К уточнению теоремы Брауэра о представлении L-функций Артина Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Водолазов А. М, Кузнецов В. Н . Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та. 2003. Вып. 2.

2. Кузнецов В. Н., Кузнецова Т. А., Короткое А. Е, Ермоленко А. А. Аппроксимационный подход в задаче о трансцендентности значений Ь-функций Дирихле в алгебраических точках на положительной полуоси // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та. 2009. Вып. 5.

К УТОЧНЕНИЮ ТЕОРЕМЫ БРАУЭРА

_ _ _ _ __ «_» _

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ L-ФУНКЦИИ АРТИНА1 В. В. Кривобок (г. Саратов) E-mail: [email protected]

Рассмотрим расширение Галуа к С К. Предположим, что группа Га-луа этого расширения представима в виде

G = U H,

¿=1

где Н - циклические подгруппы группы О такие, что Н= {е}, г = ]. В этом случае для Ь-функции Артина получено следующее выражение:

т а.1

ПП ^ ,К |к,)

Ь(^Х,К |к) = --, (1)

¿К (й)

где Го, Гщ - положительные рациональные числа, х - характер группы О. Как следствие представления (1) доказана

Теорема 1. Пусть к С К - расширение Галуа, О - группа Галуа этого расширения, для которой [О] = р1 • р2, р1|р2 — 1; пусть, далее, Н -подгруппа группы О, [Н] = р2 и Н состоит из двух классов сопряженности, и пусть ф - неодномерный простой характер группы О. Тогда Ь-функция Артина Ь(в,ф,К|к) является целой функцией.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00399).

В случае произвольного расширения Галуа k С K сравнение норм простых идеалов расширения kab, где kab - максимальное абелево подрас-ширение расширения k С K, и норм соответствующих простых идеалов поля K позволило доказать следующее утверждение

Теорема 2. L-функция Артина L(s,^,K|k), где ф - простой характер группы Галуа G расширения k С K, аналитически продолжима на комплексную плоскость с возможными особенностями - полюсами, лежащими на критической прямой, которые являются нулями некоторых L-функций Дирихле поля k.

О ВЗАИМОСВЯЗИ ОСНОВНОЙ И РАСШИРЕННОЙ ГИПОТЕЗ РИМАНА ДЛЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ И L-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ С ЧИСЛОВЫМИ ХАРАКТЕРАМИ

И СООТВЕТСТВУЮЩИХ ГИПОТЕЗ

__ «_» _ __ _ ___«_»

ДЛЯ L-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ1 В. В. Кривобок, В. А. Матвеев (г. Саратов)

E-mail: [email protected], [email protected]

Пусть k С K - абелево расширение Галуа числовых полей, где поле K является расширением Галуа поля Q и х - характер Дирихле поля k, отвечающий этому расширению. Тогда имеет место

Теорема. Если выполнены гипотезы Римана для дзета-функции и L-функций L(s,x), где х - числовой характер Дирихле, то нули L-функции L(s,x,k) лежат на критической прямой.

К ЗАДАЧЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЯДОВ ДИРИХЛЕ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ2

В. Н. Кузнецов, О. А. Матвеева (г. Саратов) E-mail: [email protected], [email protected]

Рассмотрим ряд Дирихле вида

s = а + it

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00399). 2Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00399).