис. 3 — за 12 лет. Все приведенные графики характеризуются постоянным чередованием роста и падения цены на нефть. Характерной чертой такого поведения является приближенный характер их самоподобия. Закономерности такого поведения как раз и подлежат описанию методами фрактального анализа [1, 3, 5].

На взгляд автора, интерес представляет поэтапное фрактальное моделирование временного ряда на основе его тренда. Выполним данное моделирование методом, аналогичным методу Бенуа Мандельброта, который он привел в своей статье «Мультифрактальная прогулка вдоль Уолл-стрит» [4]. Результаты моделирования представлены на рис. 4, причем линии 1, 2, 3 (рис. 4, а) соответствуют трем элементам генератора.

Если подробно рассмотреть практически любой график динамики экономического или социального процесса, то можно условно выделить две составляющие — определенный линейный тренд на

Рис. 1. Биржевая цена на нефть (марка Brent), изменяющаяся с 24.06.2010 по 20.08.2010, долларов за баррель

ФИНАНСЫ И КРЕДИТ

25

Рис. 2. Биржевая цена на нефть (марка Brent), изменяющаяся в течение 2009—2010 гг., долларов за баррель

яне мао

янв мае

Рис. 3. Биржевая цена на нефть (марка Brent), изменяющаяся в течение «десятилетия» с 1998 по 2010 г., долларов за баррель

рис. 4. Поэтапное фрактальное моделирование временного ряда на основе его тренда

рассматриваемом участке и колебания параметра со сравнительно малым размахом относительно линии тренда.

Процесс начинается с величины, представленной прямой линией тренда (рис. 4,а). Затем используется ломаная линия, названная генератором, для создания модели, описывающей колебания цены вверх и вниз. Генератор состоит из трех частей, интерполированных вдоль прямой линии тренда. (Генератор, состоящий менее чем из трех частей, не сможет смоделировать цену, способную перемещаться вверх и вниз.) После прорисовки начального генератора три его части интерполируются тремя более короткими (рис. 4,6). При повторении данных шагов воспроизводится форма генератора, или ценовая кривая, но в сжатых масштабах. Горизонтальная ось (шкала времени) и вертикальная ось (величина) сжаты в целях подгонки каждой части генератора к горизонтальным и вертикальным границам. Две следующие стадии показаны на рис. 4, в и рис. 4, г.

Первые стадии процесса представлены на рис. 4, хотя он продолжает повторяться неограниченное количество раз.

В теории он не имеет конца, но на практике бессмысленно производить интерполяцию до достижения интервалов времени, являющихся короче интервалов между сделками, которые могут совершаться по несколько раз в минуту. Понятно, что каждая часть по форме приблизительно подобна целому. Таким образом, инвариантность масштаба заложена изначально. Новость (и неожиданная) в том, что данные фрактальные кривые отображают богатство структуры и представляют основу фрактальной геометрии и теории хаоса.

Несколько отобранных генераторов выдают так называемые «унифрактальные кривые», которые отображают относительно спокойную картину рынка, в соответствии с современной портфельной теорией. Но спокойствие преобладает только при необычно специфических условиях, удовлетворяемых только данными специальными генераторами. Одной из центральных ошибок современной портфельной теории являются предположения на базе данной упрощенной модели. Данная ситуация похожа на ситуацию с теорией морских волн, «запрещающей» вершинам волн превышать высоту в 6 футов.

Красота фрактальной геометрии заключается в том, что она обеспечивает возможность моделирования как спокойных рынков, хорошо моделируемых методами портфельной теории, так и возбужденных состояний торговли недавних месяцев. Для отображения процесса ускорения и замедления

деятельности рынков может быть применен только описанный метод создания фрактальной ценовой модели, что иллюстрирует сущность волатильнос-ти. Данная изменчивость является причиной добавления приставки «мульти-» к слову «фрактал».

Приведем простую аргументацию заявления, утверждающего, что из самоподобия кривых динамики цен следует их фрактальный характер. При уменьшении масштаба цен 8 и сохранении осцилляционного характера графиков, независимо от масштаба, следует зависимость длины кривой графика L от масштаба, т. е. L = L (8). Представив характер данной зависимости в виде: L = L^8 (1-D) на выделенном отрезке кривой, можно наблюдать, что данный график представляет собой фрактальную кривую или просто фрактал.

При описании ценовой динамики мирового нефтяного рынка будем использовать фрактальный подход к описанию процессов в социально-экономических системах [1, 3, 5], который предлагается называть «мультифрактальной динамикой».

Основы мультифрактальной динамики

Кратко изложим основы мультифрактальной динамики:

Определение: пусть y(t) — мультифракталь-ная кривая, описывающая динамику интересующей величины и имеющая на интервалах времени T (i = 1, 2, 3...n) определенное значение фрактальной размерности D.

Тогда, если скорость X линейного тренда y(t), аппроксимирующего данную функцию на интервале T с нужной степенью точности, зависит только от D,, то данный вид динамики будем называть «мультифрактальной».

В этом случае предлагается следующий подход: динамику мультифрактального процесса на интервале T(t0i < t < t0i+1, T = t0j+1 — t0i) можно разделить на две составляющие, используя понятие линейного тренда:

У1 (t) = yt (t) + у . (t), где y(t) — линейный тренд процесса, гладко меняющийся во времени;

j;;.(t) — быстрые осцилляции относительно

тренда.

Предполагается, что |j>;.(t) |>> |j?;.(t)| и кривая y(t) является мультифрактальной. Линия тренда yi (t) имеет фрактальную размерность, равную 1, а у (t) — фрактальную размерность D.

Мерой погрешности модели будет величина Д..=max .(t) на рассматриваемом интервале измене-

ний Dr На всем интервале наблюдения общее значение погрешности составляет: Д = тахД;, i=\...n.

Основной задачей исследования является построение модели, в которой функции у(1) и у(1) будут связаны между собой. В предлагаемой автором модели фрактальной динамики предполагается, что тангенс наклона линейного тренда у(1) является функцией фрактальной размерности D. В рассматриваемом случае в качестве у(1) выступает цена на нефть. Для простоты записи индекс i просто опустим.

Важным моментом представленного подхода является то, что часть параметров модели являются управляющими параметрами. Изменяя их значения, можно на основании изученных свойств модели делать предсказания поведения системы в дальнейшем и вырабатывать рекомендации по предотвращению критических явлений и достижению системой оптимальных характеристик. Так, при изменении управляющих параметров рассматриваемая модель показывает переход из некризисной области в область катастроф, и наоборот.

На этих участках мультифрактальной кривой с постоянным значением D тангенс угла наклона линейного тренда (средняя скорость соответствующего процесса), согласно предлагаемой модели [5], является функцией D и находится из решения следующего кубического уравнения:

Л(В) X + ВкХ3 =п.

(1)

при В0 < В < 2.

(2)

При стремлении D к Dk ситуация существенно меняется, и членом Вк в уравнении (1) пренебречь уже нельзя.

Прогноз динамики нефтяных цен

Прогноз динамики нефтяных цен проведем в рамках модели мультифрактальной динамики. С помощью анализа нефтяных цен на определенном промежутке времени выявляются закономерности поведения фрактальной размерности на характерных временных промежутках. Как показывает конкретный анализ, периоды роста и падения нефтяных цен чередуются и имеют довольно близкие значения. На этих промежутках кривая нефтяных цен имеет различные фрактальные размерности. Обозначив величину их периодов как Т, получим формулу для оценки линейного тренда изменения цены на нефть за два соседних периода:

Ду = (X] + Х2)Т = п(2В0 - В - В2)Т.

(4)

Для удобства предлагается выбрать такой масштаб, чтобы выполнялось условие |Х| << 1. Параметр п описывает эффективное влияние внешних факторов на изучаемую систему.

Для функции А (В) выберем следующее аналитическое представление, позволяющее описывать все многообразие процессов в социально-экономических системах:

(В0 - В)"1 при 1 < В < Ва Л(В) = (Во - Вк Г1 (Во - В)1 (В - Вк г1

В исследованиях [1, 3] предложено несколько иное аналитическое представление А (В), достаточно близкое к выражению (2).

Параметры модели D0, Dk, Вк и п выбираются из наилучшего согласия с опытными данными.

В случае, когда D < D0, членом с Вк можно пренебречь, и в этом случае справедливо линейное приближение:

X = п (^ — D). (3)

В данной области значений D уравнение (1) имеет один вещественный корень, определяемый формулой (3).

За 2п периодов роста и падения будем иметь следующее выражение:

ДУп =П(2Во - В1 - В2)Т. (5)

Конечно, формула (5) имеет место при выполнении условий: Ti « Тк и В1 « Вм, т. е. в целом характер тенденции меняется со временем не сильно. Более подробно данный вопрос рассматривается в других исследованиях [1, 3]. Были сделаны следующие прогнозы коридоров цен на нефть на конец 2009 и 2010 гг.:

— на конец 2009 г. цена должна составить 77 ± 2 долл./барр.;

— на конец 2010 г. цена должна составить 89,6 ± 5 долл. /барр.

Величины прогнозных коридоров Д имели следующие значения: в 2009 г. — от 2 долл./барр., а в 2010 г. — 5 долл./барр. Это является показателем большей неустойчивости мирового нефтяного рынка в 2010 г. по сравнению с 2009 г.

Иллюстрация характера динамики нефтяных цен в 2009 и 2010 гг. и приближение их к прогнозному коридору представлена на рис. 5 и 6.

Необходимо отметить, что наблюдается хорошее согласие прогнозных и реальных значений нефтяных цен на конец 2009 и 2010 гг.

Условия возникновения нефтяных «пузырей» в рамках фрактального подхода

Далее подробно рассмотрим крайне актуальный для мировой экономики вопрос о таком явлении, как «пузырь» на нефтяном рынке в рамках мультифрактальной динамики.

Прогнозируемая на конец 2009 года цена нефти:

77±2

$/БАРРЕЛЬ

Рис. 5. Динамика нефтяных цен в 2009 г.

и прогнозный коридор цен на конец года, долларов за баррель

яне ¿16в

95

90 конец 2010 года цена на нефть-89,6 ± 5 $/баааель 7?

85 > А/ У/

«0 / \

75 \ Л V/

то Г

Рис. 6. Динамика нефтяных цен в 2010 г. и прогнозный коридор цен на конец года, долларов за баррель

Как правило, большим спекулятивным финансовым потокам на нефтяном рынке соответствует специфическое явление, получившее название «нефтяной пузырь». Он «надувается» при некотором значении фрактальной размерности D в течение достаточно длительного периода времени — порядка полугода. А при незначительном изменении D от начального значения «пузырь» начинает плавно «сдуваться». Это интересное явление было названо автором катастрофой типа «пузырь». Данный тип явления отличается от классических катастроф тем, что происходит в течение достаточно длительного периода времени. Но в силу того, что имеет место высокая волатильность цен на нефть, то вполне

естественно причислить катастрофу типа «пузырь» к определенному типу катастроф.

Перечисленные свойства «нефтяного пузыря» очевидным образом следуют из формулы, определяющей линейный тренд цены на нефть (1):

У(1) = П (^ - ^ • (1 - 10). (6)

Из формулы (6) следует, что при больших значениях п и (1 — 10) даже для небольших значений — D) линейный тренд нефтяной цены может достигать больших значений. Данная ситуация хорошо иллюстрируется графиком на рис. 7 для функции X = X (п, D).

На основании работы [3] имеем следующие оценки во время образования «пузыря» нефтяных

Рис. 7. Зависимость скорости линейного тренда X от параметров п и D

цен: п = 23,175долл./(барр./сут.), Б0 = 1,313, Б1 =1,3, Б2=1,34. Длительность постоянного роста, а затем и длительность постоянного падения нефтяных цен в 2008 г. составляли около 6 мес. Из формулы (4) легко вычисляется, что за полгода роста нефтяные цены изменяются следующим образом: Ау 1(/) = 54,2 долл. /барр., Ау2(1) = 108 долл. /барр.

Проведенное автором исследование приводит к следующему необходимому условию образования нефтяного пузыря: фрактальная размерность кривой нефтяной цены должна быть стабильной в течение периода времени не менее полугода. Данное условие может быть обеспечено только стабильностью на нефтяном рынке.

Столь значительные изменения цен, произошедшие за большие промежутки времени и обусловленные постоянством падения или роста цен на нефть, вполне можно считать катастрофами особого рода типа «пузырь». Как было отмечено ранее, для их возникновения также необходимы большие значения коэффициента п, который описывает влияние финансовых потоков на нефтяной рынок.

Искусственные меры по регулированию денежного рынка могут открыть дорогу спекулятивному капиталу, способному вывести из равновесия ценовую стабильность нефти.

Заключение

Результаты исследования, проведенного автором, несомненно, могут быть использованы для выявления нетривиальных свойств как поведения рынка нефтяных цен, так и их прогноза. Кратко перечислим основные результаты проведенного исследования:

— на конкретных примерах показан самоподобный характер поведения цен на нефть в 2009 и 2010 гг.;

— доказано, что из самоподобия кривых динамики цен следует их фрактальный характер;

— изложены основы мультифрактальной динамики и описаны методы прогнозирования динамики нефтяных цен на ее основе;

— проведенное сравнение прогнозного коридора нефтяных цен на конец 2009—2010 гг. с фактическими данными показало их хорошее согласие;

— в рамках мультифрактальной динамики рассмотрен крайне актуальный для мировой экономики вопрос о таком явлении, как «пузырь» на нефтяном рынке.

Список литературы

1. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет. 2000.

2. Кудинов А. Н, Сажина О. И., Цветков В. П., Цветков И. В. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 г. — начало 2009 г. и прогноз цен на нефть на ее основе // Финансы и кредит. 2009. № 28 (364). С. 12-15.

3. Кудинов А. Н, Сажина О. И., Цветков В. П., Цветков И. В. Анализ цен на нефть в 2009 г. и первой половине 2010 г. и их прогноз на конец 2010 г. в рамках фрактальной модели // Финансы и кредит. 2010. № 38 (422). С. 21-26.

4. Мандельброд Б. Мультифрактальная прогулка вдоль Уолл-стрит. URL: http://trade-signal. biz/index.php?nma=catalog&fla=stat&cat_id= 4&nums=115.

5. Цветков И. В. Математическая модель кризисных экономических процессов, описываемых мультифрактальными временными кривыми // Вестник Тверского гос. ун-та. Сер. Прикладная математика. 2010. № 17. С. 127-132.

6. Benoit B., Mandelbrot B. The Fractal geometry of nature, Freeman, San Francisco, 1982.

30

ФИНАНСЫ И КРЕДИТ