CC BY
34
4./2009 ВЕСТНИК 0/2009_МГСУ
К РАСЧЕТУ СОСТАВНЫХ БАЛОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
В.В. Филатов
МГСУ
В настоящей статье теория составных стержней А.Р. Ржаницына [1] обобщается на случай расчета составных балок, контактирующих с упругим основанием. Для численного решения дифференциальных уравнений задачи привлекаются разностные уравнения метода последовательных аппроксимаций (МПА) [2].
В случае винклеровского основания вместо дифференциального уравнения (6) работы [3]
ш" = -p , (1)
будем иметь
ш" = -(р -р- w), (2)
где безразмерный коэффициент постели l4
Р = К—. (3)
EI
Из сопоставления дифференциального уравнения (1) с уравнением (2) следует, что для аппроксимации (2) по МПА достаточно записать уравнение (14) работы [3] с заменой в нем р на (р — р • w).
Запишем это уравнение для случая непрерывных ш (Аш = 0) и р = const: ш ■ , - 2ш ■ + ш ■. 1 + т • Am - - — p\w. , + 10w,. + w■)-
JJ J + 1 J 12 ^ J J J +
2 12 3 ^
(n p}-1 + 10P+4-+1)+• Дp} + ^ ap'j .
Ниже для наглядности рассмотрим двухслойную составную балку с нулевой толщиной шва и с коэффициентом жесткости шва ^ = const. Тогда разностные уравнения для определения w и безразмерной сдвигающей силы t получим из уравнений работы [3] как частный случай:
wJ-1 - 2wJ + wJ+1 =
Г2 ~ ~ \ (5)
= 24 "1 + 10tJ + tJ+1 " шJ-1 ~ 10ш- ~ шJ+1 + г • Дшу У,
1--п'
12
-1 + ~+1)-2(1 + тт ^
J -2 2
У
V 12 у
tj =
г2
—rj1 [тп-_1 + 10ш- + шj+1 - г • Аш'-).
(6)
ВЕСТНИК 4/2009
~ - - Н 2 I
В уравнениях (4) - (6): г - шаг равномерной сетки; t = t ■ С ; С = — ; ^ = о
Г ' ЕР (7) Р = Ь ■ Н ; Е -, йт , ф
модуль упругости материала балки; I - полупролет; т =-; р = '
Ы} =Лт;-пт;; Ар, =Ар,-пр]; Ар^ =Ар)-пр']; лр = р ,_о; пр = р+о; остальные величины с левыми верхними индексами « Л » и « П » имеют аналогичный смысл, например, Лт^ - значение т^ левее точкиБезразмерные величины в (4) -(6) выражаются через размерные по формулам:
X т 12 , т0 I У 3
ш= —; t = Т—; т = М0 —; w = —; р = —, (8)
I Е! Е1 I Е1
где х - координата точки ,; Е1 - жесткость каждой ветви на изгиб; Т - сдвигающая сила в шве; М0 - изгибающий момент в сечении составного стержня; у - прогиб; ^ -интенсивность приложенной к балке изменяющейся по произвольному закону нагрузки; К - размерный коэффициент постели основания.
I
Р I
Рис. 1
Рассмотрим пример расчета двухслойной составной балки по уравнениям (4) - (6) 1
на сетке с шагом X = — (рис. 1) при действии безразмерной сосредоточенной силы р — 1. Краевые условия задачи по [1]: т — w = t = 0.
Для точек 1, 2 записываем уравнение (4) при р = 0; Ат'2 = р = 1; Т= ; р = 20 с учетом симметрии и краевых условий т0 = 0; w0 = 0:
- 2т1 + т2 - 12 • £ • 20 .(ш^ + W2);
2т1 - 2т2 +1 -1 - ^ • -1 • 20 •(2w1 + 10w2).
Для тех же точек 1, 2 записываем уравнения (5), (6) с учетом симметрии и указанных выше краевых условий, полагая, что Т] = 1:
2
4/2009
ВЕСТНИК .МГСУ
-2м>1 + - • ^(10 • ~ + ~ -10^! - т2);
11 ( ~ ~ 1 2м^1 - 2^2 =---2 2 • ^ +10 • ^ - 2 • т1 -10 • т2 н---1
24 22
2
у
- 2
1 5 1 1
1 +---2-1
12 22
4 +
1 - -Л 1 12 22
у
~=-тт 4(10• т1+ т2); 16 2
211 -
1 1 12' 22
1
и - 21 1
А 1 12' 22
1
~ 11 1 ,
?2 =----2 '1 2 ■ т1 +10 ■ т2---1
16 2 I 2
л
Из совместного решения этих уравнений находим: т1 = 0,0895; т2 = 0,271;
~ = 0,0259; ~ = 0,0399; ^ = 0,0191; п>2 = 0,0292 . Значения всех усилий и перемещений меньше, чем в той же составной балке без упругого основания.
В таблице 1 даны основные результаты решения этой задачи при Т < .
Таблица 1 демонстрирует быструю сходимость применяемого здесь численного метода.
Таблица 1
т 1 1 1 1
2 4 8 16
0,0399 0,0400 0,0400 0,0400
max
0,0292 0,0293 0,0293 0,0293
В таблице 2 дается решение этой же задачи, когда составная балка контактирует не со сплошным упругим основанием (рис. 2); Т] = 1; р = 20 .
р I
^777,
Рис. 2
Таблица 2
т 1 1 1 1
2 4 8 16
0,0710 0,0731 0,0736 0,0738
max
0,0520 0,0536 0,0539 0,0540
ВЕСТНИК 4/2009
Видно, что во второй задаче 0,0293 < Wmax < 0,06553 , где 0,06553 - значение Wmax в балке без упругого основания.
Литература
1. Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластинки. - М.: Стройиздат, 1986, 316с.
2. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики. - М., Издательство АСВ, 2008 г, 280с.
3. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. Численное решение задачи по расчету составных стержней с переменным коэффициентом жесткости шва. - ACADEMIA - архитектура и строительство, 2007, №2, с.86-88.
Ключевые слова: Составные стержни, теория Ржаницына, коэффициент жесткости шва, метод последовательных аппроксимаций (МПА), численное решение, разностные уравнения, балки на несплошном упругом основании.
Рецензент: Профессор кафедры «Строительная механика» МГСУ, д.т.н. Габбасов Р. Ф.
