О регулярности дифференциального оператора 1-го порядка в пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

та А2 и, следовательно, параллельную прямой I, так как А2 Е I. Середина N отрезка ЬБ ((ЬSNAl) = — 1) имеет в Я координаты (1:0: 2й) и принадлежит ортрисе.

Теорема доказана. □

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства, М, : Наука, 1969,

2, Ромакина Л. Н. Овальные линии гиперболической плоскости положительной кривизны // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер, 2012, Т. 12, Сер, Математика, Механика, Информатика, Вып. 3, С, 37-44,

УДК 517.927.25

B.C. Рыхлов

О РЕГУЛЯРНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА 1-ГО ПОРЯДКА

В ПРОСТРАНСТВЕ

Далее используются обозначения: || • ||p есть норма в Lp[0,1] (1 < p < ю); W}[0,1] := {y G Lp[0,1] : y' е Lp[0,1]} с нормой ||y||p>! := ||y||p + ||y'||p; Lp[0,1] есть нормированное пространство n x n (м.-ф.) с компонентами из Lp[0,1] и с нормой

|||X|||p := max^j ||{X}j ||p для n x n м.-ф. X(t) с компонентами {X(t)}ij; W^[0,1] ^^^ь нормированное пространство n x n м.-ф. с компонентами из Wp:[0,1] и с нормой |||X|||p>i := maxi>j ||{X}ij||p>i. Рассмотрим задачу на собственные значения:

Ly := y' - A(x, A)y = 0, My(0) + Ny(1) = 0, (1)

где y = (yi,y2,... ,yn)T, A(x, A) = AAi(x)+ Ao(x) Ab A^tь nxn м.-ф., a M и N числовые n x n матрицы.

В [1] рассматривался скалярный случай и при минимальных требованиях на коэффициенты дифференциального оператора были получены теоремы о базисности Рисса корневых функций этого оператора bL2[0, 1] и о равномерной равносходимости внутри отрезка [0,1] разложений в ряды по корневым функциям и по обычной тригонометрической системе. На оператор накладывались условия усиленной регулярности в первом

L

югцего краевую задачу (1), ситуация усложняется тем, что корни характеристического уравнения являются, вообще говоря, произвольными функциями. Целью данной статьи является определение регулярности и

усиленной регулярности при минимальных требованиях на коэффициенты оператора Ь.

Предположим далее, что

1°) А е ОТ}[0,1], А е ^[0,1];

2°) корн и ^(ж), ^>2(ж),..., ^п(ж) характеристического уравнения ^(ж) — ^>Е| = 0 различны при всех ж, отличны от пуля, их аргументы

и аргументы их разностей не зависят от ж.

2°

Ь

Так же , как и в (см. [3]), из этого предположения выводим, что

31) ил и ^¿(ж) = пд(ж), г = 1,п, где п есть различные отличные от нуля константы, а д(ж) положительная функция из ^/[0,1];

32) или ^¿(ж) = ±п0^(ж), г = 1,п, где п0 = 0 есть константа, а #«(ж) есть положительные и различные при всех ж е [0,1] функции из ^/[0,1].

Известно [3], что в этом случае комплексную плоскость прямыми ^(А^) = ) (г,; = 1,п, г = ]) можно разбить на секторы

51, 52,..., 52 ь, с центрами в начале, где Н < п. В каждом из таких секторов при определенной нумерации корней ^¿(ж) выполняются неравенства

Я(А^1(ж)) < К(А^2(ж)) < • • • < &(Арп(ж)). (2)

Пусть 5 есть фиксированный сектор а Ф(ж) есть матрица-функция, которая преобразует А1 к диагональному виду:

Ф—1(ж)А1(ж)Ф(ж) = ^{^(ж),... ^п(ж)} =: Ф1(ж).

Если А е ^1[0,1], то Ф, Ф—1 е ^1[0,1] и е Ж/[0,1] (г = 1"п).

Обозначим В0 := Ф—1А0Ф — Ф—1Ф/ — Ф0, где Ф0 := diag{^01,... ^0п}, := {Ф—1А0Ф — Ф—Очевидно, В0 е £1 [0,1]. Пусть ^з(•, А) := А^- + Хгз(•, А) := <£*(•, А) — ^(^,А). Для г,; = 1,п положим 1(г,;) = 0 при г < ; и 1(г,;) = 1 при г >

Обозначим через Тс = 5 — {с} сектор с центром в точке —с, где с е С. Если А е Тс, то А + с е 5. Таким образом, для А е Тс выполняются неравенства

ЭДА + с)^(ж)) < ЭДА + с)^(ж)) < • • • < &((А + фп(ж)). (3)

Справедлива следующая теорема.

1° 2°

каждого сектора Тс существует, фундаментальная матрица решений

у(-,А) дифференциальной системы в (1), имеющая следующую асимптотику:

А) = (^(ж) + ф, А)) елЯ^ (4)

при |А| ^ ю, где ^(ж) = Ф(ж)ехр(/0Ж Ф0(^) ^), а, е(^,А) е 1]

и

имеет, оценку

1

£М)||и< С^(А) + , (5)

6 (А) = тах

(6)

00

При, этом 6(А) ^ 0 пр и |А| ^ ю. Кроме то го, у (•, А) есть аналитическая матрица-функция в 1] при |А| достаточно больших. Если

А е ^ [0,1], Ао е £р[0,1], то Во е £р[0,1].

Доказательство этой теоремы следует из теоремы 1 [4], если сделать предварительно замену А = А + с. Тогда А е для А в соотвествии с (3) выполняются неравенства (2) и дифференциальная система (1) преобразуется в аналогичную систему вида у' — /ХА^ж)^ — А0(ж, с)у = 0, где А0(ж, с) = А0 — сА1 и, следовательно, обладает теми же свойствами гладкости, что и А0(ж). Переформулируя для этой системы теорему 1 из [4]

А

теоремы.

Пусть 0 := diag{¡1,..., ¡¡п}, гдех := /0 ) Очевидно, числа ¡х простые. В силу предположений 2° в секторах Б при той же нумерации чисел что и для имеют место неравенства

^(А^) < ) < • • • < ^(Ахп).

Определение регулярности дадим аналогично определению из [5]. Будем использовать для п х п матрицы А обозначение [А] := А + е(А), где компоненты матрицы А) имеют оцепки 0(6(А) + 1/А).

Пусть = ^¡а, где к = 1,п, — произвольный набор различных к е N Пр и к = 0 положи м = 0. Отметим в комплексной плоскости точки и обозначим через М наименьший выпуклый многоугольник, содержащий эти точки. Точки которые оказались на

М

М

С учетом асимптотики (4) и вида краевых условий в (1) характеристический определитель оператора Ь есть

Д(А) = |[М^(0)] + [^(1)]е

ЛП|

Раскрывая этот определитель, получим Д(А) = ^j [Fjk]eAMJk. Заметим, что асимптотика [Fjk] имеет место лишь в секторах S. Но в каждом из секторов коэффициенты этих разложений одинаковые.

Определение 1. Оператор L назовем регулярным, если выполняются условия 1°-2° и чнслa Fjk, отвечающие угловым точкам ^jk, отличны от 0.

L

Д(А)

простые и отделены друг от друга некоторым положительным числом ö > 0.

Д(А)

минах граничных точек ßjk и соответствующих им чисел Fjk имеются в

kk

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1001-00270).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рыхлое В. С. Разложения по собственным функциям квазидифференциальных и интегральных операторов // Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1981. 129 с.

2. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М, : Наука, 1969. 528 с.

3. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград : Тип. М, П. Фроловой, 1917. 308 с.

4. Rykhlov V. S. Asymptotical formulas for solutions of linear differential systems of the first order // Result Math. 1999. V. 36. C. 342-353.

5. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семинара, им. И. Г. Петровского. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1983. № 9. С. 190-229.

УДК 519.4

Д. С. Смирнова

ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПО КАЧЕСТВЕННЫМ КРИТЕРИЯМ

Будем рассматривать задачу многокритериальной оптимизации по качественным критериям в виде

G = (A, (qj)jGj) , (1)

где A — произволное множество, содержащее не менее двух элементов множество альтернатив), qj — j-й критерий, который формально может