Аппроксимационный подход в задаче о трансцендентности значений L-функций Дирихле в алгебраических точках на положительной полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

АППРОКСИМАЦИОННЫЙ ПОДХОД В ЗАДАЧЕ О ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТИ ЗНАЧЕНИЙ L-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧКАХ НА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ПОЛУОСИ А. Е. Коротков (г. Саратов) E-mail: korotkovae@info.sgu.ru

Суть аппроксимационного подхода в задаче о трансцендентности значений L-функций в алгебраических точках заключается в построении полиномов Дирихле с алгебраическими коэффициентами, приближающими L-функцию на числовой оси с показательной скоростью. Тогда задача о трансцендентности сводится к оценке скорости роста высот значений таких многочленов в алгебраических точках в зависимости от их степени.

Рассмотрим L-функцию Дирихле

n=0

Как показано в [1, 2], можно построить полиномы Дирихле с коэффициентами, принадлежащими полю K = Q(^1), где d — период характера X L-функции Дирихле.

n

Qn (s) = S ks, k=i

которые будут аппроксимировать L-функцию (1) Дирихле с показательной скоростью в полосе а > а0 > 0, |t| < T.

Обозначим через Hon высоты чисел 6n = Qn(a), а - алгебраическое, положительное число. Имеет место утверждение.

Теорема. Пусть а — такое алгебраическое, положительное, для которого последовательность высот Hon удовлетворяет условию:

Hon << pn, для любого р > 1 (при n ^ ж).

Тогда значение L-функции: L(a, х) является трансцендентным числом.

Есть все основания полагать, что данный аппроксимационный подход позволит доказать трансцендентность значений L-функций Дирихле L(a,x) в алгебраических точках 1/2 < а < 1.

Библиографический список

1. Водолазов А. М, Кузнецов В. Н . Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та. 2003. Вып. 2.

2. Кузнецов В. Н., Кузнецова Т. А., Короткое А. Е, Ермоленко А. А. Аппроксимационный подход в задаче о трансцендентности значений Ь-функций Дирихле в алгебраических точках на положительной полуоси // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та. 2009. Вып. 5.

К УТОЧНЕНИЮ ТЕОРЕМЫ БРАУЭРА

_ _ _ _ __ «_» _

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ L-ФУНКЦИИ АРТИНА1 В. В. Кривобок (г. Саратов) E-mail: unikross@mail.ru

Рассмотрим расширение Галуа к С К. Предположим, что группа Га-луа этого расширения представима в виде

G = U H,

¿=1

где Н - циклические подгруппы группы О такие, что Н= {е}, г = ]. В этом случае для Ь-функции Артина получено следующее выражение:

т а.1

ПП ^ ,К |к,)

Ь(^Х,К |к) = --, (1)

¿К (й)

где Го, Гщ - положительные рациональные числа, х - характер группы О. Как следствие представления (1) доказана

Теорема 1. Пусть к С К - расширение Галуа, О - группа Галуа этого расширения, для которой [О] = р1 • р2, р1|р2 — 1; пусть, далее, Н -подгруппа группы О, [Н] = р2 и Н состоит из двух классов сопряженности, и пусть ф - неодномерный простой характер группы О. Тогда Ь-функция Артина Ь(в,ф,К|к) является целой функцией.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00399).