CC BY
28
УДК 517.55
Двухточечная задача Дирихле для дифференциально-операторного уравнения второго порядка в локально выпуклом пространстве
Н. А. Аксёнов
Орловский государственный университет ул. Комсомольская, д.95, г. Орёл, 302026, Россия
В работе описывается метод, позволяющий находить решение задачи Дирихле для дифференциально-операторных уравнений второго порядка в произвольном локально выпуклом пространстве.
Ключевые слова: задача Дирихле, дифференциально-операторное уравнение, локально выпуклое пространство, порядок оператора, тип оператора.
1. Введение
Особое место в теории краевых задач занимает задача Дирихле. Будучи подробно изученной для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, эта задача продолжает вызывать большой интерес. Во многом это обусловлено как дальнейшим развитием самой математики, так и различных её приложений к физике, механике и другим дисциплинам. При этом становится всё более очевидным тот факт, что исследование многочисленных краевых задач (в частности, задачи Дирихле) для дифференциальных, интегро-дифференциальных, разностных и других видов уравнений может быть сведено к решению краевых задач для дифференциально-операторных уравнений в абстрактных пространствах.
За последние несколько десятилетий рассмотрению задачи Дирихле в абстрактном (в основном, банаховом) пространстве посвящено достаточное количество научных работ (например, [1-8]). Как правило, исследование задач для дифференциально-операторных уравнений (в том числе вопросов, связанных с их корректностью) проводится с помощью теории полугрупп [9,10].
Однако ненормируемость многих функциональных пространств подталкивает к изучению краевых задач в произвольном локально выпуклом пространстве. В пользу подобных исследований свидетельствует и то, что публикации по этой проблематике практически отсутствуют в русскоязычной литературе.
Для исследования поставленной ниже задачи Дирихле мы будем применять характеристики линейного оператора (порядок и тип), а также фиксированного вектора относительно линейного оператора, введённые В.П. Громовым [11,12] и получившие дальнейшее развитие в работах С.Н. Мишина [13-15].
2. Постановка задачи. Теорема существования и единственности решения
Пусть Н — счётно-полное локально выпуклое пространство с топологией, определяемой мультинормой {|| ■ ||р}, р Е V и пусть А : Н ^ Н — линейный непрерывный оператор. Обозначим (Л) = П И(А1), где Б(А1) — область
определения оператора А1, I > 0. Всюду далее предполагается, что ^оо(А) = 0.
Рассмотрим уравнение
и"(г) = Аи(г), (1)
Статья поступила в редакцию 18 июня 2009 г.
для которого поставлена двухточечная задача Дирихле: найти вектор-функцию и(1) (см. [16]), удовлетворяющую уравнению (1) и граничным условиям
и(а) = х1, и(Ь) = х2, а = Ь, а,Ь е С, х1,х2 еБ^(А). (2)
Множество
М = {х е Б^(А) : Рр(х) < 0, Ур, при Рр(х) = 0 ар(х) <л2/\Ь-а\2, Ур}
будем называть множеством исходных данных задачи (1)—(2). Здесь Рр(х) и ар(х) — соответственно операторный р-порядок вектора х и операторный р-тип вектора х относительно оператора А [11-13].
Замечание. Если Зр0 : РРо (х) = 0, то можно считать, что Рр(х) = 0, Ур.
Действительно, в монографии [13] приведена теорема: Пусть оператор А имеет р-порядки /Зр и порядок р. Если для некоторого р0 е V, РРо = Ь ^ Р, то можно выбрать такую мультинорму в Н, эквивалентную исходной, что Ь ^ Рр ^ Р, Ур. В [13] также отмечено, что эта теорема справедлива применительно и к операторным порядкам фиксированного вектора. Учитывая, что х е М, имеем Рр(х) ^ 0, Ур. Поэтому, если Зро : РРо (х) =0, то в силу сказанного выше можно считать, что Рр(х) = 0, Ур.
Теорема 1. Ух1,х2 е М двухточечная .задача Дирихле (1)-(2) имеет единственное решение. Оно является целой вектор-функцией и(Ь) со значениями в Н и задаётся формулой
3
в которой
и(1) = ^иг (I), (3)
¿=1
и^) = £ А^ -а)2", (4)
п=0 ж
п,т=0 4 7
и т = 1 ^ Ст(ь - а)2кАк+т+п(х1) (, а)2п+1 (6)
из() = ~-а) ' (6)
где ст — коэффициенты ряда ^ ст£т, \£\ < л2/\Ь-а\2, определяемые равенства-
т,=0
ми
2(-1)т(22т-1 - 1)( Ь — а)2т
со = 1, ст = ( ) (-——^-Вт, т > 1, (7)
(2т)!
Вт — числа Бернулли.
Лемма 1. Пусть Рр(х^) < 0, Ур, ] = 1, 2. Тогда ряды (4)-(6) сходятся абсолютно по топологии пространства Н на всей комплексной плоскости и определяют целые вектор-функции щ(£), г = 1,3.
Доказательство. Оценим общие члены степенных рядов (4)-(6) по топологии пространства Н. Из определения операторного р-порядка вектора относительно оператора вытекает оценка [13]
Ур, Уе > 0, ЗСр(е ,х), Уп : \\Ап(х)\\р <Ср(е ,х)п(Ых)+е)п. (8)
Используя эту оценку и формулу Стирлинга
п
_ / п\п е
\ = у/2кп[~) е , 0 < в < 1,
для общего члена ряда (4) приходим к оценке: Ур, Уе > 0, Уп
Ап(Х1)
(2п) !
<
^ (2)
2п
(РР( х1)+е-2)п
(9)
(10)
Из условия Рр(х\) < 0, Ур и произвольности £ > 0 следует, в силу (10) и аналога формулы Коши-Адамара [16]
г„ =-— , г = М г
11ш уЦХпЦр (Р) '
(11)
где г — радиус сходимости ряда ^ хп1п, определяющего вектор-функцию / (Ь),
п=0
что степенной ряд (4) сходится абсолютно по топологии пространства Н на всей комплексной плоскости и определяет целую вектор-функцию щ (£). Согласно (8)-(9), для общего члена ряда (5) имеем: Ур, Уе > 0, Уп
1
(2п + 1) !
£ стАт+п(х2)
т=0 „2п ж
<
1
(2п)
£ стАт+п(х2)
т=0
<
<
(2)^\п2п ж
4 пп2п ^
т,=0
с С(Р2)(е)е
Р 4п^2п
1ст1(т + п)( Ы *2)+?)(т+п)
т=0
= Ср2\е)е2п грр(Х2)+е)п + С^2)(е)
п 2 п
4пп
п
е)п + ^ Р
(2)и\а2 п ж
п 2 п
4 пП
1ст1(т + п)(^Р(^2)+е)(т+п). (12)
■т=1
Так как ст — коэффициенты ряда, сходящегося в круге |£| < к2/\Ь — а|2, то Ут истинно неравенство
/\h-al 2 \т М <м[ 1 2 1 + еЛ , £1 > 0, 0 <М = еопв^
(13)
Поскольку Рр(х2) < 0, Ур, из произвольности £ > 0 следует, что Рр(х2) + е < 0, Ур, значит, верно неравенство: (т + п)(Рр(х2)+£)(т+п) ^ п(Рр(х2)+е)пт(рР(х2)+е)т. Полученное неравенство и (13) преобразуют оценку (12) к виду: Ур, Уе1 > 0, Уп
£
ш=0
стАт+п(х2)
(2п + 1)!
<
2 ( °° / 11. |2\т \ < С(2)(е)(к|) п п(Ы^+-2)п 1 + М £ ( + т(. (14)
\ т=1 ^ ' /
Очевидно, что числовой ряд с положительными членами, стоящий в правой части (14), сходится по признаку Коши. Обозначив его сумму через Я1(р,е,е1), неравенство (14) перепишем так: Ур, Уе1 > 0, Уп
Е
ш=0
СтАт+п(Х2)
(2п + 1)!
<С(2) (е)(1 + М31(р,е,£1))(2) 2П п(М-2)+^-2)п. (15)
р
р
р
р
р
Оценка (15) и формула (11) приводят к утверждению леммы для ряда (5). Для общего члена ряда (6) имеем в силу (8)-(9): Ур, У £ > 0, Уп
2 к
■ж ст(Ъ а)2к т+п+к(х ) ^ (2п +1)!(2 к)Г (х1)
т,,к=0
<
^^ Ст(Ъ ^ а) ^ А^+^+к (х1)
<
2п
т,,к=0 \2к
<
4 Пп2
ж ж \h-ri №
Е \ С™\ Е ^щг\\ Ат+п+к (х1)\\* <
<
т=0 к=0
С(3)(е) р2п ж Ж \Ь а 2к
Е ы Е ^^От т+п+к)Мх1)+)(»++*) =
т=0 к=0 ( )!
+
С(3)(е) „2п ж
= Е \с™\(т + п)(МХ1)+^+п)+ (16)
ш=0
С (3)(е) р2п ж ж а 12к
Е Ы£ (т + п + к)^Х1)+^+^. (17)
т=0 к=1 ( )!
Учитывая, что Рр(х1) < 0, Ур, а е > 0 — произвольно, аналогично предыдущему случаю, для ряда (16) имеем: Ур, Уе 1 > 0, Уп
С (3)(^)р 2п ж
Е\(т + п)(МХ1)+^) <
т=0
< С^3)(е)(1 + МБ2(р, е, е1))(2) ^ п(Ых1)+е-2)п, (18)
ж / .2
где в2(р,£, £1) — сумма ряда X] ( 1 + еИ т(13р(х1)+£)т.
т=1 ^ '
Кроме того, из условия Рр(х{) < 0, Ур и произвольности е > 0 вытекает справедливость неравенства
(т + п + к)(Рр(х1)+е)(т+п+к) ^ (т + п)(^р(х1)+е)(т+п)к(^р(х1)+е)к,
которое в сочетании с (18) приводит для ряда (17) к оценке: Ур, Уе 1 > 0, Уп
С(3)(^)р2п ж ж 1г. а\2к
Е ^ Е \1ЩГ(т + п + к)^(х1)+^+к) <
Ст \ ш=0 к=1
(3Ьа-\ю2п Ж
С(3)(е) р2п ж ж \Ь а №
т=0
к=1
(2 к)!
< С(3) (е)(1 + Мв2(р, е, £1)) (?)2П п(^-(х1)+е-2)п V ^ . аГ к(^-(х1)+£)к. (19)
\2; к=1 (2к)!
Нетрудно показать, что числовой ряд
•Ж \Ь- а\2к
к=1
к(Рр(х1)+е)к
(20)
р
р
мажорируется сходящимся в силу признака Коши числовым рядом
^ \Ь — а\2ке2к ^^рр(х1)+е-2)к. к=1 4
Пусть Б1(р,е) — сумма ряда (20). Тогда из (18)-(19) следует, что Ур, Уе1 > 0, Уп
ст{Ъ — а)2к + п+к, ) ^ (2п + 1)1(2^)1Л (Х1)
< С(3) (е)(1 + 51 (р, е))(1 + МБ2(р, е, £1)) (|) " п(МХ1)+£-2)п• (21)
т,к=0
<
Из (21) и (11) вытекает абсолютная сходимость степенного ряда (6) по топологии пространства Н УЬ Е. С. Лемма доказана. □
Лемма 2. Пусть ) = 0, ар(х^) < п2/\Ь — а\2, Ур, ] = 1,2. Тогда ряды (4)-(6) сходятся абсолютно по топологии пространства Н на всей комплексной плоскости и определяют целые вектор-функции щ(£), г = 1, 3.
Доказательство. Пусть выполняются условия леммы. В этом случае для оценки общих членов рядов (4)—(6) воспользуемся приведённым в [13] неравенством Ур, Уе > 0, 3Ср(е,х), Уп : \\Ап(ж)||р < Ср(е,х)(ар(х) + £)пп^р(х)п, принимающим при Рр(х) = 0, Ур вид
Ур, Уе > 0, 3Ср(е,х), Уп : \\Ап(х)\\р < Ср(е,х)(ар(х) + е)п. (22)
Аналогично лемме 1, для общего члена ряда (4) в силу (22) имеем оценку
Ап(х1)
(2п)
/ р \ 2п
< С(р4)(£)[-) К(®1) + £)пп-2п, УР, У£ > 0, Уп,
из которой, с учётом (11), следует абсолютная сходимость ряда (4) по топологии пространства Н на всей комплексной плоскости.
Применяя оценку (22) к общему члену ряда (5), имеем: Ур, Уе > 0, Уп
1
(2п + 1)! ^
Е стАт+п(х2)
т=0
<
р
1
2 п
(2п)
Л5),
Е стАт+п(х2)
т=0
<
р
\пп2п О
< ^ £ \ст\-\\А-+п(х2)\\р < Ср (£)(а4п(;2)+ £)пв Е ЫК(^) + в)™.
4 пп2
т=0 т=0
Из оценки (13) для коэффициентов ст следует, что числовой ряд
Е \°т\(ар(Х2) + ¿У
(23)
т=0
мажорируется суммой бесконечно убывающей (в силу произвольности в > 0, £1 > 0 и условия ар(х2) < п2/\Ь — а\2, Ур) геометрической прогрессии
ОО / £
т=0 х
\Ь — а\2
к2
+ еИ (ар(х2) + е)т =
1
1 — (Ы + е^ (ар(х2) + е)
(24)
р
т
Пусть Я2(р, £) — сумма ряда (23). Тогда Ур, Уп
1
(2п + 1)! ^
£ стАт+п(х2)
т=0
< Ср\е)32(р, е)(ар(х2) + е)пе2п
4Пп2п ' ^ '
Оценка (25) и формула (11) устанавливают абсолютную сходимость ряда (5) по топологии пространства Н на всей комплексной плоскости.
Наконец, из (22) для общего члена ряда (6) имеем: Ур, Уе > 0,Уп
^^ Ст(Ь а) ,т+п+к( х )
^ (2п +1)!(2к)Г (Х1)
т,к=0
<
^^ ^ а) ^ Ат+п+к (х^)
т,к=0
<
< ъ' Е ыыхо+.г Е ¡ур ых1)+С)
4 пп2п
(2к)! ^
Ст | ( ар(х1)+£ )т. (26)
т,=0
В силу условия ар(х1) < п/\Ь — а\2, Ур, ряд, стоящий в (26), мажорируется рядом (24), в котором следует заменить х2 на х1. Обозначая через Я3(р, е) сумму ряда (23), в котором х2 заменено на х1, перепишем (26) следующим образом: Ур, Уп
Ст(Ъ а)2к ,т+п+к(х )
^ (2п +1)!(2 к)!А (х1)
ш,к=0
<
< с^ |Ь — а\^ар(х1) + е^
сР6)(£)Бз(р, £)(ар(х1 ) + £)пе2п
4 п п2 п
(27)
Из (11) и (27) вытекает справедливость утверждения леммы для ряда (6). Лемма доказана. □
Доказательство (теоремы 1). Известно [17,18], что единственное решение задачи Коши и"(1) = Аи(1), и(0) = у1, и'(0) = у2, у1, у2 € О^(А), имеет вид
и(г) = £
Ап(у 1)
1) ,2п + у^ Ап(У2) ,2п+1
(2 п)! + ^(2п + 1)! .
Легко убедиться, что задача Коши с начальными условиями и(а) = у1, и'(а) = у2 будет иметь единственное решение
и(1) = У (г — а)2п + ^ ,л2п+1
^ (2п)!
п=0 4 '
(2п + 1)!
п=0 4 '
(г — а)2
(28)
Как отмечено в [17,18], вектор-функция (28) является целой при Рр() < 2, Ур, % = 1, 2. Очевидно, в нашем случае это условие выполнено (так как векторы у1, у2 € М). Поэтому значение функции и(1) определено в любой точке комплексной плоскости. Используя (2) и (28), приходим к уравнению относительно у2 (легко видеть, что у1 = х1):
^ ( 6 — а)2п+1 ^ — а)
п=0 (2п +1)!
п=0 4 '
Ап( У 2)=х2 — У
2 п
п=0
(2 п)!
-Ап(х1).
(29)
р
р
р
к
р
Поскольку а = Ь, уравнение (29) представимо в виде:
<р(А)(У2 ) = У, (30)
где
О
р(А) = Е — ^ХпАп, (31)
п=1
Л = (Ь — *)2п (32)
Лп = — , (32)
*=ь—та —± (-)), (33)
а Е — тождественный оператор.
О
Оператор р(А) имеет характеристическую функцию р(£) = 1 — ^ Лп£п, схо-
п=1
дящуюся для Лп из (32) на всей комплексной плоскости. Согласно [13], если функция р(£) является аналитической в окрестности нуля, то функция ф(£) =
О
( Р(С))-1 = п также является аналитической в окрестности нуля. В этом
п=0
случае уравнение (30) имеет единственное решение [13]
О
У2 = Е ^(У). (34)
п=0
Очевидно,
-Ь(( Ь — )
О
п
р(6 = 1 — У] ЛпС =
поэтому
п
п=1
(6 — а)^
»«>= Ы^^ (35)
Пользуясь разложением [19]
1 -1+5:г1—1)Вт,2т-1, 0 <м<„,
т —' I Угп И
-Ьж х ^ (2т)!
" =1
получаем представление функции (35) степенным рядом
= = £ С"Г, К\ <^2/\6 —а|2, (36)
-Ь((& — а)^) ^
"=0
коэффициенты ст которого определяются равенствами (7). Подставляя (33) в (34), находим у2 :
1 О 1 О ^ (Ь-п)2к
У = гЪ Г — ^ £ ^"^¡г-^'"^) (37)
"=0 т,к=0 у '
Учитывая ^ = ж1 и (37) в (28), приходим к равенствам (3)-(6). В силу доказанных выше лемм 1-2 степенные ряды (4)-(6) сходятся абсолютно и равномерно по топологии пространства Н на всех компактах комплексной плоскости, а потому допускают почленное дифференцирование по переменной £ любое
число раз. Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция задаваемая равенствами (3)—(6), удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям (2).
Единственность решения задачи является следствием его голоморфности. Теорема доказана. □
3. Теорема устойчивости
Теорема 2. Пусть оператор А имеет порядок 0 < 0, при 0 = 0 его тип а < п2/\Ь — а\2. Тогда решение задачи (1)-(2) непрерывно зависит от краевых значений х^, ] = 1, 2, то есть является устойчивым.
Доказательство. Пусть условия теоремы имеют место. Из определений порядка и типа оператора [11-13] следуют неравенства 0р ^ 0, ар ^ а, Ур, где /Зр — р-порядок оператора А, а ар — р-тип оператора А. Рассмотрим два случая.
1. Если 0 < 0, то из оценки [13] Ур, Уе > 0, 3Ср(е), 3 д(р, е), Ух е Н, Уп : ||Ап(х)||р < Срп(^р+£">п\\х\\ч, в круге \Ь — а\ < г,г < ж, для общих членов рядов (4)-(6), аналогично доказательству лемм 1-2, соответственно имеем: 1) для ряда (4): Ур, Уе > 0, Уп, У хх е Н
тах
^-а\<г
Ап(х{)
(2 п)!
(t _ а)
2п
<СР7)(е)(-\ п™
р \ 2 п
е\ „ ( ¡3V+е-2)п
2
г2п. Ч1 .
(38)
2) для ряда (5): Ур, Уе i > 0, Уп, УХ2 Е Н
тах 1г-а1<г
^ СтАт+П(х2) и г,\2п+1
\ (2п +1)! (t -а)
т=0 4 '
<
<C¡8)(e)(1 + MS3(p,e, si))(|)^ п^+^ХЬг2^1, (39) где S3(p ,£, е1) — сумма ряда
'1Ъ-а\2
^ ílb-al2 \
т=1 ^ '
(Рр +е)т.
3) для ряда (6): Ур, Уе 1 > 0, Уп, Ух1 Е Н
(40)
тах 1г-а1<г
g ст(Ь _ а)2кАк+т+п(х{) ^_а)2п+1
ш,к=0
(2 п + 1)!(2 к)!
<
< С(9)(е)(1 + Si(p, е))(1 + MS3(p, е, £i)) (0 2п п(^+е-2)п\\х11|
„2 п+1
(41)
где 53(р,£, ех) — сумма ряда (40), а в4(р, е) — сумма ряда ^ 1 ^^ к(13р+£)к.
к=1
2. Если 0 = 0, то в силу замечания и определения порядка оператора можно считать, что /Зр = 0, Ур. Применяя оценку [13]
Ур, Уе > 0, 3Ср(е), 3 ф, е), Ух е Н, Уп : \\Ап (х)||р < Ср(ар + е)пп^рп\х\<1
к общим членам рядов (4)-(6) при ар < п2/\Ь — а\2, Ур, в круге \^ — а\ < г, г < ж, соответственно получаем:
р
р
р
Ч
1) для ряда (4): Ур, Уе > 0, Уп, Ух\ е Н
max
lt-al<r
An(xi\t _ а)2п
(2 п)!
/ р \ 2п
< С(р10)(e)(1) К + е)пп-2п"~- 11 -2п-
(42)
2) для ряда (5): Ур, Уп, Ух2 е Н £
max
lt-al<r
т=0
СтАт+П(х2) ,, \2п+1
~12ПТТ)Г( —а)
<
<
C¡,n\e)S5(p, е)(ар + е)пе2п
4 пп2п
\\х2\\чг2п+\ (43)
где S5(p, е) — сумма ряда
£ |cml(ap + e)m;
(44)
m=0
3) для ряда (6): Ур, Уп, У х1 е Н
max
lt-al<r
g cm(b _ а)2кАк+т+п(х\) ^_а)2п+1
т,к=0
(2 п + 1)!(2 к)!
<
< ch (|6 _ а1^/ар + е) где S5(p, е) — сумма ряда (44).
cP12)(e)S5(p, е)(ар + е)пе
4 пп2п
п 2 п
г2п+1, (45)
Из оценок (38)-(39), (41)-(43) и (45) следует, что в условиях теоремы ряды (4)-(6) сходятся абсолютно и равномерно по топологии пространства Н и непрерывно зависят от краевых значений х, j = 1, 2. Теорема доказана. □
Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие применение теорем 1-2.
Пример 1. В пространстве Н = Н (C) всех целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах найдём решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
d2u d2u п .лп.
W +=0, (46)
удовлетворяющее условиям: х1 = u(0) = cos , х2 = u(1) = sin .
Для оператора А = _ по индукции легко установить равенства Ап (cosz) = cos z, A^sinz) = sin z. Решение рассматриваемой задачи представляется, в силу теоремы 1, рядами
= ^ An(cosZ) ,2п + ^ CmAm+rl(sinZ) ,2п+1
(t) = (2 п)! г + ^ — г
п=0
п,т=0
(2 п + 1)!
_ ¿ c-Ak+m+:(cos^t™=cos,
п,т,к=0
(2п +1)!(2 к)!
ch t+sin zsht ^^ cm_cos z ch 1 sh t ^^
= cos zcht +
zsht > cm_cosz
m,=0
sin sh ch 1
C™.
m,=0
sh 1 sh 1
--— coszsh t, (47)
р
р
р
4
х
поскольку при а = 0, 6=1, £ = 1 из (36) следует, что Y1 °т = 1/ sh 1. Используя
т,= 0
определение р-порядка и р-типа вектора относительно оператора [13]
pjx) = üm ln \\АП(х)\\р а (х) = üm п-13р(х) \¡\\Ап(х)\\ю (48)
п^х П ln П п^-х V
нетрудно показать, что Рр(х1) = Рр(х2) = 0, ар(х{) = ар(х2) = 1 < к2, т.е. вектор-функция (47) является целой.
Пример 2. Пусть Н = [1,1] — пространство целых функций, порядок роста которых р ^ 1, а при порядке р = 1 тип а ^ 1. Топология на [1,1] определяется
системой норм \\F(z)\\E = sup i max|F(z)le-(1+eV 1 , VF(z) e [1,1], Ve > 0. Пусть
r>0 (.N^ J
А = dj — оператор дифференцирования. Найдём решение задачи Дирихле для уравнения (1) с условиями х1 = и(0) = sin z, х2 = u(—i) = ez. По теореме 1 решение задачи имеет вид
An(sin¿^2^. с^Ат+п(ez^2п+1
„m-V A (sin^)t2n + i V CmA с )t2
и() — П= (2n)l + ^^ (2n + 1)! *
n= 0 4 y п,ш=0 4 y
_. ^ cm(-1)kAk+m+n(sinz) 2п+1 - 0 (2- + 1)!(2fc)! '
По индукции легко установить, что (sinz)( п) — sin(z + жп/2), поэтому
х
sin u
. . v-^sin( z + zn) 2п ez sh t
n= 0
k
n,m,k=0
-* ? .(¿ПТ^Г^ {' + f<* + » + '») ¡2n+1 •
где коэффициенты ст определяются равенствами (7).
В [13] доказано, что F G [р,а] : 0 < p(F) < р, p(F) = р < 1, имеет операторные е-порядки и е-типы относительно оператора дифференцирования dz
ß- (f. d-) = ^ß (f. ) .
( d \ 1 -p(F) i / d \ aJF, — j = e-^n-(p(F )a(F)) ^ = a\F, — j ,
где p(F) и a(F) — соответственно порядок и тип целой скалярной функции F.
Поскольку p(sinz) = р(ez) = 1, ^(sinz) = а(ez) = 1, имеем ße(sin,<;) = ߣ(ez) = 0, а также ae(sin,<;) = as(ez) = 1 < к2. Следовательно, (49) — целая вектор-функция.
Отметим также (см. [13]), что оператор дифференцирования dz : [p, &] ^ [p,a] имеет порядок ß = (p — 1)/p и тип а = e-1(aep)1/p, p ^ 1. Тогда в нашем случае ß = 0, а = 1 < к2, т.е. по теореме 2 решение задачи устойчиво.
Пример 3. Пусть Н = Н(|z| < 2) — пространство всех функций, аналитических в круге Izl < 2 с топологией равномерной сходимости на компактах:
IIf(z)IIp = max|f(z)l, р < 2. Пусть А = zE — оператор умножения. Построим реше-|z|<p
ние задачи Дирихле для уравнения (1) с условиями х\ = u(i) = z,x2 = u(i + 2) = ez.
Обращаясь к теореме 1, получаем решение задачи
«*) = £ —°>2" + 2 £ таг«— о™
п=0 п,ш=0
1 22 к к
1 ^Г^ с™-2 *_( , _ .)2п+1
(2п+1)!(2к)! ( —)
Обращаясь к равенству (36) при а = 2, Ь = г + 2, приходим к следующему представлению функции и(1) :
и(Ь) = (Ь — г)) + 6Г ^^ ^^ — ), N < ^. (50)
Нетрудно проверить, что решение (50) удовлетворяет уравнению и заданным условиям. Полученное решение является целым по переменной £ (/Зр(х) = Рр(ег) = 0, ар(х) = ар(ег) = р < 2 < п2/4) и принадлежит по переменной г пространству
Н(И < 2).
Пример 4. Рассмотрим в пространстве Н = Н(С) всех целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах задачу Дирихле для интегро-дифференциального уравнения
г
/2 ¿-2
ег - и(1, , (51)
1
с условиями
2 о 2
х1 = и(2г) = ег , х2 = и(Ы) = ег. (52)
Применяя теорему 1 и учитывая, что методом математической индукции для
интегрального оператора А/(г) = / ег * /(0^ нетрудно установить равенства
1
Ап(ег2-2) = ег2-2 (г — Рп, Ап(ег*) = ег2 ^, Уп > 1, п! п!
приходим к следующему представлению решения задачи (51)—(52):
ОО , -, / , оо
2-2 ^ (г — 1)п(1 — 2г)2п 2 ~ ^(г — 1Т+п(1 — 2г)2п+1 + () п!(2п)! п^=0 (2п +1)!(т + п)! +
+ . р г2-2 V (—1)кс™(* — 1)к+т+п(Ь — 2^ )2п+1 (53) + и^к=о (2к)!(2п + 1)!(к + т + п)! . ( )
При этом найденная вектор-функция (53) является целой, поскольку Рр(х{) =
Рр (х2) = —1.
4. Заключение
Отметим, что рассмотренный выше операторный метод обладает высокой степенью общности, так как позволяет исследовать задачи Дирихле для различных (как традиционных, так и не относящихся к ним) типов уравнений в общем виде. Кроме того, пространство, в котором действует оператор А, в нашем методе
имеет довольно широкую свободу выбора. Но вместе с тем следует отметить, что, несмотря на столь большую степень общности, предлагаемый метод имеет некоторое ограничение. Дело в том, что выполнение условий теоремы 1 гарантирует, что решение задачи (1)—(2) — целая вектор функция. В остальных ситуациях вопрос о характере решения и его существовании пока остаётся открытым.
Литература
1. Валицкий Ю. Н. Четырёхточечная задача для дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Функц. анализ и его прил. — 1981. — Т. 15, № 4. — С. 69-70.
2. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. — М.: Физматлит, 1995. — 176 с.
3. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967. — 464 с.
4. Князюк А. В. Задача Дирихле для дифференциальных уравнений второго порядка с операторными коэффициентами // Укр. мат. журн. — 1985. — Т. 37, № 3. — С. 256-260.
5. Мельникова И. В. Связь между задачами Дирихле и Коши // Дифференц. уравнения. — 1980. — Т. 16, № 2. — С. 311-316.
6. Мельникова И. В., Кудрявцев А. Г. О корректности задачи Дирихле для уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Изв. вузов. Математика. — 1986. — № 8. — С. 46-52.
7. Филинков А. И. Регуляризация некорректной задачи Дирихле методом краевых задач с комплексным параметром. — Урал. ун-т. - Свердловск, 1989. — 7 с. — Деп. в ВИНИТИ, №1224-89.
8. Шишатский С. П. Граничные задачи для дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве в гиперболическом случае // Математические проблемы геофизики. — 1969. — Вып. 1. — С. 103-124.
9. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — 624 с.
10. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962. — 829 с.
11. Громов В. П. Порядок и тип линейного оператора и разложение в ряд по собственным функциям // ДАН СССР. Сер. матем. — 1986. — Т. 228, № 1. — С. 27-31.
12. Громов В. П. Порядок и тип оператора и целые векторнозначные функции // Ученые записки ОГУ. — 1999. — Вып. 1. — С. 6-23.
13. Громов В. П., Мишин С. Н., Панюшкин С. В. Операторы конечного порядка и дифференциально-операторные уравнения. — Орел: ОГУ, 2009. — 430 с.
14. Мишин С. Н. О порядке и типе оператора // ДАН РФ. Сер. матем. — 2001. — Т. 381, № 3. — С. 309-312.
15. Мишин С. Н. Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение: Дисс. ... к. ф.-м. н.: 01.01.01: Кандидатская диссертация / Орел. — 2002. — 116 С..
16. Хой Ле Хай. Векторнозначные функции и дифференциальные операторы бесконечного порядка. — Ростов-на-Дону: РГУ, 1981. — 54 с.
17. Громов В. П. Операторный метод решения линейных уравнений // Ученые записки ОГУ. — 2002. — Вып. 3. — С. 4-36.
18. Громов В. П. Аналитические решения дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах // ДАН РФ. Сер. матем. — 2004. — Т. 394, № 3. — С. 305-307.
19. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике: для инженеров и уч-ся втузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.
UDC 517.55
Two-Points Dirichlet Problem for the Second Order Differential-Operator Equation in Locally Convex Space
N. A. Aksyonov
Orel State University 95, Komsomolskaya str., 302026, Orel, Russia
This paper gives an account of method, that allows to find a solution of the Dirichlet problem for the second order differential-operator equations in arbitrary locally convex space.
Key words and phrases: Dirichlet problem, differential-operator equation, locally convex space, operator order, operator type.
