CC BY
13
УДК338.24:330.342+334.722.8.(477) Здобувач О.Б. Герасимчук-ЛьвiвськаКА
КЛАСИЧН1 ТА НЕКЛАСИЧН1 МЕТОДИ ОПИСУ ДИНАМ1ЧНИХ СИСТЕМ В ЕКОНОМ1Ц1
Окреслено класифiкацiю динамiчних систем моделей економши, здiйснено ïx порiвняльний аналiз та наведено приклади застосувань. Запропоновано новий метод встановлення стшкосп динамiчноï' системи.
Competitor О.В. Gerasymchuk - L 'viv commercial academy
The classical and non-classical methods of description dynamical systems in economics
It is outlines classification dynamical systems of models economics. It is actualizes their comparative analysis. It is adduces the examples of uses. It is proposes the new method of appreciation stability of dynamical system.
Вступ. Сучасний стан розвитку украшсь^' економжи вимагае глибо-ких фахових шдход1в до оптим1заци розподшу трудових ресурЫв м1ж галузя-ми виробництва, окреслення оптимальноï модел1 шдприемства на основ1 ви-явлення нових властивостей тощо. Роль математичних метод1в анал1зу еконо-мжи у цш сфер1 е особливо актуальною.
Вивченню сутност метод1в опису та дослщження динам1чних систем надавали великого значення в теоретичнш думщ впродовж тривалого часу. Зокрема, проблемам динам1чних макроеконом1чних моделей присвячено ро-боти таких вщомих вчених, як: В.М. Глушкова, В.В. 1ванова, В.М. Яненка та ряду шших дослщниюв [1-21]. Водночас недостатньо дослщженою, з огляду на сучасний стан розвитку економши, е проблема обгрунтування метод1в встановлення стшкосп динамiчноï системи.
Постановка завдання
Метою нашоï статтi е класифжащя динамiчниx систем моделей еконо-мжи та з'ясування можливостi ïx застосування i на цiй основi обгрунтування нового методу встановлення стшкосп динамiчноï' системи.
Результати
1. Класичнi методи опису динамiчних систем. Залежно вщ мети дослiдження використовують рiзноманiтнi класичш методи опису та досль дження динамiчниx систем [12, 16, 18]. Один iз таких методiв базуеться на представленш
де: х - вектор вхщних дiй; y - вектор реакци системи; K - матриця iм-пульсних переxiдниx функцш системи; t - час. У нелшшному випадку K за-лежить ще i вiд х.
Бшьш розповсюдженою формою запису динамки системи е викорис-тання диференщальних рiвнянь. Крiм цього, iснують i дискретш моделi, якi описуються сюнченно^зницевими рiвняннями. За такоï' форми опису одшею з найбiльш важливих методолопчних проблем побудови економiчниx моделей
(1.1)
е питання про те, якими рiвняннями описувати такi моделi - диференщальни-ми чи скiнченно-рiзницевими. Вiдомий новозеландський професор-економет-рист А. Бергстрон аргументовано довiв перевагу зображення моделей у вигля-дi диференцiальних рiвнянь над моделлю скiнченно-рiзницевою [2].
Вiдомi рiзноманiтнi детальнi та узагальненi класифжацн моделей еко-номiчних систем [10, 15, 21], що так чи шакше задовольняють практичнi цiлi. Розрiзняють:
• макромодел1 економ1чного зростання. Ц1 модел1 дають змогу побудувати технолопчно допустимый план функцюнування та розвитку господарства, який чи найкращим чином забезпечуе задоволення сустльних потреб;
• мжромодет р1вноваги. Вони мютять опис виробиичо-технолопчиих можливос-тей господарства, опис невиробничо! сфери споживання вироблених продуктов та опис мехатзм1в, яю регулюють обмш 1 розподш вироблено! продукци;
• макромодел1 р1вноваги. Вони розглядають р1вновагу загалом. У рамках моделей розглядають мехатзми розпод1лу нацюнального доходу, з одного боку, на споживання та збериання, а з 1ншого боку, споживання та швестици, 1 встановлюеться чинник юнування р1вноваги за р1зних р1втв зайнятост! Ц1 модел1 не мютять опису процесу розширення виробництва, та регулюваль-них його економ1чних мехатзм1в. До класу цих моделей варто ввднести 1 мо-дел1 цикл1в, у яких розглядаються коливання розпод1лу нацюнального доходу 1 пов'язат з ними коливання самого доходу навколо положення р1вноваги;
• модет глобально! динам1ки. Тут робиться спроба зобразити процес розширення виробництва, взаемодш цього процесу з процесами в невиробничш сфер1. Але в цих моделях недостатньо ч1тко роздшено чисто технолопчт та економ1чт процеси, не видшено власне мехатзми регулювання, тому дуже багато зв'язюв у моделях тдлягають задовшьнш штерпретаци.
Наведемо деякi приклади вказаних вище моделей:
• модет за В. Леонтьевим. Цей клас моделей належать до моделей типу "витрати-виготовлення", де р1вень виготовлення кожного продукту пропорцшиий його су-марним витратам у вс1х шших галузях. Бтьш детально про щ модет див. в [15];
• « • _ л г * и _ •
• модел1 нейман1вського типу. У цьому клас1 моделей враховуеться можлив1сть сушсного виготовлення продукци деякими виробничими процесами, а кож-ний виробничий процес використовуе деяку сировину, ресурси тощо. У модель входять матрицу виготовлення та витрат, вектор штенсивностей виробни-чих процес1в, р1вень запасу продукпв 1 асортиментного набору продукпв [15];
• модет за Р. Харроду. Модел1 цього класу описують динамшу макроекономь ки. Нагромадження 1 споживання становлять постшну долю в нацюнальному дохода а зростання виробничих фонд1в залежить ввд темпу зростання катта-ловкладень;
• Ж[ -модели Подальшим розвитком леонтьевсько! модел1 е п -модель розвитку виробництва, запропонована в [1]. Це модель для розв'язання низки еконо-м1чних задач за умов розширення виробництва 1 перебудови його структури; вона волод1е штотно великими можливостями оптим1заци економ1чно! систе-ми пор1вняно з 1ншими системами.
В п -моделях на економiчну систему не накладають вимоги повного завантаження виробничо! потужностi, повно! зайнятостi, повного викорис-тання вшьного продукту i заданого рiвня споживання, що е наявним в шших моделях. Замють них вводяться бшьш слабкi припущення.
За рахунок послаблення системи гшотез в ni -моделi з'являються HOBi способи управлшня: змша виготовлення сукупного продукту, змша рiвня споживання, недонавантаження i перебудова потужностей, створення нових потужностей, створення запаЫв i маневрування ними тощо.
Наведемо найпростiшу, неперервну модель [1], яка описуеться наступ-ними рiвняннями:
X (t ) = A (t) X (t) + y (t),
y(t) = B (t)v(t) + i (t) + c(t),
де: x - вектор валового виготовлення за одиницю часу; A - технолопчна матриця; y - вектор запит1в за одиницю часу; v - вектор виробничих потужностей; B - матриця фондомiсткостi; % - вектор запасiв продуктiв; c - споживання за одиницю часу.
Тут функци v, % i c можна розглядати як управлшня. На параметри системи (1.2) накладають наступнi обмеження:
0 < x (t )< v (t), V (t )> 0
Yn( t )< ao (t) x (t )<n( t), 0 <у < 1, (1.3)
Co (t )< c (t),
де: n(t) - кшьюсть трудових ресурсiв; a0 (t) - характеризуе прямi витрати працi; c0 (t) - гарантований рiвень споживання. За t = 0 задана структура ви-робничих потужностей:
v (0 ) = V0.
У рамках ще! моделi будують рiзноманiття оптимiзацiйних задач, нап-риклад задачу перебудови структури економжи на заданому вiдрiзку часу [0, T] за одночасно! максимiзацil рiвня споживання:
v (T) = vT
г T ()j (1-4)
I = 1 c(t)dt ^ max.
0
Опис динамiчних систем системою диференщальних р1внянь. Не-
хай поведшка динамiчноl системи описуеться сукупнiстю звичайних диференщальних рiвнянь.
y = fi(У1,...,yn;ab...,ар), i = 1,n, (1.5)
де: y = (y1,.yn) - стан системи; а = (а1,.ар) - параметри системи.
За таких умов стацюнарний стан знаходиться методом розв'язання системи
fi = (yb...,yn;a,...,ар) = 0, i = 1,n. (1.6)
Нехай ri = ai (i = 1,n) - розв'язок системи (1.6). Цей розв'язок нази-ваеться особливою точкою системи (1.5). На таких засадах питання стшкосл
одержаного стацiонарного стану розв'язуеться обчисленням корешв характе ристичного рiвняння
f \
P(X) = det (aу - ÀSfj) = 0, aу =
f
1, i = j
(1.7)
у
Стащонарний стан стшкий, якщо Re X- = 0 ( i = 1, n ), де X - кореш рiвнян-
ня (1.7). Точки в яких порушуються умови стшкосп, називаються критичними.
Зауважимо, що встановлення стшкосп стану можливе i без обчислен-ня коренiв полшома (1.7). Це здiйснене через метод використання неперер-вних дробiв [19]. Наприклад, нехай полiном P (X) мае вигляд
X4 + a1X3 + a2X2 + a3X + a4. (1.8)
1з (1.8) утворимо ращональну функцiю
( ч a1X3 + a3X r (X) = X4-X-'
X4 + a2X2 + a4
яку називають тестовою функщею стiйкостi. За допомогою стандартного алгоритму тестову функщю r (X) зображають у виглядi неперервного дробу
r(X) =-Ц-, (1.9)
b1X +-1-
ы +-
bX+ 1
b4X
а вiдомо, що даний полiном стiйкий тодi i тшьки тодi, коли в (1.9) вс bi > 0 .
Алгоритм (1.9) реашзуеться через видiлення у знаменнику право! час-тини спiввiдношення (1.10) цшо1 вiдносно X частини
Г (X)=X4 + aX + a4- (1л0)
a1X2 + a3X
Редукцiя складних економiчних систем. Нехай (1.5) е автономною системою диференцiальних рiвнянь, де одну частину рiвнянь
У = f ((•■•,Уп,аь...,ар), i1 = 1,i10 (1.11)
вiдносять до системи повшьних рухiв, а другу частину
Б
yi2 = А ((•■•,Уп'а---,ар), i2 = i0 +1,n, б % = f (1.12)
вщносять до системи швидких рухiв.
За б = 0 системи (1.11), (1.12) переходять у систему (1.11).
O = %2(Уъ...,Уп,аъ...,ар). (1.13)
Систему (1.11 )-(1. 13) називають виродженою системою диференщаль-них рiвнянь. Саму систему (1.12) у цьому процес називають приеднаною.
Мае мюце наступне твердження [20].
Теорема Тихонова. Розв'язок повно! системи (1.11)-(1.12) прямуе до розв'язку вироджено! системи (1.11)-(1.13) за s ^ 0, якщо:
• розв'язок yo +1,---,yn системи (1.13) (i2 = if1 +1,n) - стшка 1зольоваиа точка
системи (1.12) за вс1х значень y1,..., yi0;
• иочатков1 умови г0+р---,гП для (1.12) потрапляють у сферу впливу стшко!
особливо! точки;
• розв'язок повно! системи i приеднано! системи единий, а прав1 частини цих
систем неперервт.
Ця теорема дае змогу понизити порядок системи (1.5) i дае змогу И ви-користання для практичних цшей.
У роботi [4] розроблено дробово-рацюнальний метод вiдшукання нормального розв'язку вироджених систем звичайних лшшних диференщальних рiвнянь типу (1. 11)-(1. 13). Тут ефективно використана операщя псевдообер-нення за Муром-Пенроузом.
Класична форма динамiчних макроекономiчних моделей базуеться на використанш систем звичайних диференцiальних рiвнянь. Такi моделi мають певнi недолжи, якi полягають зокрема у тому, що реальнi макроекономiчнi системи описуються негладкими i навiть розривними функщями. Крiм цього, класичнi форми подання динамiчних макроекономiчних моделей погано на-даються до опису динамiки згортання i повно! вiдмови вiд використання зас-тарiлих виробничих потужностей.
Сьогодш багато авторiв проводять опис динамiчних макроекономiч-них моделей через системи штегральних рiвнянь, якi дають змогу уникнути вказаних недолтв.
2. Метод штегральних рiвнянь при моделюваннi економiчних систем, що розриваються. Новий клас динамiчних моделей спочатку виник [5] у виглядi динамiчних макроекономiчних моделей, що побудованi на системах штегральних сшввщношень. Бажання застосовувати його до широкого спектру як природознавчих, так i фiзичних (економiчних) проблем призвели до iс-тотного збагачення та уточнення первюних моделей [6].
Для того, щоб краще з'ясувати основнi iдеl такого подання, розгляне-мо динамiчну модель Леонтьева [17].
Нехай економiчна система складаеться з n взаемопов'язаних галузей виробництва. Продукщя кожно! галузi частково йде на зовшшне споживан-ня - споживання у невиробничш сферi, для створення запашв, iнвестицiй, ек-спорту тощо (кiнцевий продукт), а частково використовуеться як сировина, нашвфабрикат або iншi засоби виробництва. Цю частину називають виробни-чим споживанням.
Позначимо через xi валове виготовлення продукцй /-о! галузi за запла-нований перюд, а через yi кшцевий продукт, що iде на зовшшне для розгля-дувано! системи споживання. Таким чином, рiзниця xi - yi становить частину, продукцil i-о! галузi, призначену для внутрiшньовиробничого споживання.
Надаш вважатимемо, що баланс складаеться не в натуральному, а у вартюно-му розрiзi.
Назвемо вектор y = ( y1, y2,..., yn ) - асортиментним вектором, а сукуп-
нiсть значень x = ( x1, x2,..., xn ) - вектором-планом.
Зважаючи на закони рiвноваги та продуктившсть економiчноï систе-ми, одержимо статичну модель Леонтьева [11;14] "витрати-виготовлення"
n
pxi = yi + Х aijXj, (1.14)
j=1
де: p- деякий числовий параметр; що визначае продуктившсть (працездат-нiсть) системи; постшш параметри aij визначають витрати продукцiï i-6ï га-
лузц якi використовуються i-ою галуззю для виготовлення одинищ продук-цiï. Параметр p вибирають з умови p > X, де X - найбшьше власне число
додатноï матриц A = ( aij ).
Класичну динамiчну модель Леонтьева описуемо системою лшшних диференщальних рiвнянь
dX
х (t) = A (t) x (t) + K (t)dX + y (t), (1.15)
(Л1
де: x ( t ) - вектор об'ему i структури сукупного суспiльного продукту; y ( t ) -
и „и- dx
вектор об ему i структури чистого кшцевого продукту;--вектор швид-
dt
костей змши валового продукту; A ( t ) - матриця коефщенлв поточних мате-рiальних витрат; K ( t ) - матриця коефщенлв прирюно1" фондомiсткостi.
Система (1.15) вщповщае кiбернетичному пристрою, на вхщ якого по-даеться керований сигнал y ( t ), а виходом е вектор функщя x ( t ), що харак-
теризуе положення керованого об'екта, тобто господарства. Ця модель реаль зуе принцип планування господарства з огляду на кшцеву мету економiчного розвитку, тобто завдання щодо "навантаження" на економiчну систему i мак-симiзацiï корисностi, що е наступним станом, який лопчно випливае з уЫх завдань. Останш вимоги, як було сказано вище, характеризують ni -модель розвитку економiчноï системи.
Подальшим розвитком моделi (1,15) е штегральна модель рiвноваги. Нехай за час т до виходу готово!" продукцiï матерiал для ïï виготовлення вит-рачаеться з штенсившстю aij (т) - в розрахунку на одиницю продукцп i на
одиницю часу.
Тодi за змшно1' величини потоку готово1' продукцiï xi ( t ) i - те рiвнян-ня балансу прийме вигляд [13].
n t+T
pXl (t) = ^ j aj (Ç-1) xj (Ç)dÇ + yt (t), (1.16)
j=1 t
де: yi (t) - потж кiнцевого продукту; параметр T - тривашсть виробництва.
Рiвняння (1.16) е iнтегральними рiвняннями Вольтерри [3; 8]. Воно на-лежить до класу неоднорiдних рiвнянь вигляду
цх (X )= | К (г,4) х (£) + у (X), (1.17)
п
iз невiд,емним ядром К (X,4). Для юнування його невiд,емного розв'язку дос-татньо, щоб ц > ц0, де ц0 - найбiльше додатне власне значення ядра К (X,4). Цей результат е узагальненням класичного випадку для статичних рiвнянь (1.14).
Iншi вигляди динамiчних моделей економжи, описаних через штег-ральш рiвняння, представлено в монографи [7]. Це двопродуктовi динамiчнi макроекономiчнi модел^ континуальнi моделi оптимiзаци розподiлу робочих мюць мiж галузями виробництва, модель тдприемства тощо.
Отже, через побудову системи штегральних рiвнянь можна ставити рiз-номанiтнi оптимiзацiйнi задачi. Одна з природних постановок полягае в тому, щоб зпдно заданого споживання с (X) мiнiмiзувати витрати працi протягом пев-ного планового перюду Т. 1ншими словами, необхiдно мiнiмiзувати iнтеграл
X (X л
I Iх(т)Л(т,X) + у(т)ц(т,X) Ж
x v о )
за умов х(X) + у(X) = |х(т)Л(т,X}а(т1 ^)йт ,
о
с (X ) = | у (X )ц(т, X )в(т)^т,
о
0 < Л(т, X )< 1, 0 <т< X , Xl < X < X , 0 <ц(т, X )< 1, 0 <т< X , X < X < X ,
|(х(т)Л(т,X) + у(т)ц(т,X))т < п(X)г(X) X < X < X,
0
де: п (X) - кшьюсть працюючих; якими володiе економiчна система в момент часу X; г (X) - величина середнього робочого дня; вимiряного в долях дiб; Л(т,X) i ц(т1) - коефiцiенти завантаження в момент часу X потужностей; за-даних в момент часу т; а(т,X) - кшьюсть робочих мюць зпдно з технологда шг; створених в одиницю часу в розрахунку на одне робоче мюце за техноло-гiею шт; в(X) - величина виготовлення предмепв споживання за одиницю часу в розрахунку на одиницю вимiру виробничих потужностей.
Висновки
Наприкшщ зауважимо, що в економiчних моделях дуже важливим е цiла низка екстремальних принципiв, наприклад принцип диференщально! оптимiзацil, що пропонуе найкраще використання ресурЫв, якi надходять у систему, в кожний момент часу.
Розвиток штегро-функщональних моделей в економiцi дае змогу не тшьки об'еднати декшька часткових властивостей систем, що розвиваються, але також дало змогу виявити цшу низку нових властивостей, пояснити, зро-зумiти 1х у сукупность
Л^ература
1. Бекларян Л.А, Петров А.А, Тер-Крикоров А.М. Об одной линейной динамической модели производства// Экономика и математические методы. - 1978, XIV, № 2. - С. 312-325.
2. Бергстром А. Построение и применение экономических моделей. - М.: Прогресс, 1970. - 176 с.
3. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. - К.: Наук. думка, 1986. - 543 с.
4. Герасимчук О.Б. Дробово-ращональний метод вщшукання нормального розв'язку вироджених систем звичайних лшшних диференщальних рiвнянь та 1'х континуального аналогу// Вюник Львiв. ун-ту: Сер. прик. математика та шформатика. - Львiв: ЛНУ iм. 1в. Франка. - 2004, вип. 8. - С. 3-13.
5. Глушков В.М. Об одном классе динамических макроэкономических моделей// Управляющие системы и машины. - 1977, № 2. - С. 3-6.
6. Глушков В.М., Иванов В.В. Моделирование оптимизации распределения рабочих мест между отраслями производства А и Б// Кибернетика. - 1977, № 6. - С. 117-131.
7. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. -М.: Наука, 1983. - 350 с.
8. Забрейко П.П. и др. Интегральные уравнения. - М: Наука, 1968. - 448 с.
9. Кантарович Л.В., Жиянов В.И. Однопродуктовая динамическая модель экономики, учитывающая изменение структуры фондов при наличии технического прогресса// ДАН СССР. - 1973, 211, № 6. - С. 1280-1283.
10. Красс И.А. Математические модели экономической динамики/ Под. ред. И. А. Полетаева. - М.: Сов. радио, 1976. - 280 с.
11. Леонтьев В.И. др. Исследование структуры американской экономики. - М.: Госста-тиздат, 1958. - 132 с.
12. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. - М.: Наука. - 2003. - 320 с.
13. Математические методы анализа экономики. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 152 с
14. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. - М.: Мир, 1972. - 519 с.
15. Петров А.А., Поспелов И.Г. Системный анализ развивающейся экономики. - Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. I. - 1979, № 5. - С. 13-25; II. - 1979, № 6. - С. 12-24; III. - 1980, № 1. - С. 12-21; IV. - 1980, № 2. - С. 10-25; V. - 1980, № 3. - С. 10-20.
16. Реутов А.П., Савченко Р.Г, Суслов Р.М. Системная модель как отношение системных качеств - упорядоченности, надежности и эффективности/ В кн.: Вопросы кибернетики (управление развитием систем)/ Под. ред. А.П. Реутова, Р.М. Суслова. - М., 1979. - С. 5-34.
17. Смирнов А.Д. Динамическая модель межотраслевого баланса. - М.: МИНХ им., т. В. Плеханова, 1994. - 98 с.
18. Справочник проектировщика систем автоматизации управления производством/ Под. ред. Г.Л. Силянского. - М.: Машиностроение, 1976. - 600 с.
19. Сявавко М., Рибицька О. Математичне програмування за умов невизначеносп. -Львiв: Украшсью технологи, 2000. - 320 с.
20. Тихонов А.Н, Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1980. - 232 с.
21. Федоренко Н.П. Оптимизация экономики. - М.: Наука, 1977. - 287 с.
УДК338.24:330.342+334.722.8.(477) Асист. Т.1. Городиський -
Дрогобицький державний nedazozi4n^ утверситет
ОПТИМ1ЗАЦ1Я СТРУКТУРНО! БУДОВИ 1ННОВАЦ1ЙНОГО
ПОТЕНЦ1АЛУ РЕГ1ОНУ
Окреслено прюритетш завдання оптимiзацii структурно'1 будови шновацшного потенщалу регионально!' агломерацп "Дрогобиччина" та обгрунтовано основш засади 1'х реалiзацii. Акцентуеться увага на нормативно-правових, фiнансово-економiчних й оргашзацшних складових шновацшно'1 шфраструктури регюну та проблемi форму-вання високого рiвня шновацшно! культури.
