CC BY
37
Том І
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
то
№ 4
УДК 532.525.2
О ПОДОБИИ ТЕЧЕНИЙ С РАСШИРЯЮЩИМИСЯ
СТРУЯМИ
В. Н. Гусев, В. В. Михайлов
Рассматриваются струйные течения вязкого термодинамически совершенного газа. На основании теории размерности устанавливаются законы подобия для тех областей течения, в которых размером начального сечения струи можно пренебречь.
Рассмотрим истечение струи газа из геометрически подобных тел, обтекаемых равномерным набегающим потоком (фиг. 1). Газы в набегающем потоке и в струе предполагаем термодинамически совершенными. Пусть распределения параметров потока по начальному сечению струи, отнесенные к соответствующим характерным величинам в начале струи, одинаковы, тогда решение задачи будет
Фиг. і
целиком определяться следующей совокупностью параметров: давлением оо, плотностью рх, скоростью и коэффициентом вязкости ни в набегающем потоке; линейным размером тела і и размером начального сечения струи характерными параметрами потока в струе р], р;, ир [а;-, а также характерной энтальпией газа на поверхности тела Нш. При этом константы, определяющие
физические свойства газов в струе и во внешнем потоке, например отношение удельных теплоемкостей х, число Прандтля о и т. д., предполагаем безразмерными и уже входящими в число критериев подобия задачи. Остальные критерии подобия, являющиеся независимыми безразмерными комбинациями определяющих параметров, могут быть записаны в виде
Моо =
М,=
роо
Роо
Ке0
и,
____ Роо Иоо Ь.
(*00
я*
Ни
А
I
^1. Р*оо ’
рл
Роэ'
0)
Рассмотрим предельный случай течений при РосфО, когда параметр с?/,-1 —*■ 0, но воздействие струи на внешний поток существенно, т. е. суммарный импульс, вносимый в поток струей при указанном предельном переходе, сравним с характерным импульсом внешнего потока /?оо£2- Тогда вместо определяющего параметра й в задачу войдет характерный импульс /= й2 (р^ -(-р^ и])*, а параметр подобия сИ-1 должен быть заменен на При этом из критериев подобия (1) необходимо исключить отношение так как
при АЬ~Х —* 0 и конечных значениях Щ и рХю £/_1/2 значение
Р;Рю1 ОО.
Таким образом, критерии подобия принимают вид
Ма
Иес
Иж г л / М, ц2 , ьу 7,
Ноо
ь.
1*00
(2)
Безразмерные зависимые и независимые переменные задачи могут быть записаны при этом следующим образом:
'Рсо9’
/ Рс
(3)
; р_.
Ь] Р<Х>
Если параметр / заменить на р0;&, где р0] — характерное давление торможения в струе, то параметры подобия и переменные можно представить в виде
М0
Иес
Ии
и =
р =
К2
Р_.
Роо
^У
р 00 .
Ро /
иУ
М/, — ;
1 Иоо
(4)
Рсо
р;
* Т [ Роо . л V Ро у1
р/м
:ху
где Ие, =
Из соотношений (4) следует, что при равенстве полученных критериев подобия линейные размеры струи, отнесенные к размеру
* Случай плоского течения будет рассмотрен ниже.
ее начального сечения, увеличиваются пропорционально корню из отношения p0jpZ\ но характерное число Рейнольдса струи уменьшается по сравнению с Rey- в такое же число раз.
В случае плоского течения в соотношения (4) вместо параметров Ki и К2 войдут Ki A'2=Re/-^-, а независимая пе-
а Poj J P0j
ременная х примет вид ~х = 4- —
d Ро, '
Выпишем критерии подобия в некоторых практически интересных частных случаях рассматриваемых течений:
равномерный внешний поток (L = оо) —
м., к„ М„ (5)
W00 Poo
истечение в покоящийся газ (йоо = 0) —
течение невязкого газа ^ = 0) —
Моо, Ки м J, (7)
^оо
Если при определенных режимах течения Моо9^>1 (где 6 — характерный угол наклона струи), то давлением рх можно пренебречь, и в критерии подобия (7) число Моо не войдет. В этом
случае после замены в (4) р^ на роо«4 безразмерные зависимые
и независимые переменные задачи можно записать в виде
:; = _«Lp.
11 " 2 ’ г л Р,
/ Poo Uоо роо йоо
2 P<xi
°0 — • (8)
Л
Отметим, что при рассмотрении подобия отдельно внутри и вне струи критерий И; И-1 (или заменяющий его при их = О параметр и,-р^2/?~1/2) является несущественным и выпадает*. При этом безразмерная форма зависимых и независимых переменных для течения внутри струи остается прежней, а для внешнего течения значения входящие в соотношения (4) или (8), должны быть заменены на «оо-
Закон подобия для формы струи был проверен экспериментально при М;= 1, «оо = 0, ху = 5/3. Результаты этих исследований приведены на фиг. 2, на которой нанесены безразмерные координаты висячего скачка уплотнения в струе
X = 0,5 хбг1 р\£ ро~}12, У — 0,5 уй-1 р)£ Рй)>2,
* При рассмотрении только геометрического подобия параметр и; и~х также является несущественным. Этот случай при К\ =0 рассматривался в ра'боте [1].
где х, у — цилиндрические координаты, (1- — диаметр сопла. Сплошная линия на фиг. 2 соответствует приближенной теоретической зависимости, построенной по методу работы [2]. Отметим, что найденное ранее экспериментально соотношение для координаты
У О,*
0,2
О
Фиг. 2
X ^ ^ О *
о ^- = (,27 • ~ Ш ’ * !050 ь 1U30
/
0,5 X /
xs замыкающего скачка уплотнения [3] также соответствует запи-
X.
Г
санному выше закону подобия —%Л/ ^- = const.
ay poj
Рассмотрим в заключение случай истечения газа в вакуум {рх = роо = 0), исключив из числа определяющих характерные параметры внешнего потока. Соотношения (4) преобразуются при этом к виду
— tL — D — U^i — X \
М,,и= — ; р=.-^—\ р = —р; х = —г п •
' «у Ро } Poj а
При 1х7- = 0 (невязкий газ) из определяющих параметров задачи нельзя составить комбинации с размерностью длины. Следовательно, в соответствии с результатами работы [4], вдалеке от начального сечения струи линии тока рассматриваемого течения близки к исходящим из одной точки прямым линиям.
Следует отметить, что выводы, относящиеся к случаю истечения в вакуум, могут быть справедливы и при рхфО для той области сильно расширившейся струи, в которой влиянием внешнего потока можно пренебречь. .
ЛИТЕРАТУРА
1. Moran I. P. Similarity in high-altitude jets. AIAA J., v. 5, № 7, 1967.
2. Гусев В. H., Климова Т. В. Течение в истекающих из недорасширенных сопел струях. „Изв. АН СССР. МЖГ“, 1968, № 4.
3. Ashkenas Н., Sherman F. S. The structure and utilization of supersonic free jets in law density wind tunnels. Dynamics of Rarefied Oases. Forth Symp. Acad. Press, 1965.
4. Ладыженский М. Д. Анализ уравнений гиперзвуковых течений и решение задачи Коши. .Прикладная математика и механика", т. 26, вып. 2, 1962.
Рукопись- поступила 9jIX 1969.
