О наименьшем по объему шаровом слое, содержащем границу выпуклого тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.853

М. А. Осипцев, С. И. Дудов

О НАИМЕНЬШЕМ ПО ОБЪЕМУ ШАРОВОМ СЛОЕ, СОДЕРЖАЩЕМ ГРАНИЦУ ВЫПУКЛОГО ТЕЛА

1. Пусть D - заданное выпуклое тело из конечномерного действительного пространства RP, а n(ж) - некоторая норма на RP. Рассмотрим задачу

к (ж) = Rp(x) — ^(ж) ^ min . (1)

xeD

Здесь функции

R(x) = maxn(x — y), g(x) = minn(x — y),

yeD yen

где Q = Rp\D, выражают соответственно радиус наименьшего шара нормы n( ) с центром в точке x, содержащем тело D, и, если x e D, радиус

D

Объём р-мерпого шара радиуса г нормы n( ) можно выразить в виде 7rp, где множит ель y зависит от выбранной нормы, но не зависит от г. Поэтому задача (1) требует построения наименьшего по объёму шарового

D

ется давно известная (см., например [1, 2]) задача о минимальном «по

D

R(x) — g(x) ^ min. (2)

xeD

Известно [3], что функция R(x) является выпуклой на всем пространстве Rp функцией, а функция ^(x) является вогнутой на D. Поэтому

D

является задачей выпуклого программирования. В то же время целевая функция к(x) задачи (1), как показывают примеры, может быть не выпуклой и не вогнутой, и решения задач (1) и (2) могут быть различными.

Цель статьи - исследовать дифференциальные свойства функции k(x) и получить необходимое условие решения задачи (1). R(x)

ференцируема по любому направлению д e Rp в любой точке x e Rp, причём [4] справедлива формула

dR(x)

—-— = lim a-1 [R(x + ад) — R(x)] = max (v,g), (3)

дд а|0 L V J' V П vedR(x) ' '

где dR(x) - субдифференциал функции R(x) в точке x.

Известно также [3], что функция о(х) дифференцируема по любым направлениям всюду на Rp и при этом для внутренних точек тела D, то есть для x G intD справедлива формула

до(х)

——= min {w,g), (4)

dg wedg(x)

где 3q(x) - супердифференциал вогнутой на D функции q(x).

Отметим, что формулы для dR(x) и дд(х)7 выраженные через характеристики тела D и используемой нормы n(-), известны [3].

Теорема 1. Функция к(х) дифференцируема по любому направлению g Е Rp всюду на Rp, причём

д к(х)

= max (v,g), (5)

dg vedx(x)

где

p(Rp l(x)3R(x) — gp 1(x)8q(x)), если x E intD, pRp—l(x)3R(x), если x E intD.

Доказательство. В силу (3) имеет место асимптотическая формула

п/ ч ч dR(x)

R(x + ag) = R(x) + a—---h oi(a, g),

ug

гДе ^ 0 ПРИ a i 0. Отсюда получаем:

Rp(x + ag) = Rp(x) + apRp— (x)дR^ + 02(a, g),

где ^ 0 при a i 0. А следовательно, используя (3), получаем

формулу

dRp(x)

—--= max (v,g). (7)

dg vEpRP-1(x)dR(x)

Нетрудно также сделать вывод о том, что функция q(x) дифференцируема всюду по любому направлению [4]. При этом, поскольку q(x) = 0 для точек x E intD., то в этих точках её производная по направлениям равна нулю. А в точках x E intD, как это вытекает из (4), имеет место формула

dgp(x) . . , Л

—^-= mm_(w,g) (8)

dg wEpgp-1 (x)dg(x)

В итоге, поскольку

дк(х) _ дЯр(х) д^(х)

'

из (7) - (8) получаем (5) - (6). Теорема доказана.

Замечание. Теорема 1 говорит, о том, что функция к(х) субдиф-ференцируема, в смысле определения В. Ф. Демьянова - А. М. Рубинова [5], всюду на

Используя необходимое условие минимума субдифференцируемой функции на выпуклом множестве [5,гл. 5], получаем в качестве следствия теоремы 1 утверждение.

Теорема 2. Если точка х0 € Б доставляет минимальное значение функции, к(х) в задаче (1), то справедливо соотношение

дк(х0) р| К+(х0,Б) = 0,

где К +(х, Б) - сопряжение конуса возможных направлений множества Б в точке х, а дк(х) определяется формулой (6).

Работа выполнена при, финансовой поддержке РФФИ (проекты, 1301-00238, 13-01-00175).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 .Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М,: Фазис, 2002.

2.Дудов С. И. О оценке границы выпуклого компакта шаровым слоем // Изв. Сарат. ун-та. 2001. Т. 1. 2. С. 64-75.

3.Дудов С. И., Златорунская И. В. Равномерная оценка выпуклого компакта шаром произвольной нормы // Мат. сб. 2000. Т. 191, №10. С. 13-38.

4. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М,: Наука, 1980.

Ь.Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М,: Наука, 1990.

УДК 519.95

С. И. Поликарпов

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АВТОМАТА РЯДОМ ФУРЬЕ В ЗАДАЧАХ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ

В данной статье предлагается новый способ задания математических моделей конечных дискретных динамических систем на основе представления законов их функционирования конечными рядами Фурье. Такие