CC BY
68
К РАСЧЕТУ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
В.В.Филатов
МГСУ
В работе [4] дается вывод дифференциального уравнения для определения сдвигающих сил Т в шве двухветвего стержня переменного сечения; подробно рассматривается консольный стержень с двумя ветвями постоянной жесткости, в котором переменность сечения обусловлена наклоном ветвей друг к другу; коэффициент жесткости шва определяется работой решетки соединяющей ветви составного стержня.
В настоящей статье излагается численное решение задачи по расчету консольного двухветвего стержня с нулевой толщиной шва, в котором коэффициент жесткости шва величина постоянная, а жесткости ветвей не решены. Алгоритм расчета строится достаточно просто при произвольном законе изменения жесткости ветвей. Мы здесь для наглядности рассмотрим случай, когда высота поперечного сечения каждой из ветвей меняется по длине стержня (рис.1) по закону прямой
К = К
1 + ^ X
H
= К (1 + pw),
(1)
где р - произвольный параметр; ^ - безразмерная абсцисса. Дифференциальное уравнение [4] для определения Т при f = const запишется так:
d 2T
а--$-уя • T = {-Ах , (2)
dx
где Ух =
2
Ьх2
EFbx 2Е1ьх
При отсутствии внешних продольных сил Д = — M0
Ьх
2 EI,
(3)
(4)
Ьх
В этих формулах: Е - модуль упругости материала ветвей; ¥Ьх, !ьх - соответственно площадь и момент инерции поперечного сечения каждой из ветвей на расстоянии х от начала координат; Ьх - расстояние между
M
о
центрами тяжести поперечных сечении; изгибающий момент. По рис.1
м0 - в0 ■ х; ьх = их = Л0(1 + р¥). (5)
Если ветви прямоугольного сечения шириной Ь, то
¥ъх = ь • ио (1 + р-г); 1ьх = (1 + ^)3.(6)
- внешнии
С учетом (5) и (6) получим:
Гх =
Е ■ Ь ■ Н0 1
Д. =-
Р'¥
6 • б • х_ 1
Е ■ Ь ■ НО (1 + ру/)2
(7)
(8)
Подставляя (7) и (8) в (2), запишем это дифференциальное уравнение в безразмерных величинах:
ё2t ^ „ Х-у
2 ■ • t = -9 • ч Ч2
ёщ 1 + р-щ (1 + р-у)
х
где ш = —; ? = Т Н
12 • Н2
; 1 = 8
Н2
Ч = ■
бо • Н3
(9)
(10)
ЕЬН03 ' ЕЬН0 ЕЬН04
При р = 0 из (9) как частный случай следует дифференциальное уравнение для составной балки постоянного сечения
^2.
- А • t = -9 ■ ч -Х-у .
(11)
Рассмотрим случай ч = x = р = 1 и запишем дифференциальное уравнение (9) в следующем виде:
(12) (13)
¿" = -(9 • я2-щ-я ■ t}
где я =
1
1 + ^
Для численного решения задачи воспользуемся имеющими высокую точность разностными уравнениями метода последовательных аппроксимаций (МПА), основа которого изложены в [1]. Из уравнений МПА для двумерной задачи как частный случай следуют разностные уравнения для одномерных задач; они использованы нами
в [2].
Из сопоставления дифференциального уравнения (12) с уравнением (6) работы [2] следует, что для аппроксимации (12) во внутренней точке у равномерной сетки разностным уравнением МПА достаточно в уравнении (14) [2] заменить
соответственно: т на р - на (9 • я2 - щ — я ■ t).
Полагая, что t и непрерывны, получим следующее разностное уравнение:
/ 2 Л
,1 я ,
V У
Ч-1
■ ¿у-1 - 2
1
12
яу
'¿у +
1 12 ^+1
(14)
3 2 (
у-1 '^-1
10 ■ я 2-г,
' я у+1
где г - шаг сетки, я - определяется по (13) для каждой расчетной точки у. Аналогично записывается разностное уравнение МПА для краевых точек. В частности, уравнение, аппроксимирующее (12) в точке у нижнего края рассматриваемой балки, имеет вид:
8
1
/" 12 ^ 1,
К у
-1 -
1 . 5 2 ^ Л
+ т-
1+12 *
■ =
3
г2 ■ +5 ■ -г- gj +2 ^ ■ )).
(15)
В первом приближении задачу решаем согласно рис.2 при т — — . Для точки 1
2
записываем уравнение (14), для точки 2 - (15); при этом учитываем краевые условия, приведенные в [4]: ¿0 = 0 ; ¿2 = 0 . Из совместного решения полученных двух
алгебраических уравнений следует ¿1 = 0,5949; *2 = *тах = 0,8176. При т — ^
задача сводится к совместному решению четырех алгебраических уравнений, что дает: ¿1 = 0,6042; ¿2 = ¿тах = 0,8228. Полученные результаты свидетельствуют о быстрой
* 1 1
сходимости численного решения: разница в значениях ¿тах при т = — и т = — составляет 0,6%.
Отметим, что после определения Т вычисление других параметров решения, например прогибов V, выполняется достаточно просто по методике работы [4] или [3].
Представляет интерес расчет рассмотренного выше стержня в качестве составной балки кусочно-постоянной жесткости. В этом случае величина g на каждом участке будет постоянной, определяемой формулой (13), в которой ^ = у/. - абсциссе
середины участка; в каждой расчетной точке величина g претерпевает разрыв. Разностная аппроксимация (12) следует также из (14) работы [2], но с учетом разрывов g при g' = 0 . Вместе (14) и (15) будем иметь следующие уравнения:
1 -
V 1 -
V
3 2
—т
4
12' ^л ~а]
Я, 24 ^
5
• - 211 + лg . -^-У •Ag/
5
2 Т п
-- g
12
2
1 g]
12
• +1 - Г3 ^ 2 -
24
• +
(16)
Г 2 Л 1 --А g V 12 У
,1 -I1+1Vл ^
•*]+
2
1А g V 12 У
■ =
3
Г2л+ 5¥]-т\,
(17)
л Л П к 2 Л 2 П 2
где а?,- g ; а? . = g. - g.;
(18)
4
4
2/2009_М|ВУТНИК
Лё] определяется по (13) с абсциссой цг{ середины участка, расположенного левее расчетной точки у; п - правее.
Расчет с использованием (16) и (17) при т — — (рис.2) дает:
11 = 0,6320; ^ = ?шах = 0,8777 . При т = — получим: 11 = 0,6082; ?2 = ?шах = 0,8371. В этом случае имеем сходимость сверху. При т = — разница в величине ?тах составляет 1,7% по сравнению с
расчетом в точной постановке (= 0,8228).
Полученные результаты и учитывающие разрывы разностные уравнения МПА позволяют рассчитывать составные стержни переменной жесткости как составные стержни кусочно-постоянного сечения. При этом отпадает необходимость вывода специальных дифференциальных уравнений, учитывающих переменный закон изменения жесткости ветвей, на каждом участке можно пользоваться известными дифференциальными уравнениями [3] для составных стержней постоянного сечения. Сказанное можно распространить на многослойные составные балки и пластины переменной жесткости, что составляет предмет отдельного рассмотрения.
Литература
1. Габбасов Р.Ф. О разностных уравнениях в задачах прочности и устойчивости плит. -Прикладная механика, 1982, T.XVIII, №9, с. 63-67
2. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. Численное решение задачи по расчету составных стержней с переменным коэффициентом жесткости шва. - ACADEMIA - архитектура и строительство, 2007, №2, с.86-88.
3. Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластинки. - М.: Стройиздат, 1986, 316с.
4. Хечумов A.A. Вариационный метод расчета составных стержней переменного сечения. - М.: МИСИ, 1962, 27 с.
Ключевые слова
Составные стержни, теория Ржаницына, стержни переменного сечения, коэффициент жесткости шва, метод последовательных аппроксимаций (МПА), численное решение, разностные уравнения, разрывное решение.
Рецензент: Зав. кафедрой Строительной механики МГСУ, профессор, д.т.н. Мондрус В.Л.
