CC BY
15
Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 4, С. 21-27
УДК 537.872
К ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА С МЕТАЛЛОМ1
В. И. Кесаев, И. Н. Малиев
Получены новые формулы для потенциала и тангенциальной компоненты электрического поля, являющегося откликом металла на пролет заряженной частицы. Получена оригинальная формула для силы «трения» между зарядом и поверхностью металла.
Ключевые слова: движущийся точечный заряд, диэлектрическая проницаемость, поверхность металла, низкочастотное приближение, потенциал, сила «трения».
1. Поскольку уравнения электромагнитного поля являются линейными, то взаимодействие посредством такого поля внутри многочастичной системы можно исследовать с помощью принципа суперпозиции. Применение этого принципа требует знания решения уравнений Максвелла для одной частицы в каждой прикладной электродинамической задаче. Решению одной из таких проблем — взаимодействию движущейся заряженной частицы с поверхностью металла посвящено значительное число научных работ (см., например, прекрасно написанные обзоры [1, 2]). В нашей недавней работе [3] было изучено взаимодействие линейной цепочки зарядов, движущихся параллельно поверхности металла, в идеальном случае, т. е. когда диэлектрическая проницаемость металла !е(ш)! ^ то.
Ясно, что в приложениях существенный интерес представляет учет свойств реального металла, которые в макроскопической электродинамике определяются двумя интегральными характеристиками — диэлектрической е(ш) и магнитной ц,(ш) проницаемостями.
Далее нас будет интересовать отклик металла на электрическое поле пролетающего над ним заряда, поэтому мы ограничимся вопросом о выборе функции е(ш). При решении неоднородного волнового уравнения для скалярного потенциала электрического поля р, описывающего упомянутое взаимодействие, исследователи в основном рассматривают модель Друде (высокочастотное приближение), в которой в(ш) = 1 — Шр/Ш2, где шр — плазменная частота электронов проводимости (значение шр порядка 1014 сек-1), и низкочастотное приближение, в котором предполагается, что е(ш) = 1 + гАпа/ш, г — мнимая единица, а — удельная проводимость металла (значение а порядка 108 сек-1).
Используя преобразование Лапласа по переменной г, подобно тому, как это было сделано в [3] для случая идеального проводника, можно показать, что часть решения упомянутого выше волнового уравнения, содержащая отклик металла на пролет точечного заряда над его плоской поверхностью, имеет вид:
7-1(9) 1к 19 е-1(в)к(г+Хо) А(кУ сой 9) гМ. (3.1)
/
о
о
© 2010 Кесаев В. И., Малиев И. Н.
1 Работа выполнена при поддержке Федерального агенства по образованию в рамках тематического плана Северо-Осетинского государственного университета.
Здесь y(9) = л/1 - в2 cos2 9 — «модифицированный» фактор Лоренца, в2 = V2/с2, где V, с — скорости заряда и света соответственно, векторы r = {x,y,z}, R = {x — Vt,y}, k = {k cos 9, k sin 9}. Точечный заряд, величина которого q, движется вдоль прямой линии
у = 0, z = zo > 0, x = Vt в вакууме, металл занимает полупространство z ^ 0, а его
плоская поверхность совпадает с плоскостью xy. Отклик металла описывается величиной
А(ш) = I—Ц <3'2)
Чтобы подтвердить справедливость (3.1), напишем одно из уравнений Максвелла
div D (r, t) = 4np(r, t), (3.3)
где электрическая индукция
t СО
D(r, t) = J e(t — t')<(r,t') dt = J e(r)<(r,t — r) dr, (3.4)
—o 0
а диэлектрическая проницаемость среды e(t) рассматривается как ядро интегрального оператора. Здесь, по определению, электрическое поле
Цг,0 = —tfar.t) - , (3.5)
с dt
и все остальные обозначения имеют стандартный смысл (см., например, [4]), а именно: р — скалярный потенциал, A — векторный потенциал, причем из свойств градиентной инвариантности уравнений поля мы можем потребовать выполнения условия
div A + 1 ^ = 0, (3.6)
с dt
которое называется лоренцевской калибровкой. С учетом траектории движения заряда r0(t) = {Vt, 0,z0} плотность заряда p(r,t) = q5(r — r0(t)), где S(r) — функция Дирака.
Применяя обычную процедуру перехода в обратное пространство волновых векторов и частот, т. е. полагая справедливым для любой физической величины
+О +О
f(R,z,t)= f f (lkidk2ei{m—wt)f(k,z,u) (3.7)
— О —О
и вводя обозначение
СО
е(ш) = У є^)егші dt, (3.8)
о
находим, после подстановки (3.4) и (3.5) в (3.3), с учетом (3.6), (3.7), (3.8), уравнение для Фурье образа потенциала ф(к,г,ш):
- д2 ^ ]
2 ’ ' ф(к,г,ш)= д(к,г,ш), (3.9)
_ дz* + Х (к'и\
где
+о _ _
ф(k,z,и) = (Щі J dxdydt e—i(-kR—wt)ф(К, z,t),
— О
2q.
(З.10)
g(k, z, и) = i(Z~ujP(k, z, и) = -f S(z - zo)S(h V - и)
Здесь к = {к1, к2}, К = {х, у}, х2 = к2 — ш2/е2, а
е(г,ш) = е(ш)Н (—г) + И (г), (3.11)
где И(х) — функция Хевисайда, а е(ш) — диэлектрическая проницаемость металла (3.8), для которой обычно принимаются те модели, о которых мы говорили выше.
Уравнение (3.9) можно решить с помощью преобразования Лапласа для ф по переменной г (так как нас интересует решение для вакуума, то г ^ 0). На границе металл-вакуум (т. е. в плоскости г = 0) потенциал непрерывен вместе с тангенциальными производными фх, фу, а нормальная производная фх испытывает разрыв первого рода такой, что е(г ^ +0)фг(+0) = е(г ^ — 0)фх(—0).
С учетом сказанного, находим (выкладки опускаем)
ф(к, z, ш) = — 5(к\ V — ш) X
,-x\z-z0 \ + 1 е(ш) p-x(z+z0)
' +1 + е(ш) 6
(3.12)
Решение (3.12) состоит из двух слагаемых — первое описывает потенциал собственного поля заряда, которое становится бесконечно большим при г = г0, а второе — потенциал поля, созданного индуцированными поверхностными зарядами (электронами проводимости) металла — потенциал «изображения». Подставляя второе слагаемое из (3.12) в формулу для обратного преобразования Фурье
= / — f dkidk2 ei(kR—Ljt) ■ 1 — е(ш)
y_n j 2n J 1 + е(ш)
y_n K J (3.13)
ФшеЛх,у^,г)
y_n
—о — о
)(q$(kiV — ш) _ e—(z0+z)^k2—w2/c2
\/k2 — ш2/c2 y_n
после интегрирования по частоте ш находим (в полярных координатах к, 9: к\ = к cos 9, к2 = к sin 9) формулу (3.1).
В нерелятивистском случае в2 ^ 1 и на линии нахождения источника металлом индуцируется потенциал
со 2п
фтег(x, 0, zn, t) = 2П/ dk e—2z°kJ eik(x—Vt)cos9A(kV cos 9) d9. (3.14)
nn
Нужно отметить, что формула (3.14), полученная нами, совпадает вплоть до обозначений с формулами из [1, 2] для случая параллельного равномерного движения нерелятивистского (y(9) ^ 1) заряда над плоской поверхностью металла.
В низкочастотном приближении имеем
со 2п
in Г С d9 eik(x—Vt) cos 9
Фт«(х, 0 z<„ t) = — 2Ljdk i + n cos 9 . <3-15')
0
где А = V/2п о — характерная длина задачи. Формула (3.15) далее обычно исследователями преобразуется к виду, содержащему функцию Макдональда [1, 2] (это достигается тем, что в двойном интеграле вначале интегрирование производится по переменной к).
Целью данной заметки является вычисление (3.15) в виде, позволяющем исследовать поведение фтег как функцию скорости частицы. Приведение (3.15) к форме, которая
нетривиальным образом отличается от имеющихся в литературе, достигается явным вычислением интеграла по углам.
2. Рассмотрим интеграл
2п
/pikacos 9
----п-----T^dd, (3.16)
i + kb cos в ' 1
о
как функцию двух переменных ка, кЬ. Идея вычисления (3.16) заключается в составлении для I дифференциального уравнения по переменной а (а £ Ж) и его решения. Так как I(0, кЬ) = — 2п/л/Г I к Ь , I(ка, 0) — 2п3о (ка), где 30 (х) (функция Бесселя
нулевого индекса, нетрудно получить:
I(ka, kb) = —2nea/b
±a/b
1 ^ I J0 (kbt) eTt dt
Vl + k2b2
0
(3.17)
где верхний знак справедлив для a > 0, а нижний — для случая a < 0.
Покажем справедливость (3.17). Прежде всего заметим, что выражение (3.16), хотя и содержит мнимую единицу, вещественно (в этом легко убедиться, разделяя область интегрирования в (3.16) на два равных отрезка [0, п], [п, 2п], и заменяя переменную в во втором интеграле на в + п, получающаяся сумма двух интегралов оказывается вещественной). Очевидно, подынтегральная функция и ее частная производная по а в выражении (3.16) являются непрерывными функциями по переменным a и в для вещественных ka и kb. Поэтому, следуя теореме дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, справедливо выполнение операции дифференцирования по a (a G R) под знаком интеграла по в в (3.16). Именно,
2п
QI { д ( eika cos 9 \
— = —i ^l-------ri----тт de = {далее предполагаем b = 0}
da J da \i + kb cos в/
0 2п (3.18)
= bj егЫcos 9 (1в +bi (ka,kb).
0
Здесь предполагается, что a > 0. Отсюда имеем дифференциальное уравнение
^ — Ъ1 = TJo (ka). (3Л9)
Решая (3.19) методом вариации произвольной постоянной, с учетом представленных выше значений I(ka, 0) и I(0, kb), находим решение
I(ka,kb) = C(ka,kb)ea/b = ea/b 2п J J0(kbt)e 1 dt —
a/b
Osrr
(3.20)
t , 2п
Vl + k2b2 _
Действуя подобным образом для случая а < 0, находим вид дифференциального уравнения
д1 Г 2п
— 7 1 =----г~ 30(к|а|)-
d|a| b b
Так как функция Бесселя ,1о (ж) четна, можем написать
I = С-е—|а|/Ь = е—|а|/ь
= -2пеа/Ь
_л/1 + к2Ь2
|а|
— 2п ! <1о(кж)е+х/ь ((ж/Ь) + со о
—а/Ь
^ + J /0(Ш)е* (М
о
(3.21)
Таким образом, обе формулы (3.20) и (3.21) можно написать в виде (3.17), что и требовалось.
Подставляя (3.17) в (3.15) и интегрируя по переменной к, находим первую основную формулу нашей работы, которая описывает потенциал электрического поля, создаваемого электронами проводимости металла на линии движения источника в низкочастотном приближении.
Ртєі(ж, 0, го, і) = — 2-еа/х [ е ((и .
2хо .1 у/1 + А2и2
а/Х
(3.22)
Здесь а — х — УЬ, \/2хо — Л — характерный параметр задачи.
Зависимость потенциала от х позволяет найти тангенциальное электрическое поле <Х — (—Ур)х и, соответственно, силу «трения» Рх — д<х. Вычисляя <х с помощью формулы (3.22), находим, что
Ех(ж, 0,го,і) = —
д X
(2го)3
еа/Х
а/Х
ие и (и (1 + А2и2)3/2'
(3.23)
Это вторая основная формула нашей работы. Отсюда получаем, что сила трения в месте нахождения заряда-источника равна
д2У
е и ёи
(2го)32па о (1 + А'2и2)з/2'
(3.24)
Отметим, что интегралы в (3.22) и (3.23) могут быть выражены через функции Вебера и Неймана нулевого индекса от Л. Покажем это, используя альтернативное представление поля (3.23):
Ех(ж, 0, го,і) = —
д
2го X
1
е
а/Х
л/1 + (я/2го)2 •/ у/1 + А2 и2
а/Х
(3.25)
Тогда из (3.24) легко найти значение индуцированного поля в точке нахождения источника
Ех (а) |а=о = —
д
2го X
1
е и (и у/1 + А2и2
(3.26)
где интеграл может быть выражен в виде [5]:
СО СО
Г е—и (и = 1 [ — -х-іЗІгг о л/1 + Х2и2 А о
п ~ ~
(г = — [Ео(1/ А) + Мо(1/А)],
(3.27)
О
О
О
О
О
где Ео(х) и Жо(х) — функции Вебера и Неймана соответственно. Поэтому для силы трения находим точное выражение
г—— ^ {2Л [Ео(Г/Л)+~о(г/ Л)]+г} • (328)
которое можно считать третьей основной формулой нашей работы.
Из формулы (3.28) несложно получить предельные случаи малых (у ^ 0, т. е. У/Апохо ^ Г) и больших скоростей (у ^ то, т. е. У/Апохо > Г) движения источника.
В случае медленного движения, используя асимптотику функции Вебера и Неймана при больших значениях аргумента [5] (с. 285)
2/19 \
Ео(х) + №°(х) *_ - ^ — ?
находим в главном порядке по скорости
Р — _ —____________У
2хо А Г6пох3 ’
что в точности совпадает с формулой (40) из работы [6]. При больших скоростях движения, для которых еще справедливо нерелятивистское приближение, нетрудно получить, имея в виду асимптотику функций Вебера и Неймана [5] (с. 194, 285),
Ео(х) + Жо(х) ~----( х + 1п —] , |х| ^ Г.
п \ ^х /
7 — постоянная Эйлера, следующее выражение, справедливое в главном порядке по скорости
р — _ — — пд2о
2хоА хоУ '
3. Формулы (3.22), (3.23) и (3.28), хотя и относятся к хорошо изученному динамическому взаимодействию заряда с металлом [1, 2], в приведенной нами форме, насколько нам известно, никем не устанавливались, и поэтому являются оригинальными. На наш взгляд, они важны не столько сами по себе, сколько при использовании в многочастичной задаче, когда вблизи поверхности металла движутся пучки заряженных частиц или нейтральных атомов со спонтанными дипольными моментами и могут пользоваться при нахождении суммарного поля принципом суперпозиции. При этом формулы (3.22) и (3.23) становятся основой для построения решения и их замкнутый вид является, по-видимому, преимуществом.
Литература
1. Дедков Г. В., Кясов А. А. Электромагнитные и флуктуационно-электромагнитные силы взаимодействия движущихся частиц и нанозондов с поверхностями. Нерелятивистское рассмотрение. (Обзор) // ФТТ.—2002.—Т. 44, вып. 10.—С. 1729-1751.
2. Дедков Г. В., Кясов А. А. Флуктуационно-электромагнитное взаимодействие нейтральной движущейся частицы с поверхностью конденсированной среды: релятивистское рассмотрение. (Обзор) // ФТТ.—2009.—Т. 51, вып. 1.—С. 3-27.
3. Кесаев В. И., Малиев И. Н. Взаимодействие цепочки движущихся зарядов с идеальным проводником // Владикавк. мат. журн.—2009.—Т. 11, вып. 3.—С. 10-14.
4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред.—М: Наука, 1982.—622 с.
5. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции.—М: Наука, 1977.—342 с.
6. Дедков Г. В., Кясов А. А. Флуктуационно-электромагнитное взаимодействие движущихся частиц с плоской поверхностью // ФТТ.—2001.—Т. 43, вып. 1.—С. 169-176.
Статья поступила 1 апреля 2010 г.
Кесаев Виктор Иванович Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, доцент кафедры теоретической и мат. физики РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 24
Малиев Игорь Нохович Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, доцент кафедры теоретической и мат. физики РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 24
ON THE THEORY OF INTERACTION BETWEEN A MOVING POINT CHARGE AND A METAL Kesayev V. I., Maliev I. N.
New formulas for the potential and the longitudinal projection of an electric field induced by a metal in vacuum are derived in the case of nonrelativistic point charged particle is uniformly moving above a plane metallic surface parallel to it. Also it is obtained an new expression for the «friction» force between the charge and the metal is also obtained.
Key words: moving point charged particle, plane surface, dielectric susceptibility, low-frequency approximation, potential, «friction» force.
