Численное моделирование стохастического резонанса Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.1

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО

РЕЗОНАНСА

В. М. Карташов1, С. А. Решетняк1, Г. Н. Третьяков1, В. А. Щеглов

Проведено численное моделирование эффекта стохастического резонанса при взаимодействии сигнала и шума в бистабильной системе. Результаты численного эксперимента подтверждают предложенную авторами неадиабатическую теорию этого явления.

Рассмотрим следующее ланжевеновское дифференциальное уравнение, которое описывает эффект стохастического резонанса [1]:

^ + = + (1) т)=о, тт+г)) = к(т),

где г] - параметр порядка; £(<) - стационарный случайный процесс, моделирующий шум; и{т]) - бистабильный потенциал; Лиц- амплитуда и частота сигнала; А'(т) корреляционная функция шума.

В основе теоретических исследований стохастического резонанса (СР) лежит кинетическое уравнение Фоккера-Планка для функции распределения параметра порядка. При этом £(£) есть белый шум с корреляционной функцией К[т) = 2£)6(т), где Б - интенсивность шума. Наиболее адекватное описание СР дают неадиабатические теории [2, 3]. Использующие разные подходы работы [2, 3] приводят к близким результатам. Однако, в отличие от [2], в [3] сделан вывод о применимости теории не только для малых, но и для больших интенсивностей шума Б. Цель данной работы проведение численного моделирования СР с проверкой результатов работы [3].

Московский институт радиоэлектроники и автоматики.

Проведенное нами моделирование опирается на численное решение уравнения (1). Была принята следующая модель шума:

ЛГ

= * £«*(«** + ¥>*)» (2) к=1

где N = 3-104 - число гармоник со случайно и равномерно распределенными фазами <рк в интервале (—7г,7г), Шк = к ■ Аш - дискретный спектр частот шума, Аш = 2л-Д/(Д/ = 1 Гц), Н - амплитуда гармоник, варьируя которую, можно изменять интенсивность шума.

Согласно центральной предельной теореме случайная величина £ должна быть распределена по гауссовому закону с нулевым средним значением. На рис. 1 для одной из реализаций шума показан закон распределения Р(£), который является нормальным.

-20 -Ю 0 10 20 £

4 \ lg f, Гц 30 кГц

Рис. 1. Закон распределения случайной величины £ (сплошная кривая - результаты численного анализа, пунктирная кривая - нормальное распределение).

Рис. 2. Спектральная плотность шума и амплитуда сигнала на входе бистабильной системы (/о = 40 Гц).

Как показывает несложный анализ, корреляционная функция случайного процесса (2) имеет вид

к (г) = та*+г)) =

К1 sin(Aa>riV/2) cos[Aa;r(iV + 1)/2] ~2 sin(Aa>T/2)

_ а2 8щ(

~ 2 зт(Дил") ' 1

Время корреляции Тк было определено из равенства = а2Тк- Поскольку для белого

шума

оо

/

О

К(т)с1т = £>, (4)

то подстановка (3) в (4) дает г* = (4Д/Лг)-1 = 0.83 • Ю-5 с. Это время существенно меньше других характерных времен модели.

Расчет отношения сигнал-шум (S/N) проводили с помощью Фурье-преобразования суммы детерминированного и случайного процессов на входе и выходе бистабильной системы. На рис. 2 представлен фурье-образ Сех(/) правой части уравнения (1). Из-за фазовых соотношений амплитуда сигнальной гармоники зависит от конкретной реализации шума, в то время как спектральная плотность Сгдгвг остается постоянной при

заданном а. Поэтому входное отношение в/N определяли по формуле

= ^ (5)

где 8вх - усредненная по реализациям шума амплитуда входного сигнала (мы использовали 10 реализаций шума с длительностью 1 с каждая).

Выходное отношение S/N находили путем численного решения (1) для V(т/) = —аг)'2!2 + Ьт}4/4, а = 4000 с-1, Ь = 5 • 10-9р-2с-1, А = 0.3 рс-1, где р - единица измерения параметра порядка. Был применен метод Рунге-Кутта четвертого порядка из пакета прикладных программ Ма1Ьсас1-7рго. Сетка по времени содержала

218

точек,

что обеспечивало высокую точность решения.

На выходе бистабильной системы находили фурье-образ (7вЫх(/) случайного процесса »7(£), также усредненный по реализациям шума. Отношение сигнал-шум вычисляли по формуле

(I) = (6)

* / аых -£¥ выг

где Звых = Саых(/о) - усредненная по реализациям шума амплитуда выходного сигнала, МвЬ1Х - спектральная плотность интенсивности шума в окрестности сигнальной частоты /о, которая с учетом 10 гармоник, расположенных слева и справа от /о, имеет вид

1

ю

^ы* = _ Е + * • А/) - С2вых(/о)]-

Рис. 3. Амплитуда выходного сигнала.

Рис. 4. Спектральная плотность выходного шума вблизи сигнальной частоты.

Результаты численного моделирования для разных значений интенсивности Б входного шума представлены на рис. 3 - б и сопоставлены с теоретическими кривыми [3 . Точки в виде кружков соответствуют сигнальной частоте /о = 40 Гц, а квадраты /о = 120 .Г ч. Интенсивность В была нормирована на высоту потенциального барьера и0 = а2/\Ъ.

В результате взаимодействия сигнала и шума амплитуда выходного сигнала имеет максимум (см. рис. 3). обусловленный совпадением частоты Крамерса с частотой сигнала и;0. Именно это обстоятельство позволило назвать рассматриваемый эффект "стохастическим резонансном" [4]. Резкое возрастание 5вых с увеличением И является основной причиной роста отношения Б/Ы (см. рис. 5) в области

Р

Щ>

<^0 ~ /^1 ~ и>0-

(7)

Оценки показывают, что левое неравенство (7) соответствует локальному минимуму на рис. 5, а правое - максимуму.

Фильтрующие свойства бистабильной системы можно охарактеризовать, рассматри вая коэффициент

9 =

(8)

и0 и0

Рис. 5. Выходное отношение сигнал-шум. Рис. 6. Выходное отношение сигнал-шум, нормированное к отношению сигнал-шум на входе.

На рис. 6 представлена зависимость ц от нормированной интенсивности шума на входе системы £>/£/0- Видно, что данный коэффициент в области (7) не превышает единицы. Положение минимума кривой ц совпадает с положением минимума кривой (5/А^)вых. Начальный рост ц с увеличением Б обусловлен ростом (5'/Лг)вь,а;. Отметим, что дальнейший рост д при интенсивностях Б порядка Цо или превышающих {¡о в несколько раз, происходит там, где условия СР не выполняются. Это вызвано падением спектральной плотности МЛЫХ в указанной области интенсивности шума (см. рис. 4). Для очень больших Б при /0 = 40 Гц некоторые значения q близки к единице (а для отдельных реализаций шума превышают 1). Хотя они не вполне достоверны из-за трудности выделения слабого сигнала на фоне помех, но тем не менее указывают на перспективность проведения здесь как теоретических, так и экспериментальных исследований СР.

В рамках той же модели была также найдена частота Крамерса. Ее определяли через среднее время переходов из одной потенциальной ямы в другую при действии шума. Результаты моделирования приведены в [3]. Они подтверждают предложенную в [3] формулу, обобщающую частоту на случай больших Б.

Таким образом, проведенный численный эксперимент подтверждает предложенную в [3] неадиабатическую теорию СР. Численные результаты хорошо ложатся на теоретические кривые, справедливые для входных интенсивностей шума Б < С/о- Кроме того, проведенный численный анализ СР указывает на то, что выходное отношение сигнал-шум в области своего локального максимума при резком различии динамического и

кинетического времен релаксации не превышает входное отношение сигнал-шум.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Gammaitoni L. et al. Rev. Mod. Phys., 70, No. 1, 223 (1998).

[2] H u G,Haken H., and N i n g C. Z. Phys. Lett. A, 172, No. 1, 21 (1992).

[3] К a p т а ш о в В. M. и др. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 12 (2000).

[4] Benzi R.,Sutera S., and V а 1 р i a n i J. Phys. A., 14, No. 11, L453 (1981).

Поступила в редакцию 16 июня 2000 г.