О радиусе устойчивости эффективного решения векторной комбинаторной задачи разбиения Текст научной статьи по специальности «Математика»

будем иметь

<1, f (t1, D)> = mmKI1, f (t., D)> : i e = 5.8, <12, f (t2,D)> = min{(12,f (t.,D)> : i e ^4} = 17.6,

<13, f (t3,D)> = min{<13,f(t.,D)> : i e ^4} = 3.

2

Следовательно, задача Z5x2 (T, D) разрешима с помощью АЛС.

Литература

1. Подиновский, В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач / В. В. Подиновский, В. Д. Ногин. - М. : Наука, 1982. - 256 с.

2. Ногин, В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде. Количественный подход / В. Д. Ногин. - М. : Физматлит, 2002. - 176 с.

3. Кристофидес, Н. Теория графов. Алгоритмический подход / Н. Кристофидес. - М. : Мир, 1978. - 432 с.

4. Замбицкий, Д. К. Алгоритмы решения оптимизационных задач на сетях / Д. К. Замбицкий, Д. Д. Лозовану. - Кишинев : Штиинца, 1983. - 115 с.

5. Емеличев, В. А. Многокритериальные задачи об остовах графа / В. А. Емеличев, В. А. Перепелица // Доклады АН СССР. - 1988. - Т. 298, № 3. - С. 544-547.

6. Emelichev, V. A. Complexity of vector optimization problems on graphs / V. A. Emelichev, V. A. Perepeliza // Optimization. - 1991. - V. 22, № 6. - P. 903-918.

7. Емеличев, В. А. О неразрешимости с помощью алгоритмов линейной свертки векторных задач на графах / В. А. Емеличев, В. А. Перепелица // В сб. : IV Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям. - Кишинев. - 1991. - C. 82-83.

8. Емеличев, В. А. Сложность дискретных многокритериальных задач / В. А. Емеличев, В. А. Перепелица // Дискр. математика. - 1994. - Т. 6, вып. 1. - С. 3-33.

9. Емеличев, В. А. О неразрешимости векторных задач дискретной оптимизации на системах подмножеств в классе алгоритмов линейной свертки критериев / В. А. Емеличев, М. К. Кравцов // Доклады РАН. - 1994. - Т. 334, № 1. - С. 9-11.

10. Емеличев, В. А. О задачах векторной дискретной оптимизации на системах подмножеств, неразрешимых с помощью алгоритмов линейной свертки / В. А. Емеличев, М. К. Кравцов // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 1994. - Т. 34, № 7. - С. 1082-1094.

11. Кравцов, М. К. О разрешимости векторной задачи с помощью алгоритма линейной свертки критериев / М. К. Кравцов, О. А. Янушкевич // Мат. заметки. - 1997. - Т. 62, вып. 4. - С. 502-509.

12. Условия разрешимости векторных задач с помощью линейной свертки критериев / Э. Гирлих [и др.] // Кибернетика и системный анализ. - 1999. - № 1. - С. 81-95.

13. Емеличев, В. А. Разрешимость векторной траекторной задачи на «узкие места» с помощью алгоритма линейной свертки критериев / В. А. Емеличев, М. К. Кравцов, О. А. Янушкевич // Докл. АН Беларуси. - 1996. -Т. 40, № 4. - С. 29-33.

14. Кнут, Д. Э. Искусство программирования. Сортировка и поиск / Д. Э. Кнут. - СПб. : Вильямс, 2000. - Т. 3. - 832 с.

Summary

A translation algorithm of possible insoluble problem to solvable and equivalent problem is produced.

Поступила в редакцию 10.10.06.

УДК 519.8

В. А. Емеличев, Е. Е. Гуревский

О РАДИУСЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЭФФЕКТИВНОГО РЕШЕНИЯ ВЕКТОРНОЙ КОМБИНАТОРНОЙ ЗАДАЧИ РАЗБИЕНИЯ 2

Практически любая задача, относящаяся к проблемам проектирования, планирования и управления в технических и организационных системах, носит ярко выраженный многокритериальный характер. Во многих случаях возникающие при этом многоцелевые модели

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Межвузовской программы Республики Беларусь

«Фундаментальные и прикладные исследования» (грант 492/28).

сводятся к выбору лучших, в каком-то смысле, значений параметров из некоторой дискретной совокупности заданных величин. Поэтому интерес математиков к векторным задачам дискретной оптимизации не ослабевает, что подтверждается частым появлением публикаций в этой области (см., например, библиографию в [1], содержащую 234 наименования). Одним из актуальных направлений исследования таких задач является анализ устойчивости решений к возмущениям исходных данных (параметров задачи). Разнообразные постановки проблемы устойчивости порождают многочисленные направления исследований. Не задерживаясь на описании всего спектра вопросов, возникающих в этой области, отсылаем читателя к обширной библиографии [2], а также к монографиям [3-6].

В настоящей статье продолжаются исследования [7-13] меры устойчивости парего-оптимальных решений комбинаторных задач с разнообразными типами векторных критериев. Здесь рассматривается многокритериальный вариант задачи разбиения множества чисел, знакомой широкому кругу специалистов по дискретной оптимизации. Получена формула радиуса устойчивости эффективного

решения в случае чебышевской нормы l¥ , заданной в пространстве возмущающих параметров.

Задача о равномерном разбиении множества чисел на два подмножества является классической комбинаторной экстремальной задачей. Она состоит в следующем. Набор из нескольких положительных чисел требуется разбить на два подмножества таким образом, чтобы суммы элементов в подмножествах отличались минимальным образом. Эта задача эквивалентна задаче теории расписаний, состоящей в распределении независимых работ по двум идентичным процессорам так, чтобы время, когда заканчивается последняя выполненная работа, было

минимальным [14]. В теории расписаний эта задача обозначается P | • | Cmax.

Рассмотрим векторный (m-критериальный) вариант задачи разбиения.

Пусть на множестве n-векторов (разбиений) Q", n > 2, Q = {-1,1} задана векторная функция (векторный критерий)

f (x,C) = (| Cx |,| C2x |,...,| CmX |) ® min,

xeQn

mxn

где C. - i -ая строка матрицы C = [c..]m n e R , i e Nm = {1,2,...,m}, m > 1,

T

x ( x1, x2 , K , x" ) .

Векторную задачу разбиения, т. е. задачу поиска множества эффективных (оптимальных, по Парето [15]) разбиений,

Pm (C) = {x e Q" : p(C) = 0},

где

p(C) = {x' e Q" : f (x,C) > f (x',C) & f (x,C) * f (x',C)},

будем обозначать 7 (С).

к

Для всякого натурального числа к в пространстве Я зададим нормы 11 и 1¥ соответственно:

|| 2 1^= 2 I 2 I, II г ||¥ = тах | х |,

к

где 2 = (г1, г2, ..., гк) е Я . Под нормой матрицы будем понимать норму вектора, составленного из всех ее элементов. Для любого числа е >0 введем множество возмущающих матриц

□(е) = {С'е Ятх" :|| С' ||ш< е}. Следуя [8-12], радиусом устойчивости эффективного разбиения х

е Р (С) назовем число

т 0 10, если X = 0,

Р (x , C) = i

[sup X, если X ф 0,

где

X = {e >0: " C' eW( e) (x° e Рт (C + C '))}. Таким образом, радиус устойчивости эффективного разбиения x0 задает предел возмущений

тхн „

элементов матрицы С в пространстве R с метрикой l¥, при которых эффективность

разбиения x0 сохраняется.

Для любого числа z e R будем использовать обозначение

!1, если z > 0, -1, если z <0.

Будем также пользоваться импликацией

$q e Q "q' e Q (qz > q'z') z |>| z ' (2)

которая с очевидностью выполняется для любых чисел z, z' e R. Положим,

K(xx) = {/ e Nm : | C.x0 | < | Cx |}. Очевидно, что K(xx) ф 0, если x0 e Pm (C). Для любого i e K(xx) введем

обозначения

a. (x0, x) = min{ß. (x0, x, q): q e Q},

о (qx0 + x)

ß.(x , x, q) = 0 • II qx + x ||1

Теорема. Для радиуса устойчивости любого эффективного разбиения x° векторной задачи Zm (C), m > 1 справедлива формула

т 0 0

р (x ,C) = min max a.(x ,x). (2)

пПу , 0 0 ; . .0 . .

xeQ \{x ,-x } ieK (x ,x)

Доказательство. Для краткости правую часть формулы (2) обозначим через j. Нетрудно видеть, что число j > 0 конечно.

m0

Переходя к доказательству неравенства р (x , C) > j, будем предполагать, что j >0 (в противном случае неравенство рт (xC) > j очевидно). Пусть C' eW(j). Тогда в соответствии с определением числа j заключаем, что для любого x e Qn \{x-x°} существует такой индекс k e K(xx), что

C ' ||¥< j < ak (x0, x). (3)

Учитывая неравенство ak (x0, x) > 0, легко выводим

I Ckx °|<|qx|.

Отсюда, полагая

sk = sg Ckx'

убеждаемся в справедливости равенств

ск (дх0 + сткх) = | ск (акдх0 + х) |, д е Поэтому, используя (3), имеем

С + С'к)(дх0 + сткх) = | Ск (сткдх0 + х) | +С^стк (сткдх0 + х) > | Ск (сткдх0 + х) | -

- || С' ||¥ • || сткдх0 + х |^>| Ск (х0 +сткдх)| -Рк (хх, сткд)|| сткдх0 + х ||1=0. Таким образом, находим

(Ск + Ск )сткх > (Ск + Ск)дхд е Откуда, вследствие указанной выше импликации (1), получаем

|(Ск + Ск)х |>| (Ск + Ск)х0 |,

что влечет х0 е Рт (С + С').

Резюмируя вышесказанное, заключаем, что для всякой матрицы С' е ф) разбиение

0 т т 0

х е Р (С + С'). Следовательно, р (х , С) > ф.

Остается доказать неравенство рт(хС) < ф. Согласно определению числа ф , существует

* п 0 0 0 *

такое разбиение х е 2 \{ х , -х }, что для всякого индекса I е К (х , х ) выполняются неравенства

0 < а. (х°, х*) <ф. (4)

Пусть е > ф. Тогда докажем существование матрицы С' е е) с условием х0 £ Рт (С + С'). Будем использовать обозначения

N(х°,х*) =|{] е Ып : х° =1 л х* = -1} |,

М(хх*) =|{у е Мп : х° = х* }|,

* *

ст,. = Сгх .

Легко видеть, что выполняются неравенства

0 * * 0 М (х , х ) = М (х , х ),

2(N(хх*) + N(х\ х°)) = || х0 - х* ||15 (5)

2М(хх ) = || х0 + х ||1 . (6)

Для построения всех строк С'. , , е Nm необходимой матрицы С' рассмотрим чет^1ре возможных случая.

0 * 0 * 0 * Случай 1: I е К(х ,х ), р. (х ,х ,-1) < Р,(х ,х ,1). Тогда из (4) следует, что

| С.(х0 + /)| >0,

р.(х0,х*,-1) < ф < е.

Откуда, полагая

С' = (с' с' к, с' ),

г 4 .1' г 2' ' .п'^

где

с,- =

I]

ст.5., если х. =1, х. = -1,

г ] ' ] '

* о *

-ст.5., если х. = -1, х. =1,

г г' ] ' ] '

0 в противном случае,

Ф < 5г < е,

имеем || С, ||¥ = 5. и, согласно равенству (5), выводим

ст* (С. + С,)х0 - ст* (С. + С,)х* = ст* С. (х0 - х*) + 25. (N(х\ х°) + N(хх*)) >

>- | С. (х0 - х*)| +5. || х° - х* |^> - | С. (х° - х*)| +р. (х°, х\-1)|| х° - х* ||: = 0,

ст*(С. + С,)х0 + ст*(С. + С,)х* = ст*С. (х0 + х*) =| Сг (х0 + х*) |> 0. Поэтому справедливы неравенства

ст* (С. + С,)х0 > ст* (С. + С,)дх*, д е 0 Отсюда с учетом (1) находим, что

|(С + С.) х0 | > | (С. + С) х*|.

* п 0 0

Заметим, что неравенство (7) согласуется с условием х е 0 \{ х , -х }.

0 * 0 * 0 * Случай 2: /е К (х , х ), р . (х , х ,-1) > Р . (х , х ,1). Тогда, согласно (4), имеем

(7)

|С (х - х ) | > 0,

р. (х , х ,1) < ф < е. Поэтому, конструируя строку С по правилу

с,- =

I]

-ст .5 ., если х. = х. =1,

. . ] ]

* 0 *

ст .5 ., если х. = х. = -1,

. . . 1

0 в противном случае, где ф < 5. < е, получаем || С, ||¥ = 5. и, воспользовавшись (6), выводим

-ст*(С. + С,)х0 - ст*(С. + С.)х* = -ст*С.(х0 + х*) + 25. М(х°,х*) > > - | Сг (х° + х*) | +р. (х°, х*,1) || х0 + х* |^= 0,

-ст*(С. + С,)х0 + ст*(С. + С,)х* = ст*С.(х* - х0) =| С. (х* - х°) |> 0 . Итак, верны неравенства

-ст* (С. + С,)х0 > ст* (С. + С,)дх\ д е д, в

которые благодаря (1) приводят к (7).

0* 0* 0* 0* Случай 3: I е К(х ,х ), р. := р. (х ,х ,-1) = р.(х ,х ,1) = а (х ,х ).

Рассмотрим два варианта. Пусть сначала р. =0. Тогда

Сх0 = Сх = 0. (8)

* 0

Имея в виду х Ф ±х , легко видеть, что можно выбрать два индекса к, р е N

с условием

* _ 0 * 0 Хк xk , Х' p Ф Х' p '

С.. = i

У

Поэтому, задавая компоненты вектора C. = (c. 1, c. 2, ..., c'in) по правилу

x°5., если j = к,

к J '

x 5., если j = p,

p г' J r'

0 в противном случае, где

0 < j < 5. < e,

убеждаемся, что || C. ||¥ = 5. и ввиду (8) верно неравенство (7).

Пусть теперь ß. > 0. Тогда, повторяя все рассуждения первого случая, получаем (7).

0 * (n) Случай 4: i е Nm \ K (x , x ). Тогда, полагая C. = 0 , вновь имеем (7).

В результате всех этих построений получаем матрицу C' с нормой

|| C' ||¥ = тах{5г : i е Nm}< e. Резюмируя, заключаем, что в случае, когда e > j, существует матрица C' е W(e)

0 m m 0

с условием x g P (C + C'). Следовательно, p (x , C) < j. Теорема доказана.

mxn

Замечание 1. Если элементами матрицы C = [c^ ] е R являются положительные числа и в процессе возмущений они остаются положительными, то радиус устойчивости эффективного разбиения x

е P (C) равен числу

min{j, c . },

х' m.n > '

где j - правая часть формулы (2), cmin = min{c.. : (., j) е Nm x Nn} .

0 m m 0

Эффективное разбиение x из P (C) назовем устойчивым, если p (x , C) > 0,

и особым, если в Qn не существует такого вектора x Ф ±x0, что f (x, C) < f (x0, C). Следующий критерий с очевидностью вытекает из теоремы.

0 m m

Следствие. Разбиение x е P (C) задачи Z (C) устойчиво в том и только в том случае, когда оно особое.

Замечание 2. Как правило (см., например, [7, 11]), строгая эффективность (оптимальность, по Смейлу [16]) решения векторной дискретной задачи) является достаточной, а в случае линейной - задачи и необходимым условием устойчивости эффективного решения. Однако легко

видеть, что никакое эффективное разбиение задачи Z (C) не является строго эффективным. Тем не менее такие разбиения могут быть устойчивыми (см. следствие).

Литература

1. Ehrgott, M. A survey and annotated bibliography of multiobjective combinatorial optimization / M. Ehrgott, X. Gandibleux // OR Spectrum. - 2000. - V. 22, № 4. - P. 425-460.

2. Greenderg, N. J. An annotated bibliography for post-solution analysis in mixed integer and combinatorial optimization / N. J. Greenderg // D. L. Woodruff editor, Advances in Computational and Stochastic Optimization, Logic Programming and Heuristic Search. - Boston : Kluwer Acad. Publ. - 1998. - P. 97-148.

3. Сергиенко, И. В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации / И. В. Сергиенко. - Киев : Наукова думка, 1988. - 471 с.

4. Сергиенко, И. В. Исследование устойчивости и параметрический анализ дискретных оптимизационных задач / И. В. Сергиенко, Л. Н. Козерацкая, Т. Т. Лебедева. - Киев : Наукова думка, 1995. - 172 c.

5. Сергиенко, И. В. Задачи дискретной оптимизации. Проблемы, методы решения, исследования / И. В. Сергиенко, В. П. Шило. - Киев : Наукова думка, 2003. - 261 c.

6. Сотсков, Ю. Н. Теория расписаний. Системы с неопределенными числовыми параметрами / Ю. Н. Сотсков, Н. Ю. Сотскова. - Минск : НАН Беларуси, 2004. - 290 с.

7. Емеличев, В. А. Устойчивость в векторных комбинаторных задачах оптимизации / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин, А. М. Леонович // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 2. - С. 79-92.

8. Emelichev, V. A. The stability radius of an efficient solution in minimax Boolean programming problem / V. A. Emelichev, V. N. Krichko, Yu. V. Nikulin // Control and Cybernetics. Warszawa. - 2004. - Vol. 33, № 1. - P. 127-132.

9. Емеличев, В. А. О радиусе устойчивости лексикографического оптимума одной векторной задачи булева программирования / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин // Кибернетика и системный анализ. - 2005. - № 2. - С. 71-81.

10. Емеличев, В. А. Анализ чувствительности эффективного решения векторной булевой задачи

минимизации проекций линейных функций на R + и R_ / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 2. - 2005. - Т. 12, № 2. - С. 24-43.

11. Emelichev, V. A. Stability analysis of the Pareto optimal solution for some vector boolean optimization problem / V. A. Emelichev, K. G. Kuz'min, Yu. V. Nikulin // Optimization. - 2005. - Vol. 54, № 6. - P. 545-561.

12. Емеличев, В. А. О радиусе устойчивости эффективного решения одной векторной задачи булева

программирования в метрике lx / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин // Доклады РАН. - 2005. - Т. 401, № 6. - C. 733-735.

13. Емеличев, В. А. Конечные коалиционные игры с параметрической концепцией равновесия в условиях неопределенности / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2006. - № 2. - С. 96-101.

14. Lawler, E. L. Sequencing and scheduling : Algorithms and complexity / E. L. Lawler // Handbook of Operations Research. Amsterdam. - 1993. - Vol. 4. - P. 445-452.

15. Pareto, V. Manuel d'economie politique / V. Pareto. - Paris : Giard, 1909.

16. Smale, S. Global analysis and economics. V. Pareto theory with constraints / S. Smale // J. Math. Econ. -1974. - Vol. 1. - P. 213-221.

Summary

A formula of the stability radius of efficient solution for the vector combinatorial partition problem is obtained.

Поступила в редакцию 28.03.06.

УДК 517.986

М. А. Романова

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА МАКСИМАЛЬНЫХ ИДЕАЛОВ И ГРАНИЦЫ ШИЛОВА НЕКОТОРЫХ АЛГЕБР ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Впервые рассмотрев в работе [1] обобщенные аналитические функции на пространствах полухарактеров полугрупп, американские математики Р. Аренс и И. Р. Зингер положили начало интересной теории, которая в дальнейшем не осталась незамеченной многими авторами (см., например, монографии [2], [3], а также обзоры [4], [5] и [6]). Целью данной работы является вычисление