CC BY
29
анализ цен на нефть в 2009 г. и первой половине 2010 г. и их прогноз на конец 2010 г. в рамках фрактальной модели
а. н. КУДИНОВ, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования
Е-mail: math_model@mail.ru
В. П. ЦВЕТКОВ, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой общей математики и математической физики e-mail: tsvet@tversu.ru
В статье проведено сравнение прогнозных результатов и реальных цен на нефть на 2009 г. Показано совпадение прогноза и опытных данных. В рамках фрактальной модели проведен анализ нефтяных цен на первую половину 2010 г. На его основании делается прогноз динамики этих цен на конец 2010 г.
Ключевые слова: фрактальный анализ, динамика, цена, нефть, прогноз.
Сложившаяся структура мировой экономики такова, что ее состояние существенно зависит от динамики нефтяных цен. К средине 2008 г. цена на нефть приблизилась к рекордной отметке в 150 долл. за баррель для сорта Brent. Но во второй половине 2008 г. цена на нефть быстро упала и достигла рекордного за последние четыре года значения — около 40 долл. за баррель. Это событие во многом связано с началом мирового экономического кризиса, а динамика нефтяных цен являлась адекватным отражением основных этапов его
И. В. ЦВЕТКОВ, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры экономики и управления производством Е-mail: mancu@mail.ru
О. И. САЖИНА, аспирант кафедры общей математики и математической физики Е-mail: osazhina@mail.ru Тверской государственный университет
развития. В январе и феврале 2009 г. еще продолжалось небольшое падение нефтяных цен, но с конца февраля наметился их небольшой подъем. В апреле
2009 г. цена нефти возросла до 53 долл. за баррель. Далее происходил в среднем монотонный ее рост: цена на нефть достигает к началу 2010 г. примерно 81 долл. за баррель.
Отметим, что 01.04.2010 стоимость нефти поставила очередной рекорд после ее достаточно глубокого падения в период кризиса — 84,62долл. за баррель. Это самые высокие котировки «черного золота» за последние полтора года. Цена достигла своего максимального уровня с октября 2008 г. Майские фьючерсные контракты на нефть марки WTI (цена на 1—2 долл. выше, чем за Brent) подорожали до 84,62 долл. за баррель, что на 1 % выше уровня 31 марта
2010 г. [3]. По оценке информационного агентства Bloomberg, нефтяная цена в 84,62 долл. за баррель — более половины от максимальной докризисной цены, которая была достигнута 30.06.2008. Тогда
нефть стоила 142,6 долл. за баррель. К минимальному значению она опустилась 22.12.2008 — 39,15 долл. за баррель. С тех пор, как уже отмечалось, нефть не дешевела, а только дорожала. За 2009 г. цена выросла с 46 до 78 долл. за баррель.
После рассмотрения динамики нефтяных цен за указанный выше временной интервал можно привести слова ряда биржевых аналитиков: «Нефть победила кризис» [4].
Далее рассмотрим более детально причину подорожания нефти в настоящее время. Значительное влияние на позитивные тенденции нефтяных котировок оказали новости по статистике экономик Китая и Японии, а также выросшая активность пришедших в себя после кризиса и вновь делающих ставку на нефть международных спекулянтов. Индекс производственной активности в КНР, рассчитываемый банком HSBC Holdings Plc и аналитической компанией Markit, вырос в марте до 57 п. с 55,8 п. месяцем ранее. Однако сделать надежный прогноз поведения китайской экономики достаточно сложно. Сейчас Китай, в котором промышленное производство в октябре
2009 г. выросло на 16 %, несколько уменьшил внутреннее потребление нефти. Однако импорт нефти Китаем в тот период достиг самого высокого уровня за последнее время. Тем не менее аналитики ИК «Финам менеджмент» отмечают, что даже в случае некоторого замедления роста экономики этой страны, увеличение потребления нефти в стране в
2010 г. может составить до 15 %. Позитивная динамики, имеющая место в данный момент времени в экономике Китая, по-видимому, сохранится даже после постепенного сворачивания антикризисных мер властями страны. Это обстоятельство в сочетании с улучшенными макроэкономическими показателями в развитых странах может поддержать увеличение спроса на нефть.
Но при этом мнение абсолютного большинства экспертов сходится в том, что ждать превышения психологически важной отметки в 100 долл. за баррель в этом году не приходится.
В Мексиканском заливе у берегов США 20.04.2010 произошла техногенная катастрофа. По данным, полученным со спутников, из поврежденных скважин затонувшей буровой установки ежесуточно вытекает около 25 000 баррелей нефти. Эта и другие техногенные катастрофы могут также оказать заметное влияние на формирование нефтяных цен в 2010 г.
Описанный выше сложный характер формирования нефтяных цен делает актуальным построение
их прогнозных моделей. Для анализа и прогноза нефтяных цен авторы предложили [2] модель, основанную на фрактальном подходе. Эта модель представляется более надежной по сравнению с другими. Она мало зависит от деталей функционирования рассматриваемой системы, устройство которой и значение числовых параметров в большинстве случаев недостаточно известны.
В работе авторов [1] изложена фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 — начала 2009 г. и на ее основе сделан прогноз цен на нефть до конца 2009 г. Результаты сделанного прогноза хорошо согласуются с опытными данными. В работе [1] дан следующий прогноз: к концу 2009 г. ожидается цена на нефть — около 75—80 долл. за баррель. В реальности значение линейного тренда нефтяных цен на 30.12.2009 составило 77 долл. Максимальное уклонение цен на нефть от линейного тренда в дан-
„ долл.
ный момент не превосходило величину ±2-.
баррель
Сравнение опытных данных и результатов прогноза говорит о совпадении построенной фрактальной модели с этими данными.
В данной работе используется дальнейшее развитие вышеуказанной модели для анализа в рамках фрактального подхода нефтяных цен на первую половину 2010 г. и построения прогнозной модели их динамики до конца 2010 г.
Предположим, что динамика нефтяных цен описывается мультифрактальной кривой. Это означает, что весь период времени наблюдения можно разбить на промежутки (число промежутков — n), на каждом из которых она имеет определенное значение фрактальной размерности D. При этом зависимость нефтяной цены y от времени t на каждом из этих промежутков может быть представлен следующим образом:
y (t) = y(t0i ) + X (t - t0i ) + y, (t), (1) где i = 1, 2, 3... n.
Предполагается выполненным условие — \y ,(t)| << |y, (t)|, т. е. малость уклонения от линейного тренда.
Точность приближения Д. — функции y i (t) линейной функцией на участке Tj < t < T+1, может быть оценена по формуле:
Д ,. = max ly,(t)|.
Скорость роста нефтяной цены X (тангенс угла наклона линейного тренда) в формуле (1) согласно модели [1, 2] является решением кубического уравнения:
A(D)X + BkX3 = п.
Для функции А(В) в отличие от модели [2] выбираем более простое аналитическое представление:
А(Б) = ^ 1 ^ при 1 < Б < Б0,
или А(Б) =
Ц - Б 1 Б - Б Ц - Б Бо - Б
при Б0 < Б < 2.
Параметры модели D0, Dk, Вк и п выбираются из наилучшего согласия с опытными данными. В
случае |Б - Бк >> п3 членом с Вк можно пренебречь и справедливо линейное приближение:
X = п(Бо - Б)- (2)
Выполним замену переменной X =
1
'о5
V В, J
График зависимости Е (D) приведен на рис. 1 и 2 для D0 = 1,61, Dk = 1,86, Вк = +0,4 , п = 0,25.
Анализ данных на рис. 1 и 2 показывает наличие в данной модели трех характерных точек D0, Dk, DB. В точке поворота D0 Е (D0) = 0, Х^0) = 0, а в критической точку Dk, А (Dk) = 0. Точка бифуркации DB находится из условия:
(А - А)
5 2 3
(Бо - Бк )(Бо - Въ )В3 п
График динамики цен на нефть за интересующий нас период приведен на рис. 3.
Из данных рис. 3 следует, что всю рассматриваемую область значений с начала 2010 г. можно разделить на два интервала: первый — продолжительностью 22 дня и второй — продолжительностью 68дней. Напервом интервшге цена на нефть
-2->
рис. 1. График зависимости Е (В) при
о
■ла-
Т7~
1.6
18 0„
рис. 2. График зависимости Е (D) при Вк = — 0,4
убывает, а на втором — растет. В области падения 1 значение тангенса угла наклона линейного тренда равняется:
85 83
81 79 77 75 73
71 69
рис. 3.
Динамика цен на нефть в январе — апреле 2010 г., долл. за баррель
X =-0,463-д0ЛЛ-;
баррель ■ сутки
К = 8,17-
в области роста 2:
долл.
Х2 = 0,180-
баррель ■ сутки
Значения фрактальной размерности в этих областях соответственно равны D1 = 1,426 и D2 = 1,306. Расчет фрактальной размерности проводился на основе составленных нами компьютерных программ.
Используя значения X и D 1 и уравнение (2), находим значения коэффициентов:
долл.
К = 5,36
баррель ■ сутки
D0 = 1,340.
Значение D0 оказалось существенно меньшим, чем величина D0 = 1,61, использованная при построении рис. 1 и 2. Это означает сдвиг графиков рис. 1 и 2 для данного случая влево по оси D примерно на 0,27. В модели [2] на основе данных валютных курсов в период кризиса 1998 г. найдено значение Dk = 1,7. Если считать, что характерное значение Вк для данного случая лежат в промежутке 1,7 < Dk < 1,8, то найденные значения D1 и D2 далеки от критической точки Dk и точки бифуркации Db. Они принадлежат области, для которой справедливо линейное приближение (2) и поэтому резких скачков нефтяных цен в течение 2010 г. наблюдатьсянедолжно.
Для сравнения приведем значения тех же коэффициентов зааналогичный период 2009 г. Они были соответственно равны D0 = 1,37,
6,30
долл._ [1]. Сравнивая данные
баррель ■ сутки
величины, можно сделать вывод о том, что D0 изменился очень мало — всего на 0,03, а коэффициент ^уменьшился в 1,5 раза. Это указывает на существенно меньший средний темп роста нефтяных цен в 2010 г. по сравнению с 2009 г.
Для оценки величин погрешностей Д.. используемой модели построим график зависимости функции у (?), который приводится на рис. 4.
Из данных рис. 4 определим значения максимальных уклонений от линейного тренда для первого и второго участков нефтяных цен, представленных на рис. 3:
д= 1,94_д0лл_-
2,00
02.01.2010 JJ.01.2010 11.О2.2М0 03.03.2010 3J.03.2010 12-ОД .2010 02-05.2010 22.05 2010
Рис.4. Графикзависимостифункции у (?) ,январь — май2010г.
долл.
Д2 = 5,06-.
баррель
На всем рассмотренном промежутке времени значение уклонения равно:
Д = тах(Д, Д2) = 5,06 <дот- .
баррель
Это значение будем в дальнейшем использовать в оценках возможного уклонения нефтяных цен от прогнозных значений линейного тренда.
Далее проведем прогноз динамики цен на нефть по той же схеме, что и в модели [1]. Характерной чертой этой динамики является чередование периодов роста и падения нефтяных цен. Причем на этих участках фрактальная размерность кривой ценовой динамики оказывается соответствен- но больше или меньше
Поэтому, естественно, точку /) можно называть точкой поворота, при перескоке которой D знак коэффициентов линейного тренда меняется на противоположный. В нашем случае период — период падения нефтяной цены, а Т2+ — период роста. Значение Т,- хорошо известно, а именно Т =22 дня. Значение Т2+ = 92 дня, так как 03.05.2010 цена на нефть достигла своего максимума — 88,88 долл. за баррель и начало падать. За временной период
Т = Т~ + Т2+ = 114 дней изменение цены на нефть в точках минимума и максимума роста и падения будет соответственно равно:
Ду = ХТ + X2Т2+ = К (Бо Т + Т+) -
Временной промежуток 2010 г. в результате
может быть представлен в виде трех промежутков
времени длительностью порядка 4 мес. каждый.
Темпы роста цены на нефть получаются 6,374 долл.
за баррель за 4 мес. Средняя цена на нефть в течение
первого промежутка составила примерно 77 долл.
за баррель. Тогда на конец 2010 г. получим прогноз
цены на нефть:
^ „ч долл. _ долл.
(77 + 6,374 • 2)-« 89,7-.
баррель баррель
При составлении прогноза нужно также учесть возможные колебания цен вблизи линейного тренда Д.. В течение первого промежутка 2010 г. эти величины Д;. не превосходят 5 долл. за баррель. В результате окончательный прогноз ценовой динамики на нефть на конец 2010 г. следующий:
(89,7±5) долл- . Этот прогноз, как отмечалось
баррель
ранее, не противоречит мнению многих экспертов, что нефтяные цены к концу 2010 г. достигнут значения 100 долл. за баррель.
Данный прогноз основан на предположении, что основные факторы влияния, определяющие динамику цены на нефть, существенно не будут изменяться в течение 2010 г.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 10-01-97508-р\_центр\_а).
Список литературы
1. Кудинов А. Н., Сажина О. И., Цветков В. П., Цветков И. В. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 — начало 2009 г. и прогноз цен на нефть на ее основе // Финансы и кредит. 2009. № 28.
2. Кудинов А. Н, Цветков В. П., Цветков И. В. Валютный кризис и бифуркационные явления в рамках фрактальной модели // Финансы и кредит. 2009. № 46.
3. URL: http://www.bloomberg.com/.
4. URL: http://www.vz.ru/economy/2010/4/1/ 388982.html.
