CC BY
9
УДК 536.75
О ВОСПРИИМЧИВОСТИ СИСТЕМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БИСТАБИЛЬНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
С. А. Решетняк
Показано, что в цепочке слабовзаимодействующих би-стабильных элементов возникает внутреннее поле, которое приводит к образованию областей с аномальной восприимчивостью, что подобно поведению восприимчивости бистабильной системы при эффекте стохастического резонанса.
При неравновесных фазовых переходах, индуцированных шумом, возникает стохастический резонанс [1, 2]. В теоретических работах (см., например, [3]) данное явление достаточно полно проанализировано для изолированной бистабильной системы Ансамбль взаимодействующих бистабильных элементов исследован недостаточно, хотя численный эксперимент [4] указывает на существование здесь данного эффекта. В настоящей работе предложено аналитическое исследование одномерной системы бистабильных элементов со слабой связью и проанализирована восприимчивость к постоянному малому внешнему полю.
Пусть поведение ансамбля описывается следующими ланжевеновскими уравнениями для параметра порядка г]:
N
N
Н = \У + дУ,]У = ^ иЫ, V = - £ №+ь
П=1
п=1
(Ш) = о, (шип) = 2м<" О,
где и(х) = — |ж2 + — Рх, Р - внешнее поле, {V - потенциал невзаимодействующих бистабильных сйстем, д - постоянная связи, £„(£) _ случайные силы или шум, В - интенсивность шума. В качестве граничных условий на концах цепочки приняты условия цикличности 77ДГ+1 = Т]I (./V - число бистабильных элементов в цепочке).
Рассмотрим соответствующее (1) кинетическое уравнение для функции распределения
Л.1ч„-±°° - 0, <7|<=о = % - £)>
( - вектор начальных значений.
Для слабых взаимодействий (д <С ВЬ/а) решение (2) можно искать в первом порядке теории возмущений по константе связи: = Р + д(5- Будем интересоваться средним значением параметра порядка для элемента п:
(Пп) = ! г]пРп<1г]п +д ! т/пдпЖ/п = (т)п)Р + (|7»)<з,
где Рп = / Р(1т]^пр Qn — J <1г)(пу В формулах для одноузельных функций распределения
Рп и фп интегрирование проводится по всем переменным, кроме т/„.
Заменяя в (2) С на б = Р + д(5 и приравнивая члены с одинаковыми степенями д,
приходим к уравнениям для Р и ф. Уравнение для Р описывает систему невзаимодей-
N
ствующих узлов, поэтому Р — П Рп. Каждая из одноузельных функций распределения
П=1
определяется решением уравнения
Я*?-*'-("•'♦<).
/|ч-*±оо = 0, /и=о = 6(ч - О, I /¿V = !> = Рп-
Взаимодействие между узлами учитывается в уравнении для п, которое имеет вид
дФ ЬЗ дЬ 7 г ч, т (тт,т г^Ф\
х{к + /("Мх'3 = " Г* + ' (4)
—оо
= о, ф|<=0 = О, I ф¿п = о, Ф|ч=ч„ = д„,
где /^,/4» - решение (3) соответственно с начальными значениями £„,£п-ь 6н-1-Запишем решение уравнения (3):
к = рЛч>к(0<рМехр = Сехр(-£//£>), (5)
к=о
где и рк ~ собственные функции и невырожденные собственные значения следующей краевой задачи:
(Р~= (6)
Отметим, что = 1, //о = 0, /¿о < < № < ■••■
Рассмотрим случай относительно малых интенсивностей шума (£) -С Vо, ио = а2/4б - высота барьера в бистабильном потенциале при .Р = 0). Здесь существует весьма длительная стадия релаксации, для которой в (5) можно ограничиться двумя первыми членами ряда. Длительность метастабильной стадии определяется неравенством /х 71 -С Ь «С Ц11. Используя результаты работы [5] для относительно небольших внешних полей, имеем
РМ
aV2 / U0\ , fFTj0\
где erf(z) - интеграл ошибок, T]0sja/b. Отсюда
(ч)р = J Г)Р\1 + MOnWdTI = ^ + rjoerf у^ (t + £)] - (7)
—оо
Решение (7) есть функция распределения при д = 0 и F ф 0. Для того, чтобы найти главный и линейный по д и F вклад в функцию распределения, найдем решение (4) при д ф 0 и F = 0. Представим решение (4) в виде
оо
Ф=рЕ Ст(*)Рт(ч).
т=О
Коэффициенты разложения удовлетворяют уравнениям
dC 00 00
—^ + РшСт = Y, £ А.М,Впk ехр[-(/1, + Hk)t], ст|i=0 = о,
dt s=О fc=0
оо оо
А3 = <?,(£') + ¥>,(£")> М° = / Втк = 4>к{О I РЧ>кЧ>'т<1Ч-
—оо —оо
Несложно получить точное решение (8) и определить Ст на метастабильной стадии релаксации. При этом принимается во внимание симметричность потенциала и то, что = Р2з+1{-г)) = -Щз+М- В результате получаем
(г1)д = А1М1(М1В10г + 50 + М1(Б1052 + 53), (9)
оо
£ _ £ — ^ ^23+1-^23+1 ^ _ у^ ^23+1
т=1 ^2т+1 а=1 /^2з+1 *=1 ,=0 Р-2к + /*2з+1
В основе расчета сумм и коэффициентов в (9) используется уравнение (6) для базисных функций срк и их свойства полноты и ортогональности
™ г
р Л фЛОфМ = - О» / рч>кч>п*п = Ькп-
п=О и
Возникающие при этом интегралы вычисляются по методу перевала. Обратим внимание на экспоненциальную малость коэффициента Вю'.
оо
я -
оо
J Г)РЧ>т(1т1 = ~~~~Мгп) Вю = Мг = Т)0.
-оо
Во-первых, это позволяет пренебречь в (9) членом, линейно растущим во времени. Он играет определяющую роль на временах í > ц^В/Во- Во-вторых, как показывают оценки, можно пренебречь также членом, содержащим сумму 5г. Расчет суммы 5х тривиален:
т=1 -оо
оо
Для оценки суммы 5з примем во внимание то, что £ А23+1-М23+1 = + ^ А\М\.
з=0
Это означает, что члены данного ряда являются знакопеременными. Отсюда находим приближенное значение для 5з:
оо У
оо Г> о Г Г
53 ~ А\М\ Е — = п / Р*У / Р'ЧЮ** ~ Ц2к В { {
1 7 ГГ
~ —AiMi J р lj(x)dx ~
exp
2D
где = / pv'xdri - B10 f pdr). о 0
С учетом полученных значений ¡б1,- и малого в (7) поля F имеем
Ы = ¿(F + М * ,о/^ехр (-g) (F + hn),
(Ю)
где hn = дт]0 [erf (У^п-i) + erf (У^бн-i)] - поле взаимодействия.
По отношению к отдельному элементу цепочки поле hn ведет себя подобно внешнему полю F. В случае немалых значений д и F формула для (//„) должна совпадать с (10) в первом порядке разложения по степеням д и F и совпадать с (7) при д = 0. Поэтому
(т7„) ~ ^-(F + hn) + rj0erf ¿а
+
F + hn
Отсюда восприимчивость бистабильного элемента п имеет вид
М
ехр
Видно, что при £п -{-ки/а ф 0 восприимчивость с ростом интенсивности шума возрастает, достигает своего максимального значения и затем спадает по степенному за ко ну. Подобное поведение восприимчивости бистабильной системы наблюдается при стохастическом резонансе. Взаимодействие бистабильных элементов искажает начальные условия, поэтому образуются отдельные группы элементов, для которых восприимчивость выше, чем у изолированной бистабильной системы. Таким образом, в рассматриваемом одноразмерном ансамбле также будет наблюдаться эффект стохастического резонанса. Причем взаимодействие может привести к его усилению.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект N 96-02-18692.
чтрнт'
ЛИТЕРАТУРА
[1] М с N a m а г а В., W i е s е n f е 1 d К., and Roy R. Phys. Rev. Lett., 60, no. 25, 2626 (1988).
[2] Д ы к m a h M. И. и др. Письма в ЖЭТФ, 53, N 4, 182 (1991).
[3] Н u G., Н a k е n Н., and N i n g С. Z. Phys. Lett. A, 172, no. 1-2, 21 (1992).
[4] I п с h i о s а М. Е. and В u 1 s а г a A. R. Phys. Lett. А, 200, 3-4, 283 (1995).
[5] Р е ш е т н я к С. А., X а р ч е в С. М., Шелепин JI. А. Труды ФИАН, 173, 94 (1985).
Поступила в редакцию 14 ноября 1997 г.
