CC BY
19
УДК 530.1
К НЕАДИАБАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СТОХАСТИЧЕСКОГО
РЕЗОНАНСА
В. М. Карташов1, С. А. Решетняк1, Г. Н. Третьяков1, В. А. Щеглов
В рамках приближения двух времен релаксации построена неадиабатическая теория стохастического резонанса. Результат получен в первом порядке теории возмущений по малой амплитуде сигнала. Сделан вывод о применимости теории в широкой области изменения интенсивности шума.
Пусть процесс нелинейного взаимодействия сигнала и шума в передемпфированной бистабильной системе описывается ланжевеновским уравнением вида
^ =-Г/^) + Л сов(«ь*)+ *(*). (!)
(£(*)>= 0, Ш(Нг))=2М(г),
где £(2) - белый шум с интенсивностью Б и нормальным распределением, 1/(т]) = + - потенциальная функция, имеющая два устойчивых положения равновесия в точках ±7/о = и потенциальный барьер между ними, высота которого С/0 = а2/46, А и
и>о ~ амплитуда и частота сигнала.
Взаимодействие характеризуется двумя временами релаксации. Динамическое время релаксации т^ = (2а)-1 определяет длительность перехода в устойчивое положение равновесия за счет действия потенциальной силы. Действующий на систему шум вызывает переходы из одной потенциальной ямы в другую с частотой Крамерса р.к- Кинетическое время релаксации г к = характеризует установление статистического равновесия.
В области параметров системы, где частота /хд' близка к частоте сигнала наблю дается аномальный рост отношения сигнал-шум с увеличением интенсивности шума
Московский институт радиоэлектроники и автоматики.
В литературе данное явление получило название стохастический резонанс, обзор работ которого содержится в [1]. Большинство теоретических работ по данной проблеме (см.. например, [2-4]) посвящено адиабатической теории стохастического резонанса, в рамках которой учитывается только время гд-. В неадиабатической теории стохастического резонанса необходимо учитывать не только время тд-, но и время т^. В [5] с помощью найденного решения вблизи дна потенциальной ямы такая теория построена для D << Uq. В данной работе проблема решается с помощью функций Грина. Динамическое время т^ учитывается путем введения единого эффективного высшего собственного значения соответствующей краевой задачи. При этом границы применимости теории удается расширить (D < Uo).
Рассмотрим эквивалентное (1) кинетическое уравнение для функции распределения /
| + = = + (2) с граничными и начальными условиями
¿/UTO = о, /и =
Решение (2) можно искать в виде ряда по малому параметру А - амплитуде сигнала:
/ = /о + Л/i + Л2/2 + -Части fn общей функции распределения удовлетворяют уравнениям
Öfn . , ,ч<Э/тг-1 fr
— + cos(woi) ~— = Lfn.
ot ОТ]
При включении сигнала в момент времени t = 0 имеем начальные условия
М=0 = % - V*), AU = М=о = - =
Функция распределения /о определяет реакцию бистабильной системы на шум и хорошо известна [6]:
оо
/о = Р £ (3)
п=О
оо
где р ~ ехр(—U/D), f pdrj — 1, <рп и рп - собственные функции и собственные значения
—оо
следующей краевой задачи:
d ( d(pn\ d(pn D-j- p-j— - -PnPVn,
J l Г J I rnr-rni J
drj \ drj ) dri
= 0. (4)
т)—>ioo
С помощью (3) находим корреляционную функцию случайного процесса на выходе бистабильной системы:
оо
К{т) = (»7(0)77(7-)) = j I Щл/0(т]л,т1,т)р(г},)(1т}ёт1л =
—оо
оо
= X] М2п+1 ехр(-/х2п+1т),
71=0
ОО
где Мп = / 77/0(77)^(77)^77.
—оо
Фурье-образ этой корреляционной функции определяет спектральную плотность шума:
^ /'2П+1 (5)
Щи) = —к(ш) = _2л+1.
Т Т п=0 /*2п+1 + ш
Заметим, что в силу симметрии потенциальной функции все четные коэффициенты М2п — 0 (интегралы в симметричных пределах от нечетных функций обращаются в нуль).
Функция распределения /1 определяет отклик системы на сигнал. Ее также можно искать в виде ряда по собственным функциям задачи (4):
оо 71=0
Причем достаточно знать лишь нечетные члены этого разложения, так как только они дают отличные от нуля вклады в среднее значение (77). Подстановка данного ряда в уравнение для /1 приводит к уравнениям для коэффициентов С„. Анализ показывает, что установившиеся со временем значения этих коэффициентов с учетом (4) имеют вид
/¿2п+1-^2п+1
Сгп-нМ —
-[/¿271+1 СОЭ^о*) + 8ш(ыо*)]-
Отсюда находим в первом порядке теории возмущений отклик системы на сигнал:
(77) = А\ + В23 соз^ - Фв),
где
В3 =
Аи0 ~сГ
А + ^о
+ ¿М^о)
+
;М1
^ ..2 . , 2'"2П+1>
п=1 М2п+1 Т Ш0
/¿2п+1
71 = 1 А*2п + 1
м2
2 2п+1'
(6)
Ф5 = аг^^Мя).
В (6) специально выделен первый член ряда, так как он определяется частотой Кра-мерса и, следовательно, кинетическим временем релаксации. Оставшиеся суммы и ниже будут аппроксимированы лоренцевскими линиями с помощью эффективного высшего собственного значения /ле, обратное значение которого совпадает с динамическим временем релаксации. Определим р.е следующим образом:
оо
2 71=0 /гг\
Ре = -55-• (7)
£ м|п+1
71=1
Для расчета знаменателя (7) найдем сначала сумму
оо оо °° °° оо
Ем2п+1 = Емп= / прШ1 ■ У ШЕЫпУрпШ =
71=0 п—0 _оо _оо п=0
00 п
У 2 , 2 В = I V раг] И % +
—оо
где были использованы перевальный метод оценки интегралов и свойство полноты собственных функций. С учетом того, что Мх ~ т]0 = \fajb [6], находим
оо ОО Г)
£ м|п+1 = Е М22п+1 - М1 =
71=1 71=0
Обратимся теперь к числителю формулы (7):
__оо оо „
оо оо - - оо
Е /4+1лСн = Е= 1 р'(0К ■ \ РЬ) Е =
71=0 71=0 П=0
= О / и"р6т) Я В [-. + 36 (й + « 2„В (1 + —) .
— ОО
Отсюда в рассматриваемой области интенсивности шума Б < Ьо имеем
/ 3£) И/2
Не и 2а + —^ ~ 2а. (8)
Найденное \1е позволяет построить приближенные формулы для сумм ¿>1 и 52:
С \ В С I \ Ре В /п\
+ иг 2а + ш ¿а
Анализ показал, что частотные зависимости сумм S\ и S2 при больших и малых ш точно такие же, как и у S\e и б^е- Кроме того, площади, ограниченные лоренцевскими кривыми S\e(iü) и S2e(u), совпадают с их точными значениями для Si и ¿>2. Учитывая также быструю сходимость сумм Si и S2 с ростом номера п, можно сделать вывод о достаточной степени точности формул (9) во всей области изменения частоты сигнала.
Рис. 1. Частота Крамерса (пунктирная линия) и ее обобщение (сплошная линия) в зависимости от нормированной интенсивности шума О/и0 (а = 4000с-1, 6 = 5- 10~9р~~с-1, Р = Н)-
Рис. 2. Отношение сигнал-шум (5/^)вЬ1Х на выходе бистабилъной нелинейной системы в зависимости от нормированной интенсивности шума (Сплошная кривая - результаты данной работы, пунктирная - результаты [5], а = 4000с-1, Ъ — 5 ■ 10-9р-2с-1, А = О.Зрс-1, Р = Ы-)
Подстановка (9) в (6) приводит к следующему отношению сигнал-шум на выходе бистабильной системы:
/£\ =А| + В|=/5Х ир{а1 + Ь|) \М)6ЫХ N{41о) 2а65 '
_ кр\ ц\ кр.1Ш0 цеш0
9 , 2 т 9 . о ' & 2 I 2 ' 9 I 2 '
где = - входное отношение сигнал-шум, к = Щ1.
До сих пор остается неопределенным собственное значение которое с точностью до коэффициента 2 совпадает с частотой Крамерса рк- Согласно предложенной в [6] итерационной схеме решения задачи (4), в первом приближении имеем
-1
Pi = 2¿¿A' = D
J р ldx J pdy
(П)
1-0
Формула (11) служит обобщением частоты Крамерса на случай больших интенсив-ностей шума. Для Б « 6о из (11) следует классический результат [7]
1*1 = — а-ехр(- —). (12)
На рис. 1 изображена частота р.\, рассчитанная по формулам (11) и (12) (сплошная и пунктирная линии соответственно). Видно, что кривые не совпадают в области больших Б. Кружками на рис. 1 обозначены значения полученные путем численного решения [8] ланжевеновского уравнения (1).
На рис. 2 по формуле (10) сплошной линией построена зависимость (¿У/.Аг)вЫ1 от Б/и0. Пунктир соответствует результатам работы [5]. Как и следовало ожидать, при учете второго времени релаксации га отношение (5/Лг)выз; —► оо при Б —> 0. При ре = 2а и частоте определяемой по формуле (12), полученное в нашей теории отношение (5/Лг)выг совпадает с [5]. Но следует отметить, что результаты данной статьи и [5] получены в рамках разных подходов. Из рис. 2 следует, что при вычислении по формуле (11) отношение (5,/Лг)выа; незначительно отличается от [5] в области больших Б, хотя имеется существенное различие используемых частот переходов р\. Это связано с тем, что для больших Б поведение (5'/Л^)вых в основном определяется эффективным собственным значением ре = т^1.
В заключение отметим, что предложенная здесь теория справедлива для малых амплитуд сигнала А « ат)о. Полученная нами оценка ре является правильной не только для малых Б, но и для Б ~ 170. Поэтому в отличие от [5] формулы (10) и (11) имеют более широкие границы применимости (Б < {/0). Проведенное нами в [8] сравнение предлагаемой теории с результатами численного моделирования подтверждает сделанный вывод.
ЛИТЕРАТУРА [1] Garamaitoni L., et al. Rev. Mod. Phys., 70, no. 1, 223 (1998).
[2] Fox R. Phys. Rev. А, 39, no. 8, 4148 (1989).
[3] М с N a m а г а В., W i е s е n f е 1 d К. Phys. Rev. А, 39, по. 9, 4854 (1989).
[4] J u п g P. Z. Phys. В, 76, по. 4, 521 (1989).
[5] Н u G., Haken Н., N i п g С. Z. Phys. Lett. А, 172, по. 1-2, 21 (1992).
[6] Р е ш е т н я к С. А., Шелепин JI. А. Квазистационарные распределения в кинетике. М., Автор, 1996, 296 с.
[7] Kramers Н. A. Physica (The Hague), 7, 284 (1940).
[8] К а р т а ш о в В. М. и др. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, (2000).
Поступила в редакцию 16 июня 2000 г.
