CC BY
64
О РАСЧЕТЕ СОСТАВНЫХ БАЛОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ С ДВУМЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПОСТЕЛИ
В.В. ФИЛАТОВ, канд. техн. наук, доцент
Московский государственный строительный университет, [email protected]
Рассматривается применение теории составных стержней и пластинок А.Р. Ржаницына к расчету составных балок на упругом основании с двумя коэффициентами постели. Для построения численного алгоритма используется разностная форма метода последовательных аппроксимаций. Приведен пример расчета составной балки на упругом основании, иллюстрирующий простоту и быструю сходимость решения.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: упругое основание, стержень, пластинка, метод последовательных аппроксимаций
Обобщая теорию составных стержней А.Р. Ржаницына [1] на случай расчета составных балок, контактирующих с упругим основанием, дифференциальное уравнение равновесия балки запишем в виде
Й?2Л/°/Й6с2 =-([-г , (1)
где - изгибающий момент, воспринимаемый сечением составной балки; д -интенсивность поперечной нагрузки, изменяющейся по произвольному закону; г - отпор основания. В случае основания с двумя коэффициентами постели [2]:
г = к-у-2-Г-у", (2)
где у - прогибы балки, равные осадкам основания; у" — с!2у/с!х2 ; по [2]:
к =
Е0-8
г =
Е0- 8 Н
Н( 1-1/02) 12 • (1 + У0)
(3)
Е0, у0 - соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона материала
основания; 8,Н - толщина, высота сжимаемого под конструкцией слоя грунта.
Подставляя (2) в (1), запишем дифференциальное уравнение (1) с учетом (3) в безразмерном виде:
й 2 т
йцг
2+С1
с12ЛУ й?(//2
■ м>
х Мг,Ь
у/ = —; т =-:
V Е1
У ЧЕ
ы =—;р =-
Е Е1
где
,1-Уо 6
Н_
Е
--Н; Е-3
£7(1-V2)
Е08
(4)
(5)
Е1 - жесткость на изгиб монолитной балки с размерами поперечного сечения рассматриваемой балки. Ниже для наглядности рассмотрим балку, составленную из двух одинаковых ветвей с размерами поперечного сечения ЬхН . Дифференциальные уравнения для определения прогибов у и сдвигающей силы Т в шве рассматриваемой балки по [1] записываются так:
¿у
йбс2
1
с12Т
2 ЕЛ.
(4°-Т-с
2
.2 Л
уЕЛ
2ЯЛ у
• т.
(6) (7)
В этих уравнениях: 1 г = ЕЪНъ/12; ЕвЕв - ЕЬН ; с - расстояние между центрами сечений ветвей (в случае нулевой толщины шва для рассматриваемой
с
2
с
балки с = Н); д - коэффициент жесткости шва.
С учетом (5) и запишем дифференциальные уравнения (6)
и (7) в безразмерном виде:
с12м> (л 1 ~
-= - 4 т---t
йц,2 У 2
где
г =-
(8) Т-сЬ
йц/1
■ = -11
2 ^т-Т
(9)
(10)
Ев1в ЕвРв
Для численного решения системы дифференциальных уравнений (4), (8), (9) используем обладающие высокой точностью разностные уравнения метода последовательных аппроксимаций (МПА). Следуя методике [3] разностные аппроксимации по МПА указанных дифференциальных уравнений для внутренней точки у равномерной сетки с шагом г при отсутствии разрывов т, м>, I. т', и р = сотХ запишем в виде:
т^ - 2т ^ + /и -+1 +
(
2 Л ' -с-,
5 2
-ТС.
12
2 Г*";
2 Л
с2 =-т Р;
12
(
Т2 ^ \-т—л2
V 12 , -2„2 ,
I + 1(Ч + У \ ( I +Щ + 6+1 -
(
- 6-1 - 1+
г2 ^ 1- — 72 • 12
V /
0+1 =
(11)
(12)
(13)
= -г2?72 (^г ■_1 + 10/и ■ + /и -+1 . Аналогично записываются разностные аппроксимации (4), (8), (9) для краевых точек сетки. В частности, разностное уравнение, соответствующее (4), для точки ] левого края сетки имеет вид:
(
т . + т ■ - + т
-2 Л
12
5 2
-2 Л
12
= — ^(14)
Если рассматривать составную балку, свободно лежащую на основании с двумя коэффициентами постели, согласно [2] в точке у левого края балки имеем граничные условия:
Р=1......................(15)
|ШИИ|ИИ_щ ^ 6 6
................. ^ где ^б , Бб - соответственно прогиб и обоб-
7777777777;
■77^ . 1
77/
Рис. 1
щенная поперечная сила в сечении у балки; , - осадка основания и обобщенная попе-
речная сила основания в точке у .
Выражение для безразмерной обобщенной поперечной силы в сечении у балки по [2] можно привести к виду:
= ту + С^ • . (16)
Исключая из (14) тс использованием (16), и1' - по параболической аппроксимации запишем полученное выражение, меняя знак 5б на обратный, для точки п правого края балки:
с
2
С
с
-
с
2
2
-T-sn -тп_г +mn -
24
w
n-\
1_ 24
wn= — p.(\l)
Для правого края балки по [2]: 8° - -Ъ^к/Ъ) -у°, (18)
где к, ^ определяются по (3). Умножая (18) на Е2/(Е7), перейдем к безразмер-
ному значению sn = Sn —:
EI
-Itj^- — ■ wO.
Sr
21 EI
Учитывая условие (15) и формулы (3), (5), из (19) получим при vQ = 0:
= SwJ6 = -0,4082-
w„
(19)
(20)
Рассмотрим в качестве примера двухслойную балку с нулевой толщиной шва по рис. 1. Пусть полупролет балки 2Л ; тогда г = 1. В силу симметрии рассматриваем правую половину балки с началом координат в точке 1.
Краевые условия в точке 3: т3 = 0; если положить, что возможны на торце
свободные сдвиги, то по [1] = 0 . Кроме того, для точки 3 справедливо выражение (20), которое получено с учетом условий (15). Учитывая (20), записываем уравнение (17) при п = 3; г = 1; <^=1/3; с2 = 1 / 2 ; р = 1; = 0:
-т2 - 0,02083 • - 0,2083 • + 0,8874 • = 0,5 . (21)
Дальнейший расчет балки на рисунке 1 сводится к записи уравнений (11)-(13) для точек 1, 2 с учетом краевых условий, симметрии, указанных выше параметров и г/ = 0,5 . Из решения этих шести уравнений совместно с (21) находим: т1, т2, , м?2 , ^ , ¡2. В частности, = = 1,77 > 1,67 , где 1,67 - максимальный прогиб монолитной балки с такими же размерами, что и составная, при прочих равных условиях. Отметим, что результаты численного и аналитического решений для монолитной балки практически совпадают.
В таблице приводятся основные результаты расчета рассматриваемой выше составной балки, полученные при т <1.
1 1 1 1
В еличины^^.^ 2 4 8 16
w ^max 1,7772 1,7773 1,7773 1,7773
m '"max 0,11408 0,11400 0,11399 0,11399
tmax 0,22805 0,22801 0,22800 0,22800
2
2
2
2
С\ ~
c
2
2
4
б
s
n
Результаты расчета свидетельствуют о быстрой сходимости численного решения по МПА. Разработанный алгоритм расчета составных балок на двух-параметрическом основании может быть использован в инженерной практике.
Литература
1. Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластины. - М.:Стройиздат, 1986. - 316 с.
2. Леонтьев Н.Н., Леонтьев А.Н., Соболев Д.Н., Анохин Н.Н. Основы теории балок и плит на деформируемом основании// М., МИСИ, 1982. - 119 с.
3. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики. - М.: Изд-во АСВ, 2008 г. - 280 с.
ON THE CALCULATION OF COMPOSITE BEAMS ON TWO-PARAMETER ELASTIC FOUNDATIONS
V. V. Filatov
This article describes application of the composite bar and plate theory developed by A.R. Rzhanitsyn for calculating composite beams on two-parameter elastic foundations. Difference form of SUPROX method is used to generate some numerical algorithm. The calculation of composite beam on elastic foundations illustrates a simple and fast-convergence solution.
