Научная статья на тему 'Об одном неравенстве, связанном с приближением числа элементов в конечной последовательности специального вида'

Об одном неравенстве, связанном с приближением числа элементов в конечной последовательности специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
80
26
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Чебышевский сборник
Scopus
ВАК
RSCI
Область наук

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Вахитова Е. В., Вахитова С. Р.

В работе получена теорема об одном неравенстве, связанном с приближением числа элементов в конечной последовательности специального видэ..I

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Вахитова Е. В., Вахитова С. Р.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

n this paper the theorem on one inequality connected with approximation for the element number in finite sequence of special kind is obtained.

Текст научной работы на тему «Об одном неравенстве, связанном с приближением числа элементов в конечной последовательности специального вида»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 2 (2012)

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера

УДК 511

ОБ ОДНОМ НЕРАВЕНСТВЕ, СВЯЗАННОМ С ПРИБЛИЖЕНИЕМ ЧИСЛА ЭЛЕМЕНТОВ В КОНЕЧНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Е. В. Вахитова, С. Р. Вахитова (г. Воронеж)

Аннотация

В работе получена теорема об одном неравенстве, связанном с приближением числа элементов в конечной последовательности специального видэ..

In this paper the theorem on one inequality connected with approximation for the element number in finite sequence of special kind is obtained.

1 Введение

В настоящей работе получено неравенство, связанное с приближением числа элементов в конечной последовательности значений неприводимого полинома от аргумента pq с ограничением на произведение pq. Здесь p и q — простые числа и p = q.

Пусть F(n) - неприводимый полином степени g с целыми коэффициентами, где n, g Е N, и n = pq. Рассмотрим конечную последовательность A значений неприводимого полинома F(pq), включая и одинаковые значения:

A = {F(pq) \p = q, (pq,F(0)) = l,pq ^ x, }, (1)

где x Е x > 1.

Пусть Beep > y0, q > yo,&yo = exp((lnlnx)3). Будем предполагать, что число d Е N и не делится на квадрат простого числа, т. е. свободно от квадратов.

Обозначим через Ай последовательность тех элементов из А, которые делятся на й :

Ай = {Г(рд) Е А\Г(рд) = 0(той й)}. (2)

Число элементов в последовательности Ай, включая одинаковые значения, обозначим через \Ай\ :

\Аа\ = \{Г(рд) Е А\Г(рд) = 0(той й)}\.

Пусть ш(й) - мультипликативная функция, такая, что X является приближением \Ай\, где X = X(х).

Поставим задачу:

получить неравенство для X, связанное с приближением числа элементов в конечной последовательности Аа, состоящей из значений неприводим,ого полинома Г (рд) натуральной степени д с целыми коэффициентам,и с ограничением на произведение рд, где р = д и Г (рд) делится, на, свободное от квадратов натуральное число й.

При этом будем применять сведения по теории сравнений из [1] и [2].

2 Основной результат

Теорема 1. Пусть й - натуральное число, свободное от квадратов, по-А

пликативная функция, ш(й), такая, что X, где

X = ^ 1, у0 = ехр((1п1п х)3),

РЯ^х Р>Уо, Я>У0

А

делятся, на, й. Причем для, X = X(х) выполнено неравенство:

х

X > 1п 1п х

1п х

х.

Доказательство. Для числа элементов в последовательности Ай получим:

АЛ = £ 1= £ £ 1.

рд^х 1^.т^.й рд^х

Е(рд)=0(тоё й) Е(т)=0(тоё й) рд=т (тоё й)

(рдЕ (0)) = 1 (т,й) = 1 Р>У0,д>У0

р>У0,д>У0

Обозначим внутреннюю сумму через п(х; й,т) при (т,й) = 1 : п(х; й,т) = 1, (т,й) = 1.

рд^х рд=т (тоё й) р>У0,д>У0

Тогда получим для \Ad\ следующее равенство:

\Ad\ = ^ n(x; d,m).

l^m^d F(m)=0 (mod d)

(m,d)=l

Обозначим через p(d) число решений сравнения F(n) = 0(mod d). Предположим, что p(p) < p для всех простых чисел p, причем p(p) < p — 1, если

p XF(0).

Обозначим через pl(d) число решений сравнения F(m) = 0(mod d) для (m, d) = 1.

Сравним функции р1 и р. Имеем:

Pi(d) = npi(p), v(d) = °, p\d

где pl(p) — число решений сравнения F(m) = 0 (mod p) при p\m, a n(d) — функция Мебиуса, которая определяется следующим равенством:

( 1, n = 1,

/i(ri) = < (—1)s, n = pip2...ps,

I p2\n,

где n,s E N, pl; p2, ..., ps — попарно различные простые числа.

Если m = 0 не является решением указанного сравнения, то pl(p) = p(p). Если m = 0 является решением, то в pl(p) оно не учитывается, поэтому Pl(p) = p(p) — 1.

Так как m = ^ ^ода и только тогда, когда p\F(0), то

pl(p) = { Р(Р), p\F(0), pl(p>) I p(p) — 1, p\F(0).

Применим теорему Лагранжа ([1], гл. 15, §1, теорема 148, с. 128), соглас-

np pn Тогда получим, что p(p) ^ д, если p(p) < p, поэтому

pl(d) ^ p(d) ^ gv(d), /i(d) = 0,

если p(p) < p для всех p\d. Здесь v(d) — число различных простых делителей

d

Таким образом, для \Ad\, где Ad определена условием (2), получим:

\Ad\ = — (Фщ — 1+

l-^m^d' pq^x

F(m)=0(mod d) p>yo,q>yo

(m,d) = l

+ (п(х; йт) - —й £ 0)= 5] —й X

\ —( ) рд<х / / 1^т^,

рд^х ' у 14,т4,й

р>У0,д>У0 Е(т)=0(тоё й)

(т,й)=1

х £ ^ £ №й-т)- И Ч •

рд4,х 1^т^й ' рд4,х '

р>У0,д>У0 Е(т)=0 (тоё й) Р>У0,д>У0

(т,й) = 1

где —(й) — функция Эйлер а (для п Е N функц ия —(п) есть функция, значение которой равно числу натуральных чисел, не превосходящих п и взаимно п

Введем обозначение:

я(х,й)= ^2 (п(х;й,т) —(й) ^ 0 '

1^т^й ' Ф( ) рд^х '

Е(т)=0(тоё й) р>У0,д>У0

(т,й) = 1

Тогда получим, что

\Ай\ = —й Р1(й) ^2 1 + к(х,й).

^' ' рд^х

р>У0,д>У0

Обозначим через Е(х,й) выражение:

Е (х, й) = тах

1^т^й (т,й) = 1

п(х;Л'т) - —й) ^ 1

рд^х

р>У0,д>У0

Тогда для \Я(х,й)\ будем иметь следующее неравенство:

\Я(х,й)\ ^ р(й)Е(х,й).

А так как р(й) ^ ди(й), если ^(й) = 0, то получим

\Я(х,й)\ ^ ди(й)Е(х,й).

Поэтому можно выбрать

X = £ £х = £ = —() й,

рд^х 4 '

р>У0,д>У0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

так что функция ш(й) является мультипликативной.

Получим неравенство для величины X, где

рд^х

Р>Уо,д>Уо

Представим последнюю сумму в виде двух слагаемых.

Ех - Е Е >+ Е Е >■

Уо<Р<\/Х

Для слагаемых суммы имеем:

Уо<р<л/Х У0<д<:р уо<д<т/Х т/Х<р^|

ЕЕ ^ ((р Щх/р) + Чре-^'/'П?)) “

<р<уХ Уо<д^х Уо<р<уХ 1 77

Ч * Ч»"-'■5))У

Е , Е,- Е ((щхй*°(Х-~^)У

Уо<д<^/Х у/Х<р^| Уо<д<^/Х

\п

х

+ °( ^Хе-‘^)))

\ Л — х \ '__________________________уо \ ^ 1+

^Х ^ р \п(х/р) ІП у0 ^

Уо<р<^Х Уо<р<^Х

1 2 у/х ^ / х \

+Х 2-^ а іп(х/д) іп х ^ + V 1па х)

Уо<д<^Х Уо<д<л/Х

2х 'у ___________1___________У^( -^х__________У0_^|

^ Vіп(х/р) іпуо\іп у/х іпУо)

У о <р<\/х

2у^ Vх Уо \ + Л х \

іп х \ \пу/х іп Уо) \1пА х)

іп х V іпу/х іп уо У ’ ~ ^іпА х

Отсюда получим, что

V — 2х V 1___________________+ у2 + п( х \

^х ^ р іп(х/р) іп2 х іп2 уо VіпА х)

У о <р<^х

Теперь оценим последнюю сумму. Применим лемму 1 работы [3], согласно которой

У'' 1 1 1 V — 1 + 0( 1 )

Х/ Р Ы(Х/Р) 1П ^ П 4 — 1 + 1П' ^ ’

где х ^ 2, 2 ^ и < V ^ В, В - некоторая постоянная.

Так как у0 = ехр((1п1п х)3), то

(1п 1п х)3 1п у0

У 0 = Х 1п х = Х 1п х ,

поэтому получим:

Т —1—= У

p in(x/p)

< < p in(x/p) n ^ 1 p in(x/p)

yo<P<yfx 1

x Inx ^ p < x 2

1 inOWtayobi + o(_L

in x 2—1 I in2 x

1 iJnx — Ыyo + o( 1

(in2 x) (in2 x^

1п Х 1п Уо \ 1п2 Х

После преобразований получим:

1 1 , , х 1 _ . „( 1

Р 1п

уо<р<\/х

1 1 / \ = Т~ in in — — Г— inin y0 + о( 1 ^ p in(x/p) in x yo in x yin2 x)

1 x lnlnlnx

inin-----+ О

/ in in in x \

lnx

1п Х у0 \ 1п Х

х

п ( 1 л , х ^/1п1п1п х\\ 4х у1 _ / х \

V =2x1---------------------------------------------------1п1п—+ О —-+ т^ + О •

^х ^1п Х Уо V 1п Х )) 1п х 1п у0 \1пл х)

х

у ='^Х 1п1пХ + 0>{Х- 1п1п1пх) , ,

*-^х 1п Х у0 \1п Х ) 1"1'

. -ЫЫ x + o/x lnlnln x) + ^-‘x ln x yo \ln x J ln2 y0

Учитывая теперь, что X = ^x, a y0 = exp((lnlnx)3), получим

x

X ^ ----------in in x

in x

для достаточно больших х. Теорема доказана.

1

3 Условие малости остаточного члена

Введем условие.

Существуют постоянные а (0 < а К 1), СЗ ^ 1, С0 ^ 1, такие, что

X

у к с, (3)

'31пс X

А< фох

Ха

где X ^ 2, С3 = С (С), К(х^) = |А*| — ^ X• а

Условие (3) позволяет говорить о достаточной малости остаточного члена

я(х,а)^

Проверим выполнимость условия (3).

а С0 ,

рые выберем в дальнейшем.

При достаточно большом X имеем:

а<

X а

1псо X

К ^ „2(а)з^(А)д^(А)Е

а < ха

а < 1псо х

= У ц2(d)(3gУ(dЩX,d).

а <

X а

1пс0 X

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

X

Так как а К X, то Е (X, а) ^ —, поэтому, обозначая последнюю сумму через

а

У\, получим:

<< У 'а/гездг^Е<<

а <

X

а

1псо X

1

X*(У а^М^д}2'^)‘( У Е(X,q}''\

\d<ха / \ Xа /

«X 2| > -у2'

аа

уА^а 7 ,, ха

У < 1псо X

Для первой из полученных сумм получим

1 ( „2

//_ А / Ч 2(3«)2

<((Е1) К аЬ X + 0 •

4 ^n<Xа / / V /

2

Оценим вторую сумму. Применим лемму 4 из работы [4] и следствие 2 из теоремы 6 работы [5] (гл. 9, с. 154), согласно которому для любой фиксированной постоянной С'0 > 1 и 1 < У < 1пс° X справедлива асимптотическая формула

п(А'; ^) = ш+^ )■

где С1 = С1(С) > 0, (1,У) = 1, ; д>,1) = ^ 1.

р<Х

p=l(mod ^)

Тогда для второй суммы получим:

( У E(х,д})' «-^.

< Хх 1п Т X

Тогда, выбирая 00 = 4 + 1 (3д)2, получим для суммы У1 следующую оценку:

У1 << X' (а 1пX + 1)'(3й)2--1~7^-2— << ,

1 1 ' 1п4+'(3^)2 X 1п4 X’

причем постоянная в символе << может зависеть только от д.

Итак, при а = 1/2 существуют постоянные СЗ ^ 1 и С0 ^ 1 такие, что

X

£ к сЗз^,

а < X2

а < 1пс° X

следовательно, условие (3) выполнено с а = 1/2.

4 Заключение

Отметим, что ранее были рассмотрены последовательности значений неприводимых полиномов [Г(п)^ К х}, [Г(р)^ К х}, где и Е N х Е И, х > 1, р простое число. Рихерт X. Э. получил приближения X = XX = Их соответственно и остаточный член мал в среднем в смысле теоремы Виноградова — Бомбьери.

Для последовательности [Г(рд^р = д, р К х1/2, д К х1/2}, где р, д — про-х

было получено приближение X = (Ы х1/2)2 и остаточный член достаточно мал в том смысл, что выполнено условие на последовательность.

Отметим, что при выборе приближения числа элементов в последовательности важную роль играют усредненные оценки числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Эти оценки основаны на использовании идей большого

решета Линника Ю. В. Обычно пользуются следующей оценкой: существует постоянная C (0 < C < 1), такая, что при любой постоянной C > 0

V a2(d) max n(X; d, l)-----—^ = 0\ —^| ,

kCo '!"£! *(d) Vbc X!'

где n(X; d,l) — число простых чисел p < X и p = l(modd), y(d) — функция Мебиуса, p(d) — функция Эйлера, Li X — интегральный логарифм, X — достаточно большое положительное число.

Эту оценку М. Б. Барбан доказал при C = | — £, затем А. И. Виноградов и А. Бомбьери доказали при C = 1 — £, где £ > 0 — произвольная постоянная.

Выбор приближения можно осуществлять по-разному. Чем меньше будет остаточный член (по крайней мере, в среднем), тем лучше будет результат. В работе [6] указано (но не доказано) на то, что из теоремы Барбана — Давенпорта следует, что оценка Виноградова А. И. верна и для n = pq.

Авторы отмечают, что теорема 3.3 работы [7] доказана для n = p1p2.. .ps, где p1 ^ xai ,p2 ^ xa2, ...,ps ^ xas, 0 < a1 ^ a2 ^ ... ^ as, a1 + a2 + ... + as = 1.

В настоящей работе авторами для последовательности (не обязательно различных) значений неприводимого полинома F(pq) с ограничениями на pq: {F (pq)\p = q, pq ^ x} получено, что X ^ x in In x и показано, что остаточный член достаточно мал в том смысле, что выполнено условие на последовательность: существуют постоянные C3 ^ 1 и Co ^ 1, такие, что

X

£ S(d)3v(d)\R(X, d)\ < C3.

П

lnC0 X

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.

[2] Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981. — 176 с.

[3] Бухштаб А. А. Асимптотическая оценка одной общей теоретико-числовой функции // Матем. сб. — 1937. - Т. 2(44). — №6. — С. 1239 — 1246.

[4] Левин Б. В., Тимофеев Н. М. Распределение арифметических функций в среднем по прогрессиям (теоремы типа Виноградова - Бомбьери) // Матем. сб. - 1984. - Т. 125 (167). - №4(12). - С. 558 - 572.

[5] Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983. _ 240 с.

[6] Рихерт X. Э. Решето Сельберга / Вып. Проблемы аналитической теории чисел. Перевод с англ. Б. В. Левина. М.: Мир, 1975. — С. 7 — 42.

[7] Барбан М. Б. Метод "большого решета" и его применения в теории чисел

ц умн. - 1966. - Т. 21. - №1 (127). - С. 51 - 102.

Воронежский государственный университет e-mail: [email protected] Поступило 05.03.2012

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.