CC BY
11
УДК 519.862
а.а. Алексеев, д.а. Алексеев
МАКРОЕКОНОМ1ЧНА МОДЕЛЬ ТРАНСФОРМАЦ1ИНОГО НАПРЯМКУ ШКОЛИ В.М. ГЛУШКОВА Вступ
У працях [1-4] вперше сформульований та продовжуеться напрямок побудови MaKp0eK0H0Mi4H0ï моделi для сучасно! економiки Украïни. Такий пщхщ вiдповiдаe певним концепцiям, характерним для школи дослiдження економiки, створенiй В.М. Глушковим. У даннiй статтi здшснено iнтегрування вiдповiдних рiвнянь в едину систему, узгодження ïï параметрiв та варiантiв розв'язку.
Основна система рiвнянь
Рiвняння валового i кiнцевого продукту [1]:
Г x(t ) = A(t ) x(t ) + y (t ); (1)
[ y(t ) = C (t ) + B(t )V(t ) + m (t ), (2)
де x(t ) - вектор валових випусюв за одиницю часу; A(t ) - технологiчнi коефiцiенти; y(t ) - вектор кшцевого
продукту; C (t ) - вектор споживання; V(t ) - вектор змши виробничих потужностей; B(t ) - коефiцiенти
фондомiсткостi; m(t) - вектор змiни запаав. Рiвняння оновлення фондiв, споживання i прац [1]:
рiвняння змiни фондiв
t
V (t ) + v2 (t ) = V (0) + J v (т)Л(т, t )a(t, t )dt; (3)
0
pÍB^Hra споживання
C (t ) = C (0) + J v2(T)r(T, t )bt)dt;
0
pÍB^Hra балансу працi
t
r(t) = J[ V (t)l(t, t) + V2 (T)r(T, t) ]dr,
(4)
t (5)
0
де У1 (/), У2 ^) - показники потужност (кiлькостi робочих мюць) за новими технологiями в групах виробництва А i Б: виробництво засобiв виробництва i виробництво засобiв споживання;
Л(г, I), у(г, ^) - коефiцieнти завантаження в момент часу ^ потужностей, створених в момент часу г ;
а(г, ^) - кiлькiсть робочих мюць в технологи ^ -го моменту часу, що створюються в одиницю часу у розрахунку
на одне робоче мюце, яке працюе в технологи г -го моменту часу у виробництвi групи А;
Ь(г) - обсяг виробництва засобiв споживання в одиницю часу в розрахунку на одне робоче мюце у групп Б;
г(/) - ктькють працюючих.
Рiвняння змiни запасiв i концентраци вiдходiв:
\т (г) = г) х - тН - Н + тФ - ит - Ф + и(т0 - т) + к; (6)
[2 (г) = - 1)/(т, 2)х + 2Н - Н - а 2 - 2 - Ъ 2и2Ф - их - со, (7)
де т0 - концентра^я природних ресурсiв (сировини); т - залишковi ресурси (невикористаноТ сировини);
Н = Н (г) - чисельнють населення; Ф = ф(г) - капiтал (основнi фонди);
ит, и2 - частки катталу, якi спрямовуються на вiдновлення ресурсiв та знищення забруднення навколишнього середовища вiдповiдно;
2 - концентра^я вiдходiв (забруднень);
и - штенсивнють технологiчного процесу вщновлення ресурсiв та зменшення забруднень; к - швидкють надходження ресурсу-замiнника; С - швидкють надходження нейтралiзуючого контрагента;
т(т, г) - деяка функ^я взаемоди виробництва, використання ресурав та виникнення забруднень;
w - технолопчний коефiцiент, w > 1;
тН, тф , 2Н, а2, Ъ2 - числовi коефiцiенти.
Компоненти wm(m, 2)х + и(т0 - т) + к та ^ - 1)/(т, 2)х - их - w правих часток (6), (7) вщповщають моделi Моно-1ерусалимського [3], а компоненти тН - Н + тфитФ та
2Н - Н - а2 - 2 - ЪгигФ - моделi Дж. Форрестера [2]. Таким чином, рiвняння змши запасiв i концентрацiТ
вiдходiв побудован на основi симбiозу моделi Моно-1ерусалимського, яка виникла спочатку як модель опису бюлопчних процесiв, i моделi економiчноТ динамiки Дж. Форрестера. Такий симбюз е природним узагальненням обох моделей, а кожна з цих моделей може розглядатися окремим випадком загальноТ моделк В [5] визначено рiвняння динамки основних фондiв:
^=щ-в-ф , (8)
т
де I (г) - потк iнвестицiй - частка юнцевого продукту, яка використовуеться для створення основних фондiв за одиницю часу;
в - коефiцiент витрачання (амортизацiТ) основних фондiв. Розв'язком рiвняння (8) е функцiя
г
Ф = Ф(г) = Ф(р)в-в +11 (гув('-Т)с1т. (9)
о
Фондоозброенють робочого мюця визначаеться за формулою
л. Ф
ф = — , (10) V
де V = V1 (г) + V2 (г)- ктькють робочих мюць.
Розглянемо варiант сталих функцiй а = А(г), Ъ = Б(г), / =/(т, 2).
3 рвнянь (1), (2), (6)
(1 - a)x(t) - C(t) - bV(t) = m(t) = 1 (- m(t) - wmx(t) - mH • H(t) + mJUтФ(^)),
u
де використано вираз функцп m = m(t) з право! частини (6) для знаходження ïï похщно!' m (t ) .
Вираз m(t) знайдено диферен^юванням лiвоï частини (11). Тодi рiвняння (11) приймае вид
u ((1 - a) x(t ) - C (t ) - bV (t )) = -(1 - a) x(t ) + C (t ) + bV (t ) -wmX (t) - тн • H(t) + mфUmФ(0,
або
x(t) + Коx(t) = Q(t) ,
де
Q(t) = К (C (t ) + uC (t ) + b(V (t ) + u ■ V (t ))-mH ■ H (t ) + mJUM )); 1
К = -
1 - a + wm
Загальний розв'язок рiвняння (13):
K0 = (1 - a)uK.
f
x(t)
x(0) + j Q(T)eK 0TdT
\
--Kot
+
V 0 j
Нехай припущення вiдносно змiнних системи (3)-(7) мають вид
1(T, t) = Ae~1(t-T) ;
g(t t) = je~Ti(t-T) ;
a(T,t) = ae-a1(t-T), t > т;
ß(T) = ßeßiT;
V2(t) = u2eu21t ; H (t) = H ■ eHit ; Ф(t) = Ф ■ еф11,
де l, l, g, g , a, ai, ß, ßi, J2, J2i, H , Hi, Ф , Ф1 - числовi параметри. Тодi з (A)
C (t ) = C (0) + ßyv2 j eV2iT~gi(t-T)+ßTdT = C (0) + ßg
0
Розв'язок штегрального рiвняння (3):
Vi(t ) = al
e
(V21 +ßi)t - e~ïit
f V (0) ^
f
ej -u
al
\
1 +
V U2i -jj
V j V2i -jj
де j = a1-al-1; V(t) = Vi(t) + V2(t); V2(0) = v2, що перевiряеться пiдстановкою. Тодi з (5)
V2i +ß+gi ai +1
ev2it - V(0)
j
(12) (13)
(1A)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20) (21) (22) (23)
(2A)
(25)
(26)
г (г) = аЛ
V(0) + У2
Л - с-1 ( 1 Л и - с-1 1 +-
Р «21 -pJ
Р+Л
V «21 -РJ
¿>*г - e-rlг
«21 + Л1
■V (0) (1 (1 - с-1" )+«2Г
(Л «21 + 71
2
= (IV (0) + (7-Л)ь2 )г +(Л(аЛ -1) - V (0) + и 721 +11-1 -1«21 -771))~2 +
З (16) отримуемо пiсля iнтегрування
х(г) = x(0)e~Kоí + к[к1 (1 - с"К0')+ к2 ^ - с"К0')+ к3 (с^ - с''0' )+
+ к4 +Ь1)г - с-к0г)+ К5 (с-71 - с-к0г)+ к6 (ен1 - с-к0г)+ к7 (ефг - ^ )],
(28)
де к0 = (1 - а)ик ; к, =
С(0)
к. =
(1 - а)к
рЛи2 и21 + Р1 + и
ъ(и+р)-р лт+Л
Р + К0
- + -
Р «21 -Р,
; к 3 = Ь(и + и21)
иаЛ и,
7 и -71
тн - Н - н1
кя =--Н-1; к7 =
Р и 21 «2! + к 0 тф - Ц - Ф - ф.
«21 +Р1 +71 «21 +р1 + к 0' "5 и21 + Ь +71 71 - к0' "в н1 + к 0 ' 7
(29)
Коефiцiент К =
1
1 - а + w/
забруднень у технолопчних процесах, а параметр К0
ф1 + к 0
мютить iнтенсивностi w, / процесiв витрачання запасiв та створення
1 +
wm
- штенсивност процесiв витрачання
1 - а
запасв i створення забруднень та штенсивнють (и) вщновлення запасiв i зменшення забруднень у технолопчних процесах.
Коефiцiент К1 мютить, крiм перелiчених факторiв, також початковий рiвень споживання (С (0)), а коефiцiенти К2 - К5 - параметри клькост робочих мiсць та Тх завантаження у динамщ^ а також параметр
фондомюткост робочих мiсць (Ъ), К6, К7 - коефiцiенти впливу чисельностi населення та факторiв
витрачання капiталу.
З рiвнянь (6), (11) отримуемо
(1 - а) х(г) - С (г) - Ъ]& (г) = ^/хс(г) - тнН + тфифФ + и(т0 - т) + к. (30)
Звщси
т = т(г) = т° +1 (С (г) + ЪТ& (г) - ^ - тн - Н + тф - ит - Ф + к
и V к ,
Розглянемо числовий приклад на умовних даних, представлених у табл. 1. Таблиця 1. Основы числовi параметри моделi
(31)
к
2
и
Параметри Моделi Числове Значення Визначення
1 2 3
а 0,6 Частка промiжного продукту у валовому продукт
л 0,9 Максимальний коефiцiент завантаження робочого мюця у груш А (виробництва засобiв виробництва)
g 0,9 Те ж у груш Б (виробництва засобiв споживання)
1 0,03 Зменшення коефiцiента завантаження робочого мюця у грут А внаслщок змши технологш (за рт на 3%)
g 0,03 Те ж у грут Б
a 0,15 Mаксимальний показник оновлення робочих мюць за новими технолопями у грут виробництва А (15% за рт)
ai 0,05 Зменшення цього показника внаслщок вщдалення часу (за рк на 5%)
ß 6 тис.грн.. Середня продуктивнють робочого мюця за рт у грут виробництва Б
ßi 0,03 Прогнозний темп зростання ^eï продуктивност (3%)
J 0,05 Прогнозний темп зростання ктькост робочих мюць у виробництвi групи Б (5%)
b 25 тис.грн. Фондомюткють створення робочого мюця
H i -0,011 Темп змши кшькосп населення (зменшення за рт у середньому на 1,1%)
mф 4,96 Коефiцieнт ефективност вкладання капiталу на вiдновлення ресурав
Ф1 0,02 Прогнозний темп зростання капiталу (2%)
Um 0,1 Частка катталу, призначена на вщновлення ресурсiв (10%)
Uz 0,02 Частка капiталу, призначена на зниження забруднення навколишнього середовища (2%)
az 0 Коефiцieнт впливу наявних забруднень на ix прирiст або зменшення
Zh 780 грн. Оцшка витрат на прибирання, сортування та переробку смiття вiд одте людини за рiк
bz 0,3 Коефiцieнт ефективност вкладення капiталу з метою зменшення забруднень (окупнють за 3 роки)
u 0,1 1нтенсивнють технологiчного процесу вiдновлення ресурав та знищення забруднень
h 0 Швидкiсть надходження ресурсу замшника
( 0 Швидкiсть надходження нейтралiзуючого контрагента
m 0,6 Коефiцieнт впливу виробництва на витрачання ресурав
w 1.5 Коефiцieнт збiльшення витрачання ресурав внаслщок забруднення навколишнього середовища
1 = 0,055 ;
к0 = (1 - a)uK = 0,0308.
Результати рахунюв параметрiв:
j = al -ai
1
1 - a + wm Параметри (29) мають розмiрнiсть млн. грн.:
0,769 ;
к1 = 528,1; к2 =-280,2; къ = 376,1; кА = 478,6; к5 =-26777; к6 = 26,96- тН, к7 = 15,76- тф . З рiвнянь (28), (31) отримуемо
10,1 = 11,2 + — 0,1
4,2 = 04106- тН + 0,6158- тф ;
(195,7 + 25 -1,955--^^ - 47,9 - тн + 0,1 - 408 - тф^
К 0,7692 н ф J
(32)
З останнього рiвняння
0,694 = -0,479- тн + 0,408- тф. (33)
З рiвнянь (32), (33) отримуемо тН = 2,78 ; тф = 4,96. Грошову оцшку приросту забруднень навколишнього середовища виконаемо за рiзницевим аналогом рiвняння (7) (при аг = 0):
,т 1Ч чх(0) + х(1) Н(0) + Н(1\ ТТ Ф(0) + Ф(1)1
2 (1) - 2 (0) = (^ -1)/ - и р ; + К)2 2Н - иг у ;2 Ъ2. (34)
Коефiцiент забруднення вiд населення 2Н оцiнимо через витрати на прибирання, сортування та переробку см^я на одну людину в 60 грн/мюяць, хоча аналогiчний зарубiжний показник досягае 40 дол. [8]. Таким чином, 2Н = 60 грн.12 мiсяцiв = 780 грн.
Коефiцiент зменшення забруднень Ъг вщ використання на цю мету капталу (2%) вiзьмемо по
максимальнiй ефективност використання капiталу в УкраТнi, тобто з окупнютю » 3 роки. Тодi Ъг = 0,3.
Таким чином, прирют забруднень навколишнього середовища за рт складе у грошовш оцiнцi А2 = 0,2-230,3 + 48,2-0,78 - 0,02-404-0,3 = 81,2 млрд. грн.
Основн результати розрахункв представлен в табл. 2. Таблиця 2. Основн результати розрахунюв за моделлю
Визначення показника Позначення Числове значення Розмiрнiсть Формула, N
Джерело (лп-) 2001 рк, г = 0 2002 рк, г = 1
1 2 3 4 5 6 7
Валовий внутршнш продукт (ВВП) х (г) 6 210,6 250 млрд. грн 28
Споживання у реальному секторi економти С (г) 6 162,5 195,7 млрд. грн 24
Загальна кiлькiсть населення Н (г) 7 48,45 47,92 млн.
Кльксть робочих мiсць, У тому числи V (г) 20 21,9 млн. 26
- у виробництвi засобiв Г1 (г) 14 15,6 млн. 25
виробництва
- у виробництвi засобiв споживання V2 (t) 6 6,3 млн. 21
Ктькють працюючих г (t) 18,64 млн. 27
Каттал (основы фонди) F(t) 2 400 408 млрд. грн. 23
Запаси (ресурси)* m(t) m0 = m(1985) = 11,2 rr rr 10,2 10,1 млрд. грн. млрд. грн. 31
*) Ресурси у розумшш природного катталу Укра'ни Свiтовий банк оцiнюe в 658,1 млрд. дол., а за оцшкою укра'нських вчених - бтьше 5 трлн. дол.[9].
Висновки
Як бачимо, основу макроекономiчноí моделi складае система семи звичайних iнтегро-диференцiйних рiвнянь першого порядку, яка мае розв'язок. 1нтегрована система надае можливiсть забезпечити узгодження варiантiв розв'язку. Поданi результати моделювання наближенi до використання в прогнозах макроекономiчних показникiв Укра'ни, хоча таке наближення потребуе уточнення даних та доповнення економетричних стввщношень моделi вщповщно до ii можливих специфтацш (застосувань).
СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ
1. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Модели развивающихся систем. - М.: Наука, Ред. физ.-мат. наук, 1983. - 350 с.
2. Сергиенко И.В., Яненко В.М., Атоев К.Л. Общая концепция управления риском экологических, техногенных и социогенных катастроф // Кибернетика и системный анализ. - 1997. - № 2. - С. 65 - 86.
3. Ляшенко 1.М. Економко-математичж методи та модел1 сталого розвитку. - К.: Вища школа, 1999. - 236 с.
4. Алексеев Д.А. Экономико-математическая модель трансформационного типа // Кибернетика и системный анализ. - 2002. - № 6. - С. 30 - 35.
5. Петров А.А. Математическое моделирование экономического развития: Сер. Математика, кибернетика. - М.: Знание, Новое в жизни, науке, технике, 1984. - № 6. - 64 с.
6. Основы макроеконом1чн1 показники Укра'ни на 2001-2002 рр // М1неконом1ки, Управл1ння макроеконом1чного прогнозування. - 2001. - 17 жовтня. - С. 1 - 4.
7. Урядовий кур'ер. - 2002. - 28 грудня. - С. 11.
8. Чистяков А. Битва за см1ття // Урядовий кур'ер. - 2002. - 12 червня. - С. 6.
9. Грин1в Л.С. Еколопчно збалансована економка: проблеми теорп. - Льв1в: ЛНУ ¡м. I.Франка, 2001. - С. 110.
