К вопросу применимости теоремы Жуковского о подъемной силе в практических расчетах трансзвукового потенциального обтекания крыльев Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIII 1992 № 2

УДК 533.6.011.35 : 629.7.025.1 629.735.33.015.3.025.47

К ВОПРОСУ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕОРЕМЫ ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ В ПРАКТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ ТРАНСЗВУКОВОГО ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ОБТЕКАНИЯ КРЫЛЬЕВ

Н. А. Владимирова

Проведены расчетные исследования применимости теоремы Жуковского о подъемной силе при трансзвуковом обтекании крыльев умеренной стреловидности. На основании численных расчетов задачи в рамках полного потенциала показано, что относительная погрешность при определении подъемной силы по формуле Жуковского по сравнению с результатом интегрирования по поверхности сил давления близка к нулю при отсутствии скачков уплотнения и возрастает по мере увеличения интенсивности скачков (до 8—10% в области изоэнтропийного течения при числе Маха перед скачком М5 = 1,25 -г- 1,45).

Известно, что теорема о связи подъемной силы и циркуляции скорости, сформулированная и-доказанная Н. Е. Жуковским [1] в 1906 г. для случая обтекания тела плоскопараллельным безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости и обобщенная в 1934 г. М. В. Келдышем и Ф. И. Франклем [2] на случай нелинейных эллиптических уравнений, описывающих чисто дозвуковое обтекание крыла потоком сжимаемого газа, в случае смешанного течения при наличии местных сверхзвуковых зон и скачков уплотнения несправедлива, т. е. может выполняться лишь приближенно, так как скачок уплотнения является, вообще говоря, источ-нйком завихренности в потоке.

При наличии скачков уплотнения в невязкой жидкости не выполняется также и парадокс Даламбера — Эйлера, так как появляется составляющая сопротивления, обусловленная волновыми потерями в скачках.

Однако при проведении практических расчетов трансзвукового обтекания элементов летательного аппарата, при определении, например, значения индуктивного сопротивления по заданному распределению нагрузки и т. п. очень часто делают переход от подъемной силы к значению циркуляции и наоборот по формуле Жуковского, не задумываясь при этом о величине допускаемых погрешностей. Поэтому целью настоящей работы являлось получение расчетных оценок «степени невыполнимости» теоремы Жуковского при трансзвуковом обтекании изолированных стреловидных крыльев. Расчеты трансзвукового обтекания проводились по конечноразностному методу полного потенциала [3], позволяющему рассчитывать трехмерное потенциальное (безвихревое) течение около крыльев произвольной формы на режимах докритиче-ского и закритического обтекания с местными сверхзвуковыми зонами и слабыми (изоэнтро-пийными) скачками уплотнения. Оценки степени приближенного выполнения формулы Жуковского о подъемной силе проводились на основе анализа' результатов большой серии расчетов околозвукового обтекания крыльев разнообразной формы с изменяющимися в широких пределах относительными толщинами, удлинением, стреловидностью, сужением, формой'профилей и т.д.

Что касается невыполнения парадокса Даламбера — Эйлера, то волновое сопротивление, возникающее при закритическом обтекании, рассчитывается в методе [3] с помощью специально разработанной численной процедуры интегрирования волновых потерь в скачках уплотнения [4].

1. Схема проводимых расчетов представляет собой следующее. В методе [3] с помощью алгоритма последовательной верхней релаксации решаются записанные в неконсервативной форме нелинейные эллиптико-гиперболические уравнения в частных производных для полного потенциала скорости при трехмерном обтекании крыла конечного размаха. Скачки уплотнения формируются автоматически в процессе расчета вследствие применения обратных разностей и введения искусственной вязкости. Следует еще раз подчеркнуть, что в потенциаль-

ном методе [3] изменением энтропии и, следовательно, зарождением завихренности в скачках уплотнения пренебрегается, т. е. возникающие в потоке скачки уплотнения являются слабыми, а течение изоэнтропийным и безвихревым. Вниз по потоку с задней кромки крыла вдоль координатных линий формируется вихревая пелена, сворачиваемостью которой пренебрегается. Поверхность вихревой пелены является поверхностью разрыва, при переходе через которую нормальная составляющая скорости и давление непрерывны, а потенциал и касательная составляющая скорости терпят разрыв. Разрыв потенциала в каждой расчетной точке на задней кромке крыла, определяемый в процессе расчета, сносится вдоль «разреза» вниз по потоку вплоть до бесконечно удаленной точки. Величина циркуляции скорости Г в каждом расчетном сечении 1 крыла определяется на каждой итерации итерационного процесса решения как разность потенциалов на верхней и нижней поверхностях «разреза», моделирующего вихревой след (рис. 1).

ъ

в,в

0,5

V

V

0,2

0,1

О 0,1 0,2 ИЗ 0,4 0,5 0,6 0,7 с, "1,0 1,1 1,1 V 1,4 М,

Рис. 2 Рис. 3

2. На рис. 2 представлены результаты многочисленных расчетов, проведенных по изложенной выше схеме. По оси абсцисс отложен коэффициент подъемной силы корневого сечения (2 = 0) крыла, определенный путем интегрирования коэффициента давления вдоль хорды:

I

СУ = | ср(х)Ых.

По оси ординат отложена величина 2Г/(/006 (где Г — циркуляция скорости в корневом сечении крыла, IIж—скорость набегающего потока, Ь — корневая хорда), соответствующая значению коэффициента подъемной силы, определяемого по теореме Жуковского. Биссектрисе квадранта (штриховая линия) соответствует точное выполнение формулы Жуковского У — = рС/^Г. Черные точки соответствуют результатам расчетов различных компоновок крыльев. В заштрихованной области располагаются результаты большой се^ии расчетов трансзвукового обтекания крыльев, геометрические характеристики которых варьировались в достаточно широких пределах: стреловидность % — от 0 до 35°, относительная толщина профилей с в сечениях — ОТ--.-9 до 15%, удлинение X — от 5 до 13. Результаты расчетов включают в себя как докри-

%-0*ЗГ С - 9*15% \-5*13 М—-0,1*0£

тичёские, бесскачковые режимы обтекания, так и закритические режимы со скачками уплотнения (число М набегающего потока изменялось в диапазоне от 0,1 до 0,9). Как показывает анализ расчетных данных, заштрихованная область располагается выше штриховой прямой, т. е. использование формулы Жуковского на режимах смешанного обтекания приводит к завышению (в пределах 10%) значения коэффициента подъемной силы.

На рис. 3 представлена более четкая характеристика возможности применения формулы Жуковского на трансзвуковых режимах: зависимость относительной погрешности определения подъемной силы сечения крыла Дсу/с, (определенной из графика рис. 2 как (2Г/{/006 — су) /су) от величины нормальной составляющей числа Маха перед скачком уплотнения Мс. Результаты расчетов показывают, что в области применимости потенциального метода [3] (изоэнтропий ное течение со слабыми скачками уплотнения) относительная погрешность Дсу/с„ увеличивается от 0—2% для М5=1,0 (бесскачковое обтекание крыла) до 7—10% при наличии выраженных скачков (М5 = 1,4 1,45).

Таким образом, в случае смешанного обтекания крыла с очень слабыми скачками уплотнения (М5 = 1,0 -г- 1,15) для практического определения подъемной силы и других характеристик крыла по методу [3] вполне можно пользоваться формулой Жуковского, по мере увеличения интенсивности возникающих в поле течения скачков уплотнения использование формулы Жуковского при определении несущих свойств крыла приводит к ощутимым погрешностям.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жуковский Н. Е. О присоединенных вихрях.— Л.— М.: Гостех-издат, 1948. Т. 2.

2. Келдыш М. В., Франкль Ф. И. Внешняя задача Неймана для нелинейных эллиптических уравнений с приложением к теории крыла в сжимаемом газе.— М.: Изв. АН СССР, 1934.

3. Владимирова Н. А. Исследование обтекания прямых и стреловидных крыльев большого удлинения при околозвуковых скоростях // Ученые записки ЦАГИ.— 1983. Т. 14, № 4.

4. Владимирова Н. А., СеребрийскийЯ. М. Расчет волновых потерь в сечениях стреловидного крыла при трансзвуковом потенциальном обтекании // Труды ЦАГИ.— 1989. Вып. 2459.

Рукопись поступила 16/X1990 г.