CC BY
22
МАТЕМАТИКА
УДК 511
ПРИЛОЖЕНИЕ ВЕСОВОГО РЕШЕТА К ОЦЕНКЕ НАИМЕНЬШЕГО ПОЧТИ ПРОСТОГО ЧИСЛА ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОТ ПРОСТОГО АРГУМЕНТА
Е.В. Вахитова, С.Р. Вахитова
Воронежский государственный университет, пл. Университетская, 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация. В работе получена оценка наименьшего почти простого числа в полиномиальной последовательности от простого аргумента.
Ключевые слова: метод, решето, веса, число, последовательность, оценка.
Введение. Рассмотрим задачу об оценке наименьшего почти простого числа в конечной последовательности A значений неприводимого полинома Ф(р):
A = {Ф(р)\р < x}, (1)
где р - положительное простое число, x - достаточно большое фиксированное положительное число, Ф(р) = käpä + lä, g,k,l G N.
Пусть Pr - целое число, имеющее в разложении r положительных простых множителей с учетом их кратности (r G N,r > 2). Такое число называется r-почти простым. Обозначим посредством Pr* наименьшее r-почти простое число в последовательности A. Для последовательности A, определяемой (1), соответствующее ей число Pr* является функцией от параметров k,l и д. В настоящей работе нас будет интересовать верхняя оценка числа Pr* для последовательности (1) при достаточно больших значениях k. Первый результат такого рода был получен в 1965 году Левиным Б.В. ([1], теорема 4) для частного случая рассматриваемой задачи при д = 2,1 = 1, а именно, было доказано, что для Ф(р) = k2p2 + 1, k G N имеет место оценка:
P7* < k7'6,
и, если справедлива расширенная гипотеза Римана, то P5* < k31'4. В настоящей работе показывается, что при д G N, 2 < д < 8 также имеет место оценка такого же типа Pr* < kB, где B - постоянная, не зависящая от k. Для решения этой задачи применяется метод одномерного решета Сельберга с весами. При этом мы используем веса нового типа, изученные первым автором в работе [3]. Эти веса аналогичны весам Бухштаба А.А., которые он ввел в [2], когда в 1985 г. анонсировал новый тип весового решета. Заметим, что для получения оценки наименьшего почти простого числа можно также применять
и метод решета Бруна с весами Бухштаба нового типа, рассмотренный первым автором в монографии [4] (гл. 6).
Получаемая в нашей работе оценка является следствием оценки снизу числа г-почти простых чисел в последовательности А. Она получается из следующего утверждения, которое составляет основной результат работы.
Теорема 1. Пусть Ф(р) = к9р9 + I9 - неприводимый полином, к,1 € N р - положительное простое число, д € N, 2 < д < 8,р(р) - число решений сравнения Ф(п) = 0(modр) для п € N, р(р) < р для всех р, а к и I такие, что р(р) = 0, если р/Ф(р) и р(р) = 1, если р|Ф(р). Тогда наименьшее значение Ф(р), имеющее не более 2д + 1 простых множителей с учетом их кратности, не превосходит кв, где
Я д. 12д2 В = д +
5, 5797 - 0, 6д
В частности, наименьшее значение Ф(р) = к2р2 + 1, имеющее не более пяти простых множителей с учетом их кратности, не превосходит к
12,96
Очевидно, что Теорема 1 дает оценки для поставленной выше задачи при всех д, удовлетворяющих неравенству 2 < д < 8.
1. Вспомогательные сведения. Будем, далее, рассматривать последовательности А, удовлетворяющие следующим условиям.
1). Существует постоянная С1 > 1 такая, что
для любого простого числа р, где ш(р) - мультипликативная функция такая, что —т^-Х"
а
является приближением числа |А^|, |А^| = |{ага € А|ага = 0(modа)}|, а, п € N и ц(а) = 0 (р(п) - функция Мёбиуса), где число X > 1 зависит от х.
2). Существуют постоянная С2 > 1 и параметр Ь такие, что
-Ь< > 1пр - 1п - < С2 ,
р и
и<р<€
где Ь > 1 и не зависит от и и V, 2 < и < V.
3). Существуют постоянные а (0 < а < 1), Со > 1, С3 > 1 такие, что
2 / « I ^ / ^ « I „ ^ X
ш(а)
, с X '
й<Ха /1пс0 X
где X > 2, Сз = Сз(С), ЩХ,с1) = \АА--- число простых множителей в
а
разложении а с учетом их кратности.
Для доказательства основного результат нам понадобится следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть А -конечная последовательность значений неприводимого полинома от простого аргумента р, р < х, для которой выполнены условия 1) - 3) и а, Ь, с д' - действительные числа, причем, аа — с < д', 1 < Ь < с < аа, д' + 1 < аа < 2д' + 2, (г + 1)с — Ма = 2с — Ь — 1, 2с — Ь — 1 > 0. Тогда имеет место следующая оценка:
1 - ^Г(/(а'а)~ В{а,а,Ъ,с,д')\ х
а„еА Ка„)<т
1 _ Р(Р) 1 _ ~ 1
^П^П^Ё (2)
р/Ф(0) 1--р|Ф(0) 1--
рр
для достаточно больших х, где функция В(а,а,Ь,с, д') определена равенством:
аа— 1
л 1 [ Р(х)(1г 1
В (а, а, Ь, с, а ) = - / —^--1---- х
1 ^ ; 2 У аа- z 2с - Ь - 1
(Э'-1)с.а+1
а'
(Э'-1)с.а + 1 / (э/-1)дд + 1г
а' 9 аа а'аа
х |(с —6) [ [ Р{;у-{аа-с)<1;+ [ ( [ +
{ } аа — х У аа — х ] \ ] V — г/ V
а' аа—с а'2аа а'
аа— 1
2а-а У + +
(Э'-1)с.а + 1 аа — 1
(э'-1)аа+1
+ ^ / --<3>
9
7 - постоянная Эйлера (7 = 0, 57...), а постоянная М определяется из выполнимости оценки выполнимости оценки |ап| < Xм для всех ап Е А, где f (и), Р(и) - функции решета.
Заметим, что о свойствах функций решета можно узнать из монографии [5], гл. 6 и 7.
Теорема 2 доказана в работе [4] (теорема 5) при д' = 3. В общем случае доказательство проводится аналогично.
2. Тождества для В(а,а,Ь,с, д'). Докажем два тождества.
аа—а
Лемма 1. Пусть функция В (а, а,Ь, с, д') определена равенством (3). Тогда имеет место равенство:
аа-1
В(а, а, Ь, с, д') = \ \(с-Ь) [ ^^ + 2с — Ь — 1 [ ,/ аа — г
9'
аа-1 9
Ь — 1 С Е(г)аг С . г — (аа — с) ,
+—— / + / Е^)-^-Ц2+
2 ] аа — г ^ аа — г
(д'-1)аа.+ 1 аа—с
9'
{д'-1)аа+1 аа 9'аа
+ / ( / *->ИУт + 4 ^
'2 9
д аа У
(9'-1)аа+1
где
£>1 = ¿-Р{д')\-аа£--- 1п (аа - 1) + —- 1п ( аа(д' - 1) + 1 ] +
аа [ д' 2 V )
+ (аа9 ^ 1 - Ъ - 1п д' + ^6 + 1 - ^^ 1п (аа - д') |. (5)
□ Преобразуем первые два интеграла из равенства (3), отделив общий множитель 1/(2с — Ь — 1). Тогда для суммы интегралов 31 + 32 получим следующее равенство:
аа-1 аа-1
п Г Е(г)аг Ь — 1 Г Е(г)йг ] аа — г 2 ] аа — г
9' {д'-1)аа+1
д'
Преобразуя пятый и шестой интегралы из равенства (3), получим соответственно:
д' ^ Г ✓ , ч, (аа — 1)2 , аа — 1 ]
Зь = ТГ-П9 ) ~ 2аа - Ъ - 1 1п ) 1 + 2аа 1п-— , 7
2аа [ аа(д' — 1) + 1 д' )
т д' т?( а/ ( / ш (аа(д'- 1) + 1)(аа-д') , 9' ~ 11 (о^ - д')д' \ , ,
36 = —Р(д)< -{аа -Ъ- 1) 1п---—--Ь аа--— У (8)
аа { (аа — 1)д' д' (аа — 1) )
Тогда для суммы этих интегралов находим:
З5 + 36 =
д' ¡\[ д' — 1 ь +1 / ' \
— (д ) л —аа-ш (аа — 1) Н--ш аа(д — 1) + 1 +
аа { д' 2 V )
+ ^аа9 ^ 1 - Ь - 1п д' + ^6 + 1 - у ^ 1п (аа - д') |. (9)
Таким образом, для суммы интегралов из равенства (3), на основе (6) и (9), получается выражение:
В(а, а, Ь, с, д') =
аа—1 аа—1
1 С, [ Р(х)йг Ь — 1 Г Р(хЫх
(С~Ь) / + —г- / +
2с — Ь — 1 [ д аа — х 2 д аа — х
9' {д'-1)аа+1
9'
{д'-1)аа+1
а' аа а'аа
[ п/ — (аа — с) , Г ( [ . ¿х
+ / Рх---+ / / Рх- —+
У аа — г д \ У V — ^ V
««-с д'2аа 9'
(а' — 1)аа+1
+—-- 1п (аа — 1) + 1п ( аа(д' - 1) + 1 ) +
аа д' 2
+ ^аа-—---Ъ — 1п д' + ^Ь + 1 — ^^ 1п (аа — д')
Учитывая определение (5) величины из (10) следует (4). В
Лемма 2. Пусть функция В (а, а, Ь, с, д') определена равенством (3) и д' = 3. Тогда имеет место равенство:
аа— 1
В(а, а, Ь, с, 3) =-\-((с-6) [ ^^ +
1 ; 2с - Ь - 1 1 1 ./ аа - х
2аа+1
аа-1 аа Заа.
+ Ц1 Г + / Г I (п)
2 д аа — х д \ д V — ^ V
2аа1 Эаа. 3
3 2аа+1
где
_ 2е7 Г 2аа
Р>2 =-< с ш с + (аа — с) ш (аа — с)--— ш (аа — 1) +
аа 3
1п (2аа + 1) + (ъ + 1 - с - ^ 1п (аа - 3) + (с - Ъ - 1 - у ) 1пЗ (12)
□ Для В(а, а,Ь, с, д') выполнено равенство (4) леммы 1. Поэтому при значении параметра д' = 3 получим:
В(а, а, Ь, с, 3) =
аа-1 аа-1
1 /(с_&) [ | ъ~1 [ РЩ- |
2с — Ь — 1 [ ] аа — г 2 ] аа — г
3 2аа+1
3
2аа.+1
3 аа 3 аа.
[ ^ — (аа — с) , Г ( [ . ¿г \ ¿V + / Г^)---/ / Р^)- — +
J аа — г J \ J V — г] V
аа—с 9аа 3
2аа+1
+—Г(3) {--ска 1п (ска- 1) + 1п (2а<а + 1) + аа 3 2
+ - Ъ - 1п 3 + (ь + 1 - ^^ 1п (аа - 3)
Так как Е(и) = 2е7/и при и < 3, то Е(3) = 2е7/3, и поэтому третий интеграл в этой формуле можно преобразовать следующим образом:
3
7.= [ ^.Г " (0'а " ^ = 2е7( (- Л - V (13)
} аа — г [\аа ) аа — с аа с )
аа-с
Следовательно, учитывая это равенство, получим
аа-1
В(а, а, Ь, с, 3) =-\-((с-6) [ +
1 ; 2с — Ь — 1 \ } ] аа-2
3
•2аа±1
аа-1 аа 3 аа
+Ь_1 г г / г +
2 ] аа — г 3 \ 3 V — г) V ]
2аа.-\-1 9аа. 3
3 2аа+1
3 2е7 Г 2 , . . Ь + 1 п .
Ь>2 =--^ —о'а ш (аа — 1) Н--ш (2аа + 1) +
аа 3 3 2
+ - Ъ - 1п 3 + (ь + 1 - ^^ 1п (аа - 3) | +
~ , , с \ , 3 с ^ аа — 3 + 2е11--1 1п---1п-
где
аа аа с аа с
Это выражение для В2, очевидным образом, преобразуется к виду (12). В
Следствие. Для функции В(а,а,Ь,с, д') при д' = 3, аа = 6. на основании Леммы 2, после элементарных преобразований, получается формула:
В(а, а, Ь, с, 3) =
1
2с —Ь — 1
. /Т(г)&г
13,
5 6 18и
2 ] 6 - х
13 54 3
3 13
v — x / v
Ь + 1
е>'2 = —\ с1пс + (6 - с) 1п (6 - с) - 41п5 + 1п 13 - 41п3 2 3 2
(15)
(16)
3. Доказательство теоремы 2. Оно основано на результатах работы первого автора [3]. Для последовательности А, определенной равенством (1), выполнены все условия, накладываемые на последовательность в случае одномерного решета. Согласно теореме 2 для числа элементов ап из последовательности А , имеющих в своем разложении не более г простых множителей с учетом их кратности, имеем следующую оценку:
£
а„еА, и(а„)<т
1
ае
-1
(аа) — В(а, а, Ь, с, д')) х
х
П
1 р{р) р
п
р|Ф(0)
1 _ р(р)~ 1
р- 1
х
1-±
р
1п х
для достаточно больших х.
Заметим, что если в теореме 1 величина f (аа) — В(а, а,Ь, с, д') > 0, то существуют числа Рг в последовательности А. Кроме того, в методе решета наименьший положительный простой делитель числа Рг будет больше х1/а и выполнено условие Ма = Ь + (г — 1)с + 1 или, в эквивалентной форме (г + 1)с — Ма = 2с — Ь — 1.
Осуществим теперь выбор параметров одномерного решета Сельберга с весами Бух-штаба нового типа. Выберем а из условия аа = 6, а = 1/2, г = 2д + 1. Введем функцию Н(Ь,с) = 3е-7(f (6) — В(а,а,Ь,с, 3)). Для оценки этой функции воспользуемся равенством (15) и числовыми оценками входящих в эту формулу определенных интегралов, связанных с функциями решета 31 < 1,1343644, 32 < 0, 5132943, З3 < 0,1373497 и приближениями для числовых коэффициентов в выражении для В2. Тогда для В2 получим формулу с избытком
В'
с 1п с + (6 — с) 1п(6 — с) + 1, 282475 Ь — 9, 549725
2
1
е
и, в соответствии с ней и указанными числовыми оценками интегралов, - следующее неравенство:
1 е((
В(а,а,Ь,с, 3) <-:--с1пс+(6-с)1п(6-с) +
2с Ь 1 3
+ 1, 9107007 с — 0,1959345 Ь — 9, 7508227
верное при Ь > с и с > 1. Следовательно, при тех же условиях, для Н(Ь, с) имеет место неравенство
Я(6, с) >-\-{1,4576291с- 1,48823046 + 8,0666578-
2с — Ь — 1
—с 1пс — (6 — с) 1п(6 — с)} ,
где мы воспользовались f (6) > 0, 99987229 и 3е-7 = 1, 68438 с избытком.
Выберем параметры Ь и с так, чтобы функция Н(Ь, с) была возможно меньше, оставаясь положительной. При с = 5, 7 имеем
Н(Ь; 5, 7) > -^—-{6, 815678315 - 1, 48823056} > 0.
10, 4 — Ь
Тогда при Ь = 4, 5797 выполняется неравенство: Н(Ь, с) > 0, 000005452 > 0.
Потребуем теперь выполнимости связи (г + 1)с — Ма = 2с — Ь — 1, Р* < кв, Р* < хм, Р* = к9р9 + I9, г = 2д + 1. Откуда следует В = д + ад2/(1 + Ь — (а — 2с)д). Таким образом, для Р* будем иметь оценку: Р2*9+1 < кв, где В = д + 12д2/(5, 5797 — 0, 6д), если 2 < д < 8. В
В частности, для Ф(р) = к2р2 + 1 имеем В < 12, 9597 < 12, 96, и поэтому Р5* < к12'96 (ср. с результатом Б.В. Левина).
Литература
1. Левин Б.В. О наименьшем почти простом числе арифметической прогрессии и последовательности k2x2 + 1 // УМН. - 20;4(124). - С.158-162.
2. Бухштаб А.А. Новый тип весового решета // Всесоюз. конф. «Теория чисел и ее приложения». Тез. докл / Тбилиси, 1985. - С.22-24.
3. Вахитова Е.В. Об одномерном решете Сельберга с весами Бухштаба нового типа // Математические заметки. - 1999. - 66;1. - С.38-49.
4. Вахитова Е.В. Методы решета с весами Бухштаба и их приложения. / М.: Изд-во МПГУ Прометей, 2002. - 268 с.
(РЖ Матем. - 2003. - 03.11 - 13А.115К).
5. Halberstam H., Richert H.E. Sieve methods / London: Acad. Press., 1974. - 364 p.
APPLICATION OF SIEVE WEIGHTS TO ESTIMATION OF MOST SMALLER ALMOST-PRIME NUMBER IN POLYNOMIAL SEQUENCE OF PRIME
ARGUMENT
E.V. Vakhitova, S.R. Vakhitova
Voronezh State University, Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: algebraistOyandex.ru
Abstract. The estimate of most smaller, almost-prime number in polynomial sequence on prime argument is obtained.
Key words: method, sieve, weights, number, sequence, estimation.
