CC BY
126
УДК 624.04
В.В. Филатов
ФГБОУВПО «МГСУ»
РАСЧЕТ СКВОЗНЫХ БАЛОК ПО ТЕОРИИ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ А.Р. РЖАНИЦЫНА
Предложена численная методика расчета сквозных балок (безраскосных ферм) на базе теории составных стержней А.Р Ржаницына. Решение системы дифференциальных уравнений получено с использованием разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций (МПА). Приведено сравнение полученных результатов с известным аналитическим решением и решением по МКЭ.
Ключевые слова: теория составных стержней А.Р Ржаницына, балка Виренделя, безраскосная ферма, перфорированная балка, коэффициент жесткости шва, метод последовательных аппроксимаций.
Сквозные балки находят широкое применение при строительстве большепролетных гражданских и промышленных зданий. Они не только экономичны, но и, что немаловажно, позволяют разводить инженерные коммуникации в строительном объеме перекрытия. В [1, 2] приведены примеры рационального использования объемов в пределах высоты несущих конструкций междуэтажных перекрытий большепролетных многоэтажных зданий. Несущие конструкции, выполненные в виде безраскосных ферм (балок Виренделя), позволили превратить эти объемы в полноценные этажи. Еще одна область применения сквозных балок — пролетные конструкции мостов [3]. Кроме того, они используются в судостроении и авиастроении.
Приближенный метод расчета балок Виренделя с параллельными поясами на узловую нагрузку изложен в [4]. Этот же подход реализован при расчете элементов каркаса высотных зданий в [2]. В [3, 5] расчетная схема балки Виренделя используется для определения напряженно-деформированного состояния (НДС) перфорированных стальных балок. Немало работ отечественных и зарубежных авторов посвящено расчету перфорированных балок методом конечных элементов (МКЭ) [6—11]. В [6, 7, 12] к исследованию работы сквозных балок применена теория составных стержней (ТСС) А.Р. Ржаницына [13]. Решение в этих работах получено аналитически. В данной статье предлагается численная методика определения НДС указанных конструкций с использованием теории составных стержней [13].
Систему разрешающих дифференциальных уравнений расчета многослойных составных стержней на поперечный изгиб [14] запишем здесь в безразмерном виде для случая балки, состоящей из двух одинаковых ветвей с ненулевой толщиной шва между ними:
(1)
Л а т
й у
= - р;
(2)
(3)
~ = С1т;
Е1
1
р = — q ; 5 = 4 Е1
I
■ +1;
е 2,2
к Лс1
Ее 2
2 Е1
а2 ^ 1,
-2 т - ^),
а у 2
X у I 0
где у = — ; ^ = — ; т = — М ; т I Г Е1
х — координата сечения; у — прогиб; I — пролет балки; Е — модуль упругости материала балки; I, F — момент инерции ветви и площадь поперечного сечения соответственно; М0 — изгибающий момент, равный сумме изгибающих моментов в сечениях ветвей системы, лишенной связей сдвига, от поперечной нагрузки; с — расстояние между осями ветвей; Т — сдвигающая сила в шве; q — интенсивность распределенной по произвольному закону поперечной нагрузки; £ — сдвиговой коэффициент жесткости шва.
Для численного решения дифференциальных уравнений (1)—(3) используем МПА [15], обладающий высокой точностью и позволяющий учитывать разрывы искомых функций, их первых производных и правых частей указанных уравнений. Запишем разностное уравнение, аппроксимирующее (2) в регулярной точке 1 равномерной сетки с шагом к
П т1 -1 - 2 Л т, + Л т1+1 + Ат, + кАт' =
12
(п +юл г,+л ?м)+£ кАР'+аР ,
(4)
шаг расчетной сетки.
йт ар л п л п
где т =-; р =-; Дтг- = т1 - т1; Дтг' = т\ - т\; к -
ау ау
Поскольку функции т, р и их первые производные в узлах расчетной сетки могут терпеть конечный разрыв, значения т,р, т',р' снабжены верхними левыми индексами «Л» и «П». Индекс «Л» означает, что взято значение функции на бесконечно малом расстоянии левее рассматриваемой точки, «П» — правее. Остальные члены уравнения с А и с левыми верхними индексами «Л» и «П» имеют аналогичный смысл.
Из сравнения (2) с (1) следует, что для аппроксимации последнего необходимо в (4) заменить т на 7, р — на взятую с обратным знаком правую часть уравнения (1). Аналогично может быть получено разностное уравнение, аппроксимирующее (3). Записывая полученные алгебраические уравнения для каждой регулярной расчетной точки, можно рассчитывать шарнирно опертые балки. При этом, кроме краевых условий т = -я = 0, необходимо положить 7 = 0. Последнее условие означает отсутствие специальных конструктивных мероприятий, исключающих взаимный сдвиг ветвей по торцам балки [13]. Для других случаев необходимо учесть уравнения, аппроксимирующие соответствующие краевые условия [15].
После вычисления Т и М0 могут быть найдены внутренние усилия в ветвях составного стержня по формулам [13]. Для рассматриваемой нами двухслойной балки при отсутствии внешних продольных нагрузок:
2
М = -2 (М0 - Тс) ; (5)
N В =-Т ; N Н = Т , (6)
где Ыъ и ЫН — осевые усилия в верхнем и нижнем поясах соответственно.
В расчетной схеме составной балки по теории [13] элементы, соединяющие ветви, заменены абсолютно жесткими поперечными связями и упругими связями сдвига, непрерывно распределенными по длине балки. Для определения поперечной силы, действующей в каждой отдельной стойке, необходимо проинтегрировать функцию сдвигающих усилий т на участке длины шва, относящемся к этой стойке, где по [13] т = Т'. При выборе расчетной сетки так, чтобы в середине панели был расчетный узел, можно поступить иначе. Поскольку в каждой точке получено значение Т — сдвигающего усилия в шве, накопленного от начала балки до рассматриваемого сечения, то для определения поперечной силы Qс в стойке нужно взять разность значений функции Т на полпанели правее и полпанели левее самой стойки.
В качестве примера рассмотрим расчет шестиметровой однопролетной шарнирно опертой балки, загруженной в середине пролета сосредоточенной силой Р = 9800 Н. Балка состоит из двух параллельных ветвей, соединенных равноотстоящими друг от друга вертикальными стойками с шагом В = 75 см. Расстояние между осями ветвей с = 30 см. Примем одинаковое поперечное сечение ветвей и стоек — прямоугольник со сторонами Ь = 1 см и Н = 10 см. Модуль упругости — Е = 2,06 МПа.
Коэффициент сдвиговой жесткости шва определим по [13]. При равных моментах инерции сечения ветвей и стоек
(7)
Вс (2с + В)
В нашем случае = 460,91.
В методических целях покажем применение алгоритма на минимальной расчетной сетке при Н = 1/2. Таким образом, точки 1 и 3 будут являться краевыми точками, а точка 2 — серединой пролета. Запишем уравнение (4) для точки 2 при р = 0:
- 2ш2 + - ■ 2,057 = 0, 2 2
Р12
где Аш2 =-= 2,057. Отсюда Ш2 = 0,51425. Далее последовательно записывая
Е1
разностные уравнения, аппроксимирующие (1) и (3) при Н = 1/2, получим t2 и ^2 , предварительно вычислив к = 426,67 и 5 = 1,037:
-21 1 + — кэ 1 ?2 =-—■ -1 к | 10 ■ 0,51425 -1 ■ 2,057 ), ~2 = 0,3883;
^ 12 22 ) 2 12 22 ^ 2 ) 2
-2^2 =-— ■Л-■ -(10 ■ 0,51425 -10 ■ 0,3883) + — ■1 ■1 ■ 2,057, 2 12 22 2У ' 24 23 2
= 1,203 10-3. Получим размерное значение прогиба в точке 2: у = 7,22 мм.
В табл. 1 приведены значения максимального прогиба балки, найденные по теории составных стержней (ТСС) численно при Н < 1/2 и аналитически
по [13]. Рассмотрены два варианта конструктивного решения балки, отличающиеся друг от друга величиной шага стоек B. Видно, что численное решение обладает быстрой сходимостью и при h = 1/16 результат совпадает с точным. Для оценки эффективности использования ТСС при определении НДС балок Виренделя был выполнен расчет конечно-элементной стержневой модели в программном комплексе STARK ES. При этом перемещения были вычислены как с учетом поперечных деформаций стержней, так и без учета. Результаты занесены в последний столбец табл. 1, где над чертой значение прогиба с учетом всех видов деформаций. Отметим, что при расчете по ТСС нами были учтены только изгибные и продольные деформации ветвей и изгибные деформации поперечных планок. Несмотря на это, точность вычисления перемещений по ТСС вполне приемлема для практических задач.
Табл. 1. Значения максимального прогиба, мм
Шаг перемычек B, см МПА [13] МКЭ
h = 1/4 h = 1/8 h = 1/16
75 7,51 7,61 7,63 7,63 8,06 7,57
5,97
37,5 5,67 5,72 5,73 5,74
5,64
В табл. 2 для иллюстрации быстрой сходимости решения приведены безразмерные значения изгибающего момента и сдвигающих сил для середины пролета балки (при В = 75), полученные на трех вложенных одна в другую сетках.
Табл. 2. Безразмерные значения изгибающего момента и сдвигающих сил
h h = 1/4 h = 1/8 h = 1/16
m 0,51429 0,51429 0,51429
0,43013 0,44526 0,44839
Покажем ниже методику определения внутренних усилий в элементах составного стержня. Рассмотрим описанную выше балку с шагом перемычек В = 75 см. Используем решение по МПА при к = 1/16. На рис. а показана левая половина балки (четыре панели), на рис. б — часть расчетной сетки при к = 1/16.
Определим по (5) значение изгибающего момента в верхнем поясе в точке 9 (рис.):
М0 = -МО -= --14700- — • 40137 = 1329,5 Н• м.
9 2 9 2 10 2 2
Записав (6) для точки 10, найдем продольное усилие в верхнем поясе пятой панели: = —7|0 = -40137 Н. Знак минус означает усилие сжатия. Значение продольной силы в нижнем поясе отличается только знаком.
i i 1. i т1~
^_Qcl __Qc2 -_Qc) __QcA __QcS
T T Т Т Тг;у:
Л в > в ь в U в
Р/2"\ А 1 -1 1
а
123456789 10 у
I-\-\-(-1-1-h-1-(-н? 7—
Значение поперечной силы в четвертой планке: Qc4 = T8 -T6 = 40137 - 29445 = 10692 Н,
T _ ~ EI где T - •
Для сравнения приведем здесь значения тех же величин, вычисленных с использованием ПК STARK ES: продольное сжимающее усилие в верхнем поясе пятой панели N = -40396 H (отличие от нашего результата 0,6 %); поперечная сила в четвертой планке Qc4 = 10934,8 Н (2,2 %); максимальный изгибающий момент в ветви M9 = 1295,5 Н- м (-2,6 %). По приближенной методике [4]: NBv - 42875 H (6,8 %); Qc4 = 12250 Н (14,6 %); M9 = 918,8 Н -м (-30,9 %).
Предлагаемая нами методика может быть использована для расчета перфорированных балок. В [6] рассматривается применение ТСС А.Р. Ржаницына для определения прогибов перфорированных балок-стенок с прямоугольными вырезами. Решение получено в тригонометрических рядах для трех видов за-гружения однопролетной шарнирно опертой балки. Предложена формула для определения жесткости связей сдвига, полученная на основании численных экспериментов в программном комплексе ANSYS.
Для оценки нашего решения приведем в табл. 3 результаты по ТСС, полученные в рядах [6], и по МПА на четырех вложенных одна в другую сетках. В последнем столбце табл. 3 — аналитическое решение [13]. Для выполнения вычислений по МПА и [13] коэффициент жесткости шва £ определялся по формуле (13) [6], где он обозначен К — коэффициент жесткости упругого слоя. Также в таблице даны значения прогибов, полученные по МКЭ в программном комплексе ANSYS [6]. Результаты решения по МПА не только оказались ближе к значениям, полученным по МКЭ, но и практически совпали с аналитическим решением [13].
Табл. 3. Прогибы, см, балки-стенки (коэффициент жесткости шва по [6])
Вид нагрузки [6] в ANSYS МПА [13]
рядах [6] h = 1/4 h = 1/8 h = 1/16 h = 1/32
Распределенная 4,39 4,57 4,49 4,49 4,49 4,49 4,49
Одна сила 7,05 7,40 7,20 7,20 7,20 7,21 7,21
Две силы 4,85 5,01 4,94 4,94 4,94 4,94 —
Для расчета балок с прямоугольными вырезами приемлемые в инженерной практике результаты можно получить, вычисляя коэффициент жесткости шва по [13], где он выражен через геометрические параметры поперечного сечения балки. Для иллюстрации нами были решены те же задачи, но с вычисленным по [13] (табл. 4). Кроме того, получено решение задач по МКЭ в программном комплексе STARK ES (размер конечных элементов принят таким же, как в [6]). Результаты по МКЭ, полученные в разных вычислительных комплексах, отличаются друг от друга менее чем на 2 %.
Табл. 4. Прогибы, см, балки-стенки (коэффициент жесткости шва по [13])
Вид нагрузки STARK МПА [13]
ES h = 1/4 h = 1/8 h = 1/16 h = 1/32
Распределенная 4,66 4,81 4,81 4,81 4,81 4,81
Одна сила 7,51 7,77 7,80 7,81 7,82 7,82
Две силы 5,10 5,26 5,26 5,26 5,26 —
Определим нормальные напряжения в ветвях балки. Воспользуемся для
N Mz.
этого формулой (7.3) [13]: ax =--1---, где M — значение изгибающего мо-
F I
мента в рассматриваемом сечении ветви, определяемое по (6); z. — расстояние от центра тяжести сечения 7-й ветви до рассматриваемого волокна. Значение продольного усилия N определяется, как описано выше, по найденным значениям T. Так, например, для балки, рассмотренной в [6], при загружении ее двумя сосредоточенными силами растягивающее напряжение в нижнем волокне ст ^ = 171,4 МПа. Значение напряжения в том же волокне, найденное в ПК
STARK ES, отличается менее, чем на 4 % и составляет 165,3 МПа.
При иной, отличной от прямоугольной, форме вырезов для расчета перфорированных балок по ТСС необходимо иметь зависимость (полученную аналитически, в результате численных экспериментов или натурных испытаний), определяющую жесткость связей сдвига. В [7] разработана методика аналитического расчета прогибов двутавровых балок с шестиугольными вырезами. В табл. 5 приведено сравнение результатов расчета двутавровой перфорированной шарнирно опертой балки длиной 6,4 м. При выполнении расчетов по МПА и [13] коэффициент жесткости шва определялся по (3) [7].
Табл. 5. Значения прогибов
Вид нагрузки ТСС [7] ANSYS МПА [13]
[7] h = 1/4 h = 1/8 h = 1/16 h = 1/32
Распределенная 0,176 0,180 0,191 0,191 0,191 0,191 0,191
Одна сила 0,300 0,282 0,312 0,315 0,316 0,316 0,316
Две силы 0,195 0,193 0,208 0,207 0,207 0,207 —
В заключение отметим, что численная методика расчета составных стержней на базе разностных уравнений МПА позволяет полностью определять напряженно-деформированное состояние однопролетных и многопролетных составных балок при действии произвольной нагрузки. Решение обладает быстрой сходимостью и высокой точностью.
Библиографический список
1. Бирюков В.В., Забалуева Т.Р., Захаров А.В. Проектирование большепролетных многоэтажных спортивных зданий // Архитектура и строительство России. 2011. № 9. С. 12—19.
2. Шуллер.В. Конструкции высотных зданий : пер. с англ. М. : Стройиздат, 1979. 248 с.
3. Картопольцев В.М., Балашов Е.В. К вопросу исследования напряженно-деформированного состояния совместной работы сквозных балок с железобетонной плитой на металлическом поддоне // Вестник ТГАСУ 2004. № 1. С. 169—178.
4. Справочник инженера-проектировщика промсооружений. Т. 2, расчетно-теоре-тический / под ред. И.М. Рабиновича. М.-Л. : Госстройиздат, 1934. 709 с.
5. Дробачев В.М., Литвинов Е.В. Аналитическое определение напряженно-деформированного состояния стенки-перемычки перфорированной балки // Известия вузов. Строительство. 2003. № 5. С. 128—133.
6. Притыкин А.И. Прогибы перфорированных балок-стенок с прямоугольными вырезами // Известия вузов. Строительство. 2009. № 10. С. 110—116.
7. Притыкин А.И. Применение теории составных стержней к определению деформаций перфорированных балок // Вестник МГСУ 2009. № 4. С. 177—181.
8. Пименов А.С., Холопов И.С., Соловьев А.В. Оптимальное проектирование перфорированных балок // Вестник транспорта Поволжья. 2009. № 1. С. 69—74.
9. Bedi Miss Komal S., Pachpor Mr P.D. Moment and shear analysis of beam with different web openings // International Journal of Engineering Research and Applications. Vol. 1, Issue 4, Nov.-Dec. 2011, pp. 1917—1921.
10. Wakchaure M.R., Sagade A.V. Finite element analysis of castellated steel beam // International Journal of Engineering and Innovative Technology. Vol. 2, Issue 1, July 2012, pp. 365—370.
11. Chhapkhane N.K., Kamble ShashikantR. Analysis of stress distribution in castellated beam using element method and experimental techniques // International Journal of Mechanical Engineering applications Research. Vol. 3, Issue 3, Aug-Sep 2012, pp. 190—197.
12. Холопцев В.В. Расчет составных многопролетных неразрезных балок // Строительная механика и расчет сооружений. 1966. № 3. С. 26—29.
13. РжаницынА.Р. Составные стержни и пластинки. М. : Стройиздат, 1986. 316 с.
14. Габбасов Р. Ф., Филатов В.В. Численное решение задачи по расчету составных стержней с переменным коэффициентом жесткости шва // ACADEMIA. Архитектура и строительство. 2007. № 2. С. 86—89.
15. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики. М. : Изд-во АСВ, 2008. 280 с.
Поступила в редакцию в июле 2013 г.
Об авторе: Филатов Владимир Владимирович — кандидат технических наук, доцент кафедры строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, fofa@mail.ru.
Для цитирования: Филатов В.В. Расчет сквозных балок по теории составных стержней А.Р. Ржаницына // Вестник МГСУ. 2013. № 9. С. 23—31.
V.V. Filatov
CALCULATION OF OPEN-FRAME THROUGH BEAMS ACCORDING TO THE A.R. RZHANITSYN'S THEORY OF COMPOUND RODS
Through beams are widely used in the construction of large-span civil and industrial buildings, bridge engineering and mechanical engineering. They include open-frame girders and castellated beams. In order to determine their stress-strain state, software
ВЕСТНИК 9/2013
9/2013
systems based on the finite element method are used or approximate calculations using simplified calculation patterns of Virendel beams are performed. Recently, many projects have been completed, in which A.R. Rzhanitsyn's theory of compound rods is applied to calculate through structures.
In this model, discrete links connecting upper and lower belts of the structure are replaced by cross ties and shift connections continuously distributed along the length of the joint. Cross links hinder the convergence or separation of belts from one another. As a rule, pliability of cross links is neglected. This assumption, which substantially facilitates the calculation, is consistent with the hypothesis that there is no lateral strain in individual rods, calculated according to the theory. Therefore, whenever a compound rod is loaded, all its layers, and in this case - belts, are deformed according to the same curve pattern. In calculations, elastically compliant shift connections are replaced by the required distribution function of shear forces distributed along the length of the beam joint. Thus, the calculation of a through-beam is reduced to the solution of three ordinary differential equations of the second order, on the basis of which the following functions should be defined: beam deflection, bending moment and shear stress in the beam joint.
The author discusses development of a numerical method of calculation of through beams based on the A.R. Rzhanitsyn's theory of compound rods. To solve the system of differential equations, difference equations of the successive approximations method are involved to take account of finite discontinuities of the desired function, its first derivative and the right-hand side of the original differential equation. They demonstrate high accuracy if compared to well-known finite difference method equations.
To illustrate the algorithm, the author provides sample calculations of open-frame girders and perforated beams having openings of different shapes. The results obtained by the authors are compared with a well-known analytical solution and a numerical solution based on the finite element method.
Key words: A.R. Rzhanitsyn's theory of compound rods, Virendel's beam, open-frame beams, castellated beams, seam stiffness factor, successive approximations method.
References
1. Biryukov V.V., Zabalueva T.R., Zakharov A.V. Proektirovanie bol'sheproletnykh mno-goetazhnykh sportivnykh zdaniy [Design of Long-span Multi-story Sports Buildings]. Arkhitek-tura i stroitel'stvo Rossii [Architecture and Construction of Russia]. 2011, no. 9, pp. 12—19.
2. Shuller.V. Konstruktsii vysotnykh zdaniy [Structures of High-rise Buildings]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1979, 248 p.
3. Kartopol'tsev V.M., Balashov E.V. K voprosu issledovaniya napryazhenno-de-formirovannogo sostoyaniya sovmestnoy raboty skvoznykh balok s zhelezobetonnoy plitoy na metallicheskom poddone [Towards Research into the Stress-Strain State of Combined Behaviour of Open-frame Beams and a Reinforced-concrete Slab Resting on the Metal Tray]. Vestnik TGASU [Bulletin of Tomsk State University of Architecture and Civil Engineering]. 2004, no. 1, pp. 169—178.
4. Rabinovich I.M. Spravochnik inzhenera-proektirovshchika promsooruzheniy [Reference Book for Design Engineers of Industrial Buildings]. Tom 2 Raschetno-teoreticheskiy. [Vol. 2. Analysis and Theory]. Moscow - Leningrad, Gosstroyizdat Publ., 1934, 709 p.
5. Drobachev V.M., Litvinov E.V. Analiticheskoe opredelenie napryazhenno-de-formirovannogo sostoyaniya stenki-peremychki perforirovannoy balki [Analytical Methods of Identification of the Stress-strain State of a Partition Wall of a Castellated Beam]. Izv. vuzov. Stroitel'stvo [News of Institutions of Higher Education. Construction.] 2003, no. 5, pp. 128—133.
6. Pritykin A.I. Progiby perforirovannykh balok-stenok s pryamougol'nymi vyrezami [Deflection of Castellated Deep Beam Having Rectangular Openings]. Izv. vuzov. Stroitel'stvo. [News of Institutions of Higher Education. Construction] 2009, no. 10, pp. 110—116.
7. Pritykin A.I. Primenenie teorii sostavnykh sterzhney k opredeleniyu deformatsiy perforirovannykh balok [Application of the Theory of Compound Rods to Identification of Deformations of Castellated Beams]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2009, no. 4, pp. 177—181.
8. Pimenov A.S., Kholopov I.S., Solov'ev A.V. Optimal'noe proektirovanie perforirovan-nykh balok [Optimal Design of Castellated Beams]. Vestnik transporta Povolzh'ya [News Bulletin of the Volga Region Transport]. 2009, no. 1, pp. 69—74.
9. Bedi K.S., Pachpor P.D. Moment and Shear Analysis of Beam with Different Web Openings. International Journal of Engineering Research and Applications. November - December 2011, vol. 1, no. 4, pp. 1917—1921.
10. Wakchaure M.R., Sagade A.V. Finite Element Analysis of Castellated Steel Beam. International Journal of Engineering and Innovative Technology. July 2012, vol. 2, no. 1, pp. 365—370.
11. Chhapkhane N.K., Shashikant R.K. Analysis of Stress Distribution in Castellated Beam Using Element Method and Experimental Techniques. International Journal of Mechanical Engineering Applications Research. August - September 2012, vol. 3, no. 3, pp. 190—197.
12. Kholoptsev V.V. Raschet sostavnykh mnogoproletnykh nerazreznykh balok [Analysis of Compound Multi-span Beams]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Analysis of Structures]. 1966, no. 3, pp. 26—29.
13. Rzhanitsyn A.R. Sostavnye sterzhni i plastinki [Compound Rods and Plates]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1986, 316 p.
14. Gabbasov R.F., Filatov V.V. Chislennoe reshenie zadachi po raschetu sostavnykh sterzhney s peremennym koeffitsientom zhestkosti shva [Numerical Solution to the Problem of Analysis of Compound Rods Having Variable Seam Stiffness Coefficient]. ACADEMIA. Arkhitektura i stroitel'stvo [Academy. Architecture and Construction] 2007, no. 2, pp. 86—89.
15. Gabbasov R.F., Gabbasov A.R., Filatov V.V. Chislennoe postroenie razryvnykh resh-eniy zadach stroitel'noy mekhaniki [Numerical Generation of Discontinuous Solutions to Problems of Structural Mechanics]. Moscow, ASV Publ., 2008, 280 p.
About the author: Filatov Vladimir Vladimirovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoye shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; fofa@mail.ru.
For citation: Filatov V.V. Raschet skvoznykh balok po teorii sostavnykh sterzhney A.R. Rzhanitsyna [Calculation of Open-frame Through Beams According to the A.R. Rzhanitsyn's Theory of Compound Rods]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 9, pp. 23—31.
