CC BY
24
1/2010 мв.ВЕСТНИК
К РАСЧЕТУ ИЗГИБАЕМЫХ ПЛИТ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ СО СВОБОДНЫМИ ОТ ЗАКРЕПЛЕНИЙ КРАЯМИ
Мусса Сали
МГСУ
На базе обобщенных уравнений метода конечных разностей (МКР) строится алгоритм расчета плит переменной жесткости со свободными от закреплений краями. Приводится пример расчета.
An algorithm of the calculation of variable stiffness plates with free edges using the generalized equations of finite differences method is build. An example has been done.
Рассмотрим вопрос о расчете изгибаемых плит переменной жесткости со свободными от закреплений краями на примере расчета консольной плиты. Разрешающее дифференциальное уравнение изгиба плит переменной жесткости [1] после преобразований может быть представлено в виде системы двух дифференциальных уравнений второго порядка, записанных
в безразмерных величинах работы [2]:
+ -+ - =-р; (1)
с2m , ч
af drf v ;
8 2 w
8 2 w
8 ¿; 8 ц
(2)
где | =
X
Y . M
Ц = — ' m =-:
W х D0 .
q0 х a4
D.
p =
g&>=-2x
D
g
44 -
(O
m ' + m
dg. дфц 82w 82 wi MX
д 2 g ;
2
W
g" =
д2 g ;
dv2 '
1 + ц
3<f ^drf J q0 xa2
82w C2 w
8tf 3<f) q0 xa2
M
(3)
В - цилиндрическая жесткость какого либо сечения пластинки;
— фиксированная интенсивность распределенной нагрузки; а — характерный размер пластинки; Ц — коэффициент Пуассона.
Уравнения (1), (2) интегрируются при разных граничных условиях. Для консольной плиты имеются три свободных от закреплений края и один жестко защемленный.
Если край плиты при У = Ь жестко защемлен, то для всех точек этого края граничные условия имеют следующий вид:
а) w = Wо ; б) ^ =ро, (4)
8 г/
a
а
xa
q
g
ч
ВЕСТНИК 1/2010
где W0 , (Ро - заданные значения перемещения по нормали к плоскости плиты и угла поворота; в общем случае w 0 = w0 (£ ) ; <р 0 = <р 0 ) ; чаще на практике w 0 = <р 0 = 0 .
Если край плиты при У = 0 свободен от закреплений, то для всех точек этого края граничные условия имеют следующий вид:
а) Му = М 0У}, б) в* = ву(0) , (5)
где д^ - заданная обобщенная поперечная сила; М ¡¡У -заданный изгибающий момент. Запишем первое условие (5) в безразмерных величинах с учетом (2), (3):
д 2 w т - т ^
(6)
2 g (1 - А )
По [!]: б* - ву -^У-, (7)
У У дХ
где д = М ; му = В (1. (8)
У д У д X ХУ у 'дХдУ
Из (8) с учетом (2), (3), (9), О = С{Х,У} после несложных преобразований найдем в безразмерных величинах:
1/ (л) $ ( т Л , чЗГЗ 2 w \
у= g 7 Ьg (1 Г
а2w (9)
2 g * (1 -м)
где у (,) _ д -у _ безразмерная обобщенная поперечная сила; g £ _ ^g ;
д 0 х а д £
g л _ ^'? ; остальные пояснения даны выше. д ц
Для численного решения дифференциальных уравнений (1), (2), (4), (6) и (9) воспользуемся обобщенными уравнениями метода конечных разностей [2].
Аппроксимации уравнений (1), (2), (4) обобщенными уравнениями метода конечных разностей получим из работы [2]. Аппроксимации краевых условий (6) и (9) обобщенными уравнениями МКР рассмотрим отдельно.
Для аппроксимации (6) обобщенными уравнениями МКР на равномерной сетке
достаточно записать уравнение (1.2.7) работы [3] с заменой т, р, соответственно на W и
_ (')
т т0 ; запишем это уравнение для случая непрерывных т, W и непрерывных
g (1 -и)
производных W для точки ] :
о ^ Ъ 2 Г 00 1 , (10)
w¡_l ] - 2 w¡j + !] = [_ т ]- т ] ^ >
где i = 2,3,4,............., (к - 1)- отчитывается вдоль оси ; ] = 1 .
Уравнение (10) учитывает в разностной форме условие (5) а).
Для аппроксимации (9) обобщенным уравнением метода конечных разностей необходимо выражение (9) преобразовать.
Обозначим Л!^ =(w * У и ^ 1 = « . (11)
Учтeм, что по МКР: w ? = — (-w. , . + w. , .);
¡] 2 А ¡ _ 1 ] ¡+1
и О" = — (-3 w * + 4 V 2 у
w !]+1 - w2
(wй V (т^", . + 4 w* - w!^ . ) .
V Л] ¡-1 ] ¡] ¡+1 ]/
;У 2 А
¡апишем первый член в (10) в следующем виде:
g
дц
т
g
л 8
= т '--х т
Аналогично второй формуле (12) можно записать
т I = —- 3 т„ + 4 т .... - т ..., ) . ¡] 2 а ^ 1
Подставляя (14) в (9) с учетом (12), (13) получим:
^ц - Щ] ) (3^-1 ] " 4Щ-1 ]+1 + Щ-1 ]+2 ) +
+ 8 у ("6 Wy + 8 W у +1 - 2 Ъ* ¡]+2 ) +
+ ^ +1 ] - 4Wi+1 ]+1 + ^+1 ]+2 )_
(12)
(13)
(14)
(1
у (') =. У 2к3
1
2А
- 3 +
2 >
,2 1 , ¿¡у (,)
т. н— т..,--т..,, н—— т\,Л,
¡] А ¡]+1 А ,]+2 g .. ,](0)
Ьу
(15)
где . = 2,3,4,............., (к — 1) — отчитывается вдоль оси ; j — 1.
Уравнение (15) позволяет записать в разностной форме второе условие (5) в безразмерном виде. Уравнения (10), (15) для края ^ — 0 записываются по аналогии с заменой ¡'—1, ¡ , ¡'+1, ],
]+1, ] +2, У], gí , , , а
]'
соответственно на
]-1, ], ]+1, ¡, ¡+1, ¡+2, у/,
, gГ, , gf. д-р- £ =1
>] ' О]
эти последние уравнения записываются в зеркальном
отображении" с заменой I, ¡+1, ¡+2 соответственно на к, к-1, к-2, при этом
] ]
Ру,
¿у меняют знак на обратный.
Полученные уравнения типа (10) и (15) решаются совместно с упомянутыми выше разностными аналогами (1), (2), (4), которые приведены в [2]. Полученные выше уравнения позволяют рассчитывать пластины переменной и постоянной жесткости с одним, двумя или тремя краями, свободными от закреплений; остальные края могут быть шарнирно опертымы или защемленными.
С целью проверки результатов расчета определяем поперечные силы на защемленном крае пластины, используя выражение (14).
В качестве примера рассмотрим прямоугольную плиту а X Ь ^ а = 5 Ь )с жесткостью
и нагрузкой меняющимися по [1].
Итак: ОХУ =Ц +СУ> д - ^, (16)
а
где д0 - интенсивность распределенной нагрузки в сечении У = а , О - цилиндрическая жесткость плиты в сечении У = 0 ; й =сош!
8
3 а
XI
Рис.1
Безразмерная нагрузка, безразмерная цилиндрическая жесткость, её первые и вторые частные производные с учетом (3) будут иметь вид:
4 Б d1 а ^ . р = -1— , g =-= 1 Н--— У .
4 о
Б
Б
g g g *«= gг"' = 0; ^^, _ ^ ■
Б
(17)
Плита имеет три стороны — 0,^ — 1,Ц = 0) свободные от закреплений, четвертый (^ — 1) защемлен (рис.1).
Запишем (10) и (15) для края Т/ = 0 с учетом (17), У^ = 0 , т ■ Записывается также уравнения типа (10) и (15) для краев £ = 0 , £ = 1 4=1 с учетом (17). Расчет проведен при d 1 а — 7Б0, ц = 0,16. Для получения результатов была написана программа на
ФОРТРАНЕ при решении уравнений итерационным методом Гаусса-Зейдела.
В табл. 1 приведены значения безразмерных изгибающих моментов и прогибов в центре плиты и в средине всех четырех краев при разных значениях Н . Во втором столбце показаны значения прогиба И4 в центре плиты а, значения суммарного изгибающего момента т4 в этой же точке приведены в пятом столбе. В третьем, четвертом столбцах приводятся безразмерные прогибы И , И2 в средине свободных краев соответственно при ^ = 0, £ = 0. £ = 1 а,
изгибающие моменты т1 , т2 в этих точках показаны в шестом и седьмом столбцах. Заметим
что, т^ стремится к нулю как следует.
ТаЬ.1
4
Н 102 И4 102 И 102 И 10т4 10т1 10т2 10т3
1 4 0,23 0,60 0,19 -0,30 0,0034 0,25 -2,16
1 6 0,20 0,56 0,15 -0,24 0,0038 0,28 -2,03
1 8 0,19 0,55 0,13 -0,23 0,0039 0.30 -2,02
И1 = тд0а\ ж = 0а .
' Б 0
В восьмом столбце приводятся значения изгибающего момента т3 в средине защемленного края. По результатам таб.1 видно, что для некоторых свободных от закреплений краев — 0; ^ — 1) сходимость решений выполняется медленнее, чем для остальных краев. Это объясняется тем, что во-первых для свободного края характер деформации очень сложен, а во-вторых жесткость плиты изменяется вдоль этих краев. Была оценена погрешность численного решения задачи из интегрального условия равновесия плиты. С этой целью были
определены сумма опорных реакций в защемленном крае при Н = 1 ^ ^ = 0,514 и
6
равнодействующая распределенная нагрузка Р — 0,5 . По полученным результатам следует, что погрешность решения составляет 2,8%. Если положить g — 1, g ^ = g ^ = g ^ = g11 = g = 0, р — 1 для квадратной пластины с тремя защемленными краями, одним свободным и равномерно загруженной как в [1], то безразмерные прогиб и суммарный изгибающий момент на свободном крае равны при н = 1 соответственно
8
w - 3,44 х10 , m - 4,42 х10 2 ' . Эти результаты отличаются от полученных в [1] соответственно на 3,3%, 0,45%.
В заключение отметим, что разработанный здесь алгоритм позволяет решать задачи расчета пластин переменной и постоянной жесткости с разными сочетаниями краевых условий.
Литература:
1. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки/Пер. с англ. - М.: Наука, 1966. - 635 с.
2. Габбасов Р. Ф., Мусса Сали. Обобщенные уравнения метода конечных разностей и их применение к расчету изгибаемых плит переменной жесткости // Изв. Вузов Строительство. - 2004. - №5. - с.17-22.
3. Габбасов Р.Ф., Габбасов А. Р., Филатов В. В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики. -М.: Изд-во АСВ, 2008, -274с.
Ключевые слова: переменная жесткость, свободные от закреплений края, обобщенные уравнения метода конечных разностей.
Key words: variable stiffness, free of fastening edges, generalized equations of finite differences method.
Рецензент: Габбасов Р. Ф., доктор технических наук, профессор, Московский государственный строительный университет (МГСУ)
