О периодичности непрерывных дробей в мнимых и действительных гиперэллиптических полях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Целью данной работы, является доказательство следующих результатов.

Теорема 1. Пусть L - слабоартинова алгебра Ли. Тогда ее первичный радикал P = P(L) - локально нильпотентен.

Аналог теоремы 1 справедлив и для градуированных ^-групп.

Теорема 2. Пусть A - градуированная Q-группа с условием конечности, удовлетворяющая условию обрыва цепочек убывающих градуированных идеалов. Тогда градуированный первичный радикал P(A) градуированной Q-группы A - локально нильпотентен.

Библиографический список

1. Балаба И. Н. Первичный радикал градуированных ^-групп // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 2.

2.Пихтильков С. А. Артиновые специальные алгебры Ли // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: межвуз. сб. науч. тр. Тула, 2001.

3.Пихтильков С. А. О локально нильпотентных артиновых алгебрах Ли // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6, № 1.

4.Мещерина Е. В. О проблеме А.В. Михалева для алгебр Ли // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2.

О ПЕРИОДИЧНОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ В МНИМЫХ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПОЛЯХ Г. В. Федоров (г. Москва) E-mail: glebonyat@mail.ru

Пусть K — произвольное поле, Char K = 2. В докладе мы показываем, что при бирациональном преобразовании мнимой гиперэллиптической кривой над полем K, переводящем конечные рациональные точки P и iP соответственно в точки на бесконечности O и iO действительной гиперэллиптической кривой, вид соответствующих непрерывных дробей не меняется. Отсюда и из результатов статьи [1] следует, что если C : Y2 = ф(Х) — действительная гиперэллиптическая кривая,

и b — корень многочлена ф(Х), то периодичность непрерывной дроби у/ф/ (X — b) эквивалентна наличию фундаментальной единицы в поле L = K(X)(д/ф). Отметим, что эквивалентность последненго условия периодичности непрерывной дроби л/ф была доказана в [2].

Библиографический список

1. Платонов В. П., Федоров Г. В. S-единицы и периодичность непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Докл. РАН. 2015. Т. 465.

2. Adams W. W, Razar M. J. Multiples of points on elliptic curves and continued fractions // Proc. London Math. Soc. 1980. Vol. 41.

О ЗАДАЧАХ В КОРОТКИХ ИНТЕРВАЛАХ Е. В. Вахитова, С. Р. Вахитова (г. Воронеж) E-mail: algebraist@yandex.ru

Рассмотрим приложение метода весового решета к задачам в коротких интервалах. Метод решета является одним из наиболее универсальных методов теории чисел и успешно применяется при решении задач, в которых простые числа заменяются почти простыми числами, то есть числами с ограниченным количеством простых делителей. Применим метод одномерного решета Сельберга в сочетании с весами Бухштаба, анонсированными в 1985 г., к задачам по исследованию почти простых чисел в коротких интервалах (об этом методе см. [1-3]). Результаты, полученные авторами, приведены в [3, гл. 3, 5].

1. Для последовательности A :

A = {Ф(п)| п е N, x - h < n < x},

где Ф(п) - неприводимый полином с целыми коэффициентами, x,h е R, 1 < h < x, ранее были получены следующие результаты.

Исследованию почти простых чисел в коротких интервалах полиномиальных последовательностей посвящены работы Х.-Э. Рихерта [4] и М. Лабордэ [5].

В 1969 г. Х.-Э. Рихерт [4, теорема 4] доказал, что для r-почти простого числа Pr

r е N, n = l (modk), x - x1/Ar < Pr < x

11 л 11 л 11 л, м /л 2л

Л2 = -6г, Лз = т, Л4 = у, (Vr > 2) (Лг = r - 7).