CC BY
16
станта, l = \,...,p, а р некоторое целое число. Аналогичные формулы можно получить для нечетного п. При получении оценки (7) используется лемма, обобщающая известную лемму Кесельмана, полученная в [4].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука,
1969.
2. Langer R. // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. Vol. 40. P. 545 - 582.
3. Eberhard W., Freiling G., Schneider A. II Differential and Integral Equations. 1990. Vol. 3, November. P. 1167 - 1179.
4. Рыхлое B.C. Разложение по собственным и присоединенным функциям квазидифференциальных и интегральных операторов :Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1981.
УДК 517.984.36
М. Ю. Игнатьев
ЛИНЕЙНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ОСОБЕННОСТЬЮ1
Пусть D - область на комплексной плоскости, звездная относительно 0, A(D) - пространство функций, аналитических в области D, с топологией
равномерной сходимости на компактах, Ak{D) = jz*/(z),/е A(D)j, k е N . Пусть у е (О, я/2). Будем говорить, что звездная относительно 0 область D удовлетворяет условию R(у), если z € D => {zexp(±z7 — t ctgy)}ig^Q ^^ с D. Отметим, что, если у, >у2, то область, удовлетворяющая условию /?(у,), удовлетворяет также условию R(у2 ).
Введем в рассмотрение следующую полугруппу операторов дробного интегродифференцирования, построенную на основе оператора Чезаро / :
1а№ = К"1 (1/т)Дгт)Л, а > 0; (1 )
Г(°0о
r7(z) = 4(z/(*)> /а=/[а1/аЧа1,а<0. (2)
dz
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Саратовского международного центра перспективных исследований, грант № 99-1 -01.
Рассмотрим следующий интегро-дифференциальный оператор дробного порядка а > 2:
I = Га(Е + Я) + Га+10, 3)
Я/(7)=|Я( х)/(п)А, (4)
о
<2^) = (5)
о
Основной результат работы - следующая
ТЕОРЕМА 1. Пусть а > 2, область £> удовлетворяет условию /?(у) для некоторого 7г/2-л/а<у<7г/2. Пусть /,- оператор вида (3) - (5), где функция )- аналитическая по г при любом фиксированном Г, и для некоторого р > 1 принадлежит как функция I пространству Ьр[ОД] при каждом фиксированном г е О, и для любого компакта К И
зиРII б(2'011^ [о,1]<00• (6)
геК Р
Пусть Я(/) = Я,( 1п(1Д)), Я, (0 аналитична в области = {г:(аге^ |<7с/2 + тг/сх}, и:
|Я,(0|< С|гГ' ехр(цуМ) (7)
где е>0,ц0 е [0,1),}Л, >0,у0 е[0,л:/2), у = 0 если | а^г |< , у' = 1 если \4/о <|а^Г \<п/2 + к/а.
Тогда существует п е N такое, что для любой звездной относительно 0 области О'сВ оператор Ь линейно эквивалентен в Л„(£>') оператору Ц:
Ц =Га(Е + Я + /Й), (8)
где
Qx№=\Q{Ъ,t)f{zt)dt. (9)
о
Если, кроме того, все собственные значения оператора (8), (9) различны, то операторы Ь и Ц линейно эквивалентны в А(О').
При получении теоремы 1 используется развитие метода, предложенного и развивавшегося ранее в работах В.А. Марченко, Л.А. Сахновича, А.П. Хромова, И.Г. Хачатряна, О.В. Седина, В.В. Рындиной, М.С. Еремина. Отметим преемственность полученных результатов с результатами работ [1, 2], посвященных изучению вопросов линейной эквивалентности дифференциальных операторов целых порядков с особенностью, обобщающих классический оператор Эйлера, а также интегро-дифференциальных операторов целого порядка вида:
Ьу = г"у(п) + + )р(2,1М№. (10)
у=1 о
Одним из возможных приложений теоремы 1 является изучение поведения рядов по собственным функциям оператора I.
Будем предполагать для определенности, что функция 6(2,0" целая по переменной г, и все собственные значения оператора Ц различны. В этом случае для каждого к е N существует единственная собственная функция
Л—1 к
у(г, к) оператора Ь, представимая в виде у(г,к) = г +'г ср(г, к), <р(г, к) е А(О), причем любая собственная функция оператора Ь совпадает с точностью до постоянного множителя с одной из функций у(г, к). Рассмотрим ряды
ХЛ*4-1. (11)
*=1
(12)
¿=1
с одной и той же последовательностью коэффициентов {ак}.
ТЕОРЕМА 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, где область О совпадает со всей комплексной плоскостью. Пусть все собственные значения оператора различны. Пусть, кроме того, радиус сходимости ряда (11) отличен от 0. Тогда
1. Ряд (12) сходится в А(К), где К - круг сходимости ряда (11).
2. Обозначим через /(г) и g(z) функции, представляемые в окрестности 0 рядами (11) и (12) соответственно, через и £>й звезды Митгаг-Леффлера функций /(г) и g(z). Тогда и £5(7)£(г)5->+0 в
4р.). • „М-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рындина В.В. Об эквивалентности дифференциального оператора п-го порядка с регулярной особой точкой и оператора Эйлера в пространстве А(0//Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20, № 3. С. 674-678.
2. Еремин М.С. Оператор преобразования в звездообразной области решений некоторых интефо-дифференциальных уравнений высших порядков. Минск, 1990. 49 с. Деп. в ВИНИТИ 07.05.90, № 2381 - В90.
