CC BY
17
видеть, что никакое эффективное разбиение задачи Z (C ) не является строго эффективным. Тем не менее такие разбиения могут быть устойчивыми (см. следствие).
Литература
1. Ehrgott, M. A survey and annotated bibliography of multiobjective combinatorial optimization / M. Ehrgott, X. Gandibleux // OR Spectrum. - 2000. - V. 22, № 4. - P. 425-460.
2. Greenderg, N. J. An annotated bibliography for post-solution analysis in mixed integer and combinatorial optimization / N. J. Greenderg // D. L. Woodruff editor, Advances in Computational and Stochastic Optimization, Logic Programming and Heuristic Search. - Boston : Kluwer Acad. Publ. - 1998. - P. 97-148.
3. Сергиенко, И. В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации / И. В. Сергиенко. - Киев : Наукова думка, 1988. - 471 с.
4. Сергиенко, И. В. Исследование устойчивости и параметрический анализ дискретных оптимизационных задач / И. В. Сергиенко, Л. Н. Козерацкая, Т. Т. Лебедева. - Киев : Наукова думка, 1995. - 172 c.
5. Сергиенко, И. В. Задачи дискретной оптимизации. Проблемы, методы решения, исследования / И. В. Сергиенко, В. П. Шило. - Киев : Наукова думка, 2003. - 261 c.
6. Сотсков, Ю. Н. Теория расписаний. Системы с неопределенными числовыми параметрами / Ю. Н. Сотсков, Н. Ю. Сотскова. - Минск : НАН Беларуси, 2004. - 290 с.
7. Емеличев, В. А. Устойчивость в векторных комбинаторных задачах оптимизации / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин, А. М. Леонович // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 2. - С. 79-92.
8. Emelichev, V. A. The stability radius of an efficient solution in minimax Boolean programming problem / V. A. Emelichev, V. N. Krichko, Yu. V. Nikulin // Control and Cybernetics. Warszawa. - 2004. - Vol. 33, № 1. - P. 127-132.
9. Емеличев, В. А. О радиусе устойчивости лексикографического оптимума одной векторной задачи булева программирования / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин // Кибернетика и системный анализ. - 2005. - № 2. - С. 71-81.
10. Емеличев, В. А. Анализ чувствительности эффективного решения векторной булевой задачи
минимизации проекций линейных функций на R + и R_ / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 2. - 2005. - Т. 12, № 2. - С. 24-43.
11. Emelichev, V. A. Stability analysis of the Pareto optimal solution for some vector boolean optimization problem / V. A. Emelichev, K. G. Kuz'min, Yu. V. Nikulin // Optimization. - 2005. - Vol. 54, № 6. - P. 545-561.
12. Емеличев, В. А. О радиусе устойчивости эффективного решения одной векторной задачи булева
программирования в метрике lx / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин // Доклады РАН. - 2005. - Т. 401, № 6. - C. 733-735.
13. Емеличев, В. А. Конечные коалиционные игры с параметрической концепцией равновесия в условиях неопределенности / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2006. - № 2. - С. 96-101.
14. Lawler, E. L. Sequencing and scheduling : Algorithms and complexity / E. L. Lawler // Handbook of Operations Research. Amsterdam. - 1993. - Vol. 4. - P. 445-452.
15. Pareto, V. Manuel d'économie politique / V. Pareto. - Paris : Giard, 1909.
16. Smale, S. Global analysis and economics. V. Pareto theory with constraints / S. Smale // J. Math. Econ. -1974. - Vol. 1. - P. 213-221.
Summary
A formula of the stability radius of efficient solution for the vector combinatorial partition problem is obtained.
Поступила в редакцию 28.03.06.
УДК 517.986
М. А. Романова
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА МАКСИМАЛЬНЫХ ИДЕАЛОВ И ГРАНИЦЫ ШИЛОВА НЕКОТОРЫХ АЛГЕБР ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Впервые рассмотрев в работе [1] обобщенные аналитические функции на пространствах полухарактеров полугрупп, американские математики Р. Аренс и И. Р. Зингер положили начало интересной теории, которая в дальнейшем не осталась незамеченной многими авторами (см., например, монографии [2], [3], а также обзоры [4], [5] и [6]). Целью данной работы является вычисление
пространства максимальных идеалов и границы Шилова алгебры обобщенных аналитических функций. Строго говоря, понятие обобщенной аналитичности, принятое в данной работе, является несколько менее ограничительным, чем в [1], и следует подходу, предложенному в [7].
Всюду ниже £ - записываемая мультипликативно дискретная абелева полугруппа
с сокращениями и единицей е, не являющаяся группой, О = £ :£ - (дискретная) группа частных для £ (см., например, [8]).
Полухарактером полугруппы £ называется гомоморфизм у полугруппы £ в мультипликативную полугруппу Б = (х е С || г |< 1}, не являющийся тождественным нулем. Характерами называются полухарактеры, равные по модулю единице.
Множество всех полухарактеров полугруппы £ далее обозначается £, а его подмножество, состоящее из неотрицательных полухарактеров, - £+ . Наделенные топологией поточечной сходимости, это компактные топологические полугруппы по умножению с единицей 1 (£ компактно как замкнутое подмножество в Б£). (Компактную) группу характеров полугруппы £ будем обозначать X.
Идеал £0 называется простым, если £ \ £0 - полугруппа. Таковым идеалом £ является ее подполугруппа £(р) : = (5 е £ | р(s) > 0}. Отметим, что простые идеалы - в точности множества нулей полухарактеров. Простые идеалы, отличные от £ \ {е}, будем называть нетривиальными.
Степень р по определению есть индикатор носителя р и ре £ \ X при ре £+ , р Ф 1, г еП, где П : = (Яе г > 0} (см. [1], §7).
Определение 1 [1]. Комплекснозначная функция ¥ на £ \ X называется обобщенной аналитической в смысле Аренса-Зингера, если ¥ может быть равномерно приближена на компактных подмножествах £ \ X функциями вида ^(у) = ^,5е£/(^)у(^), где / е /1(£), у е £.
Равномерную алгебру всех функций, непрерывных на £ и обобщенных аналитических в смысле Аренса-Зингера, обозначим А0(£) (фактически она зависит от £ , а не только от £).
Определение 2 [7]. Комплекснозначная функция ¥ на £ \ X называется обобщенной аналитической, если при р, у е £ \ X, р > 0 функция г а ¥(рху) аналитична на П и непрерывна в + 0 .
Равномерную алгебру всех функций, непрерывных на £ и обобщенных аналитических в смысле последнего определения, обозначим А(£).
Из теоремы 7.4 в [1] сразу следует, что А0(£) с А(£), но строгое включение возможно.
Далее нам понадобится следующая
Теорема 1. Пусть £ 1 п £ = {е}. Если существует такой полухарактер р1 е , что 0 < р1(5) < 1 при всех 5 е £, 5 Ф е, то при всех ¥ е А(£)
\ ¥ (Х^Х = ¥ (а).
X
Доказательство этой теоремы будет дано в совместной статье автора и А. Р. Миротина «Интерполяционные множества алгебры обобщенных аналитических функций».
Определение 3. Аналитическими полиномами будем называть функции на £ вида
п
р(у): = 2еМг(у),
.=1
где с. е С, у е £, £. (у) : = у (а.), а. е £ .
Определение 4. Будем говорить, что алгебра A(S) обладает свойством полиномиальной аппроксимации, если произвольная функция F из A(S) может быть равномерно приближена
на S аналитическими полиномами.
Определение 5 [7]. Полугруппу S будем называть конусом в G, если для любого x е G найдется такой р е S+, что р(x) > 1 (р - продолжение полухарактера р на G).
Теорема 2. Предположим, что S есть конус в G и не содержит нетривиальных простых идеалов. Тогда A(S) = A0 (S).
Доказательство. Заметим сначала, что множество A(S) содержится в пространстве
H 2(S \ X), определенном в [0], т. е. что каждая функция F е A(S) обладает следующими свойствами:
1) для каждого ре S+ \ X функция Fp : % a F (р%) принадлежит Z2( X) и нормы всех таких функций в L (X) ограничены в совокупности;
2) для любых р, р1 е S+ \ X преобразования Фурье функций Fpi и Fpp0 совпадают
на группе частных полугруппы S( р) ;
3) F обобщенная аналитическая функция в смысле определения 1.
В самом деле, в доказательстве нуждается лишь свойство 2, которое достаточно проверить для единственного полухарактера р = а , принимающего нулевые значения. Но в этом случае оно
сразу следует из теоремы 1, примененной к функции у a F (руу).
Если теперь мы положим F* = F | X, то следствие 5.2 из [0] показывает, что спектр (т. е. носитель преобразования Фурье) функции F * содержится в S . Поэтому для любого e > 0 найдется аналитический полином p такой, что
I Р(%) - F(%) | < e для всех % е X .
Пусть Ф(у) = р(у) - F(у) (y е S), и предположим, что max^ | Ф | = | Ф(у1)|, где у1 = р1%1. У нас р1 Ф 1; кроме того, мы можем считать, что р1 Ф а , поскольку в силу теоремы 1 | Ф(а) | < maxX | Ф |.
Обозначим через к отображение множества П и {0} в >§-, заданное формулой
к(z) = р1 %1. Тогда модуль аналитической в П функции Ф o к достигает своего максимума в точке z = 1, а потому Ф o к = const в П . С учетом непрерывности получаем Ф o к(0) = Ф o к(1),
т. е. Ф(у1) = Ф(%1), так как у нас р10 = 1. Таким образом,
| p(у) - F(у) | < e для всех у е S.
Последнее означает, что алгебра A( S) обладает свойством полиномиальной аппроксимации, т. е. A(S) с A0(S). Обратное включение отмечено выше.^
Определение 6 [5]. Слабой оболочкой полугруппы S называется множество
[S] = {а е G | $m е N : "n > m an е S}.
L j w v 1 a a J
Теорема 3. Пусть [S]w есть конус в G и не содержит нетривиальных простых идеалов. Тогда пространство максимальных идеалов M ^ алгебры A(S) можно отождествить с §,
а ее границу Шилова д ^ - с X.
Доказательству теоремы 3 предпошлем две леммы.
Лемма 1. Отображение сужения £ а £ | £ есть топологический изоморфизм полугруппы полухарактеров (полугруппы неотрицательных полухарактеров, группы характеров) полугруппы Б и полугруппы полухарактеров (соответственно полугруппы неотрицательных
полухарактеров, группы характеров) полугруппы [Б
Доказательство. Рассмотрим отображение I: [Б]№ ® Б% /(£) = £ I Б и докажем, что оно
осуществляет требуемый изоморфизм.
1. Для доказательства сюрьективности воспользуемся полярным разложением у = р%
(р е Б+, % е X), справедливым для любого полухарактера у е Б-.
Характер % продолжается до характера группы частных Б 1Б по формуле %(а 1Ь) : = %(а)%(Ь).
Покажем, что это определение корректно. Пусть х = а 1Ь = с , тогда сЬ = аё. Следовательно, % (сЬ) = % (аё), т. е.
%(с)%(Ь) = %(а)%(ё).
А это значит, что %(а)%(Ь) = %(с)%(ё). Далее, % - гомоморфизм, так как
%(ху) = %(а -Ьс 1 ё) = %((ас)-1 Ьё) = %(ас)%(Ьё) = %(а)%(Ь)%(с)%(ё) = %(х)%(у). Очевидно, что | %(а 1Ь) | = 1. Следовательно, % - характер.
Положим, = % | [Б]№ . Тогда %М1 является характером полугруппы [Б]№. Таким образом, каждому характеру % полугруппы Б сопоставляется характер %М1 слабой оболочки такой, что %к | Б = % .
Для любого а е [Б]к положим, р№ : = п р(а ), где а е Б , п е N. Это определение корректно, так как
Vр(ап) = п(п+^р(ап)п+к = п(п+к^р(ап(п+к}) = п(п+^р(а"+к)п = р(а"+к) . Покажем, что рК - гомоморфизм. Возьмём натуральное п такое, что ап е Б и Ьп е Б.
Тогда
р„(аЬ) = пр((аЬ) ) = пр(аЬ") = Щр(а р(Ь) = р№(а)р№(Ь). Очевидно, что 0 < рК < 1, так как 0 < р < 1а .
Следовательно, р№ - неотрицательный полухарактер слабой оболочки и р№ | Б = р . Таким образом, мы построили полухарактер у : = р№%№ полугруппы [Б]№ такой, что ' (У) = У .
2. Инъективность. Рассмотрим произвольные полухарактеры £, £2 е [Б-]^ такие, что
£ ^ £2, т. е. За е [Б]№ что £1(а) ^ £2(а). Допустим х) = £2(х) для любого х е Б . Тогда
С1(а") = £2(ап) при ап е Б. А это значит, что £1(а)п = £2(а)п. Следовательно, £Да) = £2(а). Противоречие.
3. Отображение / является гомоморфизмом, так как для любых £2 е [Б-] I(££) = (СхС2) | Б = Сг | Б £2 | Б = I(£х)1 (£2).
имеем
4. Наконец, так как Оу является взаимно однозначным и, очевидно, непрерывным отображением компакта [на компакт £, то I - гомеоморфизм.
Для полугрупп неотрицательных полухарактеров и групп характеров доказательство аналогично. □
Определение 7. Для любого х из [£]№ определим Х(у) := у„(х). Следствие. Если А(£) = А0(£), то £ = [£]к.
Доказательство. Пусть £ ф [£]№, х е [£]№ \ £ . Тогда функция Х(у), как легко проверить, принадлежит А(£), но не принадлежит А0(£), поскольку преобразование Фурье ее сужения на X сосредоточено на множестве {х}. □
Лемма 2. Алгебра А(£) изометрически изоморфна алгебре А([£р]№). Доказательство. Покажем, что искомым изоморфизмом служит отображение I : А(£) ® А([£] №), определяемое равенством I * (¥): = ¥ о I, где I - отображение, построенное
в доказательстве леммы 1. Таким образом, для £ е [§]к имеем I * (¥ )(£) = ¥ (/'(О) = ¥ (£ | £).
При ¥ е А(£) отображение I *(¥) непрерывно на [и для любых не являющихся характерами р, у е [£]№, р > 0, г еП
I *(¥)(ргу) = ¥0(рУ)) = ¥((рУ) | £) = ¥(ру^,
где р1 = р | £, у1 = у | £. Следовательно, I * (¥) е
Докажем инъективность I *. Рассмотрим ^ , ¥2 е А(£) такие, что ^¡(у) ф ¥2(у) при некотором у е £. Из доказательства сюрьективности в лемме 1 следует, что существует £ -продолжение у на [£]№. Допустим, что I *(= I *(¥2)(£), тогда ^(у) = ¥2(у). Противоречие.
Для доказательства сюрьективности для каждой функции Н на [£]№ определим
функцию ¥ на £ следующим образом: ¥ (у) = Н (ук). Корректность этого определения следует из инъективности отображения I. Таким образом,
I * (¥ у) = ¥ (Кук)) = ¥ у | £) = ¥ (у) = Н у). Так как ¥(р2у) = Н(рук), то ¥ принадлежит А(£). Для £ е [ имеем
I =ЭДО'О=^(с^)=ад^^)=ЪШЩШ))=I *(*1)0 Ч^ХО-
Последнее означает гомоморфность I *. Докажем изометричность. Имеем
|| I * (¥) || = тах{| ¥ (£ | £) || £ е [ £]^ } = тах{| ¥ (у) || у е £} = || ¥ ||.
Доказательство теоремы 3. Допустим, что полугруппа [£]№ не содержит нетривиальных простых идеалов и является конусом в группе О. Тогда из теоремы 2 следует, что А([£р]№) = А0([£р]№). Но для алгебры А0([£р]№) известно, что пространство максимальных идеалов М А €] ) изоморфно [£]ж и граница Шилова д А €] ) изоморфна Х^, где Х^ -
группа характеров [S]w. Следовательно, пространство максимальных идеалов M^ можно отождествить с [g]w, а границу Шилова дA ^ ^ - с Xw. Используя лемму 2, получаем
утверждение теоремы. □
Определение 8. Обобщенными аналитическими полиномами будем называть функции
на S вида
n
p *(y) := Z cX (y),
i=1
где сг e C, y e S, xt e [S]w.
Определение 9. Будем говорить, что алгебра A(S) обладает свойством слабой полиномиальной аппроксимации, если произвольная функция F из A(S) может быть равномерно приближена на g обобщенными аналитическими полиномами.
Теорема 4. Пусть алгебра A(S) обладает свойством слабой полиномиальной аппроксимации. Тогда пространство максимальных идеалов M ^ этой алгебры можно
отождествить с g, а ее границу Шилова дA(g - с X.
Доказательство. Для феМ g) положим Z( x): = ф( X), x e [S ]w. Тогда Z e [ S]w ,
причем X(Z | S) = ф(X) . Если p* = Zn=1 сг Х- (c e C, xi e [S]w) - обобщенный аналитический полином, то
ф(p*) = Zj€) = ZZci€ (Z | s) = p * (z | s).
i=1 i=1
Для произвольной функции F из A(S) имеем F = limn®¥ pn *, где pn * - обобщенные аналитические полиномы. Поэтому
ф(F) = lim ф(pn*) = lim pn *(Z I S) = F(Z | S).
Рассмотрим отображение Л: $ ® M g^, которое каждому y из S^ сопоставляет
комплексный гомоморфизм фу из М A( g) по формуле jy (F) = F (у). Тогда Л - гомеоморфизм.
Действительно, если y1, y2 e S% y1 ^ y2, то jy (S ^ jy2 (S для некоторого a e S . К тому же отображение Л является сюрьективным по доказанному выше. Таким образом, оно биективно. Для доказательства его непрерывности рассмотрим последовательность yn e S% сходящуюся
к y e g. Тогда L(yn) сходится к L(y), так как при F e A(g) имеем jy (F) ® jy (F) в силу
непрерывности F . Поскольку SS - компакт, то Л - гомеоморфизм.
Докажем второе утверждение теоремы. Покажем сначала, что дA(,g с X. Для этого достаточно доказать, что X является границей. Если это не так, то
M : = max | F | > да : = max | F |
g X
для некоторой функции F e A(S). Для e < (M - да)/2 подберем аналитический полином p *
таким образом, чтобы max | F - p* |< e . Тогда | p * (%) | < | F(c) | +e £ да + e при всех % e X .
g
Напомним, что для произвольного y e g p * (y) : = Zn=1 cX (y). Рассмотрим / e 11([S]w)
такую, что f (x) = ci, если x = xi, f (x) = 0 - в противном случае. Тогда p(y) = f"(y w )• Далее из теоремы 3.4 в [1] известно, что M ^^ ^)
511([S]w) = Xw • Поэтому в силу леммы 1
max I Р * (У) I = max I Ky w) I = max I /(О I = max | f (x) | = max I P *(X I S) I = max I P * (C) I •
yeS yeS Ze[ XeXw XeX ceXS
Таким образом, max^ I p* I < m + e .
С другой стороны, I p * (y) I < I F(y) I -e при всех y e S, а потому max^ I p* I ^ M - e, что противоречит выбору e . Это доказывает требуемое включение.
Наконец, так как алгебра A(S) инвариантна относительно естественного действия группы X
(умножения на характеры являются автоморфизмами полугруппы S), то такова и ее граница Шилова, а потому эта граница совпадает с X .□
Литература
1. Arens, R. Generalised analytic functions / R. Arens, I. M. Singer // Trans. Amer. Math. Soc. - 1956. -Vol. 81, № 2. - P. 379-393.
2. Гамелин, Т. Равномерные алгебры / Т. Гамелин. - М. : Мир, 1973. - 336 с.
3. Rudin, W. Fourier analysis on groups / W. Rudin. - N.Y. : Interscience Publishers, 1962. - 285 p.
4. Helson, H. Analyticity on compact abelian groups / H. Helson // Algebras in analysis : proceedings of instructional conference and NATO advanced Study Institute, Birmingem, 1973 / Kluwer ; H. Helson, ed. - London, 1975. - P. 1-62.
5. Tonev, T. Analytic functions on compact groups and their applications to almost periodic functions / T. Tonev, S. A. Grigoryan // Amer. Math. Soc. - 2003. - Vol. 328, № 2. - P. 299-322.
6. Grigoryan, S. A. Shift-invariant algebras on groups / S. A. Grigoryan, T. Tonev // Amer. Math. Soc. -2004. - Vol. 363б, № 1. - P. 111-127.
7. Миротин, А. Р. Теорема Пэли-Винера для конусов в локально компактных абелевых группах / А. Р. Миротин // Известия высших учебных заведений. Математика. - 1995. - № 3. - С. 35-44.
8. Клиффорд, А. Алгебраическая теория полугрупп : в 2 т. / А. Клиффорд, Г. Престон. - М. : Наука, 1972. - Т. 1. - 285 с.
Summary
Spaces of maximal ideals and Shilov's boundaries of some uniform algebras of generalised analytic functions have been calculated.
Поступила в редакцию 16.05.06.
УДК 517.917
В. В. Шкут
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЙ КУБИЧЕСКОЙ ДВУМЕРНОЙ СИСТЕМЫ, ИМЕЮЩЕЙ ЧАСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ В ВИДЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ КРИВОЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Пусть для системы уравнений
йх 3 . . а'у 3 I
— = у + 2 а.ху ,— = 2 Ъцх у , (1)
а '+¡=1 1 а '+з=2
где а., Ьу е Я , алгебраическая кривая [1, 48]
с (х, у) ° х3 - ху2 - 2ру + q = 0, (2)
2 2
где 4р > q +1, р < 0, q < 0, р Ф 2q, является частным интегралом. Кривая (2) состоит из двух гиперболических и одной прямолинейной ветвей и имеет вид:
