Асимптотика сумм с функциями Мебиуса и Эйлера Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕМА 3. Для того, чтобы точка х0 была решением задачи (1) необходимо и достаточно, чтобы

ор е ЭФ(*0) 3 ЗЕ(х0) + дР(*о ), (6)

где Ж(х0) и дР(х0) определяются формулами (2) и (5). Доказательство. Функция Ф(х), как сумма выпуклых и конечных функций, сама является выпуклой и конечной. Ее субдифференциал, по теореме Моро-Рокафеллара, есть алгебраическая сумма дЩх) и дР(х). Поэтому, в соответствии с известным фактом из выпуклого анализа (см., например, [3]), необходимым и достаточным условием решения задачи (1) является включение (6).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никольский М.С., Силин Д. Б. О наилучшем приближении выпуклого компакта элементами аддиала // Тр. Мат. ин - та им. В.А. Стеклова. 1995. Т. 211. С. 338 - 354.

2. Златорунская ИВ. О редукции задачи равномерной оценки выпуклого компакта шаром произвольной нормы к задаче выпуклого программирования // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун - та, 1999. С. 116 - 120.

3. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1982.

4. Дудов С.И. Субдифференцируемость и супердифференцируемость функции расстояния // Матем. заметки. 1997. Т. 61, № 4. С. 530 - 542.

УДК 511.335

Л. А. Евтеева, Н. И. Климов, Ю. В. Славина

АСИМПТОТИКА СУММ С ФУНКЦИЯМИ МЁБИУСА И ЭЙЛЕРА

При применении метода решета Сельберга к проблеме простых чисел арифметической профессии используются асимптотики сумм, содержащих функции Мёбиуса р и Эйлера <р . Основное переменное действительное г -> да, с - произвольно большая постоянная, к - натуральный параметр, р -простое число, ^ = ст + ¡7.

ТЕОРЕМА 1 (Климов - Славина). Пусть

к = о(гс ,

тогда

удовлетворяет условию (1)

= I м

М)=1 <Р\П)

к

Доказательство. При ст>1 аналитическая производящая функция

00 „2(уЛ

р(*,к)= X. -Я^-вЬкШ

п=1,(л,*)=1ф(и)и1

где 1^(5) - функция Римана,

р/к

1

Р^,к)= П />.(/>,*)= 1

1 +

1

1

1-

V Р *

\

(р-1)р° {р-1)р2\

- абсолютно и равномерно относительно параметра к сходящееся при ст > ст, > 1/2 бесконечное произведение.

Обобщая фундаментальную формулу [1, формула (14), с. 43], получим при ст0 > 1

1 2ти ■ •

К)

где А:)=«_1(5 + 1)~'р(5,А:); законность необходимых преобразований обеспечивается абсолютной сходимостью интеграла ввиду наличия множителя 52 в знаменателе.

Перенесём контур интегрирования налево от полюса в точке ст = I, например, на прямую Ст[ =3/4; это возможно, так как при фиксированных г, к остаток интеграла по бесконечному контуру по модулю <е, е>0, за счёт оценки | С ($)| и множителя я~2. По теореме Коши о вычетах

2 1 2 к ф(*)л'(а,)

Для оценки I (г, к) основное - оценка к) : при условии (1)

ЦмьЕ^Е^Цм*))-^').

<//А

' И ' \<Ика у

где т(к) - число делителей, е > 0; при г-^оо /(г, к)—у 0 за счёт множителя

Переход к ЗДг, к) осуществляется обобщением, что при условии (1) возможно (!), известной теоремы С из кн. [1, с. 48].

ТЕОРЕМА 2 (Евтеева - Климов). При условии (1) из теоремы 1

52М)= X ц2(и)~ П

л£г,(л,*)=1 р,(р,к)=]

н:

Ф (*)

г.

Доказательство. Используется по методу Ландау-Перрона [2, с. 427, теорема 3.1; с. 70 - 72, теоремы 3.2, 3.3] прямоугольный контур Г с вершинами (а - /Т, а + \Т, Ь + /Т, Ь - гТ), содержащий полюс производящей

функции в точке ст = 1, где выбрано а = 3/4,6 = 1 + (1пг)-1,Г= -¡ж. Имеем

6 + /Г

52{г, к)= -— Г --<?*(*, кХ{з)сЬ + О

2Л1 1 5

ь-л

Т(Ь-1)

где (7*(.у, ^ (у, Р К5' к) - абсолютно сходящееся при

ст>1/2 бесконечное произведение; по теореме Коши последний интеграл выражается через

пиС* (в, *)<&)—

* яД-,11 Р-

Ф {к).

и интегралы по остальным сторонам контура Г. Эти интегралы оцениваются как и в доказательстве теоремы 1. На вертикальном участке понижающим множителем является г ~''4 + Е. На горизонтальном участке понижающим

множителем является Т

Ь+1Т

-1.

а+1Т 5

ТЕОРЕМА 3 (Климов). Пусть к, г -> оо таким образом, что

11п р

:о(1пг),

(2)

Р

тогда имеют место асимптотические формулы для (г, к\ Б2(г, к), сформулированные в теоремах 1 и 2.

Доказательство. Использована, как в доказательстве теоремы 1, фундаментальная формула; к) разбивается натри суммы

П.М- I ^

I .

м

м

Для первого слагаемого используется контур ст = ст0, тогда в знаменателе велико с1а 0 ; для второго и третьего слагаемых контур интегрирования переносится на прямую ст = о,, 1 /2 < ст, <1, здесь необходимо условие (2).

Примечания. 1. Это доказательство более громоздко, чем доказательство теоремы 1, но значительно проще доказательства этой теоремы переносом

контура на ст = 1, которое только намечено, но почти не приведено в работе [3, лемма 1, доказательство леммы 6а].

2. Введение условия (1) вместо условия (2) существенно упрощает доказательство оценки сверху для простых чисел арифметической прогрессии в работе [3, теорема 1].

3. Ранее К. Исеки [4, лемма 6] получил асимптотику для

k<z.

n£z, (п,к)=1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ингам А. Е. Распределение простых чисел. М.; Л., 1936.

2. Прахар К. Распределение простых чисел. М., 1967.

3. Климов НИ. Малое решето // Матем. заметки. 1980. Т. 27, вып. 2. С. 161 - 174.

4. Iseki К.A Divisor Problem involving Prime Numbers // Japanese J. of Mathematics. 1951. Vol. 21. P. 67 - 92.

УДК 517.928

И. И. Ефремов

АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ИНДЕФИНИТНЫХ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

1. Введение. Пусть на отрезке [0,1] задан линейный квазидифференциальный (к.д.) оператор Ь, определяемый к.д. выражением

Опу = у[п\ (1)

где

ОкУ = У*1 = + ЪРк]УШ. к = п, и-1,... ,1,

ах ;=0

О0у = у[0]=у, Рк]еЬ[ 0,1] и линейно-независимыми нормированными [1, с. 65] краевыми условиями

илу) = им(у) + им = 0, у = 1,2, ...и, (2)

иу о (У)=+ ' «V ]УШ (0),

7=0