К решению одной задачи выпуклого программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕМА 2. В условиях и обозначениях леммы для произвольного

00

степенного ряда /(х)= с целыми л-адическими коэффициентами,

V = 1

сходящегося на компакте V, имеют место следующие изометрические эквивалентности:

1. х" + я ух"/(х) = х " на компакте V;

2. е" + п "е "/(е"' )= в" на компакте Е.

Д о к а з'а т е л ь с т в о. В силу теоремы 1 существуют такие изометрии стих соответствующих компактов УиЕ, что

\/хе¥: х" +п"х"/(х)=о"(х)

и

УееЕ: е"+куеп/(е-,)=тп(е).

Таким образом, утверждения 1 и 2 доказаны.

Примечание. Теорема 2 находит многочисленные приложения в теории рациональных тригонометрических сумм, диофантовом анализе и в теории интегрирования по аддитивной мере Хаара в р-адических полях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ленской Д.Н. Функции в неархимедовски нормированных полях. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1962.

2. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1972.

УДК 519.853.3

С. И. Дуд о в, II. В. Златорунская

К РЕШЕНИЮ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ1

Пусть I) - заданный выпуклый компакт из Ч\р, функция п{х) удовлетворяет на *Я р аксиомам нормы. Обозначим через

£2 = 9?Р\Д Д(х) = тахп(х-у),

уей

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 98-01-00048.

P D (*) = min и(* - У\ Pix) = Р D ix) - Pn (*)• yeD

Рассмотрим следующую задачу

Ф(х) = R(x) + Р(х) -» min . (1)

х<=ЧЯр

Известно [1,2], что к этой задаче сводится задача наилучшего приближения выпуклого компакта D шаром в норме «(•). Легко видно, что функция R(x) является выпуклой и, как показано в [2], функция Р(х) также выпукла и конечна на И'. Поэтому задача (1) является задачей выпуклого программирования. Получим необходимое и достаточное условие ее решения.

Будем далее обозначать через QR (x,D) = {у е D/п(х - у) = R(х)}, Qp(x,A) = {z е A/n(x-z) = pA(x)}, дп(х) - субдифференциал нормы п{-) в точке х, K(x,D) - конус возможных направлений множества D в точке х,К + - сопряжение конуса К, со А выпуклую оболочку множества А, (.,.) - скалярное произведение, и (х) = max (v,x).

n(v)Slx '

Для получения условий оптимальности в задаче (1) необходимо располагать дифференциальными характеристиками выпуклых функций R(x) и Р(х), т.е. их субдифференциалами.

Используя теорему 3.6 из [3], а также замкнутость множества QR(x,D) и полунепрерывность субдифференциала нормы дл(-), как многозначного

тр

отображения: ЧЯР —> 2 , нетрудно доказать следующий факт.

ТЕОРЕМА 1. Для субдифференциала функции R{x) справедлива формула

Щх) = со{дп(х - у) / у е QR (х, D)}, Vx е 9?(2)

В работе [4] доказано, что субдифференциал выпуклой функции Рд(х) можно выразить в виде

dpD(x) = 8п(х - у) П -K+(z,D), Vzeßp(x,L>), хеЯ", (3)

а супердифференциал вогнутой на множестве D функции ра (х) в виде

dpnix) = co{v е К+(z,D)/п'(v) = 1, zeQp(x,Q)}, VxeintD. (4) Используя формулы (3), (4), нетрудно показать, что справедлива

ТЕОРЕМА 2. Субдифференциал выпуклой функции Р(х) можно записать в виде

я«* л \dn{x-y)V[-K+(z,D), VzeQp(x,D),ecmxeD, д£.(х) = \ (5)

[co{v е -К (z, D)/п (v) = l, z е gp(x,Q)}, если xeD.

Теперь сформулируем основной результат.

ТЕОРЕМА 3. Для того, чтобы точка х0 была решением задачи (1) необходимо и достаточно, чтобы

ор е ЭФ(*0) 3 ЗЕ(х0) + дР(*о ), (6)

где Ж(х0) и дР(х0) определяются формулами (2) и (5). Доказательство. Функция Ф(х), как сумма выпуклых и конечных функций, сама является выпуклой и конечной. Ее субдифференциал, по теореме Моро-Рокафеллара, есть алгебраическая сумма дЩх) и дР(х). Поэтому, в соответствии с известным фактом из выпуклого анализа (см., например, [3]), необходимым и достаточным условием решения задачи (1) является включение (6).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никольский М.С., Силин Д. Б. О наилучшем приближении выпуклого компакта элементами аддиала // Тр. Мат. ин - та им. В.А. Стеклова. 1995. Т. 211. С. 338 - 354.

2. Златорунская ИВ. О редукции задачи равномерной оценки выпуклого компакта шаром произвольной нормы к задаче выпуклого программирования // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун - та, 1999. С. 116 - 120.

3. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1982.

4. Цудов С.И. Субдифференцируемость и супердифференцируемость функции расстояния // Матем. заметки. 1997. Т. 61, № 4. С. 530 - 542.

УДК 511.335

Л. А. Евтеева, Н. И. Климов, Ю. В. Славина

АСИМПТОТИКА СУММ С ФУНКЦИЯМИ МЁБИУСА И ЭЙЛЕРА

При применении метода решета Сельберга к проблеме простых чисел арифметической профессии используются асимптотики сумм, содержащих функции Мёбиуса р. и Эйлера (р . Основное переменное действительное г -> да, с - произвольно большая постоянная, к - натуральный параметр, р -простое число, ^ = ст + ¡7.

ТЕОРЕМА 1 (Климов - Славина). Пусть

к = о(гс ,

тогда

удовлетворяет условию (1)

= I м

М)=1 <Р\П)

к