CC BY
57
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Том III 1972 № 6
УДК 532.525.2
К ПОДОБИЮ ГИПЕРЗВУКОВЫХ СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
В. Н. Гусев, Т. В. Климова
Рассматривается вопрос о подобии гиперзвуковых струйных течений идеального газа в рамках теории сжатого слоя при условии, что течение в струях эквивалентно одномерному. Устанавливаются критерии подобия для сильно недорасширенных и перерасширенных струй, истекающих в затопленное пространство и в спутный гипер-звуковой поток. Сравнение с имеющимися результатами экспериментов и численными расчетами указывает на хорошую точность метода сжатого слоя.
Вопросы подобия гиперзвуковых струйных течений рассматривались в ряде работ [1] —[3]. Ниже аналогичное исследование проводится на основании теории сжатого слоя при условии, что теч^г ние в струе эквивалентно одномерному [4] и [5]. Такой подход позволяет получить информацию о форме сильно недорасширен: ных и перерасширенных струй, истекающих в покоящуюся среду и в спутный гиперзвуковой поток.
1. Рассмотрим осесимметричную сверхзвуковую струю идеального термодинамически совершенного газа, истекающую из произвольного сопла в среду, давление в которой равно ра и в общем случае может быть переменным.
Когда течение внутри струи оказывается перерасширенным относительно внешнего давления ра,
струя будет ограничена слоем сжатого в скачке уплотнения газа. В рамках теории сжатого слоя для разности давлений Ар по нормали к сжатому слою можно записать [4]:
У ]
/? Vs
/
Aw Гс
О fa
Фиг.
А р= — . ... (1.1)
2 тг rsN sin ср
На фиг. 1 г, <р— полярные координаты с началом в точке О; Q—суммарный расход газа через кольцевой сжатый слой; Vm —
максимальная скорость; г, — координата скачка.; Л^—радиус кривизны скачка. ' "
Для контура скачка уплотнения из (1.1) получим следующее дифференциальное уравнение:
Р 2 ъг1р0 Г=/+2±г- 8ІП ср (/* + Р)
Ра 1 +
т
1
■м
т
т-1
т -И \т — і
1_ __1 т-1 Т—11
ЄІП* еМ!
(1.2)
здесь = ра!рс) — (9 — 60 — угол наклона скачка к направлению набегающего потока; («• = аг^( — ^//') — угол, образованный направлением радиус-вектора г и касательной к контуру скачка; /(?) —г5/го'> М и 0 —чцсло М и угол наклона вектора скорости к оси л-; рс, Мс — соответственно давление и число М в точке А\ р0 — давление торможения; ? — отношение удельных теплоемкостей; индекс „1“ относится к состоянию перед поверхностью скачка уплотнения, штрихом обозначено дифференцирование по независимой переменной ср.
При гиперзвуковых скоростях из условия эквивалентности течения в струе одномерному для входящих в уравнение (1.2) функций Q, М1г 0, монсно записать соотношения
0. = <о-
М1
(1±1 Ь-1
т+»
4
г, \т-1
я*
(1.3)
в которых р0 — плотность торможения; 11% и <3 — функции аргумента <р, зависящие от распределения параметров потока в начальном сечении струи; определяет радиус критического сечения эквивалентного источника.
С учетом (1.3) уравнение (1.2) преобразуется к виду
/"=]+ 2
Р 1—1 ЭШ <р (/2 +/'2)3/2 /
27
і <2
Т Л + 1
л-1 — 1\ 2 (т-1)
Ра\ 1 +^
-М2с
т-1
я*
я*
г
о /
т + Нт-1/ \т + 1/ Р+Р.
Граничные условия задачи следующие:
/=1, Д/? = 0 при <р = <Ро-
При Ра<^1 второе условие переписывается [5] в виде
'т + 1\1/2
Г
т -ь іу/2 — 1
агс1§
1 — 1V/* Т+1
Ї-1 Км2с-
1
1 — ап^ Км? — 1 |
(1.4)
(1.5)
(1-6)
где р — угол наклона вектора скорости к оси х в точке А (см. фиг. 1). .
Таким образом, задача определения формы струи сведена к задаче Коши для уравнения (1.4) с граничными условиями (1.5). При фиксированной форме сопла задача содержит четыре безразмерных параметра Ра, Мс, р и *[.
2. Остановимся на предельном состоянии течения при Ра-+ 0. Поместив начало координат в выходном сечении сопла (ср0 = ^/а» г0 — гс, где гс — радиус выходного сечения сопла), перейдем в исходных уравнении и граничных условиях к новой зависимой переменной Р=/Р0-1/2.
Тогда
= р + 2 £1 - Т - 1 8Ш ?(/* 4-
2?
JL
т-1
Т
т-1
1
Q(?iMc, р, т)
&(<?, Мс, р, -г)
T + iVi-1) \t + i; f* + f*
F = F' — 0 при ? = тс/2,
(2.1)
где
Po-PolPa=Pa: 1 +
-Mc2
T
7-1
В новых переменных соотношения (2.1) уже не содержат параметра Р0 и форма струи определяется соотношением
/= Ро2F(<?, Мс, р, Т).
(2.2)
Аналогичный результат был получен в работах [1] и [2J на основании теории размерности. Приведенный способ доказательства закона подобия для гиперзвуковых струйных течений идеального газа позволяет получить интересные количественные сведения о структуре течения в сильно недорасширенных струях.
Рассмотрим некоторые примеры. При истечении струи в затопленное пространство ра = const при р = 0 значения входящих
в (2.1) функций /?* и Q были получены в работе [5] на основании
точных численных расчетов методом характеристик. В частном случае при Мс= 1 значения ft* хорошо аппроксимируются зависимостью [6]:
R* (?, 1. 0, -[) = Я* (0) cos а<р; (2.3)
значения /?* (0) и а приведены в
таблице.
С помощью (2.3) легко вычисляется расход газа через сжатый слой
г
2 y-i/т __ П1/2
7 Д*(0) а
5/3 1,36 1,15
7/5 1,15 0,94
9/7 1,04 0,83
где
Q(?, 1, 0, т) =
Т + 1
1
+
а
1—2 а
1 -f-2 CL
cos (1—2 а) ср
Т + 1,
(а cos2 а<?) cos ср +
!■
(2.4)
Отметим, что приведенное выше выражение ДЛЯ <7 определяет расход газа через сжатый слой, отнесенный к полному расходу газа. _
Аналогичным образом могут быть определены значения /?* и (2 при произвольных значениях Мс и р. _
Определив входящие в (2.1) неизвестные функции /?* И (3, можно из уравнения (2.1) определить функцию Р. Однако функцию F—fPo1|2 можно определить и не решая этого уравнения, если обработать в параметрах подобия полученные в работе [5] решения уравнения (1.4) при достаточно больших значениях Р0. Результаты такого пересчета приведены на фиг. 2, на которой при различных значениях числа Мс н •[ представлены координаты скачка уплотнения X = х^г,. Р<Г1/2, У =^/гс Ро'12, т = 7/5 —• сплошные линии,
1 = 5/3—пунктирная линия. Соответствующее сравнение теоретического расчета с экспериментом представлено в работах
[2] и [5].
При Мс]^1 продольный размер струи оказывается намного больше поперечного. В этом случае, как показано в работу
[3], геометрическая картина истечения будет определяться двумя характерными размерами Яг и /?2. В рассматриваемом
здесь случае равномерной скорости на выходе из сопла ((3 = 0) величины /?! и /?2 выражаются кчерез параметры на срезе сопла следующим образом [3]:
05
1-0
Г
г X 7 —
5 — . 1. .
0.5
10
Фиг. 2
Ъ = геМе'а}/ +
1 \1/4
где
тМ I
1 +
, /?,= /?,(! -7,)1'2,
1 Х-1*'2
(2.5)
1 Мс
На фиг. 3 сравниваются полученные в рамках теории сжатого слоя геометрические размеры струи при 1 = 1,4 и р = 0 (сплошные линии) в новых переменных с приведенными в работе [3] данными
численного расчета формы ви-
&
05
Мс=5-,1>^ 3,7-10 *
Мр3-,1=и-ю^ -"г
V г 1 1 N
/ К м^3-,1а=3-м’3 □о ч
р*
0.5
10
*з!я1
Ф иг. 3
сячего скачка уплотнения для конических сопл с (3 = 10°. Сравнение указывает на приемлемую точность метода сжатого слоя. Видно также, что при малых углах раствора сопла различие в начальном распределении параметров потока не приводит к изменению формы струи в указанных на фиг. 3 безразмерных переменных.
3. Рассмотрим теперь осесимметричную гиперзвуковую
струю газа, истекающую из расчетного или перерасширенного сопла с коническим потоком на выходе. Как и в предыдущем случае, течение в струе будет одномерным, однако в этом случае ft* = const и входящие в уравнение (1.4) функции ft* и Q Могут быть представлены в конечном виде. Полагая^<р0 = Р, r0 = rc/sinp (р— угол полураствора сопла), при Мс^> 1 для /?% и Q можно записать:
Т±1
'Т + 1М-1
Q = 2
ft* —
1
М„ т-1
і
Y—ї ^
Мс т_1 (cos f — COS Р) .
(3.1)
С учетом (3.1) уравнение (1.4) преобразуется к виду
2Т 1
//3 sin ?(Г+П*ЧРа f J f т (cos <Р — cos Р) V Me
Т + 1 /2+/'2
Граничные условия задачи следующие:
2Т
М2
(3-2)
(3.3)
Т+1
При ®<:р<С1 имеем /'^>/. Переходя в уравнении (3.2) и граничных условиях (3.3) к новым переменным Ф =/КРа(Мср)-1 и ср = <РР~1, для определения формы струи получим соотношения
ФФ 2 (1Ф 2ш Г / й?Ф\2 2 т
" Т 4- 1
d ср2
Ф d<?
Ф = Ф0 = Kft0(Mc Р)-1;
_2у Г
Т(ф2- 1) L dФ
dy
\ df V-
2т
Т + 1
при «р = 1.
(3-4)
Выписанная система соотношений (3.4). определяющая в полярных координатах форму перерасширенной струи с коническим потоком на выходе из сопла, содержит два безразмерных параметра Ф0 и т- Это значит, что для подобия таких струй, соответствующих различным значениям параметров Ра, Мс и р, необходимо равенство критериев подобия Ф0 и т- Аналогичный результат был получен в работе \7\, в которой для расчета перерасширенных струй использовался закон плоских сечений в методе пограничного слоя [8].
Как и в случае сильно недорасширенной струи, при Мс^>1 продольный размер перерасширенной струи оказывается существенно больше поперечного:
X, = гс/~ ; уг = гс/-£- . (3.5)
Выбирая в качестве характерных продольного и поперечного размеров гсМсРа~12 и ГеМсРЯГ^2, для формы перерасширенной струи окончательно получим соотношения
Функция Ь была найдена в результате решения уравнения (3.4) и представлена на фиг. 4 при нескольких значениях параметров Ф0 и ■[. Там же даны предельные значения функции Ь, соответствующие случаю Фо = 0. Сравнение теоретического расчета формы перерасширенной струи с результатами эксперимента при
двух значениях Ф0~1, проведенное в работе [4], указывает на приемлемую точность метода сжатого слоя.
4. Остановимся теперь на истечении струи в спутный гипер-звуковой поток (Moo^l). В этом случае давление на внешней границе сжатого слоя ра будет переменным, и для определения его величины можно воспользоваться, например, формулой Ньютона, справедливой при a>(i:
Ра (/» Ч>) = Р» vlo sin2 (<р — ц) = х/?0о Sin2 (f — у.), (4.1)
где х, Vos, poo, poo — отношение удельных теплоемкостей, скорость,
давление и плотность в невозмущенном потоке. В начальной точ-
ке сжатого слоя при <р = ср0 и /=1 давление
о /'2
Ра0> ?о) — Ра — *Р<Х> Moo J _j_ jrri } (4.2)
где /' определяется соотношением (1.6).
В случае сильно недорасширенных струй ^Рв = 1 j, под-,
ставляя (4.1) в (1.4), получим
/2 т — 1 Sin (/2 + f'2)112
f”=f 4-2-
/
Q
*М£оР01 (/'sin f + / cos <р)2
2 \'т-1 /т _ n 2 (т-1)
2т
Т + 1 Vt — 1Л Vt + 1
я
('*о = /*с; Ро = 'Ро!р»)- (4.3)'
Фиг. 5
Граничные условия задачи совпадают с (1.5). Таким образом, при фиксированной форме сопла задача определения формы струи, истекающей в спутный поток, зависит от шести безразмерных параметров: Р0, Мс, Моо, Р, т. *•
Как и ранее, перейдем к новой зависимой переменной F* = — ]/~>ГМоо Р(Г1/2/. Тогда после замены найдем, что преобразованное уравнение (4.3) и граничные условия (1.5) не. будут зависеть от Р0, Моо и х. Форма контура струи, обтекаемой гиперзвуковым потоком, будет определяться соотношением
f-
V х мс
Мс, р, т).
(4.4)
Аналогичный результат был получен в работе [2] из теории размерностей. Геометрические размеры струи в параметрах подобия при 1 = 7/5, (3 = 0 и нескольких значениях числа Мс приведены на фиг. 5. Эти данные были получены в результате численного решения уравнения (4.3) при достаточно малых значениях Рй[5].
Так же как и при истечении в затопленное пространство, при Мс^>1 продольный размер струи, истекающей в гиперзвуковой спутный поток, оказывается намного больше поперечного. В этом случае при рассмотрении геометрического подобия таких струй можно воспользоваться результатами работы [3], приняв в качестве характерного внешнего давления давление р°а в начальной точке сжатого слоя. Его величина, определенная соотношением (4.2), при равномерной скорости потока на выходе из сопла р = 0 и Мс 1 будет
о 4х /МссЛ2
(т-1)2/Ммс
/>в =
(4.5)
и введенные в работе [3] характерные продольный /?, и поперечный /?2 размеры (2.5) в случае струи, истекающей в спутный поток, примут вид
R i =
Т — 1 Мс
Vi
2
1 У'4
(4.6)
- Моо
/Й = ЯГ(1 -Л)1/2.
Точность соблюдения подобия в новых переменных иллюстрируется на фиг. 6 численными расчетами, полученными в рамках теории сжатого слоя и представленными ранее на фиг. 5.
В заключение рассмотрим осесимметричную гиперзвуковую струю газа, истекающую в спутный поток из расчетного или перерасширенного сопла (Ра — РаІРс > 1) с коническим ПОТОКОМ на выходе. В работе [7] этот случай рассматривался на основе закона плоских сечений в методе пограничного слоя [8].
Фиг. б
Подставляя выражение (4.1) для давления на внешней границе сжатого слоя в уравнение (3.2), получим
/"= f_LO f— - sin?(/3 + /'2>1;2 J ■' f f(COS<p — COSp)
^Poo M0 if
(sin rff' + cos?/)3
2 t
•(4.7)
pcMl ' ‘J ' ‘J ' T +1. Граничные условия задачи совпадают с (3.3). При Р<С!1 и ML/M? PcIPoo < *м£, р2 величина р°а в начальной точке сжатого
слоя будет
Ра = Х/»оо М^о Р2 , и граничные условия задачи (3.3) примут вид XI £> Мс 1 Л рс
/= I; / = - щ у -г-гтч-р- ПРИ т
: Р'
(4.8)
(4.9)
Мотр V *(7 + 1)/>
Переходя в уравнении (4.7) и граничных условиях (4.9) к но-
Моо
вым переменным Ф*=/
МР
Рс
и «р = 9р 1 и учитывая, что
при 9<р<с;1 имеет место /'^>/, для формы струй получим соотношения
<р
d
ф
Ф*______I dФ* \2 2? d<b* Г/-
і2 Ф* V dip ) df
/«
- do*
Фп =
Mo
Poo
Рс
d ф=>
d<?
df
+ Фч
при
2т
4 + 1
9=1.
(4.10)
Как и в случае истечения струи в затопленное пространство, выписанная система соотношений (4.10), определяющая в полярных координатах форму перерасширенной струи, истекающей в гипер-звуковой спутный поток, содержит два безразмерных параметра
Фо и т. Выбирая в качестве характерных продольного и попереч-
мс г~1г~ Мс г~~а~
ного размеров гс ]/ —и гс щ у _s_, для определения
формы струи, определяемой соотношениями (3.5), окончательно получим соотношение
ys Мро f Pn I xs Moo $ f pa \
^МГУ*7Г = /-Ч^ТЯГ V Л : Фб; Ф (4Л1)
Значения функции Z.*, вычисленные в результате решения
уравнения (4.10) для предельного случая Фо = 0, приведены на фиг. 7.
ЛИТЕРАТУРА
1. Moran I. P. Similarity in high-altitude jets, A1AA Journal, v. 5, No 7, 1967.
2. Гусев В. H., Михайлов В. В. О подобии течений с расширяющимися струями. .Ученые записки ЦАГИ-, т. 1, № 4t 1970.
3. М у р з и н о в И. Н. Параметры подобия при истечений
сильно недорасширенных струй в затопленное пространство. Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, № 4. *
4. Гусев В. Н. К расчету гиперзвуковых осесимметричных струй. Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, № 1.
5. Гусев В. Н., Климова Т. В. Течение в истекающих из недорасширенных сопл струях. Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 4.
6. Ashkenas Н-, Sherman F. S. The structure and utilization of supersonic free jets in low density wind tunnels. Dynamics of Rarefied Gases, Forth Symp. Acad. Press, 1965.
7. За к Л. И. Гиперзвуковая струя, истекающая в покоящуюся среду или в спутный сверхзвуковой поток. Изв. АН СССР, МЖГ,
1969, № 5. ’ ’
8. Черный Г. Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М., Физматгиз, 1959.
Рукопись поступила 4\IV 1972 г.
