Канторово множество и интерполяция Текст научной статьи по специальности «Математика»

26

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

обращается в нуль на J. Многочлен Fi имеет степень n, его старший коэффициент равен единице, и

коэффициент при t равен нулю.

Таким образом, Fi имеет вид Fi (t) = tn + bn-itn-1 + ... + 62t2, Fi(J) = 0. Аналогичным образом,

рассматривая равенство Fi(2j) =0 и многочлен ¡2(t) = 2ntn + 2n-ibn-itn-i + ... + 22b212, построим

многочлен F2(t) = tn + cn-itn-i + ... + C313, обращающийся в нуль на J.

Продолжая процесс, получим многочлен Fn-i(t) = tn, при этом Fn-i(J) = 0, что и требовалось.

В случае произвольного эндоморфизма в доказательство не изменяется, только в подсчетах значений

k лт / \ ûk— 1 û многочленов в точках r G R вместо rk появляются нормы N$tk(r) = rû ■ ■ ■ rû ■ r, что никак не отражается

на построениях, так как Ng,k(2r) = 2kNg ,k(r). □

Следствие. Если R — алгебра над полем нулевой характеристики, то радикал J = J (R) idR-алгебраичен тогда и только тогда, когда он нильпотентен.

Доказательство. Из предложения 1 следует, что J — ниль-идеал индекса n. По теореме Нагаты-Хигмена (см., например, [4]) ниль-идеал ограниченного индекса алгебры над полем нулевой характеристики нильпотентен. □

3. Алгебраичность всего кольца. В этом пункте эндоморфизм в предполагается тождественным. Теорема 2. Локальное кольцо R алгебраично (как множество в смысле определения 1), если и только если 1) тело D = R/J конечно и 2) радикал J алгебраичен.

Доказательство. Необходимость. Алгебраичность R означает существование такого многочлена f (t) = tn + an-itn-i + ... + ait + ao G R[t], который обращается в нуль на всем R. Образ этого многочлена при естественном эпиморфизме R[t] ^ D[t] есть ненулевой многочлен, обращающийся в нуль на каждом элементе D. Таким образом, тело D алгебраично в смысле определения 1 и, следовательно, является конечным полем (см. [5, теорема 16.7]). Необходимость второго условия очевидна.

Достаточность. Условие 1 означает, что D = R/J — конечное поле. Значит, D = GF(pn) для некоторых p,n G N. Многочлен tp — t G D[t] обращается в нуль на D. Рассмотрим многочлен g(t) = tp — t G R[t]. Для каждого элемента r кольца R имеем g(r) G J. При этом из условия 2 по теореме 1 получаем, что существует такое N G N, что tN обращается в нуль на J. Рассмотрим теперь многочлен h(t) = g(t)N. Для любого элемента r G R верно равенство h(r) = g(r)N = 0, и, таким образом, R алгебраично в смысле определения 1. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Качковский И.О. Алгебраичность множеств в локальных кольцах // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, вып. 5. 161-170.

2. Lam T.Y. A general theory of Vandermonde matrices // Exp. Math. 1986. 4. 193-215.

3. Lam T.Y., Leroy A. Hilbert 90 theorems over division rings // Trans. Amer. Mat. Soc. 1994. 345, N 2. 595-622.

4. Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

5. Lam T.Y. A first course in noncommutative rings. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1991.

Поступила в редакцию 06.04.2009

УДК 515.124.55, 517.518.85

КАНТОРОВО МНОЖЕСТВО И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ О. Д. Фролкина1

В 1998 г. И. Беньямини получил интересные результаты об интерполяции последовательностей с помощью непрерывных функций R ^ R. В частности, существует такая непрерывная функция R ^ R, которая в некотором смысле "единообразно" интерполирует все последовательности (xn)nEz & [0,1]Z. В 2005 г. Р. Наулин М. и К. Узкатегуи объединили и обобщили результаты Беньямини. В данной работе для топологических пространств

1 Фролкина Ольга Дмитриевна, — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ,

e-mail: [email protected], [email protected].

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

27

X и Y, где X снабжено действием абелевой группы, поставлена аналогичная задача "единообразной" интерполяции "обобщенных последовательностей" посредством непрерывных отображений X — Y. Приведены дальнейшие обобщения теорем Наулина-Узкатегуи, в частности получены многомерные аналоги теорем Беньямини.

Ключевые слова: ©-пространство, непрерывное отображение, интерполяция, канторо-во множество.

In 1998, Y. Benyamini published interesting results concerning interpolation of sequences using continuous functions R — R. In particular, he proved that there exists a continuous function R — R which in some sense "interpolates" all sequences (xn)neZ £ [0,1]Z "simultaneously." In 2005, R. Naulin M. and C. Uzcategui unifyed and generalized Benyamini's results. In this paper, the case of topological spaces X and Y with an abelian group acting on X is considered. A similar problem of "simultaneous interpolation" of all "generalized sequences" using continuous mappings X — Y is posed. Further generalizations of Naulin-Uncategui theorems, in particular, multidimensional analogues of Benyamini's results are obtained.

Key words: ©-space, continuous mapping, interpolation, Cantor set.

Введение. В 1998 г. И. Беньямини опубликовал [1] следующую теорему. Существует такая непрерывная ограниченная функция f : R — R, что для произвольной последовательности (xn)n^z £ [— 1,1]Z найдется такое t £ R, что xn = f (t + n) для всех n £ Z. Иными словами, функция f "одновременно интерполирует" все бесконечные в обе стороны последовательности со значениями в отрезке [-1,1]. Там же доказаны следующие утверждения: для произвольной числовой последовательности {Mn}n^z существует (возможно, неограниченная) непрерывная функция, в указанном смысле одновременно интерполирующая все последовательности (xn)n^z £ П +=^00 — Mn,Mn]; одновременно интерполировать все ограниченные (даже все постоянные), бесконечные в обе стороны последовательности невозможно; некоторой непрерывной (неограниченной) функцией возможно одновременно интерполировать все ограниченные, бесконечные в одну сторону последовательности.

В 2005 г. Р. Наулин и К. Узкатегуи объединили и обобщили эти результаты на случай элементов множества RM, где M — произвольное подмножество Z [2].

В данной работе приведено дальнейшее обобщение, а именно рассмотрен случай топологического пространства X с действием абелевой группы ©; наши "последовательности" имеют индексы в подмножестве M С © действующей абелевой группы, а значения — в метрическом пространстве Y. В частности, мы получаем многомерные аналоги цитированных теорем Беньямини. Наши рассуждения следуют схемам указанных работ, расширяя их идеи. Одним из важнейших элементов доказательства является использование теоремы Александрова-Хаусдорфа об универсальной сюръективности канторова множества [3, гл. 5, теорема 24]. Другие интересные приложения этого результата обсуждаются в работе [1].

Основные обозначения. Рассматриваемые топологические пространства предполагаются хаусдор-фовыми.

Для произвольных топологических пространств Z, W символом ZW обозначается множество всех непрерывных отображений W — Z, снабженное топологией поточечной сходимости. (Напомним, см. [4, предложение 2.6.3], что если W дискретно, то ZW совпадает с произведением "W экземпляров" пространства Z.)

M-последовательностями будем называть элементы множества YM, обозначаемые в работе символами (y(g))gern или просто 7.

Далее Q : ZW х W — Z обозначает отображение вычисления для ZW, действующее по формуле (f,x) — f (x). Напомним, что отображение Q, вообще говоря, не является непрерывным [4, п. 2.6].

Для правого ©-пространства X символом x ■ g обозначается образ точки x £ X при действии элемента g £ ©. Произведение (сумма) элементов g, h абелевой группы © обозначается через g + h; для M С © и h £ © пусть M + h = {g + h\g £ M}. Символом d обозначается расстояние в метрическом пространстве Y; замкнутый шар радиуса R с центром в точке yo £ Y обозначается через Вд(уо) = {y £ Y \ d(y,yo) ^ R}.

Счетным множеством мы называем конечное или равномощное N множество.

Далее А — канторово множество.

Изучаемые объекты и известные результаты. Пусть X, Y — топологические пространства, © — группа, действующая на X справа, M С © — подмножество (необязательно подгруппа).

Отображение F : X — Y и точка x G X задают M-последовательность (7F,x(g))gem, где YF,x(g) = F (x • g) для g G M.

Для непрерывного отображения F : X — Y определим множество порожденных им M-последова-тельностей формулой

Sm(F) = {(lF,x(g))gern\x G X}с YM.

Если M = 0, соответствующее множество S©(F) будем также кратко обозначать через S(F); итак, S (F ) С Y ©

Обозначим теперь

CI (M) = {S С YM \ S С SM(F) для некоторого непрерывного отображения F : X - Y} и в случае метрического пространства Y

CBI (M) = {S С YM \ S С Sm(F) для некоторого непрерывного и ограниченного отображения F : X - Y}.

Вопрос о возможности "одновременной интерполяции" одним (ограниченным) отображением какого-либо семейства M-последовательностей равносилен вопросу о том, принадлежит ли оно множеству CI (M) (CBI (M)). Итак, представляет интерес исследование структуры множеств CI(M), CBI (M).

Ситуация, рассматриваемая в работе Наулина-Узкатегуи, соответствует в наших обозначениях тому, что X = Y = R, 0 = Z, M С 0. В [2, теорема 1.1] показано, что CI (M) является идеалом (определение идеала см. также в [5, гл. II, §1, 2; 6, задача 2.И]) над множеством RM, содержащим все компактные подмножества RM; дан критерий того, что CI (M) является ст-идеалом (и прояснена его структура). На-улин и Узкатегуи формально не вводили множества CBI (M), но фактически в их работе содержится доказательство того, что CBI (M) является идеалом над множеством RM, содержащим все компактные подмножества RM вида [—L,L]M.

Цитированные результаты Беньямини являются следствиями теорем и доказательств работы [2].

Основные результаты. Мы получаем обобщения теорем Наулина-Узкатегуи (см. теоремы 1, 2).

Теорема 1. Пусть X — топологическое пространство, 0 — дискретная счетная абелева группа, действующая справа на X. Пусть некоторая точка xo G X обладает такой окрестностью U, что в нее вкладывается канторово .множество А и ее образы под действием различных элементов группы 0 не пересекаются. Пусть, далее, существует такой компакт K, xo G K С X, что U K • g = X. Пусть

ge&

Y — метрическое пространство.

1. Если всякое непрерывное отображение подпространства [J А • g С X в Y продолжается до непре-

ge&

рывного отображения X — Y, то для произвольного подмножества M С 0 множество CI (M) является идеалом над множеством YM, содержащим все его компактные подмножества.

2. Если всякое непрерывное ограниченное отображение подпространства [J А •g С X в Y продолжа-

ge&

ется до непрерывного ограниченного отображения X — Y, то для произвольного подмножества M С 0 множество CBI (M) является идеалом над множеством YM, содержащим все его такие компактные подмножества A, что множество Q(A x M) ограничено. Если, кроме того, в пространстве Y все шары Br(v), R ^ 0, y G Y, компактны, то множество CBI (M) содержит все такие подмножества A С YM, что множество Q(A x M) ограничено.

Замечание 1. Вообще говоря, не всякое компактное подмножество YM принадлежит множеству CBI(M). Например, для X = Y = R, 0 = M = Z множество A = П +=loo [-n,n] С RM компактно, но принадлежит дополнению CI (M) \ CBI (M). Конечно, Q(A x M) = R не ограничено.

Замечание 2. Канторово множество вкладывается в любое метрическое полное пространство, не имеющее изолированных точек. Это доказывается аналогично [3, гл. 5, теорема 23] с учетом утверждения [7, гл. 2, §3, п. 2, упр. 2].

Следствие 1. Для произвольных m,n G N существует такое непрерывное ограниченное отображение Fm,n : Rm — Rn, что для произвольной m-индексной последовательности (xs)s^zm G ([-1,1]n)(zm) со значениями в [-1,1]n С Rn найдется такое t G Rm, что xs = Fm,n(t + s) при всех s G Zm.

Доказательство. Утверждение очевидным образом вытекает из п. 2 теоремы 1 при X = Rm, Y = Rn, 0 = M = Zm (0 действует на X посредством сдвигов). Его также легко доказать напрямую аналогично [1, теорема 5]. □

Для формулировки второго результата нам потребуется

Определение 1. Топологическое пространство 2 назовем дискретно ст-компактным, если существует представление 2 = У 2г, где 2г — компактные открыто замкнутые подпространства 2 и 2г С 2г+1 для

г=1

всех г € N. Топологическую группу, являющуюся дискретно ст-компактным топологическим пространством (подчеркнем, что в этом случае не требуется, чтобы 2г были подгруппами), назовем дискретно ст-компактной топологической группой.

Очевидно, что счетные дискретные группы являются дискретно ст-компактными.

те

Определение 2. Пусть © — дискретно ст-компактная группа: © = У ©г, где ©г — компактные

г=1

открыто замкнутые подмножества (необязательно подгруппы) © и ©г С ©¿+1 для всех г ^ 1. Пусть М С ©. Скажем, что дыры в М ограничены, если существует такое г € N что для всех д € © имеем (М + д) П ©г = 0. Наоборот, М имеет неограниченные дыры, если для любого г € N существует такое дг € ©, что (М + дг) П ©г = 0.

Легко проверить, что (не)ограниченность дыр в М не зависит от представления группы © в виде объединения указанного вида.

Сформулируем второй основной результат работы.

Теорема 2. Пусть выполнены предположения п. 1 теоремы 1 и, кроме того, пространство У не ограничено и все шары Б^(у), К ^ 0, у € У, компактны. Тогда С1 (М) является ст-идеалом подмножеств Ум в том и только в том случае, если М имеет неограниченные дыры. Более того, в этом случае ст-идеал С1 (М) порожден компактными подмножествами Ум.

Следствие 2. Для произвольных т,п € N имеют место следующие утверждения:

1) существует такое непрерывное отображение Ет,п : Мт — Мп, что для произвольной ограниченной т-индексной последовательности (х8)8емт € У ([—L, ¿]п)(^т) со значениями из Мп найдется такое

ьеп

Ь € Мт, что х3 = Етп(Ь + в) при всех в € Nm;

2) не существует такого непрерывного отображения Етп : Мт — Мп, что для произвольной ограниченной т-индексной последовательности € У ([-Ь,Ь]п)(1,т) со значениями в Мп найдется

ьеп

такое Ь € Кт, что х3 = Ет,п(Ь + в) при всех в € .

Доказательство. Утверждение п. 1 (п. 2) очевидным образом вытекает из теоремы 2 (леммы 9) при X = Мт, У = Мп, © = Zm и М = Nm (М = Zm). □

Подчеркнем, что в п. 1 следствия 2 рассматриваются последовательности, бесконечные лишь в одну сторону по каждой из координат.

Вспомогательные утверждения и доказательства основных теорем. Для 7 € У® и д € © будем обозначать через 7 • д тот элемент У®, для которого (^ ■ д)(Н) = 7(Н + д) при всех Н € ©. Для подмножества А С У® и элемента д € © далее А ■ д = ■ д\7 € А} С У

Доказательства простых лемм, в частности получающиеся аналогично рассуждениям из работы [2], будем опускать ввиду недостатка места.

Лемма 1. Пусть X, У — топологические пространства, абелева группа © действует справа на X. Для произвольного непрерывного отображения Е : X — У и подмножества А С Б(Е) имеет место включение 1] А ■ д С Б (Е). □

де&

Лемма 2. Пусть X — топологическое пространство, © — действующая на нем справа абелева группа, К С X — такой компакт, что У К ■ д = X; пусть У — метрическое пространство. Тогда для

де&

любого непрерывного отображения Е : X — У существует такой компакт С С У 'что Б(Е) ^ У С ■д.

де&

Если, кроме того, отображение Е ограничено, то можно дополнительно считать, что и множество &(С х ©) ограничено.

Доказательство аналогично [2, лемма 2.1]. Укажем, что в обоих случаях искомый компакт — это

С = Ы^х € К}.

Включение Б(Е) С и С ■ д проверяется непосредственно. Обратное включение вытекает из леммы 1. де&

□

Лемма 3. 1. В условиях п. 1 теоремы 1 для любого компакта С С У® существует такое непрерывное отображение Е : X — У, что У С ■ д С Б (Е).

де&

2. В условиях п. 2 теоремы 1 для любого такого компакта С С У®, что 0,(С х ©) ограничено, существует такое непрерывное ограниченное отображение Е : X — У, что У С ■ д С Б(Е).

де&

Доказательство аналогично [2, лемма 2.1]. Пусть С С У® — произвольный компакт (метризуемый в силу счетности ©). Тогда существует непрерывная сюръекция ф : А — С [3, гл. 5, теорема 24]. Считаем канторово множество А уже вложенным в окрестность и из условия теоремы 1. Определим отображение Е : У А^д — У формулой х^д — ф(х)(д), где х € А, д € ©. Искомым отображением является непрерывное де&

(в п. 2 — непрерывное ограниченное) продолжение Е отображения Е. □

Лемма 4. Пусть X, У — топологические пространства, группа © действует справа на X и М1 С М2 С ©. Пусть М1 С М2. Тогда Бм (Е) состоит из ограничений на М1 отображений семейства БШ2 (Е). □

Лемма 5. 1. Пусть выполнены предположения п. 1 теоремы 1. Тогда для любых непрерывных отображений Е1Е2 : X — У существует такое непрерывное отображение О : X — У, что БмЕ) и БШ(Е2) С БШ(О).

2. Пусть выполнены предположения п. 2 теоремы 1. Тогда для любых непрерывных ограниченных отображений Е1, Е2 : X — У существует такое непрерывное ограниченное отображение О : X — У, что БШ(Е1) и БмЕ) С Бш(О).

Доказательство, аналогичное доказательству леммы 2.2 работы [2], вытекает из лемм 2-4. □

Лемма 6. Пусть © — счетное дискретное пространство, М С ©, У — метрическое пространство. Тогда подмножество А пространства Ум компактно в том и только в том случае, если оно состоит из ограничений на М всех отображений из некоторого компактного подмножества С С У®. Кроме того, &(А х М) ограничено тогда и только тогда, когда существует такое множество С, что и &(С х ©) ограничено. □

Доказательство теоремы 1. То, что для множеств С1 (М) и СВ1 (М) выполняется свойство замкнутости относительно взятия подмножеств, очевидным образом вытекает из их определений. Докажем остальные утверждения.

1. Докажем второе свойство идеала (замкнутость относительно взятия конечных объединений). Пусть А1,А2 € С1 (М), т.е. существуют такие непрерывные отображения Е1,Е2 : X — У, что А1 С Бэд(Е1), А2 С Бм(Е2). По п. 1 леммы 5 существует такое непрерывное отображение О : X — У, что Бм(Е1) и Бм(Ез) С Бм(О), т.е. А1 и А2 € СI (М).

Возьмем произвольное компактное подмножество А С Ум. По лемме 6 существует такое компактное подмножество С С Учто отображения семейства А являются ограничениями отображений из множества С. Согласно п. 1 леммы 3, существует такое непрерывное отображение Е : X — У, что С С и С ■ д С Б(Е), откуда по лемме 4 имеем А С Бм(Е), т.е. А € С1 (М). де&

2. Второе свойство идеала доказывается так же, как и в п. 1, с учетом того, что отображения Е1, Е2, а в силу п. 2 леммы 5 и отображение О ограничены.

Докажем второе утверждение п. 2 теоремы. Пусть А С Ум — такое компактное подмножество, что образ П(А х М) ограничен. По лемме 6 найдется такое компактное подмножество С С У®, что 0,(С х ©) ограничено и отображения семейства А являются ограничениями отображений семейства С. Согласно п. 2 леммы 3, существует такое непрерывное ограниченное отображение Е : X — У, что С С и С ■ д С Б (Е),

де&

откуда по лемме 4 имеем А С Бщ(Е), т.е. А € СВ1 (М).

Пусть теперь все шары Б^(у) в пространстве У компактны; пусть А С Ум необязательно компактное, но П(А х М) ограничено. Для некоторых точки уо € У и радиуса Ко € М имеем П(А х М) С Б^0(уо). Значит, А С (БКо(у0))м. Но по доказанному (БКо(у0))м € СВ1(М), откуда А € СВ1(М).

Теорема 1 доказана полностью. □

Лемма 7. Пусть выполнены предположения леммы 2, причем группа © счетна и дискретна. Тогда для любого подмножества М С © множество БШ(Е) С Ум является объединением счетного числа компактов Сг С Ум. Кроме того, если отображение Е ограничено, то можно считать, что множество &(Сг х М) ограничено для всех г € N.

Доказательство вытекает из лемм 2, 4 и 6. □

Лемма 8. Пусть © — дискретно ст-компактная абелева группа, действующая справа на топологическом пространстве X. Пусть существует такой компакт К, что У К ■ д = X. Пусть подмножество

де&

М С © имеет ограниченные дыры. Тогда существует такой компакт 2 С X, что для всех х € X имеем х ■ М П 2 = 0.

Доказательство. Пусть г € N — индекс из определения 2, т.е. пусть (М + д) П © = 0 для всех д € ©. Положим 2 = К ■ Gi = [Ь ■ gi | Ь € К, gi € Ясно, что 2 компактно. Возьмем произвольную точку Хо € X .В силу условий леммы существуют такие Ьо € К и до € ©, что хо = Ьо ■до. Так как (М+до )П© = 0, то для некоторого Ьо € М имеем Ьо + до € ©. Тогда

Хо ■ Ьо = (Ьо ■ до) ■ Ьо = Ьо ■ (до + Ьо) = Ьо ■ (Ьо + до) е [Ьо} ■ © С К ■ © = 2

(третье равенство справедливо в силу абелевости группы ©), что и требовалось. □

Лемма 9. Пусть выполнены предположения леммы 8; пусть метрическое пространство У не ограничено и уо € У — произвольная точка. Тогда не существует такого непрерывного отображения

те те

С : X — У, что I) (Бп(уо))м С БШ(С); иначе говоря, [] (Вп(уо))М € С1 (М).

п=1 п=1

Доказательство аналогично [2, лемма 2.4]. От противного. Допустим, что существует такое непрете

рывное отображение С : X — У, что У (Вп(уо))м С Бж(С). Так как пространство У не ограничено, то

п=1

существует такая последовательность [сп}пен точек пространства У, что (1(Сп,уо) — +ж при п — ж. Можем считать, что сп € Вп(уо). Рассмотрим последовательность постоянных отображений 7п : М —

У,

7п = сп. Имеем для всех п € N

1п € (Вп(уо))М С 0 (Вп(уо))М с Бш(С).

п=1

Согласно определению множества £от(С), для каждого п € N существует такая точка хп € X, что Сп = 7п(Ь) = С(хп ■ Ь) для всех Ь € М. По лемме 8 существует такой компакт 2 С X, что для всех х € X имеем х ■ М П 2 = 0. Следовательно, для каждого п € N существуют такие элемент Ьп € М и точка зп € 2, что хп ■ Ьп = зп. Имеем

С(вп) = С(хп ■ Ьп) = 7п(Ьп) = Сп.

Далее, в силу компактности множества 2 последовательность [зп}пен имеет предельную точку; обозначим сходящуюся подпоследовательность через [зпк}. Имеем при п — ж

г!(С(впк ),уо) = й(Спк ,уо) — +ж.

Полученное противоречие доказывает лемму. □

Доказательство теоремы 2 получается распространением идеи [2, лемма 2.3] на общий случай. Импликация ^ вытекает из леммы 9. Действительно, согласно теореме 1, (Вп(уо))м € С1 (М) для каждого п € N и произвольной точки уо € У. Если М имеет ограниченные дыры, то, согласно лемме 9,

те

и (Вп(уо))М € С1 (М), т.е. С1 (М) не является ст-идеалом.

п=1

Импликацию ^ докажем в несколько шагов.

Шаг 1. Согласно теореме 1, С1 (М) — идеал, содержащий все компактные подмножества Ум. Как известно, ст-идеал I над множеством порожден семейством подмножеств Г тогда и только тогда, когда Л С I и для любого элемента А € I найдется такая последовательность (Ап)пе^ элементов Г, что

те

А С У Ап. (Это можно доказать аналогично [8, гл. 1, §3, лемма 1 (и)].) То, что любой его элемент

п=1

содержится в счетном объединении компактов, доказано в лемме 7. Поэтому достаточно проверить, что

те

если Ki С Ум компактны при всех г € N то У Ki € С1 (М).

i=1

Шаг 2. Определим для каждого г € N функцию ai : М — М формулой

аДЬ) = вир[^(7(Ь),уо) | 7 € К}, Ь € М.

(Заметим, что аi < ж в силу компактности К^)

Шаг 3. Согласно предположению, дыры в М не ограничены, т.е. для (любого) представления © =

те

У ^, где для всех г € N имеем ^ С ^+1, © компактны, выполнено условие: для любого г € N существует

i=1

такой элемент gi € ©, что (М + д^ П ©i = 0. Зафиксируем для каждого г € N (какой-нибудь один)

соответствующий элемент gi € ©. Заметим, что для каждого д € © множество [г € N | д € М + д^ = [г € N | д + (~д^ € М} конечно. Действительно, пусть ] € N — такое число, что д € С^. Для всех к ^ ] в силу того, что (М + дк) П ©к = 0, имеем д € М + дк. Таким образом, |[г € N | д € М + gi}| < ] < ж для любого д € ©.

Шаг 4. Сделанное на шаге 3 замечание позволяет определить функцию а : © — N и [0} формулой

|тах[од(д + (-д^ | д + (-gi) е М}; а(д) = < ^

I 1, если д + (-д^ € М при всех г.

Так как группа © дискретна, то функция а непрерывна.

Шаг 5. Рассмотрим множество К С У®, состоящее из тех и только тех (непрерывных) отображений 7 : © — У, для которых (д),уо) ^ а(д) при всех д € ©. Из условий теоремы 2 по теореме Тихонова вытекает, что К — компакт.

Шаг 6. Согласно п. 1 леммы 3, существует такое непрерывное отображение С : X — У, что К С Б (С). Проверим, что Ki С Бэд(С) для всех г € N. Это докажет теорему, поскольку мы получим, что

тете

1] Ki С Бм(С), откуда и Ki € С1 (М). Итак, зафиксируем г € N. Пусть ^ € Ki. Определим отображение i=1 i=1 7 : © — У формулой

7(д) = !ъ(д+(-д^), д+(-д^еШ;

у0 иначе.

Покажем, что 7 € К. Действительно, пусть д € ©. Если д + (—gi) € М, то 7(д) = уо, откуда й(7(д),уо) = 0 ^ а(д). Если же д + (-д^ € М, то

Л(7(д),уо) = (д + ^д^^о) < аi(g + (-д^ < а(д)

(первое неравенство цепочки вытекает из того, что ^ € Ki, и определения функции а, второе — из определения функции а).

Итак, 7 € К С Б(С), т.е. для некоторого хо € X имеем 7(д) = С(хо ■ д), д € ©. Следовательно, для всех д € М

и(д) = 7i((g + д^ + (-gi)) = 7(д + д^ = С(хо ■ (д + gi)) =

= С(хо ■ д + д)) = С((хо ■ дд ■ д) = Сх ■ д),

где Хi = хо ■ gi, т.е. ^ € БШ(С).

Теорема 2 доказана. □

Автор приносит благодарность профессору С. А. Богатому и профессору В. В. Федорчуку за ценные замечания и беседы, а также профессору И. Беньямини (Хайфа, Израиль) за ознакомление с его работой [1].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Benyamini Y. Applications of the universal surjectivity of the Cantor set // Amer. Math. Monthly. 1998. 105, N 9. 832-839.

2. Naulin M.R., Uzcátegui C. Interpolation of sequences // Real Anal. Exchange. 2005/2006. 31, N 2. 519-523.

3. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. M.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1977.

4. Энгелькинг Р. Общая топология. M.: Mир, 1986.

5. Биркгоф Г. Теория структур. M.: ИЛ, 1952.

6. Келли Д.Л. Общая топология. M.: Наука, 1968.

7. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. M.: Наука, 1976.

8. Гретцер Г. Общая теория решеток. M.: Mир, 1982.

Поступила в редакцию 23.04.2008