CC BY
30
УДК 530.1
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО
РЕЗОНАНСА
В. М. Карташов1, С. А. Решетняк1, Г. Н. Третьяков1, В. А. Щеглов
Проведено численное моделирование эффекта стохастического резонанса при взаимодействии сигнала и шума в бистабильной системе. Результаты численного эксперимента подтверждают предложенную авторами неадиабатическую теорию этого явления.
Рассмотрим следующее ланжевеновское дифференциальное уравнение, которое описывает эффект стохастического резонанса [1]:
^ + = + (1) т)=о, тт+г)) = к(т),
где г] - параметр порядка; £(<) - стационарный случайный процесс, моделирующий шум; и{т]) - бистабильный потенциал; Лиц- амплитуда и частота сигнала; А'(т) корреляционная функция шума.
В основе теоретических исследований стохастического резонанса (СР) лежит кинетическое уравнение Фоккера-Планка для функции распределения параметра порядка. При этом £(£) есть белый шум с корреляционной функцией К[т) = 2£)6(т), где Б - интенсивность шума. Наиболее адекватное описание СР дают неадиабатические теории [2, 3]. Использующие разные подходы работы [2, 3] приводят к близким результатам. Однако, в отличие от [2], в [3] сделан вывод о применимости теории не только для малых, но и для больших интенсивностей шума Б. Цель данной работы проведение численного моделирования СР с проверкой результатов работы [3].
Московский институт радиоэлектроники и автоматики.
Проведенное нами моделирование опирается на численное решение уравнения (1). Была принята следующая модель шума:
ЛГ
= * £«*(«** + ¥>*)» (2) к=1
где N = 3-104 - число гармоник со случайно и равномерно распределенными фазами <рк в интервале (—7г,7г), Шк = к ■ Аш - дискретный спектр частот шума, Аш = 2л-Д/(Д/ = 1 Гц), Н - амплитуда гармоник, варьируя которую, можно изменять интенсивность шума.
Согласно центральной предельной теореме случайная величина £ должна быть распределена по гауссовому закону с нулевым средним значением. На рис. 1 для одной из реализаций шума показан закон распределения Р(£), который является нормальным.
-20 -Ю 0 10 20 £
4 \ lg f, Гц 30 кГц
Рис. 1. Закон распределения случайной величины £ (сплошная кривая - результаты численного анализа, пунктирная кривая - нормальное распределение).
Рис. 2. Спектральная плотность шума и амплитуда сигнала на входе бистабильной системы (/о = 40 Гц).
Как показывает несложный анализ, корреляционная функция случайного процесса (2) имеет вид
к (г) = та*+г)) =
К1 sin(Aa>riV/2) cos[Aa;r(iV + 1)/2] ~2 sin(Aa>T/2)
_ а2 8щ(
~ 2 зт(Дил") ' 1
Время корреляции Тк было определено из равенства = а2Тк- Поскольку для белого
шума
оо
/
О
К(т)с1т = £>, (4)
то подстановка (3) в (4) дает г* = (4Д/Лг)-1 = 0.83 • Ю-5 с. Это время существенно меньше других характерных времен модели.
Расчет отношения сигнал-шум (S/N) проводили с помощью Фурье-преобразования суммы детерминированного и случайного процессов на входе и выходе бистабильной системы. На рис. 2 представлен фурье-образ Сех(/) правой части уравнения (1). Из-за фазовых соотношений амплитуда сигнальной гармоники зависит от конкретной реализации шума, в то время как спектральная плотность Сгдгвг остается постоянной при
заданном а. Поэтому входное отношение в/N определяли по формуле
= ^ (5)
где 8вх - усредненная по реализациям шума амплитуда входного сигнала (мы использовали 10 реализаций шума с длительностью 1 с каждая).
Выходное отношение S/N находили путем численного решения (1) для V(т/) = —аг)'2!2 + Ьт}4/4, а = 4000 с-1, Ь = 5 • 10-9р-2с-1, А = 0.3 рс-1, где р - единица измерения параметра порядка. Был применен метод Рунге-Кутта четвертого порядка из пакета прикладных программ Ма1Ьсас1-7рго. Сетка по времени содержала
218
точек,
что обеспечивало высокую точность решения.
На выходе бистабильной системы находили фурье-образ (7вЫх(/) случайного процесса »7(£), также усредненный по реализациям шума. Отношение сигнал-шум вычисляли по формуле
(I) = (6)
* / аых -£¥ выг
где Звых = Саых(/о) - усредненная по реализациям шума амплитуда выходного сигнала, МвЬ1Х - спектральная плотность интенсивности шума в окрестности сигнальной частоты /о, которая с учетом 10 гармоник, расположенных слева и справа от /о, имеет вид
1
ю
^ы* = _ Е + * • А/) - С2вых(/о)]-
Рис. 3. Амплитуда выходного сигнала.
Рис. 4. Спектральная плотность выходного шума вблизи сигнальной частоты.
Результаты численного моделирования для разных значений интенсивности Б входного шума представлены на рис. 3 - б и сопоставлены с теоретическими кривыми [3 . Точки в виде кружков соответствуют сигнальной частоте /о = 40 Гц, а квадраты /о = 120 .Г ч. Интенсивность В была нормирована на высоту потенциального барьера и0 = а2/\Ъ.
В результате взаимодействия сигнала и шума амплитуда выходного сигнала имеет максимум (см. рис. 3). обусловленный совпадением частоты Крамерса с частотой сигнала и;0. Именно это обстоятельство позволило назвать рассматриваемый эффект "стохастическим резонансном" [4]. Резкое возрастание 5вых с увеличением И является основной причиной роста отношения Б/Ы (см. рис. 5) в области
Р
Щ>
<^0 ~ /^1 ~ и>0-
(7)
Оценки показывают, что левое неравенство (7) соответствует локальному минимуму на рис. 5, а правое - максимуму.
Фильтрующие свойства бистабильной системы можно охарактеризовать, рассматри вая коэффициент
9 =
(8)
и0 и0
Рис. 5. Выходное отношение сигнал-шум. Рис. 6. Выходное отношение сигнал-шум, нормированное к отношению сигнал-шум на входе.
На рис. 6 представлена зависимость ц от нормированной интенсивности шума на входе системы £>/£/0- Видно, что данный коэффициент в области (7) не превышает единицы. Положение минимума кривой ц совпадает с положением минимума кривой (5/А^)вых. Начальный рост ц с увеличением Б обусловлен ростом (5'/Лг)вь,а;. Отметим, что дальнейший рост д при интенсивностях Б порядка Цо или превышающих {¡о в несколько раз, происходит там, где условия СР не выполняются. Это вызвано падением спектральной плотности МЛЫХ в указанной области интенсивности шума (см. рис. 4). Для очень больших Б при /0 = 40 Гц некоторые значения q близки к единице (а для отдельных реализаций шума превышают 1). Хотя они не вполне достоверны из-за трудности выделения слабого сигнала на фоне помех, но тем не менее указывают на перспективность проведения здесь как теоретических, так и экспериментальных исследований СР.
В рамках той же модели была также найдена частота Крамерса. Ее определяли через среднее время переходов из одной потенциальной ямы в другую при действии шума. Результаты моделирования приведены в [3]. Они подтверждают предложенную в [3] формулу, обобщающую частоту на случай больших Б.
Таким образом, проведенный численный эксперимент подтверждает предложенную в [3] неадиабатическую теорию СР. Численные результаты хорошо ложатся на теоретические кривые, справедливые для входных интенсивностей шума Б < С/о- Кроме того, проведенный численный анализ СР указывает на то, что выходное отношение сигнал-шум в области своего локального максимума при резком различии динамического и
кинетического времен релаксации не превышает входное отношение сигнал-шум.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Gammaitoni L. et al. Rev. Mod. Phys., 70, No. 1, 223 (1998).
[2] H u G,Haken H., and N i n g C. Z. Phys. Lett. A, 172, No. 1, 21 (1992).
[3] К a p т а ш о в В. M. и др. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 12 (2000).
[4] Benzi R.,Sutera S., and V а 1 р i a n i J. Phys. A., 14, No. 11, L453 (1981).
Поступила в редакцию 16 июня 2000 г.
