CC BY
61
К расчету составных пластин переменной жесткости.
В.В.Филатов
Разностные уравнения метода последовательных аппроксимаций (МПА) [1], учитывающие разрывы искомых функций, их первых производных и правых частей исходных дифференциальных уравнений, позволяют построить численный алгоритм решения задачи по расчету составных пластин переменной жесткости (в частности, переменного сечения), не прибегая к выводу дифференциальных уравнений для этого случая, как это сделано, например, в [2] для составных стержней переменного сечения. При достаточно большом числе разбиений составную пластину переменного сечения (и монолитную) можно рассматривать как пластину кусочно-постоянной жесткости. Тогда на каждом участке усредненной (но постоянной) жесткости будут справедливы дифференциальные уравнения [3], а для составных пластин постоянной жесткости разрывы на границах участков разной жесткости будут учитываться разностными уравнениями [1]. После определения прогибов изгибающие моменты в сечениях исходной гладкой пластины переменной жесткости можно вычислять, учитывая действующие значения жесткостей в каждой расчетной точке.
Построим вначале алгоритм расчета реальных составных пластин кусочно-постоянного сечения, который имеет самостоятельное значение. Рассмотрим для иллюстрации методики двухслойную составную пластинку с нулевой толщиной шва и с постоянным коэффициентом жесткости шва X. Пусть слои пластины одинаковы по толщинам и физическим параметрам. Высоту поперечного сечения каждой составляющей пластины на /-ом участке обозначим h.. Дифференциальные уравнения [3] для этого участка запишем в безразмерном виде:
д2т д2т
ду2
-2" + д02
= - Р:
(1)
д2£ ду2
д2£ / Э02 =
-Л2 Лх 3-£ т - 4-° £
Н Н
д2ш д2ш
ду +эёг
где безразмерные прямоугольные координаты
Н3 Н2. —т —— £
чН3 т Н \
ч
\
(2)
(3)
х ^ У а .. а у = —; 0 = —; т =— М; р =— д; а а О„ О„
а
£ = Но —Т; к = 2(1 -т ^2
2\Х-а2 1 ...
■ -—; ш = —-Ш.
ЕНо а
(4)
В этих формулах: а - длина одной из сторон составной пла-
Мх + МУ
стины; М = 1 + т - обобщенный изгибающий момент, возникающий в сечении составной пластины; Оо - суммарная жесткость составляющих пластин; для рассматриваемого случая
О =
ЕН03
6(1 -т)'
(5)
Н0 - фиксированное значение Н ; Е - модуль упругости материала платины; т - коэффициент Пуассона; д - интенсивность заданной распределенной нагрузки; Т - потенциальная функция возникающих в шве сдвигающих сил; Ш -прогибы составной пластины, равные прогибам составляющих пластин.
Задача сводится к численному решению дифференциальных уравнений (1) - (3) с учетом краевых условий. При аппроксимации (1) - (3) разностными уравнениями МПА в точке у на границе участков разной жесткости будем иметь четыре неизвестных: ] , Ц и два значения т^, поскольку т, как и в монолитных пластинах [4], в этой точке претерпевает разрыв. Недостающее уравнение на границе разрыва жесткостей, параллельной оси 0, получим из условия непрерывности изгибающих моментов т(у), где т(у) = —Мх.
На рисунке 1 жирной линией показана граница разрыва жесткостей и часть квадратной сетки с шагом т; участок выше линии разрыва обозначен I; ниже - II.
Для каждого слоя составной пластины справедливы выражения:
'т<у) =
т(у> =-((Vее);
11т(У) =-1^1 ПШ уу
((+ ПШ00),
(6)
д2Ш
где
д2Ш
Ш" =4-2; Шее=- 2,
ду д02
О =
ЕН3
ЕН3
(7)
12(1 -т2); 11 12(1 -т2);
Н: - толщина слоя на участке :, Н:: - то же самое на участке ::. Из условия непрерывности ш ( :ш = пш = ш ) следует, что
Vе = Vе = Шее.
(8)
Приравнивания правые части (6) с учетом (5), (7), (8), получим уравнение для точки Ц разрыва жесткости в направлении оси у
У-1 1 ч 0 Ь3+1
II 1+1,3
X X
Рисунок 1
о
4 2009 79
"3 • Iч7¡y - Л\
3 • пчУу ■
7
"ii- »9 +т(л? - л3 )• ч«е- 0. (9)
Чтобы выразить через искомые величины, запишем (3) для точки Ц на рисунке 1 отдельно для участков I и II:
"2
чг+<-- § • Ч + •
^ + щее=- Л? • ^ т 7 + • ^
Л?
Л? "II
Из (9), (10), в частности при т=0, следует:
Л3 Л3
47 = Л02 О; "ч^ = Л02-"^ О, 7 АП 7 АП
О- "о где О-Л
Л
АЛ
Ч-Лз
'»77
Ч --
(10)
(11)
II "¡"и
АЛ - Л? - Л3 ; а" - - "2. Воспользуемся обобщенным уравнением МКР [1], апп роксимирующим дифференциальное уравнение
(12)
Из сравнения (3) с (13) следует, что для аппроксимации (3) достаточно записать (14) с заменой со, X , Р соответ-
Г П Л2 ^
ственно на: ч, у,
-0- т ---0- t Л3 Л2Г
ч /
2ч,
>-1,И
дч ¡У
^ч^ - 4 •
+ V +
т/ 7+1
+ ч
¡¡
7,1-1 4
+ дм/ ¡У
чтт, + 2ч¡У • -
7,1 +1 7 +1,Ц
-21^(-1 - Ч)-)(( -^+1,и
"и
-.- ^) + ( - с
.2 7-^ 7-1,1 Ч] "2 \Ч] Ч "i "ii
(15)
7 + 1,]
Выражаем ч** в точках м] и 7+1,] по (3) через чее, т, с; чее - в тех же точках по МКР через ч. Для точек Щ-1 и Щ+1 записываем формулы типа (11) с учетом (12). Подставляя все эти выражения и (11) в (15) и преобразуя его, получим разностное уравнение, в которое входят только искомые неизвестные: ч, т, с:
Э2ю Э2ю
^--Р.
Запишем это уравнение на квадратной сетке относительно
хх Э2ю
-эх2
костей:
п учитывая разрывы только на линии разрыва жест-
2^-1,; + ^^ -1 - 4 •' < + ' ПХ+1 +
XX
+ ш ^-1 - 4 • п ш® + п ^+1 + 2Ш.
XX -
7 +1, ]
--2(-1,] - Ч - ПР] + Р:
+1,1
ч 00 01 02
т
10 11 12
т I
20 21 22
т ч II
30 31 32
т
40 41 42
т т
V
Рисунок 2
(14)
(13) Л ^г (ч -1,]-1- 2ч-1,] + ч -1,]+1 +ч+1,]-1- 2ч+1, ] + ч+1,]+1)
х Пг\
-|1+1 )Ч- + 4 (.+1+2 | ]• Ч-(1+114,+
+1+1
Ч:
-1 - 4|1+П3 -1 АП
ч+11+т3
т 7
Ъ+1 + (16)
. АП П2 + П2 , , +о • £,.,]-1 - 21 2о +—| • С, + о • Сш - 0 ,
По "Л
где
а -
АЛ "3 +
П
(17)
Для точки 7, на границе разрыва жесткостей, параллельной оси у, уравнение типа (16) записывается с соответствующей заменой на],7'. При этом предполагается, что I- номер участка, расположенного левее границы разрыва, II - правее.
Разностную аппроксимацию дифференциального уравнения (1) запишем по МПА [1] на квадратной сетке, учитывая только разрывы т и р на линии разрыва жесткостей:
Рисунок 3
80 4 2009
+4mi-xj++2 4 j-i -10 Ч-+2 4 j+i + +2 V- j-i-10 IImij+2 V- j+i+m+i,j-i+щ+ц+m+u+i =
= -—(pi-u-i + 4 p-xi +pi -i,j+i +2 ■Ipi,j-i + 26 • ^ + 2 ■Ipi,j+i + (i8) +2-ПР,
j -i
+ 26 • IIPj + 2 • IIpi j+i + Pi+i,j+i + 4 Pi+i, j + Pi+i,j+i) .
Из сравнения (1) с дифференциальными уравнениями (2) и (3) следует, что для аппроксимации (2) достаточно переписать (18) с заменой т и р соответственно на Ь и
' 3| т - 4 Ь ^
h у
обходимо заменить на w и
£ m - 4 t
, а для аппроксимации (3) в (18) т и р не-
Ь2
В качестве примера рассмотрим расчет двухслойной прямоугольной пластины (рис. 2) на действие равномерно распределенной по всей ее площади нагрузки р=1 при краевых условиях [3]: ш=т=Ь=0. Пусть на участке I толщина составляющей пластины Ь; на участке II- 2Ь. Квадратная сетка при минимальном числе разбиений с шагом т =1/2 показана на рисунке 2. Жирная линия раздела жесткостей обозначена точками 20-21-22.
Высокая точность МПА позволяет получить при выбранной расчетной сетке не только качественную оценку напряженно-деформированного состояния пластины, но и приемлемые в первом приближении числовые результаты. Для точки 21 раздела жесткостей, положив Ь0=Ь=Ь; Ьп=2Ь, записываем (16), (18) и разностные аппроксимации (2), (3). Для точек 11, 31 записываются только разностные аппроксимации (1) - (3). Учитываются краевые условия, а в точках
1 1 о 1 . i ii . i II
11, 31: т11 = т11 = т11; т31 = т31 = т31.
Из совместного решения записанных десяти алгебраических уравнений получим, в частности: ^^ = 0,0201;
Jm2i = 0,2082 ;
wii = 0,007i7 ;
w2i = 0,00235 ;
(y)
w3i = 0,00i27 . Вычисляя wyy по (ii), w - по (i0) и m1 - по (6), убеждаемся, что Im(y) = IIm(y). При этом
^ = 0,01277 ; "т^ = 0,1022 .
Полученными значениями ш можно воспользоваться, как указывалось выше, для оценки напряженного состояния гладкой составной пластины, толщины составляющих которой вдоль оси у меняются по линейному закону (рис. 3). Выражая вторые производные прогибов через найденные выше
в
(«) -I
ш по МКР, по формулам типа (6), вычисляем т(у) и т(е) каждой расчетной точке. В частности тЦ' = 0,0287 ;
т21) = 0,0317; т^ = 0,0408.
Для применения предложенной методики на практике инженерных расчетов требуются дополнительные исследования: расчеты при других краевых условиях, на более мелких сетках, при большем числе слоев составной пластины. Результаты этих исследований могут стать предметом отдельной публикации.
Литература
1. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений численных здач строительной механики. М., «АСВ», 2008.
2. Хечумов Р.А. Вариационный метод расчета составных стержней переменного сечения. М., МИСИ, 1962.
3. Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластинки. М., «Стройиздат», 1986.
4. Габбасов Р.Ф., Исматов М.Х. К расчету изгибаемых плит методом последовательных аппроксимаций. Известия вузов. Строительство и архитектура. 1984, №2, с. 39-44
Calculation Theory of Composite Plates with Variable
Rigidity. By V.V.Filatov
The article is devoted to the summary of calculation theory of composite rods and plates by A.R. Rzhanitsin for calculation of plates with variable rigidity. The solution is based on the effective numeric method of successive approximations (MSA) designed at the Department if Constructive Mechanics in Moscow State Architectural University. Application of MSA difference equations considering sought function jumps and first derivates, as well as right members of initial differential equations, enables to construct the algorithm of problem solutions without deriving differential equations for calculating the plates with variable rigidity and to consider those as the plates of piecewise-variable rigidity (provided there is enough frequent partitioning along the length of construction). There is an example of calculation of rectangular two-layered plate with piecewise-variable rigidity and zero weld thickness under uniformly distributed load. Shear weld rigidity is constant.
The proposed technique is applicable when calculating different boundary conditions and arbitrary number of composite plate layers.
Ключевые слова: составные пластины, теория Ржаницы-на, пластины переменной жесткости, коэффициент жесткости шва, метод последовательных аппроксимаций (МПА), численное решение, разностные уравнения.
Key words: Composite plates, Rzhanitsyn's theory, variable-rigidity plates, joint stiffness, SUPROX method, numerical solution, difference equations.
4 2009 81
