CC BY
13
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1 (2010)
Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы
УДК 511
ПРИЛОЖЕНИЕ ВЕСОВОГО РЕШЕТА К ОЦЕНКЕ НАИМЕНЬШЕГО ПОЧТИ ПРОСТОГО ЧИСЛА ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОТ НАТУРАЛЬНОГО АРГУМЕНТА
Е. В. Вахитова (г. Воронеж)
Аннотация
В работе получена оценка наименьшего почти простого числа в полиномиальной последовательности.
In work come out estimate the most smaller almost-prime number in polynomial sequence of natural argument.
Рассмотрим задачу об оценке наименьшего почти простого числа в последовательности
A = {Ф(п)|п ^ x}, (1)
где x - достаточно большое положительное число.
Обозначим наименьшее почти простое число через Pr* (r £ N, r ^ 2) , Будем оценивать число Pr* как функцию k : Pr* < kA, где A - некоторая постоянная, не зависящая от k,
В 1965 году Левин Б.В. ([1], теорема 2) получил для Ф(п) = k2n2+1, k,n £ N, оценку:
p* < k10,9578
В 1985 году Бухштаб A.A. ([2]) анонсировал новый тип весового решета. В настоящей работе применяется одномерное решето Сельберга с весами Бухшта-
ба нового типа, изученные автором в работе [3]. Отметим, что для получения p *
типа, рассмотренный автором в монографии [4] (гл. 6).
Теорема 1. Пусть Ф(п) = kana + la - неприводимый полином, k,n,l £ Z, g £ N, 2 ^ g ^ 16, p(p) - число решений сравнения Ф(п) = 0(modp), p(p) < p для всех p , а k и l - такие, что р(р) = 0 .
Тогда наименьшее значение Ф(п) , имеющее не более д + 1 простых множителей с учетом их кратности, не превосходит кА , где
А д. 692
А = д +
5, 5797 - 0, 3д
В частности, наименьшее значение Ф(п) = к2п2 + 1, имеющее не более трех
к
6,82
Теорема улучшает результат Б,В, Левина и дает оценку для более общей задачи при всех д , удовлетворяющих неравенству 2 ^ д ^ 16.
Доказательство. Будем применять результаты работы автора [3] . Для последовательности А , определенной равенством (1), будут выполнены все условия, накладываемые на последовательность в случае одномерного решета. Для числа элементов ап го последовательноети А , имеющих в своем разложении не более г простых чисел с учетом их кратности, получим следующую оценку:
-7 I _ рМ.
ап €А, и(аи
)<Г Р Р
для достаточно больших х , где а,а,Ь,с,д' Е И., 0 < а < 1, аа — с < д', 1 < Ь < с < аа, д' + 1 < аa < 2(д' +1), 2c — Ь — 1 > 0, (г + 1)с — Ma = 2c — Ь — 1,7-поетоянная Эйлера (7 ~ 0, 57...) , и(ап) - число простых чисел в разложении ап с учетом их кратности, В(а, а, Ь, с, д') определено равенством:
/ (д'-1)аа + 1
аа— 1
л 1 [ Г(г)йг 1 В(а, а, Ь, с, д ) = - / —^--Ь
2 J аа — г 2с — Ь — 1
(Э'-1)аа+1
д
, 7Ч [ Г (г)йг с- 6 / +
/ аа — г
V
(9'-1)аа + 1
аа Г д/ аа [
] /9 д ^ аа ] д'
(9'-1)аа+1
д
+ [ [ ( [ +
I аа — г I у I V — г' V
аа— 1
2аа г(1 + г)
(Э'-1)аа + 1 аа — 1
(Э'-1)аа + 1 \
а' "71 (6 + 1 — — (аа — 6—1)
аа г(1 + г)
)
аа — д' /
д
аа—с
ПРИЛОЖЕНИЕ ВЕСОВОГО РЕШЕТА К ОЦЕНКЕ.
83
Ы определено из условия |ап| < Xм для всех ап Е Л, / (и), Р(и) - функции решета. О свойствах функций решета можно узнать из глав 6 и 7 монографии [5].
Оценка (2) доказана в работе [4] (теорема 2.1.1)
Осуществим теперь выбор параметров одномерного решета Сельберга с весами Бухштаба нового типа. Выберем а из условия аа = 6, а = 1, г = д + 1.. Обозначим через Н(Ь, с) произведение
Н(Ь, с) = 3е-7(/(6) - В(а, а, Ь, с, 3)).
Применим теорему 4.3.1 из [4] , тогда получим, что
Н(Ь,с) >-\-{1, 4576291с— 1, 48823046+8, 0666578 —с 1пс— (6 —с) 1п(6 —с)}.
2с — Ь — 1
Учитывая условие для Н(Ь,с) ( Н(Ь,с) должно быть наименьшее положительное), при с =5, 7 получим
Н(Ь; 5, 7) > --{1, 4576291 -5,7- 1, 48823046 + 8, 0666578—5, 71п5, 7 — (6 — 5, 7) 1п(6 — 5, 7)} =
1
10, 4 — Ь
{8,30848587 — 1,4882304Ь + 8,0666578—
-9, 920657196 + 0, 361191841} =-1—-{6, 815678315 - 1, 48823056}.
10, 4 — Ь
Следовательно,
Н(Ь; 5, 7) > -^—-{6, 815678315 - 1, 48823056} > 0
10, 4 — Ь
Отсюда находим, что при Ь = 4, 5797 будет выполнено неравенство:
Н(Ь, с) > --^——-{6, 815678315 - 1, 4882305 • 4, 5797} =
1 ' ; ~ 10,4- 4,57971 ' ' ;
1 (6,815678315 - 6, 815648763)= 1 •0,000029552 =
5, 4203 5, 4203
= 0,000005452 > 0.
При этом Р* = к9п9 + I9, Р* < кА, \РГ*\ < Xм, X = к^. Отсюда
хМ = км.^
следовательно, учитывая, что
(г + 1)с — Ыа = 2с — Ь — 1,
получим
,2 „ „2
Mg д ад А= 77-= 9 + Т7-= 9 +
Ы — д " Ы — д * 1 + Ь — (а — с)д' Таким образом, окончательно будем иметь оценку для Р*:
Р* < кА
Рд+1 < к ,
где
6g2
A = g +
5, 5797 — 0, 3д
если 2 < д < 16.
В частности, для Ф(п) = к2п2 + 1 получим:
Л = 2 + 5.57974- 0,е=2+4Мг7 = 2 + 4-81957 ^ 6'81% ^ 6'
Поэтому Р* < к6'82. Теорема доказана.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Левин Б. В. О наименьшем почти простом числе арифметической прогрессии и последовательности k2n2 + 1 // УМН, - 1965. - Т. 20,- JVS 4 (124). - С. 158-162.
[2] Бухштаб А. А. Новый тип весового решета // Всесоюз. конф, "Теория чисел и ее приложения . Тез. докл. - Тбилиси, 1985. - С. 22-24.
[3] Вахитова Е. В. Об одномерном решете Сельберга с весами Бухштаба нового типа // Матем, заметки. - 1999. - Т. 66. - Л'" 1. - С. 38-49.
[4] Вахитова Е. В. Методы решета с весами Бухштаба и их приложения. Монография. - М,: Изд-во МПГУ Прометей 2002. - 268 с. (РЖ Матем. - 2003. - 03.11 - 13А.115К).
[5] Halberstam Н,, Richert Н.-Е. Sieve methods. - London: Acad. Press., 1974. -364 p.
Воронежский государственный университет
algebraist@vandex.ru
Поступило 13.05.2010
