Кинетическая энергия реальной присоединённой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 656.62.052.4:[629.12:532.5]

В. И. Тихонов, к. т. п., доцент, ВГАВТ.

603600, Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ РЕАЛЬНОЙ ПРИСОЕДИНЁННОЙ ЖИДКОСТИ

Автором получена формула кинетической энергии воды, возмущённой движением в

ней корпуса судна.

Для определения инерционных усилий, действующих на судно со стороны жидкости, и правильного их учёта при составлении уравнений движения необходимо знать кинетическую энергию присоединённой жидкости. Следовательно, требуется найти не только значения присоединённых масс, но и составляющие скоростей их движения по направлениям осей х,у и г связанной с судном системы координат.

При определении кинетической энергии идеальной жидкости, возмущённой движением в ней корпуса судна, принимается следующая система основных допущений [1]:

1. Жидкость считается однородной, несжимаемой и безграничной либо имеющей лишь твёрдые неподвижные границы.

2. Предполагается, что всё движение жидкости вызвано только движением судна.

3. Для исключения влияния волнообразования вместо движения реального судна в жидкости со свободной поверхностью рассматривается движение погруженной части корпуса, дублированной относительно плоскости ватерлинии; твёрдые границы при этом также зеркально отображаются относительно этой плоскости. Очевидно, что горизонтальная плоскость симметрии (плоскость грузовой ватерлинии), совпадающая со свободной поверхностью жидкости, не перетекается ею, и потому волнообразование на свободной поверхности может быть исключено из рассмотрения.

4. Погруженная часть корпуса судна симметрична относительно его диаметральной плоскости.

5. Движение судна считается установившимся плоскопараллельным; крен, дифферент и вертикальная составляющая скорости отсутствуют.

Окружающая движущееся судно вода (в отличие от гипотетической идеальной жидкости) обладает вязкостью. Поэтому - в силу внутреннего трения - частицы воды, приведённые в движение корпусом судна, теряют свою начальную скорость по мере удаления от последнего. Следовательно, можно допустить существование некоторой условной поверхности, ограничивающей слой присоединённой жидкости, на которой скорости частиц воды становятся равными нулю. Но такая поверхность, на которой выполняется условие непротекания, может рассматриваться как твёрдая и неподвижная.

Тогда, в соответствии с введённой в 1904 году Л. Правдтлем гипотезой [1], разделим окружающую судно воду на две части: слой присоединённой жидкости (пограничный слой), в котором проявляется действие сил вязкости, и внешний поток, в котором жидкость ведёт себя как идеальная.

Попытаемся определить кинетическую энергию реальной присоединённой жидкости с учётом принятой системы пяти основных допущений, добавив к ним ещё одно - шестое:

6. В пределах пограничного слоя движение присоединённой жидкости считается установившимся и происходящим со скоростью, равной средней скорости слоя.

Анализ результатов экспериментальных исследований, приведённых в учебнике Я. И. Войткунского [2, с. 49], позволяет сделать вывод о том, что в пределах погра-

яичного слоя средняя скорость частицы воды равна половине её начальной скорости на поверхности обшивки корпуса судна.

Поскольку движение жидкости вызвано лишь движением в ней корпуса судна, то такое движение можно считать развившимся из состояния покоя. Тогда согласно теореме Лагранжа [ 1 ], движение жидкости является потенциальным (безвихревым). Следовательно, в любой точке пограничного слоя скорости частиц воды могут быть определены через потенциал ф(л,у) по выражениям:

дФ

дх

и =

у

дФ

ду

Из уравнения неразрывности

дх ду

(1)

(2)

полученного Л. Прандтлем для плоского пограничного слоя [1], и выражений (1) вытекает:

д2Ф д2Ф п + —— = 0.

дх2 ду2

(3)

То есть потенциал Ф удовлетворяет уравнению Лапласа.

Следовательно, для определения скоростей частиц присоединённой жидкости необходимо решить уравнение (3) при некоторых граничных условиях. В данном случае такими условиями будут:

1) на бесконечном удалении от судна в произвольном направлении / жидкость находится в покое, то есть

дФ д1

= 0;

(4)

2) на поверхности ^ , ограничивающей слой присоединённой жидкости, должно выполняться условие её непротекания:

_ I ЭФ

и« = — ’Ь' дпх

= 0,

(5)

где я, - направление нормали к поверхности 5, в какой-либо её точке;

3) в пределах пограничного слоя скорость любой частицы жидкости составляет половину её начальной скорости, равной проекциям на нормаль к обшивке £ скоростей точек самого корпуса, то есть

и.

дФ

и І5-Х,

дп

= 0,5 V ,й.

(6)

Здесь ип - модуль вектора скорости частицы жидкости на поверхности обшивки корпуса; \А- вектор скорости какой-либо точки А(х,у,г) поверхности корпуса;

п~ орт внешней нормали к поверхности в этой точке.

Направление нормали п относительно системы координат, связанной с судном, определяется известным выражением [3]:

п = хсоз(п,х)+ усо8(п,у)+гсо&(п,г), (7)

где X, у, г - орты подвижной системы координат.

Обозначим направляющие косинусы нормали к обшивке следующим образом:

СОз(Я,х) = 008^005^ = ^; (8)

С08(й,_у) = 8т#с087' = пу\ (9)

С08(п,г) = &ту = п2. (10)

Здесь д - курсовой угол нормали;

у - снижение нормали относительно плоскости ватерлинии.

Подставив (8) - (9) в формулу (7), получим:

п = пхх + пуу. (11)

Учитывая равенство (11), представим условие (6) в развёрнутом виде:

йп=0,5(ухЛ+уулпу). (12)

Из последнего выражения, согласно формулам Эйлера [1], получим:

ип = -Т- = 0,5|уЛ + Уупу + со(хпу - упх)],

(13)

дп откуда

ф = йпп = 0,5[у,их + \упу + со(хпу -упх)\г, (14)

где Ух,уу- составляющие вектора линейной скорости центра масс (ЦМ) судна;

сО - угловая скорость вращения судна относительно вертикальной оси г , проходящей через его ЦМ.

Введём следующие обозначения:

V, =у,; У2=чу\ У3 =&>; = ппх; <рг — ппу; (ръ =п{хпу-упх). (15)

С учётом принятых обозначений представим потенциал Ф в виде

Ф = й„п = 0,5(у,^ + у2(рг + у,<рг) = 0,5■ (16)

1=1

Потенциал скорости Ф будет являться решением краевой задачи (3) - (6) при условии, что единичные потенциалы (р1 являются решениями краевых задач

М.2,3) 07,

при следующих граничных условиях: на бесконечном удалении от судна

а/

■ 0:

на поверхности, ограничивающей слой присоединённой жидкости,

дфі

дщ

= 0;

на поверхности обшивки корпуса судна

дщ — п ; д<р2 = л ; д<Р3

дп 5 дп У 9 5 дп

= хп — упх.

(18)

(19)

(20)

Очевидно, что при таком задании граничных условий для единичных потенциалов ф; полностью удовлетворяются и исходные граничные условия (4) - (6). Следовательно, структура потенциала Ф , определяемая формулой (14) или (16), удовлетворяет условиям поставленной задачи.

Найдём составляющие вектора скорости присоединённой воды в точке А(х,у, г) поверхности обшивки корпуса:

- дФ , 2

■ = 0,5(ух -саксов <7соъу,

=

, и =

У<4

дх

дФ

: 0,5(у + со ;с)зіп2 дсов2 у.

Проекции элементарного количества движения жидкости в окрестностях точки А{х,у,г) на оси хну могут быть представлены в виде:

<1КХа = ри^псІБ = 0,5р(^ - соу)соз2 дсоБ2 у псІБ ; йКу„ = Р“уП<® = 0.5р(у, + со л)зіп2 д соэ2 у ПСІБ ;

(21)

'Ул----- •'^г'Уу • Ч ««« / '*“>-' з (22)

Поскольку при произвольном движении судна объём присоединённой воды эквивалентен объёму погруженной части корпуса, то попытаемся выразить произведение П(18 для произвольной точки А(х,у,г^ обшивки корпуса через его геометрические характеристики.

Эквивалентность объёмов предполагает равенство длин элементарных «стержней» жидкости, то есть

псоьу = узтд,

или

П = уЗІПд/сОЗу,

где у - ордината точки А поверхности обшивки корпуса.

Элементарная площадь поверхности корпуса СІБ ориентирована перпендикулярно к нормали, поэтому её величина может быть выражена следующим образом:

dS = dxrdzT.

Здесь dxT,dzr- элементарные значения длин касательных к поверхности обшивки в точке А{х,у, z), лежащих соответственно в плоскостях ватерлинии и нормали. Величины dxT и dzr определяются по выражениям:

dxr=dxlsmq\ dzr=dz/cosy.

Таким образом, в любой точке поверхности обшивки погруженной части корпуса судна

ndS = ydxdz/cos2 у ■ (23)

Поскольку

\\ydxdz = \\\dV, (24)

S У

где V - объём погруженной части корпуса судна, то перепишем уравнения (21) и (22) с учётом (23) следующим образом:

dKXA = 0,5p(vx -coy)cos2qdV ; (25)

dKy-=0,5p(v, + ax)sinVr. (26)

Элементарная кинетическая энергия присоединённой воды в окрестностях точки А(х согласно уравнениям (25)- (26), определится выражением:

dT2^ — 0,25p[(v^ - со у)2 cos4 q + {vy + со xj sin* q\dV .

Тогда кинетическая энергия всей присоединённой жидкости с учётом симметрии корпуса судна относительно диаметральной плоскости может быть представлена следующим уравнением:

Т2 = 0,25 р cos4 q + v2 sin4 q + (o2x2sin4q + 2vycoxsin4q)dV. ^7)

у

Заметим, что формула (27) выражает энергию лишь плоскопараллельного движения присоединённой жидкости.

Список литературы

[1] Павленко В.Г. Основы механики жидкости. — Л.: Судостроение, 1988. - 240 с.

[2] Войткунский Я.И. Сопротивление движению судов: Учебник. - 2-е изд., доп. и перераб. -Л.: Судостроение, 1988. - 288 с.

[3] Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. - М.: Наука, 1980. - 976 с.

KINETIC ENERGY OF REAL ATTACHED LIQUID

V. I. Tikhonov

Formula of kinetic energy of attached liquid, perturbed by hull movement is derived by the author.