CC BY
95
УДК 536.587
А.А. Персичкин, А.А. Шпилевой
ПОВЫШЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ СИГНАЛ/ШУМ ДЛЯ СЛАБЫХ СИГНАЛОВ
В НЕЛИНЕЙНЫХ БИСТАБИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЯХ
Изучено поведение нелинейной бистабильной системы в режиме стохастического резонанса. Для случая прохождения слабого сигнала со значительной шумовой составляющей показано увеличение отношения сигнал/шум на выходе. Данный эффект позволяет повысить чувствительность приема электрических сигналов в различных методиках радиоспектроскопии, телекоммуникаций и т. п.
The conduct of nonlinear bistable system in a mode of the stochastic resonance is investigated. For a case of the passage of a weak signal with significant noisy component is shown the increase of the signal-to-noise ratio at the exit. This effect allows to raise the sensitivity of the receiving of electric signals in the various radiospectroscopy techniques, telecommunications and so on.
Суть явления стохастического резонанса (СР) заключается в том, что добавление в пороговую систему шума усиливает ее отклик на слабое периодическое воздействие, при этом отношение сигнал/шум (SNR) на выходе имеет резонансный характер. Практический интерес в этой связи представляет работа [1], в которой исследовано SNR на выходе и входе бистабильной системы в виде компаратора с нелинейной цепью опорного напряжения, представляющей собой аналогию хорошо изученной модели нелинейного осциллятора с большим сопротивлением. Авторами было предложено за счет эффекта стохастического резонанса в некоторой области значений дисперсии шума D создать условия, при которых SNRebK > SNR,«. Для теоретического описания поведения указанной системы был применен аппарат адиабатической теории. В этом случае для вычисления SNR на выходе требуется знать только среднюю частоту переходов между устойчивыми состояниями в отсутствии сигнала, определяемую формулой Крамерса
< fs >=Т- = (| U"(0) | U"(c))2 exp(-2U0 / D). (1)
С практической точки зрения больший интерес представляет СР в другой пороговой системе — триггере Шмита. Теоретическое описание такой системы в рамках адиабатической теории сопряжено с рядом трудностей, связанных с гораздо более жесткими переходными харак-
Вестник РГУ им. И. Канта. 2006. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 33 — 37.
34
А.А. Персичкин, А.А. Шпилевой
теристиками, не позволяющими выразить в явном вице уравнение вероятностей переходов через потенциальный барьер и вычислить частоту Крамерса. Задача данной работы состоит в теоретическом описании СР на базе триггера Шмита и выводе критериев, обеспечивающих БМИвых > БМКвх.
Пусть сигнал на выходе триггера Шмита представляет собой телеграфный процесс со следующими начальными условиями: входной сигнал представлен подпороговой периодической составляющей в = B ■ вт(®^) и «белым» шумом Т(Ь) с нулевым математическим ожиданием и частотой среза /0. Для исследуемой модели теория СР базируется на формуле средней частоты пересечения порога [2]:
( _ Л
(2)
/<,_._ А2
^> = Тз ■ехр
2 ■ + т)
где О — дисперсия; т — математическое ожидание. О и т соответствуют той части дисперсии шума входного сигнала, которая непосредственно воздействует на вход триггера Шмита. Выражение (2) можно записать через дисперсию шума входного сигнала:
. 2 Л
■ ехр - 2А-V
■ ехР
(3)
Полученное выражение справедливо для постоянной полосы шума, верхняя граница которого определяется /0. В противном случае дисперсия будет определятся не только мощностью спектральных компонентов, но и будет зависеть от /0. Для получения этой зависимости требуется знать законы функционирования источника шума. В качестве источника «белого» шума рассмотрим генератор псевдослучайной последовательности (ПСП) на регистре сдвига с обратной связью [3]. Для такого источника спектральная плотность мощности шума в полосе 0 < / < 0,2 ■ /такт определяется выражением:
п 2
^ ' (4)
У такт
где а — амплитуда импульса на выходе регистра. Пусть ПСП проходит через фильтр НЧ с частотой среза /0 < /такт, тогда эффективная полоса
шума /эффект =П ■ /0, а дисперСИЯ
V = Я / = ^0 (5)
^ ~ '} эффект ~ л с * \У/
а ■ П ■ /0 4 ■ /т
На выходе триггера Шмита будет присутствовать импульсный процесс Т (), отвечающий распределению Пуассона. Тогда для нахожде-
ния его шумовой составляющей может быть использована теорема Кэмпбелла [4]:
а
(Ь)) = (/)• А2 •{¥2 (,9)дв,
(6)
где А — амплитуда импульса на выходе триггера, ¥ — функция формы импульса, 0 — длительность импульса.
Если предположить, что импульсы, вырабатываемые триггером Шмита, имеют прямоугольную форму, то выражение (6) можно записать в виде
(^ (ь ))=(/)• А2 •в. (7)
Исходя из этого спектральную плотность мощности случайного процесса на выходе триггера Шмита можно выразить следующим образом [5]:
а
(8)
35
Поправка — в показателе экспоненты связана с тем, что исследуе-п
мый сигнал является смесью шумовой и периодической компонент и фактически служит постоянной составляющей второй из них.
Аналогично находим среднее значение амплитуды случайной последовательности импульсов с учетом периодической составляющей
сигнала:
(у) = А •в-(у) = А • в • ^-/Ог ^ • ехр
С / в в л2 ^ 2 • I Д-------8т(® • f)
\ п 2
а
(9)
Преобразуем выражение (9) к вицу:
V = А ) ехр
С 2 С Д ^2 Л
— I Д-
а I п
м(а, в, д),
(10)
где
М(а, в, Д) = ехр а ■ [" 2 • ^Д- • в • 81п(® • í) - В-• 81п2 (о • í)
2 3
Разложим выражение (11) в ряд: ехр(х)»1 +^{ + ~2\+~^
36
А.А. Персичкин, А.А. Шпилевой
При разложении будем учитывать только нечетные степени х, так как в конечном итоге нас интересует основная гармоника периодического сигнала:
Х ^ — • [д - — | • В • 8Іп(® • í) = М 1(Д, В, О) • 8Іп(® • í);
1! О I п)
2!
2-D
Д - — ) - B3 - sin(® -t) = М2(Д, B, D) • sin(® -t);
--------^ —3
3! D3
4ІД-—1 -B3+— (д- — I-B5
v I n) 32V nj ,
v \ У ЧУ)
Л
sin (•) = М 3 (Д—^)^т(®-/).
В соответствии с полученными результатами выражение (10) принимает вид
Г-1. Гд-—'2'
- М (D, B, Д) - sin(y • t),
(12)
где М’(Д, О, В) = (М 1(0, В, А) + М2(0, В, А) + М3(0, В, А)). Вьгражение (12) характеризует часть среднего значения амплитуды случайной последовательности импульсов на выходе триггера Шмита, зависящую от основной гармоники сигнала.
Осуществив преобразование Фурье [5] от выражения (11), получим спектр мощности сигнала, содержащий (5-пики на частоте а:
Ґ г 2 Л
/о
3
exp
■M2(D, B, Д) -S(co).
(13)
Тогда отношение сигнал/шум на выходе триггера Шмита равно:
P 2 п SNR0Ut =-± = ^ - /о2-в-exp PN V3
2
'M2(D,B,Д)-¿(®). (14)
Полученное выражение характеризует эффект стохастического резонанса для триггера Шмита, однако наша задача заключается в поиске условий, при которых отношение сигнал/шум на выходе бистабильной системы будет доминировать над входным SNR. Для этого целесообразно рассмотреть функцию вида '¥SNR = SNRout , где SNRin — отно-
SNRin
шение сигнал/шум на входе бистабильной системы. Для нашей модели отношение сигнал/шум на входе можно определить как
В2 • 2-п-f0-S(g)
SNRn =-
Тогда
Y = D - f0 -в -Tsnr S - B2 p
D
--ІД- — D V п
2 Л
■M (D, —, Д).
(15)
(16)
2
3
x
3
1
x
Остановимся на определении длительности импульса — в. Очевидно, что в не имеет постоянного значения и зависит от физических параметров устройства, а также от его конкретной реализации. Тогда алгоритм решения задачи следующий:
1) определение граничных условий изменения величины в;
2) нахождение функции распределения в при заданных граничных условиях;
3) определение математического ожидания в.
Очевидно, что верхняя граница изменения длительности импульса
1
— в+ будет иметь порядок —, где ¥о — частота среза низкочастотного ---
фильтра. Нижняя граница изменения длительности импульса в- определяется граничной частотой работы электронного устройства, на базе
1
которого реализован стохастический резонанс в- = —. В силу того, что
/гр
каких-либо дополнительных ограничений на длительность импульса не установлено, то варианты появления импульсов на выходе триггера Шмита можно описать комбинациями членов числового ряда, для чего воспользуемся арифметической прогрессией с формулой для п-го члена ап = в+ - в- • (п -1).
При таком распределении импульсы с разной длительностью будут иметь одинаковую вероятность появления, а математическое ожидание длительности импульса равно
2• в -в •(п -1) в -в П = + -у*™*—і! = ^+ - (17)
22
Окончательно выражение (16) можно записать в вице: m D • f-Q 1 ' "л2 ^
^SNR = ГГ „2 - ЄХР
-—-Ід-B
D I n
2
M (D, B, Д). (18)
Следовательно, величина выходного SNR за счет стохастического резонанса возрастает.
Список литературы
1. Анищенко В.С., Постнов Д.Э. Радиотехника и электроника. 1994. Вып. 12. С. 2004 - 2014.
2. Neiman A., Schimansky-Geier L., Moss F. // Phys. 1997. Rev. E 57 R9.
3. Хорвиц П., Хилл y. Искусство схемотехники. М., 1993.
4. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. М., 1966;
5. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М., 2000.
Об авторах
А. А. Персичкин — асп., РГУ им. И. Канта.
А. А. Шпилевой — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.
