О задачах в коротких интервалах Текст научной статьи по специальности «Математика»

и b — корень многочлена ф(Х), то периодичность непрерывной дроби у/ф/ (X — b) эквивалентна наличию фундаментальной единицы в поле L = K(X)(д/ф). Отметим, что эквивалентность последненго условия периодичности непрерывной дроби л/ф была доказана в [2].

Библиографический список

1. Платонов В. П., Федоров Г. В. S-единицы и периодичность непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Докл. РАН. 2015. Т. 465.

2. Adams W. W, Razar M. J. Multiples of points on elliptic curves and continued fractions // Proc. London Math. Soc. 1980. Vol. 41.

О ЗАДАЧАХ В КОРОТКИХ ИНТЕРВАЛАХ Е. В. Вахитова, С. Р. Вахитова (г. Воронеж) E-mail: algebraist@yandex.ru

Рассмотрим приложение метода весового решета к задачам в коротких интервалах. Метод решета является одним из наиболее универсальных методов теории чисел и успешно применяется при решении задач, в которых простые числа заменяются почти простыми числами, то есть числами с ограниченным количеством простых делителей. Применим метод одномерного решета Сельберга в сочетании с весами Бухштаба, анонсированными в 1985 г., к задачам по исследованию почти простых чисел в коротких интервалах (об этом методе см. [1-3]). Результаты, полученные авторами, приведены в [3, гл. 3, 5].

1. Для последовательности A :

A = {Ф(п)| п е N, x - h < n < x},

где Ф(п) - неприводимый полином с целыми коэффициентами, x,h е R, 1 < h < x, ранее были получены следующие результаты.

Исследованию почти простых чисел в коротких интервалах полиномиальных последовательностей посвящены работы Х.-Э. Рихерта [4] и М. Лабордэ [5].

В 1969 г. Х.-Э. Рихерт [4, теорема 4] доказал, что для r-почти простого числа Pr

r е N, n = l (modk), x - x1/Ar < Pr < x

11 л 11 л 11 л, м /л 2л

Л2 = -6г, Лз = т, Л4 = у, (Vr > 2) (Лг = r - 7).

В 1979 г. М. Лабордэ [5, теорема 3] получил Л2 = 1, 89189, Лз = 2,8571 Л4 = 3,8571, (Уг > 2) (Аг = г - 0,145).

В 1982 г. Г. Гривс [6, 7] получил ¿2 = 0,063734..., Лг = г - , Л2 = = 1, 937.

Авторы получили Л2 = 1, 975 [3, теорема 5.5.2].

2. Для последовательности А, А = {п| п Е N х — х1/Л2 < п ^ х}, ранее было получено:

В 1981 г. Х. Хальберстам, Х.-Э. Рихерт и Д. Р. Хис-Браун [8] получили 1/Л2 = 0,455, а Х. Иванец и М. Лабордэ [9, теорема 2] получили 1/Л2 = = 0,45. Затем значение 1/Л2 улучшалось в ряде работ: 0,4476 (1985 г., Х. Хальберстам, Х.-Э. Рихерт [10]), 0, 4436 (1989 г., Э. Фуври [11]), 0,44 (1992 г., Д. Ву [12]), 0,436 (1996 г., Х.-К. Лиу [13]).

3. Исследованию наименьшего почти простого числа в арифметической прогрессии кп + /, к,п,/ Е N (к,/) = 1, 0 < / < к и последовательности кр + /, (к,/) = 1, 0 < / < к, р - простое число, посвящены работы Б. В. Левина [14], Х.-Э. Рихерта [4], М. Лабордэ [5, 15], Х. Май-кава [16, 17].

Обозначим через Рг(1) наименьшее г-почти простое число. Пусть Рг(1) < кв, где В - некоторая постоянная, не зависящая от к.

В 1965 г. Б. В. Левин [14, теорема 1 и теорема 3] получил: для кп + / Р2(1) < к2'3691, для кр + / Р4(1) < к2'61, а, если справедлива расширенная гипотеза Римана, то Р3(1) < к3'02.

В дальнейшем были получены результаты для Р2(1) из арифметической прогрессии. В 1969 г. Х.-Э. Рихерт [4] для кп + / получил В = 2, 20. В 1978 г. М. Лабордэ [5, 15] для кп + / получил В = 2,13. В 1978 г. Д.Р. Хис-Браун [18, теорема 1] - В = 1,965. В 1981 г. Г. Гривс [19, 7] -В = 1, 937. В 1982 г. Х. Иванец [20, теорема 13] - В = 1,845.

Авторы получили В = 1, 8164 [3, теорема 5.5.4].

В 1990 г. Х. Майкава [17] для кп + / показал, что существуют такие числа Р2(1), что Р2(1) < т(/) к 1п7 к, где Q -большой параметр,

0 < |/1 < Q, т(/) - число делителей / (за исключением, возможно, О^/ 1пQ) модулей к с (к,/) = 1 и Q < к < 2Q).

Библиографический список

1. Бухштаб А. А. Новый тип весового решета // Теория чисел и её приложения: тез. докл. Всесоюз. конф. Тбилиси, 1985.

2. Вахитова Е. В. Методы решета с весами Бухштаба и их приложения. М. : Изд-во МПГУ "Прометей", 2002.

3. Вахитова Е. В., Вахитова С. Р. Методы решета с весами Бухштаба и их приложения. Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2014.

4. Richert H.-E. Selbergs sieve with weights // Mathematika. 1969. Vol. 16, № 31.

5. Laborde M. Buchstabs sifting weights // Mathematika. 1979. Vol. 26.

6. Greaves G. A weighted sieve of Brun type // Acta arith. 1982. Vol. 40.

7. Greaves G. The weighted linear sieve and Selbergs A2-method // Acta arith. 1986. Vol. 47.

8. Halberstam H, Richert D. R., Heath-Brown H. Almost-primes in short intervals. Recent progress in analytic number theory. London, 1981.

9. Iwaniec H., Laborde M. P2 in short intervals // Annales de L'institut Fourier. Grenoble, 1981. Vol. 31, № 4.

10. Halberstam H, Richert H.-E. A weighted sieve of Greaves type // Elem. Anal. Theory Numbers. 1985. Vol. 17.

11. Fouvry E., Grupp E. Weighted sieves and twin prime type equations // Duke math. j. 1989. Vol. 58, №. 3.

12. Wu J. P2 dans les petits intervalles // Progress in Math. "Seminare de Theorie des Nombres. Paris, 1991. Vol. 102.

13. Liu H.-Q. Almost primes in short intervals //J. Number Theory. 1996. Vol. 57.

14. Левин Б. В. О наименьшем почти простом числе арифметической прогрессии и последовательности k2x2 + 1 // УМН. 1965. Т. 20, № 4(124).

15. Laborde M. Les sommes trigonometriques de Chen et les poids de Buchstab en theorie du crible. These presentee a luniversite de Paris-sud, 1978.

16. Mikawa H. Almost-primes in arithmetic progressions and short intervals // Tsukuba j. math. 1989. Vol. 13, №. 2.

17. Mikawa H. On almost-primes in arifmetic progressions // Tsukuba j. math. 1990. Vol. 14, №. 1.

18. Heath-Brown D. R. Almost-primes in arithmetic progressions and short intervals // Math. proceed. Camb. philos. soc. 1978. Vol. 83.

19. Greaves G. Rossers sieve with weights. Recent progress in analytic number theory. London, 1981.

20. Iwaniec H. On the Brun-Titchmarsh theorem // Y. Math. Soc. Japan. 1982. Vol. 34, №. 1.