CC BY
12
СТРАТЕГ1ЧНИЙ АНАЛ1З ТРАНСФОРМАЦ1ЙНИХ ЗМ1Н МIЖГАЛУЗЕВОÏ ВЗАбМОДП В УМОВАХ ВИКОНАННЯ ОБМЕЖЕНЬ З1 СКОРОЧЕННЯ ЕМ1С1Й ПАРНИКОВИХ ГАЗ1В
д. т. н. Кудш В. I., д. е. н. Онищенко А. М.
Украг'на, Кшв, Кшвський национальный университет 1мен1 Тараса Шевченка
ABSTRACT_
Prospective analysis of contemporary both theoretical and practical economy growing trend demonstrates account social factors and life support on Earth on a global scale. It is expected that in the near future this trend will occupy a major position in the global economy and will significantly determine the international economic relations. At the forefront of a globalizing world economy and international economic relations serves full priority to ensure the future world society. In the article is proposed a modified balance ecological and economic "input-output" model, which is based on established by the Paris Agreement limits on greenhouse gas emissions. It is determinated the conditions for the existence of the productivity model, which provides non-negativity of the economic and environmental performance. It is offered the mathematical apparatus of determining the change in the volume of gross output of primary and secondary production in the event of changes in the sector structure.
Вступ. В сучасних умовах глобалiзащi свггово! економши i свггових економiчних зв'язюв на перший план виступае прюритет забезпечення повнощнного майбутнього свггового суспшьства. В контекст цього значно зростае врахування еколопчного фактору в макроекономщ i особливим чином постае специфiчна проблема рол^ мюця та оргашзацп екологiчноi складово'. Вщповщно особливоi актуальност набувае розробка нового концептуального тдходу до еколопчного ресурсу як сучасноi економiчноi категори. врахування яко! необхiдно буде зводити до розробки новоi концепцii екологiчноi економши. свiтових економiчних зв'язкiв, пошуку оптимальних шляхiв мiждержавноi спiвпрацi в питаннях охорони довкшля, ресурсозбереження та маловщходних технологiй.
Реакцiею мiжнародноi спiльноти на проблеми негативного впливу змши ктмату на соцiально-економiчний розвиток стало прийняття Органiзацiею Об'еднаних Нацiй Паризькоi угоди з захисту ктмату, яка зокрема спрямована на зменшення емiсiй парникових газiв у глобальному вимiрi [1].
Реалiзацiя положень Паризькоi угоди потребуе залучення вчених рiзних наукових напрямiв з метою поеднання 'х досвщу в рамках мiждисциплiнарного дослiдження. Особливо! уваги серед них заслуговуе економiчна складова, як основний принцип розв'язання еколопчних проблем - економiчне заохочення. Економша мiжнародноi угоди вимагае комплексного. системного тдходу до и вивчення. Дотримуючись загально! методологii дослiдження економiчних процесiв, необхiдно розглянути концептуальний рiвень основних засад дано! угоди, окреслити основних ф^уранив - економiчних агента, еколого-економiчнi показники. з'ясувати iснуючi мiж ними зв'язки, !х природу та специфшу. Подальшим кроком проведення дослщження повинен стати перехiд до рiвня математичного моделювання еколого-економiчноi взаемодii як ефективного шструменту наукового пiзнання.
Результати дослщження. В робот [2] запропоновано враховувати витрати на виконання емюшних обмежень парникових газiв у структурi галузей основного виробництва у виглядг
ARTICLE INFO_
Received 23 January 2018 Accepted 20 February 2018 Published 15 March 2018
KEYWORDS
sustainable development, the Paris Agreement, ecological and economic system,
Leontief "input-output" model,
Leontief-Ford "input-output"
model,
simulation
© 2018 The Authors.
¡X = A X + Д2 x2 + Cy2 + У!,
I X2 — I X2 »^2 ,
(1)
де x1 =(xi, 4, •••, x\) - вектор-стовпчик 06'eMiB виробництва продукци;
x2 — (x2, X?,, •.., xm) - вектор-стовпчик 06'eMiB знищених забруднюючих речовин;
y1 — (yj, y?, • .., y\) - вектор-стовпчик 06'eMiB кшцево! продукци;
y2 — (y2, y?, •.., y2m) - вектор-стовпчик об'eмiв незнищених забруднень;
(11 \ n
aij- ) - квадратна матриця коефщенпв прямих витрат продукци i
на
виробництво одиницi продукци j;
(I? \ n,m
a ) - прямокутна матриця витрат продукци i на одиницю знищення
ig ' i,g — 1
забруднювачiв g ;
(Л \ m,n
a?j )k , i - прямокутна матриця випуску забруднювачш k на одиницю
виготовлено! продукци j;
(22 \ m
a?g) - квадратна матриця випуску забруднювачiв k на одиницю знищення забруднювачiв g .
Cy2 - витрати, пов'язанi з викидами парникових газiв (тобто витрати на обслуговування викидiв парникових газiв, зокрема, це плата за дозволи на викиди);
(12 \ n,m
c. ) - прямокутна матриця витрат продукци i на одиницю викидш
ig ' i,g — 1
забруднювача g .
В ^CT^i (1) неявно припускасться, що коефiцieнти a^1 > 0, ag > 0, aj?1 > 0, ajj > 0
розповсюджують на всi види виробничо! дiяльностi (матерiальне виробництво та знищення забруднювачiв) гiпотези основно! моделi мiжгалузевого балансу: кшьюсть технологiчних способiв дорiвнюe кшькосп видiв продукци та в кожному технолопчному способ! виробляеться лише один вид продукци. В подальшому будемо вважати матриц A11, A12, A21, A22 невiд'емними: A11 > 0, A12 > 0, A21 > 0, A22 > 0 . Економiчний змiст моделi (1) вимагае, щоб всi !! змшш були невiд'емними, тобто, x1 > 0, х?2 > 0, y] > 0 , y\ > 0 .
У векторно-матричному виглядi модель (1) можна представити так:
'О
V X2 J
' A11
V A21
A10 ^ I X1
I x ^ IE
22
V X2 J
+
с Yy^
0 - E
V U Й2 J
y2
(2)
де Е1 та Е2 - вщповщш одиничнi дiагональнi матрицi.
Перше рiвняння запропоновано! моделi вiдображаe економiчний баланс - розподiл галузевого валового випуску продукци на виробниче споживання основного та допомiжного виробництв, кшцеве споживання основного виробництва та витрати, пов'язаш з виконанням зобов'язань за Паризькою угодою. Друге рiвняння вщображае фiзичний баланс парникових газiв, як суму емюш, спричинених дiяльнiстю основного та допомiжного виробництв, та !х незнищених обсягiв.
Функцiонування будь-яко! виробничо! одинищ - це зазвичай цшеспрямований процес, який можна представити як систему з певним входом i виходом, що перетворюе вхiднi матерiали на кiнцевий продукт дiяльностi. В такш ситуаци стан виробничо! системи визначасться сукупнiстю умов i засобiв, що забезпечують !! iснування. Для процесу виробництва продукци - головного процесу економiчно!' системи - входом слугують поставки сировини, матерiалiв, комплектуючих виробiв, обладнання, трудових i фшансових ресуршв. вихiд визначаеться виробленою продукщею, а стан - накопиченими запасами засобiв
виробництва i трудових ресуршв. Один iз основних методолопчних принципiв системного аналiзу економiчноi дiяльностi полягае в можливостi адекватного визначення входу, виходу 1 стану кожного з дослщжуваних процешв i визначеннi схеми !х взаемодii. Реальний iснуючий спосiб виробництва визначаеться, з одного боку, прагненням до оптимального використання задiяних технологш, з шшого - обмеженими можливостями забезпечення виробничими факторами. Обмеження останнього роду пов'язаш зi сформованими тенденцiями в розвитку виробництва, розмiрами виробничих потужностей, квалiфiкацiйним складом виробникiв, а також iз суто економiчними обмеженнями таких показниюв, як термiн окупносл капiталовкладень, матерiалоемнiсть продукцii тощо. По сутi, обмеження певного способу виробництва викликаш двома основними причинами: неможливютю за короткий строк змшити склад i структуру виробничих ресуршв; умовами, що накладеш зовнiшнiм середовищем.
На сучасному етат розвитку еколого-економiчних вiдносин все бшьш важливу роль вiдiграють органiзацiйно-економiчнi аспекти, яю накладають обмеження на можливосл реалiзацii оптимального способу виробництва в умовах ди Паризько! угоди. Отже, якщо вiдомi кiлькiсть i склад виробничих факторiв, технологiчних способiв i органiзацiйно-економiчнi обмеження, то на пiдставi цих даних актуальним завданням е визначення змши об'ему i структури випуску в трансформацiйних змiнах зовшшнього середовища.
Розглянемо задачу визначення як змшяться вектори валового випуску та об'емiв утилiзацii парникових газiв, якщо змшити коефщенти технологiчних матриць, зокрема при посиленш екологiчних стандартiв та необхщносп збiльшення витрат на виконання зобов'язань за Паризькою угодою. Наприклад, припустимо, що змши зазнають елементи одше! або кiлькох технологiчних матриць Ап, А12, А21, А22, С .
Визначимо як така змша впливае на значення векторiв х1 та х2. Для цього використаемо процедуру, запропоновану в математичнш лiтературi з матричного аналiзу [3].
Модель (2) можемо представити у виглядг
де A =
-42
u =
1
V Х2
Au = G (3)
f E - A -A, ) f x} , _ f E C \ y1
- (n + m) - вимiрний вектор, G =
1
0 - E
V U Л2 У
А21 Е2 А22 У
Е1, Е2 - блочш одиничнi матрицi вiдповiдноi розмiрностi, 0 - блочна нульова матриця.
Будемо також розглядати систему, збурену (в елементах матриць А11, А12, А21, А22 та вектора- стовпця G ) по вiдношенню до системи лшшних алгебра'чних рiвнянь (3) вигляду:
Аи = G (4)
де А , G - вщповщш збурена матриця та вектор-стовпець. Нехай для системи (3) знайдено опорний розв'язок та обернену матрицю. Тодi мае мiсце наступна теорема (детальшше в [4]).
Теорема 1. Мiж коефiцiентами розвинення векторiв-нормалей обмежень за рядками базисно! матрицi, елементами обернених матриць, базисними розв'язками, нев'язками обмежень в двох сумiжних базисних розв'язках вщповщно мають мiсце такi сшввщношення:
а _ а
ark = —rk, ari = ari--— a и, r = 1, n + m , i = 1, n + m , i ф к . (5)
a„ a
lk
ek =—-, eri = eri - — aH, r = 1, n + m , i = 1, n + m , i ф к . (6)
aa
ejk
uo j = uo j--Ai, j = 1, n + m . (7)
A, -
a,.
Ak =--, Ar = Ar--— A,, r = 1, n + m , r ф к .
a
a
(8)
При цьому умовою опорностi базисно! матрицi при вводi вектору нормалi а1 обмеження аи < g¡ на k -у позицiю базисно! матрищ А е виконання нерiвностi а 1к ф 0 .
На основi приведених спiввiдношень можна побудувати алгоршмчну схему дослiдження систем (4) (при змшах в моделi). Алгоритм буде грунтуватись на iдеологi! симплекс-методу, з деякими особливостями оргашзацп iтерацiйного процесу. Зокрема, перехщ вiд системи (3) до системи (4) буде проводитись послщовним замщенням вiдповiдних збурених рядюв ¡,} + 1,i + 2,...,I + i0. Це означае, що вектори нормалей гшерплощин, яю утворюють рядки базисно! матрищ та вщповщно! !й обернено! матрицi, будуть замiщатись вiдповiдними "збуреними" векторами-нормалями. На основi симплексних сшввщношень (5)-(8) будуть перераховуватись наступнi олорш розв'язки та оберненi матрицi. При збереженш властивостi опорностi, на ггеращях замiщення, розв'язок системи (4) буде знайдено за i0
iтерацiй. В результат отримуемо новий базисний розв'язок та обернену матрицю (без перерозв'язання змшено! задачi (4) спочатку).
Формули (5)-(8) можуть бути покладенi в основу алгоритму визначення нового розв'язку у випадку збурення елеменпв базисно! матрищ, що дозволяе визначати змши в обсягах валового випуску при змш технолопчних матриць еколого-економiчно! моделi (2).
Крок 1. Знаходимо розв'язок и0 вихiдно! системи (3) та !! обернену матрицю А-1.
Крок 2. Якщо збурюемо матрицю A в елементi а^, то тодi а^ = а^ + а'1д. .
Крок 3. Визначаемо коефщент акк = 1 + ак • е ,к Ф 0, де е^к - вiдповiдний елемент матрицi А-1.
Крок 4. Знаходимо новий вектор-стовпець ek = —^ матрищ обернено! до A .
a
Крок 5. Визначаемо нев'язку збуреного рядка в елемент aj: A, = Ak = a'k.
де u0j -
] -та компонента и0.
Крок 6. Знаходимо новий розв'язок на основi спiввiдношення и0 = и0 - ёк - А,. Прошюструемо запропонований алгоритм визначення об'емiв валового галузевого випуску у випадку технолопчних мiжгалузевих змiн на умовних даних. Нехай коефщенти технолопчних матриць еколого-економiчно! моделi (3) мають такi значення:
An =
( 0.2 0.11 0.3 0.2
A12 =
( 0.1 0.2 1 0.2 0.2
A21 =
(0.1 0.3 1 _(0.2 0.3 1
, A22 =
0.2 0.3
0.3 0.1
матриця витрат на обслуговування емюш парникових газiв та вектори галузевого кшцевого випуску i обмеження за викидами парникових газiв вщповщно:
C =
( 0.3 0.2 1 0.1 0.5
У1 =
(121 23
, y 2 =
( 51
V 8 ,
Перевiримо виконання умови продуктивное^ для еколого-економiчно! системи у випадку обраних числових даних.
Переходимо до покроково! реалiзацi! алгоритму 1-6.
1. Знаходимо розв'язок вихщно! системи та обернену блочну технолопчну матрицю:
(38.171 1.79 0.73 0.6 0.761
60.43 1.08 2.0 0.74 0.93
, A-1 =
32.67 1.04 1.32 1.99 1.19
V 30.62 у v 11 1.27 1.04 1.99 y
u
u0 =
2. Припускаемо, що збурення в моделi (3) зазнае елемент аЦ = 0.3 , а саме збшьшуеться на 0.1. Останне означае збшьшення витрат продукцп 2-о! галузi на одиницю випуску 1-о1 галузi. Отже, а21 = 0.3 + 0.1 = 0.4 .
3. Знаходимо alk = akk = 1 + 0.1 • а"1 = 1 + 0.1- 0.74 = 1.074.
4. Визначаемо вектор-стовпець: е2 =
5. Розраховуемо нев'язку збуреного рядка: Дг =А2 = 0.1- 38.17 = 3.817.
(0.731 (0.681
2.0 1.86
/1.074 =
1.32 1.23
1 27 v 118 J
(38.171 (0.681 (35.571
60.43 1.86 53.33
- 3.817 • =
32.67 1.23 27.97
V 30.62 y v 118 J v 2612 J
6. Новий розв'язок отримуемо у виглядк u0 =
Аналiз отриманого розв'язку дозволяе зробити таю висновки. Збшьшення витрат продукцп 2-о! галузi на одиницю випуску 1-о! галузi в рамках балансово! еколого-економiчноi системи (2) призводить до зменшення обсягiв валового випуску 1-! та 2-! галузей матерiального виробництва на 2,6 та 7,1 умовних одиниць, а також обсяпв утилiзащi парникових газiв 1-го та 2-го виду на 4,7 та 4,5 умовних одиниць вщповщно.
Запропонуемо застосування (5)-(8) для побудови методу ощнки трансформацп виробничо! структури в моделi (2) за умов змiни рядка технолопчно! матрицi.
Результатом конкретизацп наведено! технологи е алгоритм визначення нового розв'язку у випадку збурення рядюв базисно! матрищ для конкретного рядка обмежень (3), що дозволяе визначати змши в обсягах валового випуску при змш технолопчних матриць еколого-економiчноi моделi (2).
Алгоритм.
Крок 1. Знаходимо розв'язок и0 вихщно! системи (3) та и обернену матрицю Л'1.
Крок 2. Збурюемо матрицю Л в елементах 1-го рядка у виглядi = + а', = g¡ + g', 1 = 1.
Крок 3. Визначаемо коефщент акк = акек + а ек = 1 + а ек , де ек - стовпець матрищ Л"1.
КРок 4 Визначаемо \ = (а + а'к)• и-(gk + gk) = (ak • и - gk ) + {а[- и - gk) = Лk + Ак = Ак
Крок 5. Знаходимо X = -Ак / акк.
Крок 6. Знаходимо новий вектор-стовпець ёк = X х ек .
Крок 7. Формуемо новий розв'язок на основi сшввщношення и0 = и0 + ёк.
Зауваження. Неважко переконатись, що новий розв'язок (збурено! задач^ формуеться на основi старого розв'язку та вразуванш впливу вектору-стовпця обернено! матрицi ек та
параметру X = -Ак /акк . "Вибором" стовпця обернено! матрищ ек та параметру X (напрям та розтяг вщповщного вектора) можна формувати певш результуючi домiнанти, тобто проводити змши направлено та передбачувано.
Прошюструемо запропонований алгоритм визначення об'емiв валового галузевого випуску у випадку технолопчних мiжгалузевих змш на умовних даних. Нехай коефщенти технологiчних матриць еколого-економiчноi моделi (3) мають такi значення:
А =
( 0.2 0.11 0.3 0.2
Аи =
( 0.1 0.2 1 0.1 0.2
А21 =
(0.1 0.3 1 _(0.2 0.3 1
А22 =
0.2 0.3
0.3 0.1
матриця витрат на обслуговування емюш парникових газiв та вектори галузевого кшцевого випуску i обмеження за викидами парникових газiв вiдпoвiднo:
C =
( 0.3 0.2 1 0.1 0.5
У1 =
(121 23
, У 2 =
( 51
V 8 ,
Переходимо до покроково! реалiзацi! алгоритму 1-6.
1. Знаходимо розв'язок вихщно! системи, та обернену блочну технолопчну матрицю:
(38.171 1.79 0.73 0.6 0.761
60.43 1.08 2.0 0.74 0.93
, A— =
32.67 1.04 1.32 1.99 1.19
V 30.62 j v 11 1.27 1.04 1.99 j
2. Припускаемо, що збурення в моделi (3) зазнае перший рядок, тобто збурена матриця набувае вигляду:
A =
( 0.1 0.05 0.3 0.31
0.3 0.2 0.1 0.2
0.1 0.3 0.2 0.3
v °.2 0.3 0.3 01j
Прикладний змiст змiни еколого-економiчних показниюв такий: зазнають зменшення коефiцiент витрат 1-! галузi на одиницю виготовлення продукци 1-! галузi на 0.1 одиниць, коефiцiент витрат 1-! галузi на одиницю виготовлення продукци 2-! галузi на 0.05 одиниць вщповщно; зазнають збшьшення коефiцiент витрат 1-! галузi на знищення 1-го виду забруднень на 0.2 одиниць, коефщент витрат 1-! галузi на знищення 2-го виду забруднень на 0.1 одиниць вщповщно.
3. Визначаемо скалярний добуток збуреного рядка та розв'язку вихщно! системи:
= [0.1 0.05 0.3 0.3]
38.17 60.43 32.67 30.62
= 25.83
4. Визначаемо добуток вихщно! технолопчно! матриц та вихщного розв'язку i обраховуемо нев'язку збуреного рядка A :
ak • u0 =[0.2 0.1 0.1 0.2]
38.17 60.43 32.67 30.62
= 23.068
Ak = äk ■ u0 -ak ■ u0 = 25.83 - 23.068 = 2.7575
5. Визначаемо коефщенти akk, X :
akk = ak • ek =[0.1 0.05 0.3 0.3]
1.79 1.08 1.04 1.1
= 0.875, X = —-Ak a
kk
2.7575 0.875
= —3.15
6. Визначаемо коефщент ek:
u0 =
ak'u0
ek = X-ek =-3.15 •
1.79" [—5.64"
1.08 —3.4
1.04 —3.28
1.1 —3.47
[38.17" [—5.64" [32.53"
60.43 —3.4 57.03
+ =
32.67 —3.28 29.39
30.62 —3.47 27.15
7. Визначаемо розв'язок збурено! системи u0: згiдно формули U0 = u0 + ek U0 = u0 + ek =
Проведемо дослiдження впливу змш к -го стовпця матрицi обмежень A у вигляд1 Äk = Ak + Ak на Розв'язок u0, де Ak = , a2k ,..., a„k )Г , Ak = (a|k. a 2 kamt )T, тобто в такiй
формi замшено A на A . Алгоритм
1. Маемо вiдомi вектор u0 = (u01,u02,....,u0m)T, Ab, A— - пряму та обернену базисну матрицю (3).
2. Нехай проводимо замщення k -го стовпця матрицi обмежень Ak стовпцем Ak Знаходимо вектор Lk = (Lk1,Lk2,....,Lkm) = Ab 1 x Ak .
"'k! k2 ' " " ' km ' b
3. Формуемо новий розв'язок u 0k =
1 + (Ab)k x Ak Lkk
= ^, i = k .
U 0i = u0i —
0i 1 + (A—\ x Ak
x[(Ab1), xÄk] = u0l. — ^xLk,, i *k .
L
kk
Проiлюструемо запропонований алгоритм визначення об'емiв валового галузевого випуску у випадку технолопчних мiжгалузевих змiн на умовних даних. Нехай коефщенти технолопчних матриць еколого-економiчноl моделi (2) мають такi значення:
An =
( 0.2 0.11 0.3 0.2
A12 =
( 0.1 0.2 1 0.1 0.2
A21 =
(0.1 0.3 1 _(0.2 0.3 1
A22 =
0.2 0.3
0.3 0.1
матриця витрат на обслуговування емюш парникових газiв та вектори галузевого кшцевого випуску i обмеження за викидами парникових газiв вiдповiдно:
C =
( 0.3 0.2 1 0.1 0.5
У1 =
(121 23
, y 2 =
( 51
V 8 ,
1. Знаходимо розв'язок вихщно! системи (4) та обернену блочну технолопчну
матрицю:
A- = A-1 =
(38.171 (0.2 0.1 0.1 0.21
60.43 0.3 0.2 0.1 0.2
, A =
32.67 0.1 0.3 0.2 0.3
V 30.62 у v °.2 0.3 0.3 01,
1.25 3.125 —3.125 0.625 i
11.25 6.875 3.125 —0.625
8.75 —8.125 —1.875 4.375
5.0 —2.5 2.5 —2.5 ,
u
u
U0 =
2. Припускаемо, що збурення в моделi (3) зазнае третш стовпець (k = 3): проводимо
( 0.1 ^ ( 0.2 ^
замщення k -го стовпця матрицi обмежень A3 =
L =
( 1.25 -11.25 8.75 5.0
Ab1 x Ak
3.125 -3.125 0.625 "
6.875 3.125 -0.625
-8.125 -1.875 4.375
-2.5 2.5 -2.5 ,
0.1 0.2 0.3
стовпцем A3 =
0.2 0.1 0.1
Знаходимо вектор
( 0.2 ^ 0.2 0.1 0.1
= (0.625 -0.625 0.375 0.5)Г
3. Визначаемо розв'язки:
О'") гп О'") СП
U = 38.17--.--0.625 = -16.28, U = 60.43--.--(-0.625) = 114.
0.375 32.67
0.375
= 87.12, U = 30.62 -
32.67
0.375
0.375 • 0.5 = -12.94
Отримаш розв'язки збпаються з розв'язками отриманими безпосередньо прямими обчисленнями. Вони вказують на суттеву змiну у функцiонуваннi допомiжного виробництва, зокрема, вiд'емнi показники вимагають змiни у структурi технологiчних матриць як основного, так i допомiжного спектру галузей.
Висновки. Необхiднiсть врахування еколопчного фактору в сучаснiй системi подальшого розвитку цившзацп обумовлюе актуальнють розгляду виробничо! дiяльностi суспiльства в рамках едино! соцiо-еколого-економiчноi системи. При цьому важливою вимогою ii юнування е необхiднiсть збалансування iнтересiв кожно! з вказаних пiдсистем. Ефективним шструментом для цього слугують балансовий метод та вщповщш розробленi на його основ! модели зокрема запропонована в статп модель врахування витрат на реалiзацiю проектiв скорочення емiсiй парникових шз!в.
Л1ТЕРАТУРА
1. Sustainable Innovation Forum, 2016. - [Elektronny resurs]. - Режим доступа: http://www.cop21paris.org
2. Onyshchenko, A. M., Lyashenko, I. M. (2010). Modeling material valuation sectoral structure in terms of limits on greenhouse gas emissions. Kyiv: Investments: practice and experience.
3. Kudin, V. I., Klyushin, D. A. (2003). Schemes decomposition of large-scale special matrix structure in modeling two-phase fluid filtration. Kyiv: Journal of Computational and Applied Mathematics.
4. Kudin, V. I., Lyashko, S. I., Kharytonenko, N. V., Yatsenko, J. P. (2007). Analysis of linear system properties by pseudoinverse matrices. Kyiv: Cybernetic and system analysis.
k
u =
