Об одном неравенстве, связанном с приближением числа элементов в конечной последовательности специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 2 (2012)

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера

УДК 511

ОБ ОДНОМ НЕРАВЕНСТВЕ, СВЯЗАННОМ С ПРИБЛИЖЕНИЕМ ЧИСЛА ЭЛЕМЕНТОВ В КОНЕЧНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Е. В. Вахитова, С. Р. Вахитова (г. Воронеж)

Аннотация

В работе получена теорема об одном неравенстве, связанном с приближением числа элементов в конечной последовательности специального видэ..

In this paper the theorem on one inequality connected with approximation for the element number in finite sequence of special kind is obtained.

1 Введение

В настоящей работе получено неравенство, связанное с приближением числа элементов в конечной последовательности значений неприводимого полинома от аргумента pq с ограничением на произведение pq. Здесь p и q — простые числа и p = q.

Пусть F(n) - неприводимый полином степени g с целыми коэффициентами, где n, g Е N, и n = pq. Рассмотрим конечную последовательность A значений неприводимого полинома F(pq), включая и одинаковые значения:

A = {F(pq) \p = q, (pq,F(0)) = l,pq ^ x, }, (1)

где x Е x > 1.

Пусть Beep > y0, q > yo,&yo = exp((lnlnx)3). Будем предполагать, что число d Е N и не делится на квадрат простого числа, т. е. свободно от квадратов.

Обозначим через Ай последовательность тех элементов из А, которые делятся на й :

Ай = {Г(рд) Е А\Г(рд) = 0(той й)}. (2)

Число элементов в последовательности Ай, включая одинаковые значения, обозначим через \Ай\ :

\Аа\ = \{Г(рд) Е А\Г(рд) = 0(той й)}\.

Пусть ш(й) - мультипликативная функция, такая, что X является приближением \Ай\, где X = X(х).

Поставим задачу:

получить неравенство для X, связанное с приближением числа элементов в конечной последовательности Аа, состоящей из значений неприводим,ого полинома Г (рд) натуральной степени д с целыми коэффициентам,и с ограничением на произведение рд, где р = д и Г (рд) делится, на, свободное от квадратов натуральное число й.

При этом будем применять сведения по теории сравнений из [1] и [2].

2 Основной результат

Теорема 1. Пусть й - натуральное число, свободное от квадратов, по-А

пликативная функция, ш(й), такая, что X, где

X = ^ 1, у0 = ехр((1п1п х)3),

РЯ^х Р>Уо, Я>У0

А

делятся, на, й. Причем для, X = X(х) выполнено неравенство:

х

X > 1п 1п х

1п х

х.

Доказательство. Для числа элементов в последовательности Ай получим:

АЛ = £ 1= £ £ 1.

рд^х 1^.т^.й рд^х

Е(рд)=0(тоё й) Е(т)=0(тоё й) рд=т (тоё й)

(рдЕ (0)) = 1 (т,й) = 1 Р>У0,д>У0

р>У0,д>У0

Обозначим внутреннюю сумму через п(х; й,т) при (т,й) = 1 : п(х; й,т) = 1, (т,й) = 1.

рд^х рд=т (тоё й) р>У0,д>У0

Тогда получим для \Ad\ следующее равенство:

\Ad\ = ^ n(x; d,m).

l^m^d F(m)=0 (mod d)

(m,d)=l

Обозначим через p(d) число решений сравнения F(n) = 0(mod d). Предположим, что p(p) < p для всех простых чисел p, причем p(p) < p — 1, если

p XF(0).

Обозначим через pl(d) число решений сравнения F(m) = 0(mod d) для (m, d) = 1.

Сравним функции р1 и р. Имеем:

Pi(d) = npi(p), v(d) = °, p\d

где pl(p) — число решений сравнения F(m) = 0 (mod p) при p\m, a n(d) — функция Мебиуса, которая определяется следующим равенством:

( 1, n = 1,

/i(ri) = < (—1)s, n = pip2...ps,

I p2\n,

где n,s E N, pl; p2, ..., ps — попарно различные простые числа.

Если m = 0 не является решением указанного сравнения, то pl(p) = p(p). Если m = 0 является решением, то в pl(p) оно не учитывается, поэтому Pl(p) = p(p) — 1.

Так как m = ^ ^ода и только тогда, когда p\F(0), то

pl(p) = { Р(Р), p\F(0), pl(p>) I p(p) — 1, p\F(0).

Применим теорему Лагранжа ([1], гл. 15, §1, теорема 148, с. 128), соглас-

np pn Тогда получим, что p(p) ^ д, если p(p) < p, поэтому

pl(d) ^ p(d) ^ gv(d), /i(d) = 0,

если p(p) < p для всех p\d. Здесь v(d) — число различных простых делителей

d

Таким образом, для \Ad\, где Ad определена условием (2), получим:

\Ad\ = — (Фщ — 1+

l-^m^d' pq^x

F(m)=0(mod d) p>yo,q>yo

(m,d) = l

+ (п(х; йт) - —й £ 0)= 5] —й X

\ —( ) рд<х / / 1^т^,

рд^х ' у 14,т4,й

р>У0,д>У0 Е(т)=0(тоё й)

(т,й)=1

х £ ^ £ №й-т)- И Ч •

рд4,х 1^т^й ' рд4,х '

р>У0,д>У0 Е(т)=0 (тоё й) Р>У0,д>У0

(т,й) = 1

где —(й) — функция Эйлер а (для п Е N функц ия —(п) есть функция, значение которой равно числу натуральных чисел, не превосходящих п и взаимно п

Введем обозначение:

я(х,й)= ^2 (п(х;й,т) —(й) ^ 0 '

1^т^й ' Ф( ) рд^х '

Е(т)=0(тоё й) р>У0,д>У0

(т,й) = 1

Тогда получим, что

\Ай\ = —й Р1(й) ^2 1 + к(х,й).

^' ' рд^х

р>У0,д>У0

Обозначим через Е(х,й) выражение:

Е (х, й) = тах

1^т^й (т,й) = 1

п(х;Л'т) - —й) ^ 1

рд^х

р>У0,д>У0

Тогда для \Я(х,й)\ будем иметь следующее неравенство:

\Я(х,й)\ ^ р(й)Е(х,й).

А так как р(й) ^ ди(й), если ^(й) = 0, то получим

\Я(х,й)\ ^ ди(й)Е(х,й).

Поэтому можно выбрать

X = £ £х = £ = —() й,

рд^х 4 '

р>У0,д>У0

так что функция ш(й) является мультипликативной.

Получим неравенство для величины X, где

рд^х

Р>Уо,д>Уо

Представим последнюю сумму в виде двух слагаемых.

Ех - Е Е >+ Е Е >■

Уо<Р<\/Х

Для слагаемых суммы имеем:

Уо<р<л/Х У0<д<:р уо<д<т/Х т/Х<р^|

ЕЕ ^ ((р Щх/р) + Чре-^'/'П?)) “

<р<уХ Уо<д^х Уо<р<уХ 1 77

Ч * Ч»"-'■5))У

Е , Е,- Е ((щхй*°(Х-~^)У

Уо<д<^/Х у/Х<р^| Уо<д<^/Х

\п

х

+ °( ^Хе-‘^)))

\ Л — х \ '__________________________уо \ ^ 1+

^Х ^ р \п(х/р) ІП у0 ^

Уо<р<^Х Уо<р<^Х

1 2 у/х ^ / х \

+Х 2-^ а іп(х/д) іп х ^ + V 1па х)

Уо<д<^Х Уо<д<л/Х

2х 'у ___________1___________У^( -^х__________У0_^|

^ Vіп(х/р) іпуо\іп у/х іпУо)

У о <р<\/х

2у^ Vх Уо \ + Л х \

іп х \ \пу/х іп Уо) \1пА х)

іп х V іпу/х іп уо У ’ ~ ^іпА х

Отсюда получим, что

V — 2х V 1___________________+ у2 + п( х \

^х ^ р іп(х/р) іп2 х іп2 уо VіпА х)

У о <р<^х

Теперь оценим последнюю сумму. Применим лемму 1 работы [3], согласно которой

У'' 1 1 1 V — 1 + 0( 1 )

Х/ Р Ы(Х/Р) 1П ^ П 4 — 1 + 1П' ^ ’

где х ^ 2, 2 ^ и < V ^ В, В - некоторая постоянная.

Так как у0 = ехр((1п1п х)3), то

(1п 1п х)3 1п у0

У 0 = Х 1п х = Х 1п х ,

поэтому получим:

Т —1—= У

p in(x/p)

< < p in(x/p) n ^ 1 p in(x/p)

yo<P<yfx 1

x Inx ^ p < x 2

1 inOWtayobi + o(_L

in x 2—1 I in2 x

1 iJnx — Ыyo + o( 1

(in2 x) (in2 x^

1п Х 1п Уо \ 1п2 Х

После преобразований получим:

1 1 , , х 1 _ . „( 1

Р 1п

уо<р<\/х

1 1 / \ = Т~ in in — — Г— inin y0 + о( 1 ^ p in(x/p) in x yo in x yin2 x)

1 x lnlnlnx

inin-----+ О

/ in in in x \

lnx

1п Х у0 \ 1п Х

х

п ( 1 л , х ^/1п1п1п х\\ 4х у1 _ / х \

V =2x1---------------------------------------------------1п1п—+ О —-+ т^ + О •

^х ^1п Х Уо V 1п Х )) 1п х 1п у0 \1пл х)

х

у ='^Х 1п1пХ + 0>{Х- 1п1п1пх) , ,

*-^х 1п Х у0 \1п Х ) 1"1'

. -ЫЫ x + o/x lnlnln x) + ^-‘x ln x yo \ln x J ln2 y0

Учитывая теперь, что X = ^x, a y0 = exp((lnlnx)3), получим

x

X ^ ----------in in x

in x

для достаточно больших х. Теорема доказана.

1

3 Условие малости остаточного члена

Введем условие.

Существуют постоянные а (0 < а К 1), СЗ ^ 1, С0 ^ 1, такие, что

X

у к с, (3)

'31пс X

А< фох

Ха

где X ^ 2, С3 = С (С), К(х^) = |А*| — ^ X• а

Условие (3) позволяет говорить о достаточной малости остаточного члена

я(х,а)^

Проверим выполнимость условия (3).

а С0 ,

рые выберем в дальнейшем.

При достаточно большом X имеем:

а<

X а

1псо X

К ^ „2(а)з^(А)д^(А)Е

а < ха

а < 1псо х

= У ц2(d)(3gУ(dЩX,d).

а <

X а

1пс0 X

X

Так как а К X, то Е (X, а) ^ —, поэтому, обозначая последнюю сумму через

а

У\, получим:

<< У 'а/гездг^Е<<

а <

X

а

1псо X

1

X*(У а^М^д}2'^)‘( У Е(X,q}''\

\d<ха / \ Xа /

«X 2| > -у2'

аа

уА^а 7 ,, ха

У < 1псо X

Для первой из полученных сумм получим

1 ( „2

//_ А / Ч 2(3«)2

<((Е1) К аЬ X + 0 •

4 ^n<Xа / / V /

2

Оценим вторую сумму. Применим лемму 4 из работы [4] и следствие 2 из теоремы 6 работы [5] (гл. 9, с. 154), согласно которому для любой фиксированной постоянной С'0 > 1 и 1 < У < 1пс° X справедлива асимптотическая формула

п(А'; ^) = ш+^ )■

где С1 = С1(С) > 0, (1,У) = 1, ; д>,1) = ^ 1.

р<Х

p=l(mod ^)

Тогда для второй суммы получим:

( У E(х,д})' «-^.

< Хх 1п Т X

Тогда, выбирая 00 = 4 + 1 (3д)2, получим для суммы У1 следующую оценку:

У1 << X' (а 1пX + 1)'(3й)2--1~7^-2— << ,

1 1 ' 1п4+'(3^)2 X 1п4 X’

причем постоянная в символе << может зависеть только от д.

Итак, при а = 1/2 существуют постоянные СЗ ^ 1 и С0 ^ 1 такие, что

X

£ к сЗз^,

а < X2

а < 1пс° X

следовательно, условие (3) выполнено с а = 1/2.

4 Заключение

Отметим, что ранее были рассмотрены последовательности значений неприводимых полиномов [Г(п)^ К х}, [Г(р)^ К х}, где и Е N х Е И, х > 1, р простое число. Рихерт X. Э. получил приближения X = XX = Их соответственно и остаточный член мал в среднем в смысле теоремы Виноградова — Бомбьери.

Для последовательности [Г(рд^р = д, р К х1/2, д К х1/2}, где р, д — про-х

было получено приближение X = (Ы х1/2)2 и остаточный член достаточно мал в том смысл, что выполнено условие на последовательность.

Отметим, что при выборе приближения числа элементов в последовательности важную роль играют усредненные оценки числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Эти оценки основаны на использовании идей большого

решета Линника Ю. В. Обычно пользуются следующей оценкой: существует постоянная C (0 < C < 1), такая, что при любой постоянной C > 0

V a2(d) max n(X; d, l)-----—^ = 0\ —^| ,

kCo '!"£! *(d) Vbc X!'

где n(X; d,l) — число простых чисел p < X и p = l(modd), y(d) — функция Мебиуса, p(d) — функция Эйлера, Li X — интегральный логарифм, X — достаточно большое положительное число.

Эту оценку М. Б. Барбан доказал при C = | — £, затем А. И. Виноградов и А. Бомбьери доказали при C = 1 — £, где £ > 0 — произвольная постоянная.

Выбор приближения можно осуществлять по-разному. Чем меньше будет остаточный член (по крайней мере, в среднем), тем лучше будет результат. В работе [6] указано (но не доказано) на то, что из теоремы Барбана — Давенпорта следует, что оценка Виноградова А. И. верна и для n = pq.

Авторы отмечают, что теорема 3.3 работы [7] доказана для n = p1p2.. .ps, где p1 ^ xai ,p2 ^ xa2, ...,ps ^ xas, 0 < a1 ^ a2 ^ ... ^ as, a1 + a2 + ... + as = 1.

В настоящей работе авторами для последовательности (не обязательно различных) значений неприводимого полинома F(pq) с ограничениями на pq: {F (pq)\p = q, pq ^ x} получено, что X ^ x in In x и показано, что остаточный член достаточно мал в том смысле, что выполнено условие на последовательность: существуют постоянные C3 ^ 1 и Co ^ 1, такие, что

X

£ S(d)3v(d)\R(X, d)\ < C3.

П

lnC0 X

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.

[2] Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981. — 176 с.

[3] Бухштаб А. А. Асимптотическая оценка одной общей теоретико-числовой функции // Матем. сб. — 1937. - Т. 2(44). — №6. — С. 1239 — 1246.

[4] Левин Б. В., Тимофеев Н. М. Распределение арифметических функций в среднем по прогрессиям (теоремы типа Виноградова - Бомбьери) // Матем. сб. - 1984. - Т. 125 (167). - №4(12). - С. 558 - 572.

[5] Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983. _ 240 с.

[6] Рихерт X. Э. Решето Сельберга / Вып. Проблемы аналитической теории чисел. Перевод с англ. Б. В. Левина. М.: Мир, 1975. — С. 7 — 42.

[7] Барбан М. Б. Метод "большого решета" и его применения в теории чисел

ц умн. - 1966. - Т. 21. - №1 (127). - С. 51 - 102.

Воронежский государственный университет e-mail: algebraist@yandex.ru Поступило 05.03.2012