Асимптотика собственных значений индефинитных квазидифференциальных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

контура на ст = 1, которое только намечено, но почти не приведено в работе [3, лемма 1, доказательство леммы 6а].

2. Введение условия (1) вместо условия (2) существенно упрощает доказательство оценки сверху для простых чисел арифметической прогрессии в работе [3, теорема 1].

3. Ранее К. Исеки [4, лемма 6] получил асимптотику для

k<z.

n£z, (п,к)=1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ингам А. Е. Распределение простых чисел. М.; Л., 1936.

2. Прахар К. Распределение простых чисел. М., 1967.

3. Климов НИ. Малое решето // Матем. заметки. 1980. Т. 27, вып. 2. С. 161 - 174.

4. Iseki К.A Divisor Problem involving Prime Numbers // Japanese J. of Mathematics. 1951. Vol. 21. P. 67 - 92.

УДК 517.928

И. И. Ефремов

АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ИНДЕФИНИТНЫХ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

1. Введение. Пусть на отрезке [0,1] задан линейный квазидифференциальный (к.д.) оператор Ь, определяемый к.д. выражением

Опу = у[п\ (1)

где

ОкУ = У*1 = + ЪРк]УШ. к = п, и-1,... ,1,

ах ;=0

О0у = у[0]=у, Рк]еЬ[ 0,1] и линейно-независимыми нормированными [1, с. 65] краевыми условиями

^00=^00 + ^100 = 0, у = 1,2,...п, (2)

иу о (у) = + ' «V У1 (0),

7=0

C/Vlw = ßv3'[tv,(i)+x'ßv^d),

y = 0

где avy,ßvyeC, |av| + |ßv|>0 для l<v<«, w-l> Ar, >k2 >->k„ >0, kv+2 < kv для 1 < v < n - 2.

Рассмотрим задачу о собственных значениях (с.з.) оператора L с весовой ступенчатой функцией г{х) в виде:

Ly = Xr(x)y, (3)

где г: [0,1] -> С \ {0} - ступенчатая функция, г(х) = гк, если xelk, к = 0,1,...,т, /0 =[а0 =0,а,]; 1к=(ак,ак+1] для к* 0,

а0=0<а1<а2<-<аи+,=1.

К.д. выражение Dny = У"' является обобщением линейного дифференциального выражения «-го порядка [1, с. 13]:

1(у) = ум + рУ"-1)+- + рпу. (4)

Задачи о собственных значениях линейных дифференциальных операторов с весовой функцией г(х) были предметом многочисленных исследований Лангера (см., например, [2]) и других авторов. В этих исследованиях г(х) предполагалась достаточно гладкой функцией, а дифференциальное выражение 1{у) имело специальный вид. W. Eberhard, G. Freiling, А. Schneider в [3] рассмотрели задачу о собственных значениях линейных дифференциальных операторов со ступенчатой весовой функцией г(х) в наиболее общем виде. При этом предполагалось, что г(х) принимает только действительные значения, коэффициент р1 (х) в (4) либо равняется тождественно 0, либо является достаточно гладкой функцией, а краевые условия удовлетворяют определенным требованиям, называемым условиями регулярности.

В этой статье будет одно определение регулярности задачи (3), которое обобщает определение регулярности, данное в [3] на случай к.д. операторов и комплекснозначной функции г(х) для п = 2//. При этом при определенном расположении ступенек г(х) получены более точные асимптотические формулы для с.з. задачи (3) по сравнению с [3]. При этом мы будем только предполагать, что ркк_\ еЦ0,1], а это соответствует случаю, когда р{ е ¿[0,1].

Пусть далее для определенности n = 2\i.

2. Условия регулярности. Обозначим Ä(x) = (-l)"+1/"r(x), Х = р".

Пусть

Д4=(-1)"+1,-"г4=1

где 0<(р£ <2я, к = 0,т, =

п п п п \

Для каждого Як разобьем всю комплексную р -плоскость на 2п секторов. Рассмотрим всевозможные пересечения (т +1) секторов 5у0(Ло)п---п5уи(Лт). где У0, V,,..., ут =0, ...,2и-1, тогда комплексная р -плоскость будет разбита на не более, чем N = (т + 1)2п секторов. Пусть 5 один из таких секторов. В каждом 5-секторе можно занумеровать корни и-й степени {wkj}j=^ п из таким образом, что

Лерм^, <...<Кери^,,, к = 0,1,... ,т, р е 5. Положим

<х,хА| 1 1 ■а1хст Р/'

а2х*2 ' 1 ...а2х*2 Р2х*2 а+1

■■•«Л" В х4" ...Р„х*;

иметь

Определение. Будем говорить, что оператор Ь порожден регулярными краевыми условиями (2), если в любом 5 -секторе определители

©О'^о......

©(/и-о,,..., г>011_,, + ..., Ыт„),

0(/м>0], ..., /и>0ц; +2,—,!">„„)

отличны от 0.

В этом случае имеет место следующая теорема. ТЕОРЕМА. Пусть п = 2ц, - &rgrj Ф 0если

0<aIgr¡,aIgrj <2п, тогда регулярная задача (3) будет

2(т +1) последовательностей собственных значений

р'к = ккга1 + А, + И'к, (5)

р'к =пк1Ь, + В, + , (6)

где а1, Ь,, А;, В, - некоторые комплексные константы, а к'к =о(1), =о(1), к ->оо.

Если ркк_хе1}[0,\] , к = 1, ...,и,то

со т

О |2

М к = \

'<00,

(7)

к = 1

Замечание. Если а^г; = а^г- для некоторых /,_/, то можно получить оценки для р'к в виде р[ =пк1{С[ + 0(|)}, где с1 некоторая комплексная кон-

станта, l = \,...,p, а р некоторое целое число. Аналогичные формулы можно получить для нечетного п. При получении оценки (7) используется лемма, обобщающая известную лемму Кесельмана, полученная в [4].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука,

1969.

2. Langer R. // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. Vol. 40. P. 545 - 582.

3. Eberhard W., Freiling G., Schneider A. II Differential and Integral Equations. 1990. Vol. 3, November. P. 1167 - 1179.

4. Рыхлое B.C. Разложение по собственным и присоединенным функциям квазидифференциальных и интегральных операторов :Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1981.

УДК 517.984.36

М. Ю. Игнатьев

ЛИНЕЙНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ОСОБЕННОСТЬЮ1

Пусть D - область на комплексной плоскости, звездная относительно 0, A(D) - пространство функций, аналитических в области D, с топологией

равномерной сходимости на компактах, Ak{D) = jz*/(z),/е A(D)j, k е N . Пусть у е (О, я/2). Будем говорить, что звездная относительно 0 область D удовлетворяет условию R(у), если z € D => {zexp(±z7 — t ctgy)}ig^Q ^^ с D. Отметим, что, если у, >у2, то область, удовлетворяющая условию /?(у,), удовлетворяет также условию R(у2 ).

Введем в рассмотрение следующую полугруппу операторов дробного интегродифференцирования, построенную на основе оператора Чезаро / :

1а№ = К"1 (1/т)Дгт)Л, а > 0; (1 )

Г(°0о

r7(z) = 4(z/(*)> /а=/[а1/аЧа1,а<0. (2)

dz

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Саратовского международного центра перспективных исследований, грант № 99-1 -01.