CC BY
13
Посилання на статтю_
Ляшенко О.1. Моделi втрати стiйкостi ринкових механизмш / О.1. Ляшенко // Управлiння проектами та розвиток виробництва: Зб.наук.пр. - Луганськ: вид-во СНУ iM. В.Даля, 2005 - №1 (13). - С. 84-96._
УДК 330
О.1. Ляшенко
МОДЕЛ1 ВТРАТИ СТ1ЙКОСТ1 РИНКОВИХ МЕХАН1ЗМ1В
Розглянуто питания описания економiчного механiзму втрати спйкосп ринкових систем. На прикладi чотирьох моделей: павутиноподiбноí моделi функцiонування ринку, моделi Петрова втрати стiйкостi ринкового мехаызму, моделi дiлового циклу, моделi Солоу оптимального економiчного росту описан економiчнi механiзми втрати стiйкостi, а також запропонован можливi дм держави для пщтримання стiйкостi функцiонування описаних ринкових механiзмiв. Дж. 8.
Ключовi слова: динамiчна рiвновага, втрата стмкост^ атрактор, модель, економiчний механiзм.
Е.И. Ляшенко
МОДЕЛИ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ РЫНОЧНЫХ МЕХАНИЗМОВ
Рассматривается вопрос описания экономического механизма потери устойчивости рыночных систем. На примере четырех моделей: паутинообразной модели функционирования рынка, модели Петрова потери устойчивости рыночного механизма, модели делового цикла, модели Солоу оптимального экономического роста описаны экономические механизмы потери устойчивости, а также предложены возможные действия государства для поддержания устойчивости функционирования описанных рыночных механизмов. Ист. 8.
O.I. Lyashenko
MODELS OF MARKET MECHANISMS STABILITY LOSS
Point of the description the economic mechanism of market systems stability loss is considered. Economic mechanisms of stability loss are described on the example of four models: cobweb model of the market functioning, Petrov's model of market mechanism systems stability loss, model of a business cycle, Solow's model of optimum economic growth. Also possible state actions for maintenance the stability of described market mechanisms are offered.
Постановка проблеми у загальному вигляд'/. Теорiя, що описуе процес встановлення рiвноваги та представляе перехщ вщ одного рiвноважного стану до шшого як поди, що послщовно розгортаеться у чаа, отримала назву теори динамично)' р'!вноваги.
Основи теори динамiчноí рiвноваги були закладеш А.Маршалом. Вш розглядав рiвновагу не як застиглий, статичний стан, а як певний момент неперервного руху, розвитку. Рiвноважний стан - це завершальний етап процесу
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2005, № 1(13)
1
адаптаци ринку до умов, що змшилися, i одночасно стартовий стан для початку нового процесу. А.Маршал постшно проводить думку про те, що р'вновага - не статична, а динам1'чна категор'я. У концепци А.Маршала перехщ вiд оджеТ рiвноваги до шшоТ вiдбуваeться шляхом послiдовних перервних ^ерацш, кожна з яких закшчуеться встановленням промiжноТ статичноТ рiвноваги [1].
Анал'13 останнiх досл'джень i публЫацш. Подальший розвиток цього методу був зроблений у роботах Г.Шульца та У.Ркм, якi розробили знамениту павутиноподiбну модель. Умова стiйкостi рiвноваги на прикладi павутиноподiбноТ моделi широко вщома. Пiсля екзогенного шоку нова рiвновага буде досягнута у кiнцевому ждсумку лише при умовi, що попит бтьш еластичний, нiж пропозицiя. У протилежному випадку нова рiвновага жколи не буде встановлена, навпаки, коливання ринковоТ кон'юнктури будуть весь час посилюватись.
Стан рiвноваги може бути стшким (стацiонарним) i рухомим. Про стацюнарно рiвноважний стан говорять в тому випадку, якщо при зм^ параметрiв системи, що виникла жд впливом зовнiшнiх чи внутрiшнiх збурень, система повертаеться до попереднього стану. Стан рухомоТ (нестшкоТ) рiвноваги мае мюце тодi, коли змiна параметрiв викликае за собою подальшi змши в тому ж напрямку i посилюеться з часом. Довгий час в станi рiвноваги можуть перебувати лише закрит системи, що не мають зв'язкiв з зовнiшнiм середовищем, тодi як для вiдкритих систем рiвновага може бути лише миттю у процесi неперервних змiн. Рiвноважнi системи не здатнi до розвитку i самоорганiзацiТ, оскiльки гасять вщхилення вiд свого стацiонарного стану, тодi як розвиток i самоорганiзацiя припускають якiсну його змiну [2].
В процесi свого розвитку система проходить двi стади: еволюцiйну (яку шакше називають адаптацiйною) i революцiйну (стрибок, катастрофа). Пщ час розгортання еволюцшного процесу вiдбуваеться повiльне нагромадження ктькюних i якiсних змiн параметрiв системи i ТТ компонентiв, у вщповщносп з якими в точцi бiфуркацiТ система вибере один з можливих для неТ атракторiв. В результат цього вiдбудеться якiсний стрибок i система сформуе нову дисипативну структуру, що вщповщае вибраному атрактору, що вщбуваеться в процесi адаптаци до змшених умов зовнiшнього середовища. Еволюцшний етап розвитку характеризуеться наявнiстю механiзмiв, якi придушують сильнi флуктуаци системи, ТТ компонентiв або середовища i повертають ТТ у стiйкий стан, властивий Тй на цьому етаж. Поступово в системi зростае ентрожя, оскiльки через змiни, що накопичилися в систему а також в ТТ компонентах i зовнiшньому середовища здатнiсть системи до адаптацiТ падае i наростае нестiйкiсть. Виникае гостре протирiччя мiж старим i новим в систему а при досягненж параметрами системи i середовища бiфуркацiйних значень нестiйкiсть стае максимальною i навiть малi флуктуацiТ приводять систему до катастрофи -стрибка. На цш фазi розвиток набувае непередбачуваного характеру, осктьки вiн викликаеться не лише внутршжми флуктуацiями, силу i направленiсть яких можна прогнозувати, проаналiзувавши iсторiю розвитку i сучасний стан системи, але i зовнiшнiми, що вкрай ускладнюе, а то й робить неможливим прогноз. lнодi висновок про майбутнш стан i поведшку системи можна зробити, виходячи з "закону маятника" - стрибок може сприяти вибору атрактора, "протилежного" минулому. Пюля формування новоТ дисипативноТ структури система знову вступае на шлях плавних змш, i цикл повторюеться.
Окрiм затухаючих самостiйно або флуктуацш, що нейтралiзуються нацiональною економiкою, юнують також кумулятивнi коливання, результуючi дм яких поступово накопичуються в економiцi i також сприяють настанню стрибка. Серед кумулятивних флуктуацш особливо треба видтити мультиплкативш i акселеративнi флуктуаци (в цьому подiлi пальма першосп належить економiчнiй
2
"Управл1ння проектами та розвиток виробництва", 2005, № 1(13)
тeopiï). Пpичoмy дo ocтaииix треба вщнести не лише змiиy iивecтицiй i дoxoдy, але й пoпит, цши, пpoцeит, пpибyтoк, зaбopгoвaиicть.
Пpo нepiвнoвaжнicть eкoиoмiки мoжиa cyдити за cвoepiдними "^ди^торами", якими e иaявиicть при6утку, пpoцeитy, пiдпpиeмиицтвa, пpoцeciв иaгpoмaджeиия кашталу, мoиoпoлiï, iифляцiï, бeзpoбiття, криз, нeдoвaнтaжeння виpoбиичиx пoтyжиocтeй, вiдкpитicть eкoиoмiки та ш.
Гoлoвиa poль у пocилeннi иepiвиoвaжиocтi належить мexaиiзмy пoзитивииx звopoтниx зв'язкiв. Петля пoзитивиoгo звopoтиoгo зв'язку пocилюe иaвiть cлaбкi флуктуаци' дo гiгaитcькиx, cпpияючи тим caмим якicнoмy cтpибкy cиcтeми. В мaкpoeкoиoмiцi вiдoмi два види пoзитивииx звopoтииx зв'язмв - мyльтиплiкaтop iивecтицiй, вiдкpитий Дж.М. Кeйиcoм, i принцип aкceлepaтopa, oпиcaний Дж.М. Клapкoм. Haявиicть лише циx двox мexaиiзмiв, при yмoвi вiднocнo вeликoгo oбcягy iивecтицiй чи пpиpocтy пoпитy, poбить eкoиoмiкy иepiвиoвaжиoю. В дiйcнocтi тaкиx мexaиiзмiв иaбaгaтo бтьше. Зoкpeмa, дo ииx вiдиocятьcя шфля^я витрат, iифляцiйиi cпoдiвaиия, дeфiцитиi cпoдiвaння.
Видлення невирiшених частин загальноï проблеми. Клacичиa eкoиoмiчиa тeopiя вивчae "иopмaльиy" пocтyпoвy eвoлюцiю eкoиoмiчиoï дiяльнocтi та вiдиocии. Дiючи бiльш чи менш нeзaлeжнo на ocиoвi oбмeжeиoï iифopмaцiï пpo зoвиiшиi yмoви, eкoнoмiчнi агенти peaлiзyють вигiдиy для ceбe кoмбiиaцiю eкoиoмiчииx благ. Таким чинoм, мoжиa вважати, щo piвиoвaгa e пpoявoм влacтивocтeй caмoopгaиiзaцiï eкoиoмiчиoï дiяльнocтi мacи людей. Клacичиa eкoиoмiчиa тeopiя poзглядae загальну piвиoвaгy як нopмaльний cтaи мexaиiзмiв, щo регулюють cycпiльнe вiдтвopeиия.
Але cyчacиa eкoиoмiчиa дiйcнicть cтaвить пpoблeми, щo не вклaдaютьcя в рамки тpaдицiйииx кoицeпцiй eкoнoмiчнoï piвиoвaги та pocтy. В poзвинeниx кpaïиax cтpyктypиi зрушення в eкoнoмiцi вiдбyвaютьcя на oчax oдиoгo пoкoлiння. В кpaïиax, щo poзвивaютьcя, застш в cyкyпиocтi з виcoкoю iнфляцieю мaлo cxoжий на клacичиy piвнoвaгy. Плaиoвa aдмiиicтpaтивиo peгyльoвaиa eкoиoмiкa дo пopи дo чacy зиaxoдилacь у cвoepiднoмy cтaиi piвиoвaги, зoвciм не cxoжoмy на pиикoвy. В кoлишнix кpaïиax coцiaлiзмy вiдбyвaeтьcя змiиa eкoнoмiчнoгo укладу, а це - бтьш, иiж cтpyктypиe зрушення. Bce чаопше дocлiдиики cтикaютьcя з фундаментальними питаннями, як пpaктичиo не oбгoвopювaлиcь клacичнoю eкoиoмiчиoю тeopieю, але зacлyгoвyють найпильн^!' уваги. ïx мoжиa oxapaктepизyвaти в ц^му як пpoблeми мexaиiзмiв caмoopгaнiзaцiï eкoиoмiчииx cиcтeм.
Формулювання цлей статт'1. Актуальними e питання oпиcaння eкoнoмiчнoгo мexaиiзмy втрати cтiйкocтi pиикoвиx cиcтeм. Нижче на пpиклaдax чoтиpьox мoдeлeй: пaвyтииoпoдiбиoï мoдeлi фyикцioиyвaиия ринку, мoдeлi Пeтpoвa втрати cтiйкocтi pиикoвoгo мexaнiзмy, мoдeлi дiлoвoгo циклу, мoдeлi Сoлoy oптимaльиoгo eкoиoмiчиoгo pocтy oпиcaиi eкoнoмiчнi мexaиiзми втрати cтiйкocтi, а ташж зaпpoпoиoвaиi мoжливi дiï держави для пщтримання cтiйкocтi фyикцioиyвaиия oпиcaииx pинкoвиx мexaиiзмiв.
Виклад основного матер'тлу досл'дження
Павутинопод'дна модель. Мiкpoeкoнoмiкa - ocнoвa вcieï cyчacиoï eкoиoмiчиoï науки. Мiкpoeкoнoмiкy iикoли називають "тeopieю цiи", o^^m ï'ï пpeдмeтoм e мexaиiзм poзпoдiлy pecypciв, гoлoвиими iидикaтopaми якoгo виступають цiии. В цeитpi уваги мiкpoeкoнoмiчнoгo aиaлiзy - дocягиeиия piвиoвaги мiж пoпитoм i пpoпoзицieю, за якими в cвoю чергу cтoять шдивщуальш плани cпoживaиия i виpoбиицтвa. Пepшi cклaдaютьcя oкpeмими cпoживaчaми, щo мають мету мaкcимiзyвaти кopиcиий ефект cпoживaння. Плани виpoбиицтвa poзpoбляють пiдпpиeмcтвa, щo прагнуть мaкcимiзyвaти пpибyтoк. Heoбxiдиi пepeдyмoви мiкpoeкoиoмiчиoгo aиaлiзy - припущення пpo icиyвaиия вiльиoгo
"Управлшня пpoeктaми та poзвитoк виpoбиицтвa", 2005, № 1(13)
3
ринку i про рацюнальний характер поведшки iндивiдiв. Вiдзначимо, що Bei ц теоретичнi побудови базуються на припущены про досконалий характер конкуренци, який полягае в тому, що Bei домашн господарства i пiдприeмства дшть у вiдповiдностi з ринковими цшами (як реципiенти цiн). 1ншими словами, мова йде про припущення, у вщповщносп з яким цши виконують функцiю барометра, або про параметричну систему цш.
Основними проблемами, з якими ми стикаемося, приймаючи таке припущення, е такк яким чином на ринку з досконалою конкурен^ею досягаеться вiдповiднiсть попиту i пропозици, тобто як встановлюеться рiвновага, як встановлюються ринковi цiни, як визначаеться обсяг торгових операцш (кiлькiсть угод). Це - проблеми функцюнування мехашзму ринку, тобто процесу ринкового регулювання.
Почнемо з того, що представимо процес ринкового регулювання у виглядi модели яку прийнято називати павутиноподiбною [3].
Будемо вважати, що на ринку одного товару функ^я попиту D(t) i функцiя пропозици S(t) - лшшш функци цiни P(t) на момент часу t або цши попереднього моменту часу.
Функ^я попиту:
де b, B - сталi параметри.
CyTHicTb павутиноподiбноï моделi може коротко виражена в двох таких положеннях:
а) Пропози^я реагуе на цши з деяким лагом (вщставанням в чаа); iншими словами, сьогодшшня пропозицiя S (t ) визначаеться цшою попереднього перiоду P(t — 1) , а сьогодышнш попит D(t) визначаеться цiною поточного перюду P(t) .
б) Цши кожного перюду P(t ) встановлюються на такому рiвнi, щоб зрiвняти попит i пропозицiю, тобто на рiвнi, при якому D(t) = S (t) .
Умови стабтьносп процесу можна легко вивести, якщо прирiвняти формули (1) i (2) i одержати наступне лшшне рiвняння, де цiни виступають як змшш (будемо вважати, що A Ф 0 ):
Dit) = a + Pit),
(1)
де a, A - сталi параметри. Функ^я пропозици':
S (t ) = b + BP (t -1),
(2)
P(t ) = BP(t-1) +
B
(3)
(4)
4
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2005, № 1(13)
1 <BIA < 1; \BIA\ < 1.
(5)
Державним регулюванням, щo зaбeзпeчye cтaбiльиicть ринку тoвapy, для яшго eлacтичиicть пoпитy менше eлacтичнocтi пpoпoзицiï (пpиклaдoм тaкoгo тoвapy e xлiб) пoлягae у вcтaиoвлeииi "cтeлi цiии".
Модель Петрова. Екoиoмiчиa icтopiя иaлiчye бaгaтo пpиклaдiв криз, пщ чac якиx pиикoвi цiии виявляли^ иecтiйкими. Hecтiйкicть pиикoвиx цiи пoяcнюють иeвiдпoвiдиicтю pиикoвиx мexaиiзмiв, щo cклaлиcя, иaявиiй тexиoлoгiчиiй cтpyктypi eкoиoмiки. На шристь цьoгo гoвopить те, щo виxiд з кризи звичaйиo cyпpoвoджyeтьcя змiиaми cтpyктypи pиикoвиx мexaиiзмiв. ^му aктyaльиoю e задача дocлiджeиия впливу структури cпoживaиия на зaпac cr^ocn pиикoвиx мexaиiзмiв.
Мoжливicть иaблизитиcь дo poзв'язaиия цieï зaдaчi з'явилacь завдяки poзвиткy иoвoгo напрямку в тeopiï дииaмiчииx cиcтeм, пoв'язaиoгo з пoняттям "дивиoгo aтpaктopa". Результати тeopiï динaмiчниx cиcтeм aвтopи мoиoгpaфiï [4] вишристали при мoдeлювaииi pиикoвиx мexaиiзмiв. Ними зaпpoпoнoвaнa математична мoдeль фopмyвaиия pинкoвoï цiии, яка дoзвoляe дocлiдити стшкють pиикoвиx мexaиiзмiв, викopиcтoвyючи лише xapaктepиcтики eвoлюцiï тexиoлoгiчиoï cтpyктypи eкoиoмiки. Нижче на ocнoвi iдeй poбoти [4] пpoпoнyeтьcя oдиa пpocтa мoдeль втрати cr^ocn pиикoвиx мexаиiзмiв, на якш пpoявляeтьcя взaeмoвплив cтapoï тexиoлoгiчиoï структури eкoнoмiки та иoвoï cтpyктypи cпoживaиия на cтiйкicть icиyючиx pиикoвиx мexaнiзмiв.
Poзгляиeмo pииoк oдиopiдиoгo тoвapy. Пpипycтимo, щo в кoжeи мoмeит чacy тoвap пpoдaeтьcя за eдииoю ц^ю p, пoвeдiикa cпoживaчiв oпиcyeтьcя фyнкцieю пoпитy C(p), пoвeдiикa виpoбникiв - фyикцieю пpoпoзицiï Y(p). Бyдeмo вважати, щo xapaктepиий чac змiии фyикцiй пoпитy иaбaгaтo бтьший xapaктepиoгo чacy змiии цiии, так щo фyикцiï пoпитy i пpoпoзицiï мoжиa вважати иeзмiииими. Hexaй зм^ цiии вiдпoвiдae швидкий чac, а зм^ фyикцiй пoпитy та пpoпoзицiï - пoвiльиий. Мoдeлюючи швидкий пpoцec змiии цiии, як i в [4], бyдeмo вважати цей чac диcкpeтиим, щo змiиюeтьcя з деяким кpoкoм. Пoзиaчимo через pn цшу тoвapy на кpoцi п. Hexaй пoкyпцi тoвapy на кpoцi n,
opieитyючиcь на цiиy , планують витратити cyмy гpoшeй pn-C(pn-i), а виpoбиики планують випycк на пpoдaж тoвapy в кiлькocтi Y(p„_x). Bвaжaeтьcя, щo пoкyпцi та виpoбиики дiють crporo у вiдпoвiдиocтi зi cвoïми планами. Тoдi на кpoцi n вcтaнoвитьcя цiиa [4]:
Пpипycтимo, щo товар виpoбляeтьcя галуззю, яка викopиcтoвye як виpoбничий фaктop eдииий тип pecypcy - oдиopiдиy poбoчy cилy. Бyдeмo poзглядaти лише cтaцioиapиi мaгicтpaльиi тpaeктopiï. Bвaжaeмo, щo в кoжиий мoмeнт чacy t тexиoлoгiчиa cтpyктypa гaлyзi oпиcyeтьcя глaдкoю фyикцieю щiльиocтi poзпoдiлy пoтyжнocтeй пo тexиoлoгiяx виpoбиицтвa m(À), де À -
нopмa витрат пpaцi на oдииицю випуаку тoвapy. Змiииa À xapaктepизye тexнoлoгiю виpoбиицтвa. Миoжииa тexиoлoгiй, щo викopиcтoвyютьcя в гaлyзi, oпиcyeтьcя иaпiвпpoмeиeм [v, œ), так щo функ^я щiльиocтi m(À) poзпoдiлy
J* _ X n—1 VA n—
Pn " ^ÎKÏ)
= pn—1C ( pn—1)
(6)
Управлшня пpoeктaми та poзвитoк виpoбиицтвa", 2005, № 1(13)
5
потужностей по технологах визначена при v <Л<ю. Параметр v > 0 задае найкращу технолопю, тобто характеризуе юнуючий техшчний рiвень виробництва в галузк
Як вiдомо, вибуття потужностей внаслщок зношення устаткування означае, що збтьшуються просто! устаткування внаслiдок поломок. Внаслщок цього знижуеться випуск товару в одиницю часу, але ктькють робочих мюць, як правило, не зменшуеться, i всi робочi мiсця залишаються зайнятими. Отже, виробничi одиницi технолопчно старiють i продуктивнiсть працi падае з часом. Будемо вважати, що сумарна потужнють M o^ie згщно експоненцiального закону з показником амортизаци j. Оскiльки ми розглядаемо лише стацюнарш траектори, то M = const, I = juM = const, де I - швестици у виробництво.
Щоб одержати вираз для розподiлу потужностей по технологах m(t,X), обчислимо сумарну потужнють виробничих одиниць, в яких в момент часу t норма витрат прац A(t,r) <Л. Позначимо и через M(t,X). Маемо
M (t ,Л) = M (Л) = - \ l |. (7)
UV Л)
З (7) одержуемо вираз для стацюнарного розподiлу потужностей по технологах
/1Ч dM (Л) vI
т(Л) = dM-1 = —j. (8)
dЛ Л
Згiдно класичних уявлень, вважаемо, що на кожному кроц п виробники планують випуск, максимiзуючи сподiваний прибуток. Вираховуючи прибуток, вони орiентуються на цiну ри-1 та ставку зарплати 5. Будемо вважати, як i в [4], що пропози^я робочоТ сили бтьше попиту на нет, iснуе безробггтя i ставка зароб^ноТ' плати ^ > 0 - задана стала.
Виробники максимiзують прибуток, тому лише рентабельн технологи будуть завантаженi на повну потужнють; iншi технологи не використовуються, оскiльки вони приносять збитки. Умовою рентабельностi технологи, очевидно, буде нерiвнiсть ри-1 — sЛ> 0. Тодi функцiя пропозици визначиться виразом
Pn-l
S- f
Y(Pn-i ) = j ш(Л^Л= M
l--—
v pn-i)
(9)
Тепер звернемося до функци попиту. Якщо попит на товар не залежить вщ цши, товар е предметом першоТ необхщностк Припустимо, що на ринку продаеться товар першоТ необхiдностi i галузь випускае цей товар. Введемо позначення
sv . М
Хп = —, А = М. (10)
n
Pn
V
Тодi з (6) з урахуванням (9) одержуемо
6
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2005, № 1(13)
хп = Ах„_1(1 — х„_1). (11)
Природно припустити, що найкраща технолога незбиткова, тобто рп < 1. Отже, 0 < хи < 1. Щоб вiдображення (11) переводило хи1 е [0,1] в
хп е [0,1], необхщно i достатньо, щоб
0 < А < 4 = Лм. (12)
Побудована модель цшоутворення (11) по заданш початковiй умовi Хд однозначно визначае нескiнченну траeкторiю х0,х,..., х„,.... Змютовний iнтерес являе вивчення асимптотичноТ при п поведiнки розв'язку рiвняння (11).
При всiх А > 0 в динамiчнiй системi (11) юнуе нерухома точка х = 0, що вщповщае нескшченно великiй цiнi на товар. ^м цього, при А > 0 юнуе ще одна нерухома точка хр(А) = 1 — 1/А , що вщповщае врiвноваженiй цшк Траекторiя,
що породжуеться точкою х (А), змiстовно цiкава, тому що це - едина
траекторiя, на якш прогноз цiни споживачами та виробниками товару зб^аеться з реалiзацiею i виробництво узгоджене з попитом.
Розглянемо, як iз збiльшенням параметра А змшюеться асимптотична поведiнка траекторiй динамiчноТ системи (11). Якщо 0 < А < 1, то при будь-якому початковому х0 траекторiя системи (11) прямуе до 0. Змютовно умова 0 < А < 1 означае, що для задоволення попиту не вистачае виробничих потужностей, при цьому цша товару прямуе до +<ю. При А = 1 вщбуваеться бiфуркацiя, в результат якоТ нерухома точка стае нестшкою i народжуеться стшка (при А
близьких до 1) нерухома точка хр(А), яка виявляеться стшкою при 1 < А < 3 = А1 i нестiйкою при А > А1. При А = А1 нерухома точка хр (А)
втрачае стiйкiсть в результат бiфуркацiТ Хопфа.
Вiдомо, що в динамiчнiй системi (11) при збтьшенш параметра А спостерiгаеться нескiнченна послщовнють бiфуркацiй подвоення перiоду \Ак}.
ч}
При A = Лк траeкторiя перiоду 2кч втрачае стшкють, i в результатi бiфуркацiТ
•.к
Хопфа народжуеться стiйка траекторiя перюду 2 , до якоТ притягуються траектори динамiчноТ системи (11) при майже Bcix початкових умовах. 1снуе границя
limЛп = 3,57, (13)
якiй вщповщае атрактор динамiчноТ системи (11). Вщзначимо, що при Л = Лм = 4 динамiчна система (11) поводить себе як стохастична.
Прояснюеться така картина. Доки надлишок потужностей з виробництва товару, що характеризуеться величиною A, не дуже великий, ринковi мехашзми регулюють цiну товару так, що вона зб^аеться до врiвноваженоТ, що зрiвнюе попит i пропозицiю. Якщо ж в результат надлишкових iнвестицiй надлишок потужностей перевищить критичн значення, цiна на ринку починае коливатись, а
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2005, № 1(13)
7
по™ i зовсiм змiнюеться хаотично. Економiчнi агенти тепер не в змозi прогнозувати змiну цiни i згортають дiлову активнiсть. В економiцi це явище вщоме як криза перевиробництва. Вийти з ^еТ кризи можна, лише змшивши структуру виробництва. Державне регулювання якраз i полягае в тому, щоб сприяти розвитку галузей, що можуть задовольнити новий попит, за рахунок галузей, продук^я яких попитом не користуеться. Не виключаеться також зовшшня допомога у виглядi уточнення структури експорту та iмпорту товарiв, а також у виглядi займiв. Таким чином, запас стшкосп ринкових механiзмiв залежить вiд структури технолопчних ланцюжкiв та структури споживання.
Модель дтового циклу. Хоча в довгостроковш перспективi економiка виявляе тенденцш до зростання, ТТ розвиток складаеться з хвиль пiдйомiв та спадiв кон'юнктури. Закономiрностi, зв'язанi з хвилеподiбним характером економiчноТ динамiки, здавна притягували увагу економю^в, в формулюваннi яких ця проблема постае як проблема дтового циклу. Нижче познайомимося з моделлю дтового циклу [3], запропонованою Самуельсоном та Хксом, в якш механiзми коливання кон'юнктури пояснюються, виходячи з принципу акселераци та концепци мультиплiкатора.
Ядро принципу акселерацiТ являе положення про те, що масштаби швестування залежать вiд приросту або темшв змiни попиту на кшцеву продукцiю. lнвестицiйний попит, що породжуеться цим, кратний попиту на кшцеву продукцю Ступшь його кратностi називають фактором акселераци. В моделi Самуельсона - Хкса рiвняння iнвестицiй, що базуеться на принцип акселерацiТ при факторi акселерацiТ, рiвному у, записуеться так:
I (г) = у(¥ (г — 1) — ¥ (г — 2)). (14)
Закономiрностi в сферi споживчих витрат виразимо у виглядi функци споживання, вводячи в неТ часовий лаг тривалютю в 1 перюд:
С(г) = а¥(г — 1) + Ь. (15)
В формулах (14) i (15) у> 0, 0 < а < 1, Ь > 0.
З умови рiвноваги попиту i пропозици
¥ (г) = С(г) +1 (г) (16)
одержуемо динамiчне рiвняння
¥ (г) = (а + у)¥ (г — 1) — у¥ (г — 2) + Ь. (17)
Особливостi розв'язкiв динамiчного рiвняння (17) випливають з того, яю величини
граничноТ схильностi до заощадження s = 1 — а та фактора акселераци у .
*
Рiвноважний розв'язок У(?) = У(? — 1) = У для (17) задаеться як
У = Ь/(1 — а). (18)
Якщо ми покладемо у(г) = ¥ (г) — ¥ *, то (17) може бути перетворене до вигляду
8
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2005, № 1(13)
y(t) = ay(t -1) + v(y(t -1) - y(t - 2)). (19)
Якщо Л i Л2 - коренi характеристичного рiвняння для (19), тобто
f (Л) = Л2 - (v-s + 1)Л + v = 0,
(20)
то розв'язок рiвняння (20) можна виразити так:
Y (t) = АЛ + А2Л2.
(21)
З урахуванням знаш i абсолютних значень розв'язкiв квадратного рiвняння (20) ми одержуемо чотири види динамки [3]:
Державне регулювання полягае у всебiчному сприянш розвитку iнвестицiйного процесу та шдприемництва.
Модель Солоу. Тут мова буде йти про модель, що описуе економiчне зростання в так званш агрегованш вiдкритiй економщк Агрегована модель характеризуеться тим, що в нш виробляеться единий однорщний продукт. Вiдкритiсть моделi означае присутнють як iмпорту в економiку, так i експорту з не!. В нижче описанiй моделi iмпорт i експорт розглядаються у виглядi сальдо зовшшньо! торгiвлi (iмпорт мiнус експорт), що в такому випадку може також розглядатись як зовшшня допомога. Зовшшня допомога розглядаеться як керування економкою краТни, що опинилася в скрутному становищi i прагне вийти з часом в стан свого максимального добробуту.
Будемо вважати, що час t змшюеться неперервно i введемо позначення: Y(t) -випуск продукци власного виробництва в момент часу t; C(t) - споживання; K(t) - каттал; L(t) - праця (трудовi ресурси); I(t) - капiталовкладення
(швестици); Y'(t) - iмпорт; Ye(t) - експорт; Ya(t) = Y'(t) - Ye(t) - сальдо зовшшньо! торпвлк
Основнi спiввiдношення дослiджуваноТ моделi мають такий вигляд [5]:
Нехай Y = F(K,L) - неокласична виробнича функ^я, що характеризуеться лшшною однорщнютю, додатними частковими похщними по K i L та нульовим значенням, якщо хоча б один з ресурав K або L нульовк Ми не будемо
Y
розрiзняти населення та робочу силу. Введемо таю величини: y =--середня
Y (t) + Ya (t) = C(t) +1 (t).
(22)
I (t) = 1С (t) + jK (t).
(23)
L
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2005, № 1(13)
9
, K Y'
продуктивнiсть працi, k = — - фондоозброенiсть пращ ' = — - питома
L L
Ye
величина iмпорту (на одиницю населення), e =--питома величина експорту,
L
Ya
a =--питома величина зовшшньоТ допомоги. Тодi виробничу функцш можна
L
представити у виглядi
y = p(k), p'(k) > 0, p"(k) < 0 для ecix k>0. (24)
Звiдси з урахуванням (22) - (23) випливае фундаментальне диферен^альне рiвняння Солоу теорп економiчного росту, модершзоване з урахуванням зовншньоТ торгiвлi [5]:
k' = p(k) + a - c - (n + S)k. (25)
Рiвень споживання на душу населення визначае кориснють або добробут сусптьства у будь-який момент часу. Будемо вважати, що функ^я соцiальноТ корисност на душу населення мае таю властивостк
U' (c) > 0, U'(c) < 0 Vc > 0,
(26)
U'(c) ^ 0 при с ^ 0, U'(c) ^ 0 при c ^ вд. Тодi задача оптимального росту формулюеться таким чином: максимiзувати
вд
|U(c)e~rtdt, де r = p - n > 0, при умовах
0
k' = p(k) + a - c - (n + 5)k,
(27)
k(0) = k0, 0 < c(t) < p(k(t)) + a.
Побудуемо гамiльтонiан
H = U(c) exp(-rt) + А,(ф( к) + a - c - (n + 5 )k). (28) З принципу максимуму випливають два рiвняння руху:
k' = p(k) + a - c - (n + 5)k, (29)
c ' = - U(c) ('(k) - (P + 5)). (30)
Застосовуючи явну найпростiшу схему дискретизаци системи (29) - (30), одержуемо
10
"Управл1ння проектами та розвиток виробництва", 2005, № 1(13)
км = кг + А/, {р(кг) + а — с — (п + 5)кг )
(31)
= с,
ГиШ (р(к ) — (8 + р)Д , = 0Х2,..„
и "(с,)Р '' ( " ' '
де а - керуючий параметр (рiвень сальдо Чмпорт-експорт" у момент ^). Для
будь-якого початкового значення а0 система (31) мае нерухому точку що визначаеться системою рiвностей
^о,со),
о ! 1 о
С* =Р
{К)+ао— (п
р
'{К ) = р + 5.
(32)
(33)
Якщо рiвень дисконтування г = 0 I а0 = 0, то отримаемо у перетин точку
{к**, с**). Подiбнi точки вiдомi в лiтературi як золоте правило питомого споживання вiдношення каштал/праця, що зберiгае сталi значення протягом всього розглядуваного промiжку часу. Числа к°, с* по аналоги можна назвати
модифкованим золотим правилом нагромадження i споживання, що враховуе ненульове сальдо Чмпорт-експорт" i дисконтування з рiвнем г = р — п. Дал^ перепишемо (31) у виглядi
кг+1 = /{к,, с,а,) с,+1 = / к, с,), г = 0,1,2,
Обчислимо якобiан у нерухомiй точц {к*, с*):
(34)
3 =
д/г/ дк д/г/ дс
д/2/дк д/2/дс
(35)
для якого знайдемо власш значення:
\= 1 +
^2 = 1 +
М. 2
г —.
г +
г2 +
иО
*Р"{к *)
г2 +
и" {с*)
м Р {к *)
(36)
(37)
тобто 1, 1.
Отже, нерухома точка {к*, с*) е сщловою (у локальному сена). Осктьки к * - стале, то i у* = рк*) - стале, i К та £ ростуть в однiй i тiй же пропорци. При
2
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2005, № 1(13)
11
цьому У та К ростуть в рiвнiй пропорци з ростом що особливо важливо для гармонiйного стабтьного розвитку. Вiдзначимо, що е лише одна стшка
траeкторiя, що веде в точку {к*,с* (а)). Це одна з сепаратрис [5]. Початкове вщношення к0 i споживання Сд повиннi бути вибранi так, щоб потрапити на стшку траекторiю. lншi ситуацп призведуть або до "голодного" споживання, або до "проТдання" всього кашталу. Далi, в точц {¡с*, с*) рiвень (душового) споживання сталий i не може збiльшуватись протягом часу. Це можна пояснити статичнютю продуктовоТ функци У = ^(К,Ь), в якiй вiдсутнiй технолопчний прогрес. Таким чином, щоб обрати стшку траекторш з множини можливих траекторiй, потрiбно обрати спецiальне початкове значення споживання Сд i таку точку (к0, с0 ), щоб вона виявилась на стшкш траектори.
1нша альтернатива - можливють стаб^заци траектори за допомогою методу Отта-Грегорi-Йорке (ОвУ-методу), чому присвячений подальший виклад. Цей метод був запропонований в [6], усшшно застосовувався у фiзицi, хiмп, бюлоги, а в економiцi був використаний в робот [7] для стаб^заци розв'язш у динамiчнiй моделi поведiнки двох конкуруючих фiрм. У роботi [8] ОвУ-метод використаний для стаб^заци нестшких розв'язкiв у моделях неокласичноТ теори оптимального економiчного зростання агрегованоТ закритоТ економiки у випадку, коли функ^я со^альноТ корисностi вiд споживання и (с) двiчi диференцiйовна та строго опукла вгору. Цей випадок приводить до задачi оптимального планування iз строго опуклим функцюналом вiдносно керування с(г). Аналогiчним шляхом дослiджуеться задача економiчного росту вщкритоТ економiки з керуванням, що е зовшшньоторговельним сальдо.
Нестiйка нерухома точка в околi хаотичного атрактора е сщловою точкою. При цьому |^|< 1, 1- Вiдповiднi власнi вектори в\ та е2 визначають стiйкий
та нестiйкий напрямки в околi нерухомоТ точки {к*, с*).
Будемо змшювати керуючий параметр а так, щоб вщбувався зсув траектори {к,с) до област стiйкостi нерухомоТ точки {к*,с*). Для цього вектор
Дгг+1 = {Дкг+1, Дсг+1 ) = {кг+1 — к *, сг+1 — с*) не повинен мати у своему розкладi за базисом е та е2 ненульових компонент, перпендикулярних стiйкому напрямку, тобто вектору е.
Повернемося до лiнеаризацiT системи (31) в околi точки к*,с*,а0. Для малих
значень Дкг = кг — к*, Дсг = с — с*, Да = а — а* справедлива наближена рiвнiсть
Дкг+1 = (1 + г Дг) Дкг — Дг • Дсг + Дг • Да,
т- тГ! * 1
и (38)
Дсг+1 =— ис^ 9' {к * )Дг • Дki +Дсг
або у векторному виглядi
12
"Управл1ння проектами та розвиток виробництва", 2005, № 1(13)
ÄK, = JÄK +
(1 ^ V 0 у
ÄtÄa.
(39)
З урахуванням (39) для керуючого параметра одержуемо вираз
Äa =
1+At
2
f
r +.
-M, + ■
r2 + ^^ p " (kщ) U"(c) V 7
Ac,.
Л
r+
r2 + p " (k •)
U "(c )
(40)
Опишемо бiльш детально процес стаб^заци' нестiйкоï траектори'. Для початкових значень k0, c0, a з рiвнянь (32)-(33) знаходимо k*, c*, а з (31) знаходимо k,С . Потiм за формулою (40) знаходимо поправку Äa i нове значення a = ао + Äa керуючого параметра а. Далi весь процес повторюеться для наступно! трiйки значень kx,c,a i т.д. Припускаеться, що з часом t значення kt, ct,a, а також k*, c* стаб^зуються у деякш област фазового простору (k, c).
Державне регулювання полягае в пщтриманш за рахунок зовшшньо!' допомоги необхщно!' для оптимального зростання структури економки.
Висновки з даного досл'дження. Державне регулювання е потужним фактором для забезпечення стшкосл ринкових систем. При цьому керування полягають в зм^ структури економiчноï системи.
Л1ТЕРАТУРА
1. Дорошенко М.Е. Анализ неравновесных состояний и процессов в макроэкономических моделях. М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 2000. - 206 с.
2. Ерохина Е.А. Теория экономического развития: системно - синергетический подход. [Электрон. текстовые данные] / Библиотека экономической и деловой литературы. http://www/ek-lit.agava.ru/eroh/index.html.
3. Математическая экономика на персональном компьютере: Пер. с яп. / М.Кубонива, М.Табата, С.Табата, Ю.Хасэбэ; Под ред. М.Кубонива; Под ред. и с предисл. Е.З. Демиденко. - М.: Финансы и статистика, 1991. - 304 с.: ил.
4. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996. - 544 с.
5. Пономаренко О.1., Перестюк М.О., Бурим В.М. Основи математично! економки. - К.: 1нформтехн1ка. 1995. - 320 с.
6. Ott E., Gregori C., Yorke J.A. Controlling Chaos // Phys. Rev. Lett. 1990, N 64.
7. Holist J.A., Hagel T., Haag G., Weidlich W. How to Control a Chaotic Economy? // J. Evol. Econ. 1996, N 6.
8. Яновский Л.П. Контролирование хаоса в моделях экономического роста // Экономика и математические методы. - 2002. - том 38, N 1. - C. 16-23.
Стаття надмшла до редакцп 25.01.2005 р.
X
X
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2005, № 1(13)
13
